Microeconomia a.a. 2017/2018

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1 Microeconoia aa 07/08 Corso di Laurea Magistrale in Econoia e Politica Econoica Nicola Caigotto nicolacaigotto<at>uniboit Esercitazioni e 6/ ottobre 07 Esercizio Continua da Sia la funzione di utilità di un consuatore ux x x x e siano e u risettivaente i rezzi dei due beni e l utilità inia del consuatore Considerando soluzioni interiori si iosti il roblea di iniizzazione della sesa e si calcolino le funzioni di doanda hicksiane er i due beni Si trovi la funzione di sesa Il roblea di iniizzazione della sesa del consuatore è: in x x x + x sv x x u e la funzione lagrangiana corrisondente è L x x λ x + x λ sistea delle condizioni del ri ordine è quindi: x x λ x x 0 λ x x 0 λ x x u 0 Dividendo la ria equazione er la seconda si ottiene: x x u Il x x x x x x x x x da cui si trova: x x x x x Sostituendo x x nel vincolo questo uò essere riscritto coe: x x u

2 ossia: x + x 6 u La funzione di doanda hicksiana relativa al bene è dunque: h u u 6 entre la doanda hicksiana relativa al bene è: h u h u u 6 u 6 La funzione di sesa infine è: u 6 u 6 e u h u + h u u 6 u 6 u 6 + u u 6 + Esercizio Continua da Sia la funzione utilità di un consuatore ux x x + x e siano e u risettivaente i rezzi dei due beni la ricchezza e l utilità inia del consuatore Si verifichi l Identità di Roy Considerando soluzioni interiori si calcolino le doande hicksiane er i due beni Si calcoli la funzione di sesa Si verifichi il Lea di Shehard Si deterini se i beni e sono sostituti o coleenti lordi 6 Si deterini se i beni e sono sostituti o coleenti netti Le funzioni arshalliane calcolate nell esercizio sono: x + x +

3 e ossono essere riscritte coe: e x + x La funzione di utilità indiretta si uò quindi riscrivere coe: v Per diostrare la validità dell Identità di Roy occorre calcolare le seguenti derivate: v v v È dunque ossibile verificare che: e v v v v x x

4 Le hicksiane er i due beni sono calcolate risolvendo roblea di iniizzazione della sesa: in x x x + x sv x + x u cui corrisondono la lagrangiana L x x λ x + x λ sistea delle condizioni del ri ordine: x x λx 0 λx 0 λ x + x 0 Dividendo la ria equazione er la seconda si ottiene: x + x u e il ovvero: x x x x x x x x x x x x Sostituendo x x nel vincolo si trova: x + che si uò riscrivere coe: x + x + x x + 8 x u u x u + x La funzione di doanda hicksiana relativa al bene è dunque: h u u 8 + entre la doanda hicksiana relativa al bene è: h u h u u + u + u + u 8 + u +

5 La funzione di sesa è quindi: e u h u + h u u u u u 8 + u u u 6 + La validità del Lea di Shehard è verificata andando a calcolare: 8 + u 8 + e e u 6 + 6u 6 + 6u + u 6u 6 + u u h u e u 6 + u 6 + 6u + u u 6 + u 6u 8 + È infine ossibile verificare che: x x }{{} }{{} 8 + <0 h u + > 0 }{{}}{{} <0 } {{ } + > 0 }{{}}{{} <0 <0 }{{} h u u 8 + u }{{} + > 0 }{{} h u u 8 + 8u }{{} + > 0 }{{} I due beni sono quindi sostituti lordi e sostituti netti

6 Esercizio Continua da 8 Si consideri la funzione v + con e ositivi che raresentano risettivaente i rezzi dei beni e e la ricchezza del consuatore Data la funzione v si trovino la funzione di sesa e le funzioni di doanda walrasiane e hicksiane Considerando un livello di ricchezza ari a e u si ha: v e u e u e u + ed essendo v e u u: e u e u u + e u La funzione di sesa è erciò: + u e u + u + u + u + Le funzioni di doanda arshalliane ossono essere calcolate utilizzando l Identità di Roy Dalla funzione di utilità indiretta v si trova che: v + + ; v ; v Le arshalliane sono quindi: v x v + x e u v ; x v e u + u + + Le funzioni di doanda hicksiane infine ossono essere calcolate ricorrendo al Lea di Shehard o utilizzando le funzioni walrasiane x e x e la funzione di sesa e Nel secondo caso sostituendo e u a si trovano: e x e u u + e u + u + + h u u + + h u 6

7 Esercizio La funzione di sesa di un consuatore è e u u Quali sono le funzioni di doanda hicksiane? Quali sono le funzioni di doanda arshalliane? + + Si verifichi l equazione di Slutsky er l effetto di una variazione del rezzo sulla doanda del bene Le funzioni di doanda hicksiane si calcolano sfruttando il Lea di Shehard: h e u u + ; h e u u + Le funzioni arshalliane ossono essere ottenute a artire dalla funzione di utilità indiretta Considerando un livello di utilità ari a u v si ha: e v v + + ed essendo e v : v + + da cui risolvendo er v si trova la funzione di utilità indiretta: v + + Sostituendo v a u si ottengono quindi: h v v x e h v v x 7

8 L equazione di Slutsky relativa all effetto di una variazione di sulla doanda del bene è x h u x w w x w Il rio terine dell equazione è: x ed è ari alla differenza tra il secondo e il terzo terine Il secondo è: h u u u che er u v si uò riscrivere coe: v ; + + il terzo terine infine è: x w x w + + w

