CLASSI SECONDE Formulario (con esercizi) TEORIA CINETICA - TERMODINAMICA

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1 CLASSI SECONDE Formulario (con esercizi) TEORIA CINETICA - TERMODINAMICA Germano D Abramo Versione /04/2016 (N.B. Si invita a trovare errori e/o imprecisioni o a richiedere una stesura del testo più semplice.) Cenni di teoria cinetica dei gas e termodinamica Le leggi dei gas viste sinora e la legge che lega il calore assorbito all aumento della temperatura di una sostanza (capacità termica) sono presupposti fondamentali per la Termodinamica. La termodinamica studia le leggi che regolano gli scambi di calore e lavoro tra un sistema e l ambiente. Questa branca della fisica nasce tra la fine del 700 e gli inizi dell 800 (tra i padri fondatori c è il fisico, ingengere e matematico francese Sadi Carnot). La motivazione che sta alla base di questi studi è una motivazione assolutamente pratica: questo è il periodo storico in cui iniziano a diffondersi le prime macchine a vapore. Una macchina a vapore è una macchina termica, cioè una macchina alimentata dal calore fornito dall esterno (attraverso la combustione di legna, carbone, etc.) e che in cambio produce lavoro (solleva pesi, muove telai e vagoni ferroviari). Inoltre, tutte le macchine a vapore sfruttano la trasformazione di un gas, il vapore d acqua. Da qui l importanza delle leggi dei gas. L epoca in cui si sviluppa la termodinamica è però anche l epoca d oro della meccanica classica. I fisici dell 800 credevano che attraverso le tre sole leggi della dinamica e la legge di gravitazione universale di Newton si potesse spiegare e prevedere il comportamento di ogni fenomeno naturale, dalla traiettoria di una palla di cannone al moto dei corpi celesti. Basta ricordare cosa diceva il famoso matematico Pierre Simon Laplace (vedi citazione più avanti). La termodinamica, tuttavia, con grandezze fisiche quali Pressione, Volume, Temperatura, Calore, etc., sembrava parlasse un linguaggio diverso da quello parlato dalla meccanica, che studiava velocità, accelerazioni e lo scambio di forze fra corpi dotati di massa.

2 Tra i fisici nacque dunque l urgenza conoscitiva di ricondurre la termodinamica alla meccanica. Come spiegare le leggi dei gas, la pressione, la temperatura in termini di movimento di corpi dotati di massa? Tutto parte dall applicazione del modello atomico della materia ai gas. Supponiamo che un gas per cui sono valide le leggi dei gas (ogni gas rarefatto e lontano dalla temperatura di liquefazione, chiamato gas perfetto) sia composto da N particelle (atomi o molecole) di massa m, ciascuna delle quali si muova con velocità v in modo caotico dentro un recipiente di volume V. La pressione P che il gas esercita sul recipiente può essere allora fatta risalire agli urti che queste N particelle hanno frequentemente con le pareti del contenitore (vedi il modellino con le sfere di metallo mosse da un agitatore).

3 Applicando le sole tre leggi della dinamica, un po di geometria e facendo un po di calcoli 1, i fisici arrivarono ad associare la pressione P del gas costituito da N particelle di massa m in un volume V, all energia cinetica media di queste particelle K = 1 2 mv2, dove v è la velocità media di ogni particella: P V = 2 3 NK Ma da esperienze di laboratorio sappiamo che per un gas perfetto vale la famosa legge: P V = nrt dove n è il numero di moli del gas e R una costante. Poiché il primo membro di entrambe le equazioni è lo stesso, devono essere gli stessi per anche i secondi membri: 2 NK = nrt 3 quindi l energia cinetica media di una particella di gas deve essere legata alla temperatura del gas, cioè: K = 1 2 mv2 = 3 2 k BT (1) dove k B è una costante conosciuta come costante di Boltzmann (k B = nr N ) e vale J/K (Joule su Kelvin). I fisici dell 800 riuscirono quindi a legare una grandezza macroscopica la temperatura a un fenomeno meccanico microscopico l energia cinetica, il moto di agitazione delle particelle del gas. Calcoliamo la velocità media di una molecola di azoto (N 2 ) del gas che compone l aria di una stanza a temperatura ambiente 20 C = 293 K. La massa di una molecola di azoto è circa m N kg e quindi, utilizzando la formula inversa della relazione (1), si ha: v = 3kB T m = m/s 1830 km/h Nella figura che segue ci sono i risultati di altre applicazioni della stessa relazione: 1 Per i temerari: cinetica dei gas

