Corso di Fisica Generale 1

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1 Corso di Fisica Generale 1 a.a. 2018/2019 corso di laurea in Ingegneria dell'automazione, Informatica, Biomedica, Telecomunicazioni ed Elettronica canali CIS-FER e RON-Z 15 lezione ( 29 / 11 / 2018) Prof. Laura VALORE laura.valore@na.infn.it / laura.valore@unina.it Pagina web : Ricevimento : appuntamento per studio presso il Dipartimento di Fisica (Complesso Universitario di Monte Sant'Angelo, Edificio 6) stanza 1H09 Oppure Laboratorio (Hangar) 1H11c0

2 Esercizi sugli urti 9.36, 9.39

3 Momento torcente o momento di una forza vediamo ora come una forza F possa provocare una rotazione di un corpo rigido intorno ad un asse. Nella figura a sinistra, la forza F è applicata in un punto P la cui posizione rispetto ad O è definita dal vettore posizione r La forza F ha componenti SOLO NEL PIANO DEL FOGLIO. L'asse di rotazione è perpendicolare al foglio e passa per O Scomponiamo F in : una componente radiale Fr (diretta lungo r) una componente tangenziale Ft (perpendicolare ad r) Fr = Fcosφ non causa rotazione Ft = Fsenφ provoca la rotazione intorno all'asse

4 Momento torcente o momento di una forza L'efficienza della componente tangenziale Ft della forza F nel mettere in rotazione il corpo dipende sia dall'intensità di Ft che dalla distanza del punto di applicazione della forza dal punto O : il momento torcente o momento della forza τ è la grandezza che tiene conto contemporaneamente di entrambi i fattori : τ = r Ft = (r)(fsenφ) = (rsenφ)(f) = r (F) r è detto braccio della forza ed è la distanza tra l'asse di rotazione e la linea di azione della forza F L'unità di misura del momento torcente è il N m Anche se ha la stessa unità di misura del lavoro, sono due grandezze completamente diverse! Per questo il Joule, che si usa per il lavoro, NON si usa per il momento torcente.

5 Seconda legge di Newton per il moto rotatorio Come per le traslazioni, in cui la seconda legge di Newton mette il relazione la risultante delle forze agenti sul corpo con la massa e l'accelerazione del corpo, così per le rotazioni possiamo scrivere : in analogia ad Fnet = ma τnet = Iα DIMOSTRAZIONE : consideriamo la particella di massa m in figura, che puo' muoversi soltanto nel piano del foglio descrivendo una circonferenza con centro nel perno di rotazione. La componente tangenziale della forza Ft provoca la rotazione della particella Ft = mat Il momento della forza che agisce sulla particella è : τ = Ftr = matr at = αr (relazione tra accelerazione lineare e rotazionale) τ = matr = (mr2)α = Iα

6 Esercizio 10.38

7 Esercizio 10.8

8 Lavoro ed energia cinetica rotazionale TRASLAZIONE : il teorema dell'energia cinetica dice che ΔK = Kf Ki = L se la forza è costante, L = F d = Fdcosθ se la forza è variabile, L = xf xi F dx (caso unidimensionale lungo l'asse x) la potenza è la rapidità con cui si compie lavoro P = dl/dt = F v ROTAZIONE : Il momento di una forza agisce mettendo in rotazione il corpo, ovvero variando la sua velocità angolare varia la sua energia cinetica rotazionale, compiendo lavoro. Il teorema dell'energia cinetica ΔK = Kf Ki = ½ Iω2f - ½ Iω2i = L se il momento della forza è costante, il lavoro è L = τ(θf θi) se il momento della forza è variabile, L = la potenza è : P = dl/dt = τω θf θi τ dθ

9 Dimostrazioni anche se queste equazioni sono state ricavate per un corpo puntiforme, sono valide per qualunque corpo rigido esteso in rotazione attorno ad un asse fisso Teorema dell'energia cinetica : ΔK = ½ Iω2f - ½ Iω2i = L ΔK = Kf Ki = ½ mv2f - ½ mv2i = L con v = ωr ΔK = ½ m(ωr)2f - ½ m(ωr)2i = ½ (mr2)ω2f - ½ (mr2)ω2i = ½ Iω2f - ½ Iω2i = L mr2 = I Lavoro : L = θf θi τ dθ oppure L = τ(θf θi) se τ è costante La particella percorre una distanza ds lungo la circonferenza sotto l'azione della componente tangenziale della forza Ft, che è l'unica a compiere lavoro (Fr è perpendicolare alla traiettoria e non compie lavoro) dl = Ftds = (Ftr) dθ = τ dθ integrando : L = θi θf τ dθ Potenza : P = τω P = dl/dt = τ dθ/dt = τω se τ è costante, L = τ(θf θi)

10 Prodotto vettoriale il prodotto vettoriale di due vettori a e b si scrive : axb (a vettor b) restituisce un vettore c il cui modulo è : c = absenφ dove φ è l'angolo minore compreso tra i due vettori a e b è chiaro che se a e b sono paralleli, senφ=0 a x b=0 mentre il valore è massimo (a x b = ab) quando sono perpendicolari. La direzione di c è sempre perpendicolare al piano in cui sono contenuti i vettori a e b. Il verso è determinato attraverso la regola della mano destra. non vale la proprietà commutativa! b x a = - (a x b) (a x b) = (aybz azby) i + (azbx-axbz) j + (axby-aybx) k

