APPUNTI PER IL CORSO DI CALCOLO NUMERICO

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1 APPUTI PER IL CORSO DI CALCOLO UERICO PAOLA BRIAZI & ALBERTO SORRETIO DIPARTIETO DI ATEATICA, UIVERSITÀ DI GEOVA 1. etod teratv per la soluzone d sstem lnear Jacob e Gauss-Sedel Oltre a metod drett, come l metodo d Gauss, s possono usare metod teratv, n alcun cas pù convenent (esempo, matrc sparse). Sa: (1) Ax = b l sstema lneare n n da rsolvere. S esprme la matrce A come dfferenza d due matrc: A = con nvertble. Il sstema dventa: x x = b x = 1 x + 1 b ponendo B = 1 e q = 1 b s ottene. Questa relazone suggersce l terazone: con un vettore nzale x (0). Infatt se tale successone converge, coè se x = Bx + q x (k) = Bx (k 1) + q lm k x(k) = x (componente per componente), allora x = Bx + q e percò converge al vettore soluzone del sstema d partenza Ax = b. La matrce B s chama matrce d terazone. Un metodo teratvo è convergente se, qualunque sa l vettore nzale x (0), 1

2 2 la successone x (k) è convergente. Teorema. (Condzone suffcente per la convergenza). Se esste una norma matrcale ndotta per cu B < 1, l metodo teratvo x (k+1) = Bx (k) + q è convergente. Proof. (2) (3) sottraendo membro a membro s ottene e (k) = Be (k 1) x = Bx + q x (k) = Bx (k 1) + q dove e (k) = x x (k) è l errore allora Passando alle norme ma per potes B < 1 e per la contnutà della norma e (k) = Be (k 1) = B 2 e (k 2) = = B k e (0) e (k) = B k e (0) B k e (0) B k e (0) lm k e(k) = 0 lm k e(k) = 0 lm x (k) = x k Teorema. (Condzone necessara e suffcente per la convergenza). Il metodo teratvo x (k) = Bx (k 1) + q è convergente se e solo se ρ(b) < 1. Vedamo ora n partcolare due scelte delle matrc ed ed relatv metod ndott. Partzonamo la matrce A n questo modo: A = coè A = D F E con a 11 D = a 22 a nn d 11 f f 1n e 21 d f 2n e n1... e nn 1 d nn, E = = a a n1 a n E D, F = F 0 a a 1n a 2n

3 3 I scelta: metodo d Jacob det 0 se e solo se a 0,, ovvero, componente per componente: x (k) II scelta: metodo d Gauss-Sedel det 0 se e solo se a 0,, = D, = E + F B J = D 1 (E + F ) x (k) = B J x (k 1) + D 1 b = b() n j,j=1 a jx (k 1) j a = D E, = F B GS = (D E) 1 F x (k) = B GS x (k 1) + (D E) 1 b = 1,... n. Per scrverla nella formulazone componente per componemte s fanno alcun passagg e s rscrve l metodo teratvo: (D E)x (k) = F x (k 1) + b Dx (k) = Ex (k) + F x (k 1) + b (4) x (k) = D 1 Ex (k) + D 1 F x (k 1) + D 1 b essendo la matrce D 1 E trangolere nferore senza dagonale e la matrced 1 F trangolere superore senza dagonale s ottene: (5) x (k) = b() ( 1) j=1 a jx (k 1) j n j=+1 a jx (k 1) j a = 1,... n el metodo d Jacob o degl spostament smultane, s rcava la esma componemte dalla esma equazone. el metodo d Gauus-Sedel o degl spostament successv, s rcava ancora la esma componemte dalla esma equazone, utlzzando però anche le component gà calcolate nelle stessa terazone. Defnzone. Una matrce A s dce a predomnanza dagonale n senso stretto se n a > a j j,j=1 Teorema. Se A è a predomnanza dagonale stretta, l metodo d Jacob è convergente.