4 Energia interna di un gas perfetto Se un gas perfetto a temperatura T è costitutito da N particelle, ciascuna con energia cinetica media K, allora l energia complessiva del gas di N paricelle (che chiamiamo U) sarà semplicemente N volte l energia di una singola particella: U = NK La grandezza U è chiamata energia interna di un gas perfetto. Ricordando che: allora abbiamo che: K = 1 2 mv2 = 3 2 k BT U = NK U = 3 2 Nk BT L energia interna U è quindi un energia accumulata all interno del un gas, sotto forma di energia cinetica delle particelle. E questa energia, una volta fissato il numero delle particelle, dipende solo dalla temperatura del gas. Se aumentiamo la temperatura di un gas, aumenta anche l energia accumulata all interno sotto forma di movimento. Si dice che l energia interna U di un gas è una funzione di stato. In pratica, dipende solo dallo stato del gas, nel nostro caso solo dalla temperatura, e non dipende dalle trasformazioni che il gas ha subito per arrivare a quello stato termodinamico. L energia interna U non ha memoria del passato. Esercizio: Prova a stimare l energia interna dell aria che occupa l aula. Sai stimare quante molecole di gas ci sono nell aula? Suggerimento: È vero che U = NK = 3 2 Nk BT, ma è anche vero che questa relazione è stata derivata usando l uguaglianza P V = 2 3 NK. Mettendole insieme si ha P V = 2 3 U, oppure U = 3 P V. Stima il volume della stanza e la pressione dell aria. 2

5 Nella tabella che segue puoi trovare tutte le formule dirette e qualche formula inversa delle relazioni introdotte sinora: Formula diretta K = 1 2 mv2 = 3 2 k BT dove K è l energia cinetica media di una particella e k B = J/K è la costante di Boltzmann Formule inverse Se conosco l energia cinetica media K allora la temperatura si ricava: T = 2 K 3 k B Se conosco la massa della particella m, la temperatura T e allora la velocità media della particella sarà: v = 3k B T m U = 3Nk 2 BT T = 2 U 3 Nk B N = 2 3 dove U è l energia interna di un gas perfetto di N particelle alla temepratura T. U = 3Nk 2 B T Se conosco la variazione di energia U e il numero di particelle N, allora la variazione di La variazione di temperatura T porta ad una temperatura T è: variazione di energia intera U. T = 2 U 3 Nk B U T k B Esempio: L energia interna U di un gas perfetto aumenta di 50 J. Il numero di atomi che costituiscono il gas è pari a e la massa di ogni atomo è pari a m = kg. Quant è la variazione T di temperatura del gas? È positiva o negativa? Se la temperatura iniziale del gas è T i = 200 K, quant è la velocità media v finale di un atomo del gas? Risoluzione: U = 50 J e poiché la variazione è positiva anche T sarà positivo. Utilizzando la tabella mostrata sopra, sappiamo che: T = 2 U = 2 3 Nk B K La temperatura finale del gas sarà allora T f = T + T i = K e quindi: 3kB T f v = m = m/s

6 La termodinamica e le sue leggi La termodinamica studia le leggi con cui i sistemi scambiano energia (sotto forma di calore e/o lavoro) con l ambiente esterno. Un sistema termodinamico è un insieme di corpi che possiamo immaginare avvolti da una superficie chiusa, ma permeabile all energia. Esempi di sistemi termodinamici: Anche noi esseri umani siamo sistemi termodinamici: scambiamo calore, cibo, lavoro con l ambiente esterno.

7 Gli scambi di calore e lavoro con l ambiente esterno modificano lo stato termodinamico del sistema. Nel caso di un sistema costituito da un volume di gas perfetto, lo stato è definito dal valore di P, V e T. Va notato che, nel caso del gas perfetto, un volta che conosciamo la pressione P e il volume V sappiamo automaticamente anche la temperatura T : dalla legge del gas perfetto P V = nrt si ha T = P V e quindi lo stato del gas è completamente definito. nr Principio zero della termodinamca: Se il corpo A è in equilibrio termico con un corpo C e anche un altro corpo B è in equilibrio termico con C, allora A e B sono in equilibrio termico fra loro. Il principio zero garantisce che con l uso di un terzo oggetto (termometro) si possono confrontare in maniera consistente (cioè senza contraddizioni) le temperature di due oggetti che non possono essere messi a contatto fra di loro.

8 Lavoro di un sistema termodinamico (espansione di un gas perfetto) I sistemi termodinamici possono trasformare il calore assorbito in lavoro verso l ambiente (assorbono calore e fanno lavoro). Il lavoro prodotto da un gas che subisce una trasformazione corrisponde all area sotto la curva che nel diagramma pressione-volume descrive la trasformazione. Questa proprietà delle aree vi ricorda qualcosa? Magari lo spostamento di un corpo nel piano velocità-tempo?