9 Esercizio Continua da La funzione di utilità di un consuatore è u x x x + x Considerando solo soluzioni interiori si verifichi l Identità di Roy Considerando solo soluzioni interiori si calcolino le doande hicksiane Si verifichi l equazione di Slutsky er l effetto di una variazione del rezzo sulla doanda del bene Le funzioni arshalliane calcolate nell esercizio considerando unicaente soluzioni interiori sono: e la funzione di utilità indiretta è: x x v + La verifica dell Identità di Roy richiede il calcolo delle seguenti derivate: Si ha quindi: v v v v v v + v + + x ; x Le funzioni hicksiane ossono essere ottenute sfruttando la dualità tra assiizzazione dell utilità e iniizzazione della sesa o considerando il roblea di ottio vincolato: in x x x + x sv x + x u che considerando unicaente soluzioni interiori si risolve a artire dalla lagrangiana L x x λ x + x λ x + x u e dal sistea delle condizioni del ri ordine: λ 0 x λ x x λ x + x u 0 9 λx 0

10 Dividendo la ria equazione er la seconda si trova la funzione hicksiana relativa al bene : x h x che non diende da u e coincide dunque con la arshalliana Sostituendo nel vincolo si ottiene infine: x + x + u da cui si trova l hicksiana relativa al bene : h u u L equazione di Slutsky relativa all effetto di una variazione di sulla doanda del bene è x h u x w w x w dove: x ; h ; x w Si uò quindi verificare che: h u x w x w w + x Esercizio 6 } Continua da 7 Un consuatore con funzione di utilità u x x in {x x e reddito fronteggia i rezzi e Si ricavi la funzione di sesa artendo dalla funzione di utilità indiretta Si ricavi la funzione di doanda hicksiana er entrabi i beni artendo dalla doanda walrasiana Si verifichi l Identità di Roy Si verifichi il lea di Shehard Si calcoli la atrice di sostituzione di Slutsky Le funzioni arshalliane calcolate nell esercizio 7 sono: x + x + 0

11 e la funzione di utilità indiretta è: v + Considerando un livello di ricchezza ari a e u si ha: v e u + e u che oiché v e u u si uò riscrivere coe u da cui: u + + eu + e u u + + e u e u u + + u e u u + u La funzione di sesa è erciò: trova: e u u + u Si ha quindi: Considerando la funzione walrasiana x e sostituendo e u alla ricchezza si x e u + e u + u + u che si uò riscrivere coe: + u + u + u + u u La funzione di doanda hicksiana relativa al bene è dunque: h u u Per secondo bene analogaente si ottiene: x e u + e u e la doanda hicksiana relativa al bene è: h u u La validità del Lea di Shehard è verificata calcolando: e u h u ; e u h u Per verificare la validità dell Identità di Roy occorre invece calcolare: v + +

12 Si ha quindi: v v v v x v v x

13 La atrice di sostituzione di Slutsky infine è: h h h h x x x x + x w x x w x x w x x w x L effetto di sostituzione relativo al caso di referenze er beni erfetti coleenti è quindi nullo Esercizio 7 Si considerino due beni e la funzione di sesa e u Si ricavi la funzione di utilità indiretta del consuatore Si calcolino le funzioni di doanda walrasiana dei due beni Considerando un livello di utilità u v si ha: e oiché e v : e v ex v elevando abo i ebri al cubo si trova quindi: ex v ex v ex v 7 ex u e rendendo il logarito naturale si ottiene la funzione di utilità indiretta: v log 7 Le funzioni arshalliane ossono essere calcolate sfruttando l Identità di Roy Derivando la funzione di utilità indiretta v si trovano: v 7 7 v v Le arshalliane sono quindi: v x v ; v x v

14 Esercizio 8 Si consideri una funzione di utilità del tio u x x in {x x } e si verifichi l equazione di Slutsky er l effetto di una variazione del rezzo sulla doanda del bene Le funzioni di doanda arshalliane si trovano risolvendo il sistea: { x x Sostituendo x x nel vincolo si ottiene: e le arshalliane sono dunque: x + x x + x x + Sostituendo in u si trova quindi la funzione di utilità indiretta: da cui si trova la funzione di sesa: v u x x u + e u + e u u + Alicando il Lea di Shehard si trova che hicksiane sono erciò: h u h u u u Le funzioni di doanda L equazione di Slutsky relativa all effetto di una variazione di sulla doanda del bene è h u x + x w w x w dove: h 0 x + x w + x w x Esercizio 9 Sia la funzione di sesa di un consuatore e u u + Si ricavino le doande hicksiane dei due beni Si ricavino le doande walrasiane er i due beni + Si verifichi l equazione di Slutsky considerando soltanto l effetto della variazione di sulla quantità doandata del bene

15 Le funzioni di doanda hicksiane sono ottenut alicando il Lea di Shehard: e h u u + u + e h u u + u + entre la funzione di utilità indiretta è: u + u + v + v + Sostituendo v in h e h si ottengono le funzioni arshalliane: h v x h v x L equazione di Slutsky relativa all effetto di una variazione di sulla doanda del bene è h u x + x w w x w Il secondo terine dell equazione è: x entre il terzo terine è: e dunque: x w x x + x w x Il rio terine dell equazione infine è: + h u + + che osto u v diviene: h + + +