4 4 Proof. B j = D 1 (E + F ) = 0 a 12 a 11 a a 1n a 11 a 21 a 22 0 a 23 a n a a n1 a nn a n2 a nn a n3 a nn... 0 Dall potes n j,j=1 a j < a = n j,j=1 a j a < 1 e percò: n n B j = max =1,...,n j= b j = max =1,...,n j,j=1 a j a < 1 S può dmostrare anche che: se A è predomnanza dagonale n senso stretto, l metodo d Gauss Sedel è convergente; se A è smmetrca e defnta postva, l metodo d Gauss Sedel è convergente. La convergenza del metodo d Gauss Sedel non mplca quella d Jacob, e vceversa. S può osservare che: costo computazonale: n un metodo teratvo, ad ogn terazone l costo computazonale è prncpalmente determnato dall operazone d moltplcazone della matrce B per un vettore, che rchede n 2 operazon moltplcatve se la matrce non ha specfche propretà. Se nvece la matrce è sparsa, coè ha un numero p << n d element non null, la moltplcazone d B per un vettore rchede un numero d operazon moltplcatve dell ordne d p. Percò l confronto con metod drett è vantaggoso tutte le volte che l numero d terazon k è mnore d n 3 3(p 1) stabltà e propagazone degl error: un metodo teratvo n generale è meno sensble alla propagazone degl error rspetto ad un metodo dretto, poché l vettore x (k) può essere consderato come l vettore generato da una sola terazone a partre dal vettore nzale x (k 1), e rsulta qund affetto dagl error d arrotondamento generat dalla sola ultma terazone. Teorema. Sa una norma matrcale ndotta, e sa A tale che A < 1. Allora la matrce I A è non sngolare, e vale la dseguaglanza (I A) A Proof. Essendo A < 1, rsulta ρ(a) < 1; qund le matrc I + A ed I A non possono avere autovalor null, e sono non sngolar. Dalla relazone segue (I A)(I A) 1 = I (I A) 1 A(I A) 1 = I

5 5 (I A) 1 = I + A(I A) 1 (I A) (I A) 1 A (I A) 1 (1 A ) 1 = (I A) A Crter d stop Come per tutt metod teratv, è necessaro fssare un crtero per arrestare l procedmento. I metod pù usat, data una tolleranza ɛ a sull errore assoluto e ɛ r su quello relatvo, sono: x (k) x (k 1) < ɛ a oppure x (k) x (k 1) < ɛ x (k) r (x (k) 0) dove con s ntende una qualunque norma vettorale. Vedamo l legame tra questo scarto tra due successve terazon e l errore effettvo. ovvero x (k) x (k 1) = (x x (k 1) ) (x x (k) ) = e (k 1) e (k) = e (k 1) Be (k 1) = (I B)e (k 1) e, passando alle norme: e (k 1) = (I B) 1 (x (k) x (k 1) ) e (k 1) (I B) 1 x (k) x (k 1) x(k) x (k 1) 1 B etod d rlassamento (SOR)

6 6 Rprendendo l metodo d Gauss Sedel e sottraendo x (k 1) ottene: da entramb membr della (5) s. dove r (k) r (k) = x (k) x (k 1) = b 1 j=1 a jx (k) j n j= a jx (k 1) a per ottenere x (k) : rappresenta la correzone da apportare a x (k 1) x (k) S può ntrodurre un parametro ω: = x (k 1) x (k) + r (k) r = 1, 2,... = x (k 1) + ωr (k) da sceglere n modo da accelerare al massmo la convergenza della successone degl {x (k) }. Da (4) x (k) = D 1 [Ex (k) + F x (k 1) + b] ovvero e, moltplcando tutto a snstra per D: e s ottene r (k) = D 1 [Ex (k) + (F D)x (k 1) + b] x (k) = x (k 1) + ωd 1 [Ex (k) + (F D)x (k 1) + b] (D ωe)x (k) = [(1 ω)d + ωf ]x (k 1) + ωb B SOR = (D ωe) 1 [(1 ω)d + ωf ]. Dal teorema d convergenza s può affermare che l metodo rsulterà convergente se e solo se: ρ(b SOR ) < 1 con veloctà tanto maggore quanto pù pccolo rsulterà questo raggo spettrale. Teorema(d Kahan). ρ(b SOR ) (ω 1) Proof. La matrce D ωe é trangolare nferore e, poché la matrce E ha dagonale nulla, ne segue che: det(d ωe) = det(d) e analogamente qund det[(1 ω)d + ωf ] = det[(1 ω)d] = (1 ω) n det(d) det(b SOR ) = (1 ω) n.