9 Primo principio della termodinamica (bilancio dell energia) Il primo principio della termodinamica rappresenta una formulazione del principio di conservazione dell energia e afferma che l energia di un sistema termodinamico isolato non si crea né si distrugge, ma si trasforma, passando da una forma a un altra. Sia dato un sistema con energia interna U che a seguito di trasformazioni scambia calore Q e lavoro W con l ambiente, allora la variazione dell energia interna del sistema a seguito di queste trasformazioni deve seguire la seguente legge: U = Q W Per comprendere fino in fondo il senso di questa legge bisogna ricordare che gli scambi di calore e di lavoro con l ambiente hanno un segno: Esempio: Un gas assorbe dall ambiente una quantità di calore pari a Q = J e contemporaneamente si espande facendo un lavoro verso l esterno pari a W = J. Quant è la variazione di energia interna U del gas? Risoluzione: J di energia entrano nel gas e quindi, secondo la convenzione nella tabella sopra, hanno segno positivo. Contemporaneamente J di energia escono dal gas sotto forma di lavoro fatto dal gas verso l ambiente. Sempre secondo la convezione, il lavoro viene compiuto dal sistema e quindi è positivo. Andiamo ora a fare il bilancio entrate/uscite: U = Q W = ( J) ( J) = J Nel gas, quindi, rimangono immagazzinati J di energia sotto forma di energia interna e quindi sotto forma di energia cinetica delle molecole (in sostanza la temperatura del gas è aumentata).

10 Nella tabella che segue puoi trovare tutte la formula diretta del primo principio della termodinamica e le due formule inverse: Formula diretta U = Q W Q > 0 se assorbito dal sistema, Q < 0 se ceduto dal sistema W > 0 se fatto dal sistema, W < 0 se ricevuto dal sistema Formule inverse Se conosco U e Q allora: W = Q U Se conosco U e W allora Q = U + W Esercizio 1: Un sistema termodinamico riceve da una caldaia una quantità di calore pari a 1,43 MJ. In seguito a ciò, il sistema subisce una trasformazione, nel corso della quale compie un lavoro pari a 870 kj. Di quanto varia l energia interna del sistema? Esercizio 2: L espansione isobara di un gas viene impiegata per realizzare l apertura automatica di una porta. Nel corso del processo, al gas viene fornita una quantità di calore pari a 2500 J, mentre la sua energia interna aumenta di 1500 J. Qual è il lavoro compiuto dal sistema? Esercizio 3: Un sistema termodinamico compie un lavoro pari a 640 kj. Contemporaneamente la sua energia interna varia di 250 kj. Qual è il valore del calore assorbito dal sistema?

11 Casi particolari: trasformazione isocora Nella trasformazione isocora il volume del gas è costante. Il gas non si può espandere o contrarre e quindi non può fare o subire lavoro: W = 0. Dal primo principio della termodinamica: U = Q Casi particolari: trasformazione adiabatica Nelle trasformazioni adiabatiche il sistema non può scambiare calore con l ambiente (è termicamente isolato): Q = 0. Dal primo principio della termodinamica: U = W

12 Casi particolari: trasformazione ciclica In una trasformazione ciclica il gas parte da uno stato iniziale e dopo una serie di cambiamenti (di pressione, volume e temperatura) vi fa ritorno. In questo caso la variazione dell energia interna del gas è uguale a zero: U = 0. Abbiamo visto che l energia interna è una funzione di stato termodinamico in cui si trova il gas (essenzialmente dipende dalla temperatura). Se il gas ritorna allo stato iniziale, l energia interna torna ad essere quella iniziale e la variazione è zero. Dal primo principio della termodinamica si ha che: U = 0 = Q W Q = W

13 Le macchine termiche e il secondo principio della termodinamica Una macchina termica può essere anche costitutita da un gas in un cilindro con pistone che compie movimenti ciclici e che trasforma calore assorbito in lavoro verso l ambiente. Le macchine a vapore sono esattamente questo. Ma se una macchina termica traforma il calore assobrito in lavoro (vedi trasformazioni cicliche sopra), allora è possibile trasformare tutto il calore contenuto nell acqua del mare in lavoro per far muovere macchine, treni, etc? Putroppo no. Ce lo impedisce il secondo principio della termodinamica: Vi ricordate dell esercizio in cui abbiamo calcolato l energia interna dell aria contenuta nell aula? Se avessimo potuto trasformarla in energia elettrica avremmo risolto il problema dell energia del pianeta. Ma purtroppo la seconda legge della termodinamica ce lo impedisce (l aria dell aula sarebbe un unica sorgente).

14 Il rendimento (reale e ideale) delle macchine termiche Ogni macchina termica per poter funzionare ha bisogno di due sorgenti di calore a temperatura diversa. La macchia assorbe un calore Q 2 dalla sorgente a temperatura T 2 (> T 1 ) e cede una parte del calore assorbito Q 1 (< Q 2 ) alla sorgente alla temperature T 1. Il lavoro che la macchina produce è pari alla differenza dei due calori W = Q 2 Q 1. Il rendimento è il rapporto tra il lavoro prodotto e il calore assorbito dalla sorgente a temperatura più alta (Q 2 ). Il rendimento è sempre < 1 (conseguenza della seconda legge della termodinamica). Si dimostra che il massimo rendimento di una macchina termica che lavora tra due sorgenti di temperatura T 2 > T 1 non dipende da come è fatta la macchina ma solo dalle temperature delle due sorgenti.