v di dimensione sul campo K che è isomorfo a

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1 3 I. Un Sillabario i Piani i Traslazion. il l J Dfinizion. Un piano finito i traslazion uno spazio vttorial v i imnsion sul campo K ch è isomorfo a r GF(q=p ). con p numro primo r numro intro. con una collzion S i sottospazi i imnsion ch hanno a u a u intrszion intica ch coprono V. K 5 chiama il nuclo. s si chiama la fibrazion gli lmnti i s si chiamano l componnti i,,(o i S). {.2) Dfinizion-coorinat. Sia S una fibrazion ( l. l ). Si sclgano tr qualunqu lmnti istinti i Allora si può scglir una bas v ( V) tal ch Wl è {(O.O,...O'YI Y2. Y ) y. in K, i,2...). W è 2 {(x l x 2 x,o.o..... OJ x. in K. i -.2,.... }, W 3 è {(Xl,... x,x, x ) x. ln K. i -,2,.... }. in K. i =,2...,. ov M è una matric i imnsion cl, nonsingolar}.

2 4 Usrmo la sguht notazion: x (xl ' x ), Y (Y I... Y ), (X = O) Wl ' (y = O) p r W2 ' (y = x) W 3 fibrazion S - {x _ (y = xm) O,y-O,y= xn., W 4 " Inoltr sia la l=l,2... q-l ~i sono matrici cl cl non-singolari}. Allora, i "F j, i,j =,2... q - non-singolar. N.-N. J ov Dimostrazion: Scg l iamo una bas una bas {f.f. f} 2 Wl' Estniamo qust u basi alla bas " ch è gual a {, 2,f.f... f}' 2 Quini. un vttor (x,x '... x 2 Y 'y2' Y) è in W t s soltanto s Xl = x x = O qusto vttor è in W 2 s soltanto s Y = Y2 = Y - O. Noi assriamo ch s Y I, Y ) è in W 3, è una funzion linar i (Xl... x ) Si ossrvi ch s X'Y I,, (X I,X 2 ",, x,zl,z2"" z) sono in '3', anch (0,0",.,0,zl-Y 2 "' z-y) in '3' D'altra part = O. quini Y i = zi i =,2..., f((x l... una qualch funzion f. Ancora. in moo simi.l. si prova ch f è una funzion liuar su K. Sia f((x I,X 2,.., x )) = (x I ".. x)m una opportuna matric M. Si cambi bas miant la matric

3 (M non-singolar). Allora. è (y=x). Pc r i più. Sla ln W 4 y ;::: xn una qual (" i,l' matric N. Nota: Siano (y = xn) (y = xr) ln S. Allor:l. N - R è non-singolar chè. s z(n-r) = ( (z.zr) _ (z,zn) cosicchè z _ O o N-R. Vic-vrsa: S troviamo una collzion i matrici ( ) sul campo K ch è isomorfo a GF(q) con: ( l ) IJI I - q (2) O, I in M, (3) S M,N in JI, M-N - O o non-singolar, possiamo costruir un plano i traslazion miant l. fibrazion S - {{(x l 'x 2,. x ' (x l ' x)t) I T ln JI, x. ~ r, l K, i - l. 2,.. ) U {(O,O,,..,O,y j,y 2, Y ) Y i in K, l - l, 2, } }. JI si chiama una fibrazion i matrici. IL Cr"uppo i ColLinaziotli '~". Con l a no taz i on cl i ( l. l ). il gruppo ll traslazioni ~ = «x,y) -->. (x,y) + (c,) (c,) V) è un gruppo i coli ioazioni i ". Nota: Poss iama riguarar " com un ;.:an.. affin con punti lla forma (x,y) l cui rtt sono.(' componnti i li" {~+(c,) (c,) V). è ransi tivo sui punti. Dunqu. qualunqu lmnto i l n rl(2,q) ~ (vi Anrè [l]). 'B n r (2. q J Si ic il complmnto i traslazion li) n Cl (L.l/) ~i ic il complmnto linar i traslazion.

4 t, {.4) L'orin Q~. Con la notazion i (l.!). l 'orin i " è q Possiamo stnr il piano affin a un piano proittivo. Usrmo ; notazion la rtta all'infinito. Allora, isomorfo a 'fj/:i ov è i l gruppo (x, y) [a a... al si chiama il gruppo ll ornologi l nuclo. i.5) Gruppi i Orin s p. ov r g=p..:... Sia H un gruppo i colinazioni i orin p s n! complmnto linar i traslazion. Allora, H fissa un,:;, componnt fissa un punto # O l sottospazio i Dimostrazion: Noi assumiamo ch H! GL(2,q). Allora. H un gruppu linar su uno spazio vttorial v quini fissar un qualch vttor, il qual è contnuto in una qualch componnt ch v ssr fissata. orin Ora, assumiamo ch H sia un gruppo i collinazioni i q! GL(2,q). Sia ~=(x=o) la componnt fissata a H supponia.mo ch H agisca transitivamnt su (usiamo inicar ~ n ~ro quano pnsiamo a com una rtta l piano proittivo). Nll nostr conizioni, H _ {[~ ~] A,B,C non-singolari o (A _ C _ I B _ O)}.

5 7 Allora, (y _ O)H _ {y _ xa-b} {(x _ O).(y _ O)H} è una ftbrazion. Vicvrsa: (. 6 ) Sia H un gruppo i" orin q ci costituto a matrici i orin cl cl su GF(q). ossia S Ai' Bi,C i, k t j fibrazion. -I -I A k Bk-A j B j sono non-singolari {(x = O).{(y = O)H = (y = xa. -I l B.)}} i ~ O. è una