7 7 Poché l determnante d una matrce è l prodotto de suo autovalor ne segue che ρ(b SOR ) n detb SOR = 1 ω Il metodo è detto d sottorlassamento se 0 < ω < 1, d sovrarlassamento se 1 < ω < 2. Teorema(d Ostrowsk Rech). Se A è smmetrca e defnta postva, la condzone 0 < ω < 2 è anche suffcente per la convergenza. etod del gradente e del gradente conugato etodo del gradente. La soluzone del sstema Ax = b, con A smmetrca e defnta postva, è equvalente alla mnmzzazone del funzonale quadratco φ(x) = 1 2 xt Ax b T x nfatt tale funzonale ammette un unco mnmo per φ(x) = Ax b = 0. Usamo qund tecnche d mnmzzazone che seguono localmente la drezone d massma pendenza, ovvero per ogn x k quella data da r k = b Ax k = φ(x k ) e qund prendamo come approssmazone successva x k+1 = x k + α k r k con α k = arg mn φ(x k + αr k ) α coè α k è la soluzone d problema d mnmzzazone mono dmensonale nella drezone r k. Rsolvendo: α φ(x k + αr k ) = (x k + αr k ) T Ar k b T r k = 0 s ottene α k = rt k r k rk T Ar 0 k tale metodo non è pù stazonaro perché l passo dpende dall terata. S può osservare che con questa scelta (r k+1, r k ) = 0

8 8 Fgure 1. etodo del gradente. la convergenza del metodo è asscurata, ma può essere molto lenta; n partcolare, la veloctà rsulta tanto pù lenta quanto pù è grande l condzonamento spettrale K 2 (A) = λ 1(A) λ n (A). etodo del gradente conugato. È possble ottenere una mglore stratega per la mnmzzazone del funzonale con una dversa scelte delle drezon p k d dscesa; anche qu s prende, ad ogn terata, l parametro α che mnmzza φ(x k + αp k ), coè: α k = pt k r k p T k Ap k = p T k r k+1 = 0 Le drezon p k s scelgono conugate rspetto ad A, coè tal che In partcolare (6) p k = p T j Ap k = 0 j k. { r 0 k = 0 r k + β k p k 1 k 1 con β k tale che p T k Ap k 1 = 0, da cu β k = rt k Ap k 1 p T k 1 Ap. La drezone p k così scelta è d decrescta k 1 per l funzonale φ(x) n x k : Scrvamo l metodo: p T k φ(x k ) = p T k r k = r T k r k + β k p T k 1r k = r T k r k > 0 r 0 = b Ax 0 p 0 = r 0