11 Regola della mano destra un sistema di coordinate ortogonali è destrorso se un osservatore si trova in O con la testa lungo la direzione di w vede che per sovrapporre il vettore u al vettore v la rotazione deve avvenire in senso antiorario il sistema così fatto si dice che segue la regola della mano destra : se con la mano destra puntiamo con il pollice verso l'alto (asse w) e usiamo indice e medio per indicare rispettivamente u e v, vediamo che per sovrapporre u a v il dito indice deve ruotare in senso antiorario. Se usassimo la mano sinistra la rotazione avverrebbe in senso orario.

12 Momento torcente nella rotazione intorno ad un punto consideriamo la rotazione di una particella A intorno ad un PUNTO FISSO (O) anziché intorno ad un asse fisso non siamo piu' su un piano bidimensionale, ma nello spazio a tre dimensioni : nel punto O possono passare infinite rette e quindi infiniti possibili assi di rotazione! Per trovare la direzione dell asse di rotazione, per τ vanno definiti modulo, direzione e verso La direzione ed il verso del momento della forza è dato dal prodotto vettoriale di r ed F : τ =rxf modulo : τ = rfsenφ, dove φ è l'angolo che otteniamo traslando il vettore F in modo che sia coda contro coda con r, ovvero abbiano entrambi origine in O, prendendo l angolo minore tra i due. Anche τ ha origine in O. r ed F sono nel piano xy τ avrà la direzione dell'asse z (ovvero la sua direzione sarà sempre perpendicolare al piano in cui sono contenuti r ed F) τ avrà il verso definito dalla regola della mano destra (se per ruotare r su F ci muoviamo in senso antiorario, τ punterà verso l'alto verso positivo, viceversa punterà verso il basso verso negativo)

13 Modulo del momento torcente τ = r x F = rfsenφ = rf = r F possiamo calcolare il modulo (intensità) del momento della forza : moltiplicando la forza per il braccio della forza (r F) oppure moltiplicando r per la componente di F perpendicolare ad r (rf )

14 Momento angolare (momento della quantità di moto) il momento angolare, o momento della quantità di moto di una particella di massa m mentre transita per un punto a distanza r dall'origine O è : ℓ = r x p = m(r x v) Quando la particella si sposta, transitando da un punto A ad un punto B, nella direzione della sua quantità di moto, il vettore posizione r (che ha sempre origine in O) ruota intorno ad O. La relazione tra p ed ℓ è la stessa che c'è tra F e τ : momento di una forza ( o momento torcente) : τ = r x F momento della quantità di moto (o momento angolare) : ℓ = r x p il momento angolare ha significato solo se riferito ad un punto di origine (rispetto al quale definiamo r).

15 Momento angolare ℓ=rxp quindi modulo, direzione e verso sono date dalle regole del prodotto vettoriale, ovvero : modulo : rmvsenφ = rmv = r mv direzione : perpendicolare al piano formato dai vettori r e p verso : regola della mano destra unità di misura : kg m2/s Come per il momento di una forza, anche per il momento angolare va sempre specificato il punto rispetto al quale si calcola.

16 Problema 11.3

17 Seconda legge di Newton in forma angolare Fnet = ma Fnet = dp/dt (per un corpo puntiforme, moto traslatorio) τnet = dℓ/dt (per un corpo puntiforme, moto rotatorio) questa equazione ha senso solo se i vettori τ ed ℓ sono definiti rispetto ad uno stesso punto (punto di rotazione in comune)! DIMOSTRAZIONE : ℓ = m(r x v) derivando, dℓ/dt = m(r x dv/dt + dr/dt x v) dr/dt = v dv/dt = a =0 dℓ/dt = m(r x a + v x v) m(r x a) = r x ma Fnet = ma dℓ/dt = r x Fnet = τnet τnet = dℓ/dt

18 Verifica La figura mostra il vettore posizione r di una particella in un certo istante e 4 possibili direzioni per una forza destinata ad accelerarla. Tutte le direzioni giacciono sul piano xy. a) Mettete in ordine i casi secondo i valori decrescenti del modulo della derivata temporale dℓ/dt del suo momento angolare rispetto al punto O b) Quali sono le scelte che daranno luogo ad un risultato negativo?

19 Verifica La figura mostra il vettore posizione r di una particella in un certo istante e 4 possibili direzioni per una forza destinata ad accelerarla. Tutte le direzioni giacciono sul piano xy. a) Mettete in ordine i casi secondo i valori decrescenti del modulo della derivata temporale dℓ/dt del suo momento angolare rispetto al punto O dℓ/dt = τ = r x F 3 (F3 è perpendicolare ad r sen90 = 1), 1, poi 2 e 4 uguali perché F2 ed F4 sono paralleli ad r sen0 = sen180 = 0) b) Quali sono le scelte che daranno luogo ad un risultato negativo? 3, perché traslando F3 in O r su F3 in senso orario dℓ/dt = τ negativo