9 po, per k >= 1, ad ogn terazone s calcolano le seguent quanttà: ( rk+1 β k = T r k+1 = rt k Ap ) k 1 rk 1 T r k 1 p T k 1 Ap k 1 p k = r k + β k p k 1 ( rk α k = T r k = pt k r ) k p T k Ap k p T k Ap k r k+1 = r k α k Ap k (= b Ax k+1 ) x k+1 = x k + α k p k dove s sono usate le espresson d α k, β k ed r k dal mnor costo computazonale, rspetto alle rspettve espresson ndcate n parentes. 9 Teorema. Sano r 0 0 e h 1 t.c. r k 0 k h. Allora: (7) { rk T r j = 0 p T k Ap j = 0 k j, k, j = 0,... h coè prm h resdu costtuscono un nseme d vettor ortogonal ed vettor p k costtuscono un nseme d vettor A-conugat. Immedata conseguenza del precedente teorema è che l metodo termna n al pù n pass coè che esste un m n t.c. r m = 0 (non c possono essere pù d n vettor r k 0 ed ortogonal). Inoltre al k-esmo passo s ha l mnmo n un sottonseme d dmensone k. Come per tutt metod teratv s deve dare un test d stop e, data una certa tolleranza toll s può usare l seguente: r k toll rcordando però che col calcolo teratvo del resduo, a causa degl error propagat, s possono perdere le propretà d ortogonaltà ed è consglable percò ntrodurre un reset con la formula r k+1 = b Ax k+1 dopo un certo numero d terazon. Costo computazonale: l costo è d O(n 2 ) per ogn terazone (costo del prodotto matrce-vettore) e, nel caso s faccano n terazon, la complesstà del metodo rsulta decsamente maggore d quella

10 10 del rspettvo metodo dretto d Cholesky, ma se la matrce è sparsa la complesstà dmnusce ed noltre l test d stop può essere soddsfatto anche per un numero d terazon k < n. 2. Equazon non lnear Il problema è quello d determnare le soluzon d un equazone f(x) = 0 per la quale, n generale, non sono dsponbl formule esplcte d rsoluzone. Cercheremo qund d trovare tecnche d approssmazone con un prestablto grado d precsone. etodo d bsezone È l metodo pù elementare e rchede solo l potes che la funzone f(x) sa contnua, e che s conosca un ntervallo [a, b] tale che f(a)f(b) < 0. In tal caso sappamo che esste almeno una soluzone α n [a, b]. S procede teratvamente dmezzando ad ogn passo l ntervallo che contene la soluzone, e consderando solo la parte che nteressa: come tutt process teratv, l metodo necessta dell nput nzale [a, b], del processo vero e propro e d un crtero d arresto che potrà essere soddsfatto o nel caso s sa trovata esattamente la radce α o quando l ampezza dell ntervallo d ncertezza è mnore d una costante prefssata ɛ. Input: ɛ, a, b t.c. a < b. 1) c = a + b 2 < 0 a = a, b = c 2) f(a)f(c) = 0 α = c STOP > 0 a = c, b = b { O torna a 1) 3) b a < ɛ SI α = c STOP S può notare che dopo n pass l ampezza dell ntervallo d certezza è b a /2 n, e percò l crtero d arresto è verfcato quando b a 2 n < ɛ = n > log b a 2 ɛ Il metodo è molto semplce e generale, ma puttosto lento perché rchede un numero elevato d pass per raggungere la precsone rchesta (pù d tre terazon per aggugere una cfra decmale esatta rdurre d un decmo l errore). etodo d terazone funzonale

11 S scrve l equazone f(x) = 0 nella forma x = g(x) con g contnua, per cu le soluzon cercate sono punt fss della funzone g. S procede con un metodo teratvo del tpo x k+1 = g(x k ). È charo che, se le terazon convergono, convergono ad un α tale che α = g(α). α = lm k x k ; allora per la contnutà della g(x) s ha: α = lm k x k+1 = lm k g(x k ) = g( lm k x k ) = g(α) 11 Infatt, sa Teorema. Sa α = g(α) e sa g C 1 (I) con I = [α ρ, α + ρ] e ρ > 0 e tale che g (x) < 1 n I. Allora se x 0 I, s ha che lm k x k = α. Proof. Sa λ = max x I g (x) ; è ovvo che λ < 1. S dmostra per nduzone che x k α λ k ρ. Per k = 0, è vera per potes. Per k > 0, sa x k 1 α λ k 1 ρ < ρ Per Lagrange: x k α = g(x k 1 ) g(α) = g (ξ k 1 )(x k 1 α) con ξ k 1 α < x k 1 α S ha qund g (ξ k 1 ) λ < 1. Passando a modul e qund x k α = g (ξ k 1 ) x k 1 α λλ k 1 ρ = λ k ρ lm x k α = 0 k Teorema.ella potes del teorema precedente, α è l unca soluzone d x = g(x) nell ntervallo I = [α ρ, α + ρ]. Proof. Per assurdo s supponga che c sano 2 soluzon α e β con α β n I, allora: n quanto g (ξ) < 1 essendo ξ n I. α β = g(α) g(β) = g (ξ) α β α β = α β Interpretazone geometrca S vuole trovare l punto d ntersezone delle due funzon x e g(x) che rsolvono l sstema: { y = x (8) y = g(x) partendo da un punto x 0 e procedendo cercando y = g(x 0 ) e qund ponendo x 1 = y; coè passando dalla curva alla retta po d nuovo alla curva e cosí va. S può verfcare che :

12 12 se 0 g (x) < 1 la successone x k è monotona crescente se x 0 < α e monotona decrescente se x 0 > α se 1 < g (x) 0 la successone x k ha element alternatvamente maggor e mnor d α e s parla d successone alternata. In questo caso la dfferenza tra due terate successve dà un ntervallo d certezza n cu s trova la soluzone. Crter d stop Come per tutt metod teratv s rchede un crtero per decdere quando arrestare l procedmento, n dpendenza da una certa tolleranza ɛ legata alla precsone con la quale s vuole approssmare la soluzone α. I metod pù usat, data una tolleranza ɛ a sull errore assoluto, ɛ r su quello relatvo e ɛ f sul valore della funzone, saranno: x k x (k 1) < ɛ a oppure x k x k 1 mn( x k, x k 1 ) < ɛ r se x k, x k 1 0 oppure ancora f(x k ) < ɛ f Come nel caso de metod teratv per sstem lnear, s cerca l legame tra queste condzon e l effettvo errore sulla soluzone. S supponga g(x) C 1 [a, b]: e percò (x k α) = g (ξ)(x k 1 α) con ξ α < x k 1 α x k x k 1 = (x k α) (x k 1 α) = (g (ξ 1)(x k 1 α) x k 1 α = x k x k 1 < g (ξ 1) se s utlzza l crtero d stop sull errore assoluto e x k 1 α α ɛ a g (ξ 1) = x k x k 1 α g (ξ 1) < ɛ r mn( x k, x k 1 ) α g (ξ 1) se s utlzza l crtero sull errore relatvo. S deduce percò che entramb crter possono essere verfcat anche lontano dalla soluzone quando g (ξ) 1, e questo s verfca n partcolare quando g (α) = 1. Per l terzo crtero s può osservare che: percò f(x k ) f(α) = f(x k ) = f (η)(x k α) con η α < x k α x k α = f(x k) f (η) < ɛ f f (η)

13 L errore assoluto può essere tanto pù grande quanto pù è pccolo f (η). In partcolare questo può avvenre se f (α) = 0 e coè α è una radce con molteplctà > etod d approssmazone lneare Per ottenere metod d terazone funzonale s può pensare d approssmare localmente la f(x) con una retta passante per (x k, f(x k )), e d prendere come nuovo punto x k+1 l ascssa dell ntersezone d tale retta con l asse x. Vedamo d scrvere questo metodo chamando l coeffcente angolare della retta h(x k ): { y = f(x k ) + h(x k )(x x k ) y = 0 da cu x k+1 = x k f(x k) h(x k ) = g(x k) etodo delle corde. S ottene prendendo h(x k ) = m per qualunque k e m 0. Per la convergenza s rchede che 1 f (x) m < 1 che dà le condzon sulla scelta d m: x k+1 = x k f(x k) m n un ntorno I = [α ρ, α + ρ] d α mf (x) > 0 m > 1 2 max f (x) I etodo delle tangent o d ewton. Ad ogn terazone approssmamo la curva con la sua retta tangente nel punto (x k, f(x k ), ossa y = f(x k ) + f (x k )(x x k ), per cu x k+1 = x k f(x k) f (x k ) = g(x k) f (x k ) 0 Per la convergenza calcolamo la dervata prma g (x) = 1 (f (x)) 2 f(x)f (x) = f(x)f (x) (f (x)) 2 (f (x)) 2 e notamo che g (α) = 0, e qund esste sempre un ρ che verfca l teorema d convergenza, e percò sceglendo opportunamente l valore nzale x 0 l metodo è convergente. Il rsultato vale nell potes che f C 2 ([a, b]). Esempo: calcolo d q. f(x) = x 2 q = 0

14 14 per q = 2, x k+1 = x k x2 k q 2x k x k+1 = x k x k e partendo da x 0 = 1 s ottene la successone: (9) x 0 = 1 x 1 = 1.5 x 2 = = x k 2 + q 2x k x 3 = x 4 = x 5 = che concde con l valore d 2 con questo numero d cfre. Il metodo rsulta qund estremamente veloce. etodo delle secant. Pochè l metodo delle tangent rchede ad ogn passo l calcolo d f(x k ) e d f (x k ), può essere troppo oneroso, soprattutto quando l calcolo d f (x) è molto pù costoso d quello d f(x). Inoltre, può non essere propro possble calcolare f (x k ) (caso d f(x) non data n forma analtca). È n tal cas utle rcorrere al metodo delle secant, che rchede ad ogn terazone solo l calcolo d f(x k ) come nel metodo delle corde, e procede n questo modo: x k+1 = x k f(x k)(x k c) f(x k ) f(c) con c [a, b] Equvale ad aver consderato una retta con coeffcente angolare h(x k ) = f(x k) f(c), coè la (x k c) secante alla curva f(x) ne punt (c, f(c)) e (x k, f(x k )), e ad aver consderato la sua ntersezone con l asse x. da cu g(x) = cf(x) xf(c) f(x) f(c) g (x) = f (x)(x c) f(x) + f(c) f(c) (f(x) f(c)) 2 g (α) = 1 + f (α) (α c) f(c) < 1 = 2 < f (α) (α c) < 0 f(c)

15 dunque se c è scelto n modo che f(c) c α abba lo stesso segno d f (α), la seconda dseguaglanza è verfcata e basta porre f(c) c α > 1 2 f (α) e percò con una opportuna scelta d x 0 s ha la convergenza. Una varante del metodo delle secant è l seguente metodo: x k+1 = x k f(x k)(x k x k 1 ) f(x k ) f(x k 1 ) ottenuto consderando la secante per gl ultm due punt (x k, f(x k )) e (x k 1, f(x k 1 ) della successone, oppure come l metodo d ewton con la sosttuzone d f (x k ) con l rapporto ncrementale tra x k e x k 1. Questo metodo non rentra però ne metod d terazone funzonale, perchè non può essere scrtto come x k+1 = g(x k ), n quanto non dpende solo dal punto precedente x k, ma anche da x k 1. Ordne d convergenza. S è vsto che l metodo d ewton, se converge, è molto veloce. Per valutare la veloctà d convergenza d un metodo, ntroducamo la defnzone d ordne d convergenza. Defnzone. Sa x k una successone convergente ad α e tale che x k α k. S consder, se esste, l lmte x k+1 α lm k x k α = γ γ 1 1 S dce che la convergenza è lneare se 0 < γ < 1, sublneare se γ = 1, superlneare se γ = 0. Inoltre, se esste una costante p > 1 tale che x k+1 α lm k x k α = γ > 0 γ R p s dce che la successone ha ordne d convergenza p, e la costante γ s chama fattore d convergenza. Teorema. Sa la successone x k convergente ad α, ottenuta da x k+1 = g(x k ), con g C 1 [α ρ, α+ρ], ρ > 0. Se la convergenza della successone x k è lneare (sublneare, superlneare) allora s ha 0 < g (α) < 1 ( g (α) = 1, g (α) = 0). 15 Proof. coè x k+1 α = g(x k ) g(α) = g (ξ k ) x k α ξ k α < x k α e passando al lmte rsulta γ = g (α). x k+1 α x k α = g (ξ k )

16 16 VICEVERSA. Teorema. Sa α punto fsso d g(x): SE 0 < g (α) < 1 = ρ t.c. x 0 : 0 < x 0 α ρ la successone ha convergenza lneare. SE g (α) = 1 e ρ t.c. 0 < g (x) < 1 per 0 < x α < ρ = x 0 t.c. 0 < x 0 α ρ la successone ha convergenza sublneare. Proof. el prmo caso s ha convergenza perché esste tutto un ntorno d α n cu g (x) < 1, e la lneartà segue dal teorema precedente per cu γ = g (α). el secondo caso s ha ancora convergenza perché nel teorema d convergenza gl ξ k sono sempre dvers da α, e d nuovo γ = g (α). Teorema.Sa α [a, b] punto fsso d g(x), g(x) C p [α ρ, α ρ] con p 2 ntero, x 0 [α ρ, α ρ], se la successone x k è convergente d ordne p, allora g (α) = g (α) = = g (p 1) (α) = 0, g (p) (α) 0 Proof. Rcordamo che se la successone ha ordne d convergenza p allora: x k+1 α lm = 0 r < p k x k α r e dmostramo per nduzone su r che g r (α) = 0, per r = 1, 2,..., p 1. Per r = 1 da Taylor : x k+1 α x k α = g (α) g (ξ 1 )(x k α) ξ k α < x k α ed, essendo nullo l lmte al prmo membro e g (ξ 1 ) lmtato, s ottene che g (α) = 0. Per r > 1 e per l potes nduttva g (α) = g (α) = = g ( r 1)(α) = 0 con r < p s ha: x k+1 α = 1 1 x k α r r! gr (α) + (r + 1)! g(r+1) (ξ r )(x k α) ξ r α < x k α e con lo stesso ragonamento fatto per r = 1 s conclude che g r (α) = 0. Inoltre e, passando al lmte: x k+1 α x k α p = 1 p! gp (ξ) x k+1 α lm k x k α = 1 p p! gp (ξ) 0 e percó la successone ha ordne d convergenza p con γ = 1 p! gp (ξ).

17 VICEVERSA. Teorema.Sa α [a, b] punto fsso d g(x), g(x) C p [a, b] con p 2 ntero. Se g (α) = g (α) = = g (p 1) (α) = 0, g (p) (α) 0, esste un ρ tale che per ogn x 0 per cu 0 < x 0 α ρ, la successone x k rsulta convergente con ordne d convergenza p. Proof. Pochè g (α) = 0, esste ρ > 0 t.c. g (x) < 1 per x α ρ, e percò l metodo rsulta convergente. Inoltre per ogn successone x k rsulta: e x k+1 α lm = 1 k x k α r r! g(r) (α) = 0 per r < p γ = 1 p! g(p) (α) > 0 17 e qund la successone ha ordne d convergenza p. 3. etodo d ewton Raphson per sstem d equazon Generalzzamo al caso d sstem l metodo d ewton Raphson, e svluppamo per esempo la rsoluzone del sstema d due equazon che consste nel trovare l ntersezone delle 2 superfc f 1 (x 1, x 2 ) e f 2 (x 1, x 2 ) con l pano z = 0: { f 1 (x 1, x 2 ) = 0 (10) f 2 (x 1, x 2 ) = 0. S consdera n ogn punto x k l pano tangente alle 2 superfc: z = f 1(x) x 1 z = f 2(x) x 1 x=x k x=x k (x 1 x k 1) + f 1(x) x 1 (x 1 x k 1) + f 2(x) x 1 x=x k x=x k (x 2 x k 2) + f 1 (x k ) (x 2 x k 2) + f 2 (x k ) e s consderano le rette ntersezon con l pano z = 0. Il punto x k+1 è l ntersezone d queste due rette ottenuta rsolvendo l seguente sstema lneare: (11) f 1 (x) x 1 f 2 (x) x 1 x=x k x=x k θ 1 + f 1(x) x 1 θ 1 + f 2(x) x 1 x=x k x=x k θ 2 = f 1 (x k ) θ 2 = f 2 (x k ) dove θ 2 e θ 2 sono le component del vettore (x k+1 x k ) e percò l nuovo punto x k+1 s otterrà da x k sommando θ e per pass successv s procederà n modo analogo. S può osservare l analoga con l espressone del metodo delle tangent n una varable n quanto la (11) equvale alla soluzone del sstema J(x)θ = f

18 18 ovvero x k+1 = x k J 1 (x k )f. Ogn terazone del metodo d newton-rapson per sstem rchede la soluzone d un stema lneare con matrce de coeffcent la matrce jacobana J(x k ) e questo lo rende molto dspendoso n termn d costo computazonale; altro nconvenente è la necesstà d conoscere o poter valutare le n 2 dervate parzal present n J(x k ).Per quest motd sono stat svluppat altr metod o d approssmazone dello jacobano o tenendo fsso lo stesso jacobano per m terazon e rsovendo con la stessa decomposzone LU per le successve m terazon. 4. Fast Fourer Transform L algortmo della Fast Fourer Transform (FFT) serve per calcolare la trasformazone detta DFT (trasformata d Fourer Dscreta): y j = 1 1 f k ω jk j = 0,..., 1 con ω = e 2π. Percó l calcolo della DFT della -upla (f o, f 1,..., F 1 ) s rduce al calcolo del prodotto y = W x della matrce ω 1 ω ω ( 1) (12) W = ω ( 1) ω 2( 1) ω ( 1)2 per l vettore x = ( f 0, f 1,..., f 1 ) che comporta 2 operazon ( per elemento). Cooley Tuckey ( 65): stesso calcolo n log 2 operazon, se è potenza d 2. Successvamente l algortmo è stato generalzzato ad arbtraro. Sa potenza d 2. L algortmo d T.C. s basa su questa osservazone: sa tale che = 2 e ω, ω le radc esma ed esma prmare dell untà. S ha: ω 2 = ω perchè (e 2 ) 2 = e 2. Questa relazone vene usata per calcolare l prodotto y = W x della matrce W per l vettore x = (x 0, x 1,..., x 1 ) = (x 0, x 1,..., x 2 1 ). Esplctamente sano:

19 19 (13) y j = e 1 sottovettor d x d = /2 component, e x k ω jk j = 0,..., 1 x = (x 0, x 2,..., x 2 2 ) x = (x 1, x 3,..., x 2 1 ) y = W x y = W x con ω 1 ω 2 (14) W =... ω ( 1) ω ( 1) ω 2( 1)... ω ( 1)2 Teorema. Le component del vettore y = W x sono y j = y j + ω j y j j = 0,..., 1 y j+ = y j ω j y j j = 0,..., 1 Proof. Separando le potenze par dalle dspar nell espressone d y j e qund y j = 1 (15) y j = x k ω jk 1 1 = x 2k ω jk 1 x 2k ω j2k + + ω j 1 x 2k+1 ω k(2k+1) x 2k+1 ω jk Se j = 0,..., 1 la prma e seconda sommatora danno l termne d posto j del vettore W x e del vettore W x che abbamo chamato y j e y j. Così s è provata la prma delle due denttà. Per provare la seconda, sosttuamo j + a j n (15), e usamo che Allora j j+ = 1 ω = 1 ω = 1 = e π x 2k ω (j+)k 1 + ω (j+) x 2k+1 ω (j+)k

20 20 per j = 0,..., 1. = 1 x 2k ω jk ω j 1 = y j ω j y j x 2k+1 ω jk E-mal address: sorrentno@dma.unge.t branz@dma.unge.t