Il rimborso dei prestiti

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1 I rimborso dei prestiti Obiettivi individuare e caratteristiche dei diversi tipi di rimborso saper stendere un piano di ammortamento saper cacoare a rata di un ammortamento comprendere e caratteristiche di un contratto di easing 1. LE CARATTERISTICHE DI UN PRESTITO Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 24 Si definisce prestito o mutuo quaunque capitae che viene concesso da un soggetto A a un soggetto B, i quae si impegna a restituire i capitae e a pagare gi interessi nei tempi convenuti. I soggetto A, che puoá essere un Istituto di Credito o una SocietaÁ, eá i creditore o mutuante; i soggetto B eá i debitore o mutuatario. Gi atri fattori importanti nea gestione dei mutui sono ovviamente i tasso di interesse a cui i prestito viene concesso, che in questo caso prende anche i nome di tasso di remunerazione, e a durata de prestito. Per quanto riguarda a durata, possiamo distinguere in: prestiti a breve scadenza, se a restituzione avviene prima di un anno daa data di accensione de prestito prestiti a media scadenza, se a restituzione avviene in un periodo compreso tra 1e 5 anni prestiti a unga scadenza, se a restituzione avviene dopo 5 anni. Per i prestiti a breve scadenza normamente i regime finanziario eá queo de'interesse sempice, per gi atri eá queo de'interesse composto. Un'atra distinzione necessaria eá quea che riguarda i numero dei creditori e/o dei debitori. In mote situazioni si ha un soo creditore, per esempio a banca che ha concesso i prestito, e un soo debitore, i Sig. Rossi che deve ristrutturare a casa; si para in questi casi di prestito indiviso. Capita peroá a vote che un soggetto abbia bisogno di somme cosõáingenti di denaro, anche quache miiardo di euro, che nessuna banca o atro ente di credito CLASSIICAZIONE IN BASE ALLA DURATA CLASSIICAZIONE IN BASE AL NUMERO DI CREDITORI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 1

2 possa concedere da soo; si ha per esempio una situazione di questo tipo quando o Stato emana Titoi che e varie persone o societaá acquistano. I prestito viene cioeá suddiviso in tante quote in modo che ci siano soggetti che possano finanziare; si para in questi casi di prestito diviso in titoi e tai titoi prendono i nome di obbigazioni. Un prestito deve essere, prima o poi, restituito con i dovuti interessi; e modaitaá di restituzione possono essere diverse, ma e piuá significative sono e seguenti: i rimborso gobae, che prevede a restituzione di capitae e interessi in un'unica souzione aa scadenza i rimborso gobae de capitae con pagamento periodico degi interessi i rimborso graduae o ammortamento, che prevede una rateizzazione sia de capitae che degi interessi. Quaunque sia a forma sceta per i rimborso di un prestito, deve comunque vaere i principio de'equivaenza finanziaria: CLASSIICAZIONE IN BASE ALLA RESTITUZIONE i capitae avuto in prestito deve essere finanziariamente equivaente aa somma dei pagamenti fatti da debitore concordemente con i contratto stipuato. La seguente tabea riassume quanto detto. DURATA breve scadenza (regime di interesse sempice) media scadenza (regime di interesse composto) unga scadenza (regime di interesse composto) NUMERO CREDITORI indiviso diviso in titoi RESTITUZIONE gobae gobae con rateizzazione degi interessi graduae A vote capita che i debitore chieda di poter estinguere anticipatamente i suo debito oppure che i creditore ceda i prestito ad un'atra persona; in questi casi eá necessario procedere aa vautazione de prestito. LA ALUTAZIONE DI UN PRESTITO I vaore di un prestito, detto anche vaore di riscatto, eá i vaore attuae di tutte e somme che i debitore deve ancora versare a creditore I cacoo de vaore attuae viene fatto ad un tasso i che chiameremo tasso di vautazione e avviene in modo diverso a seconda dea forma di restituzione concordata; nei prossimi paragrafi vedremo come procedere caso per caso. In questa vautazione viene spesso richiesta anche una suddivisione tra e somme che costituiscono i capitae prestato e gi interessi corrisposti. Si chiama nuda proprietaá i vaore attuae dee quote di capitae che devono essere ancora pagate; si chiama usufrutto i vaore attuae dee quote di interesse che devono essere ancora versate. I vaore de prestito eá quindi a somma tra a nuda proprietaá e 'usufrutto; indicando con k i vaore di riscatto a tempo k, con P k a nuda proprietaá e con U k 'usufrutto, si ha che: k ˆ P k U k. 2 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

3 ediamo una situazione concreta. Prestiamo E con 'accordo che questo capitae ci venga restituito dopo tre anni ma che gi interessi ci vengano corrisposti aa fine di ogni anno; i nostro debitore, peroá, ci chiede di estinguere i debito dopo due anni. Aora, tenendo presente che eá k ˆ 2 : a nuda proprietaá P2 eá i vaore attuae di E a tempo 2 (de capitae non eá ancora stata restituita acuna parte) 'usufrutto U2 eá i vaore attuae degi interessi de'utimo anno (gi interessi dei primi due anni sono giaá stati pagati) i vaore de prestito eá a somma dei due precedenti vaori 2 ˆ P 2 U IL RIMBORSO GLOBALE Supponiamo di aver ricevuto in prestitoe20000 e di dover rimborsare a somma ad un interesse composto de 6% annuo dopo 2 anni. Si tratta sostanziamente di un probema di cacoo de montante che sappiamo risovere; aa scadenza, dopo 2 anni dovremo restituire una somma M ˆ ,06 2 cioeá E In caso di restituzione aa scadenza si deve quindi cacoare i montante dea somma A avuta in prestito con e seguenti regoe: n per prestiti a breve scadenza, quindi in regime di interesse sempice: M ˆ A 1 it n per prestiti a media e unga scadenza, quindi in regime di interesse composto: M ˆ A 1 i t A distanza di un anno e sei mesi da prestito di E che ci avevano fatto, un improvviso ascito ci mette in grado di restituire i debito anticipatamente; ci chiediamo quae somma dobbiamo restituire. Ad una prima anaisi saremmo tentati di dire che i vaore de montante M che avremmo dovuto restituire aa scadenza deve essere scontato di 6 mesi ao stesso tasso, oppure, che eá a stessa cosa, che a somma che dobbiamo pagare eá i montante di E per un tempo di 1anno e 6 mesi anzicheâ due anni. Questo ragionamento peroá non eá de tutto corretto percheâ di soito i tassi di interesse correnti sono piuá bassi dei tassi di remunerazione e a situazione prospettata diventerebbe sfavorevoe a creditore che, di conseguenza, non accetterebbe i pagamento anticipato. Cacoiamo: i vaore de prestito a tempo 1,5 e a tasso de 6% annuo eá: ,06 1,5ˆ 21826,74 E i creditore dovrebbe investire a somma restituita per i restanti 6 mesi a tasso corrente, diciamo de 3%: 21826,74 1 0,03 0,5ˆ 22151,72 E La differenza con i vaore che avrebbe ricavato daa restituzione de prestito aa scadenza, cioeá E 22472, eá evidente: ,72 ˆ 320,28 E. Per un principio di equivaenza, si rende aora necessario scontare a tasso corrente i vaore de debito aa scadenza; ne nostro caso, anticipando di 6 mesi i pagamento, a tasso corrente de 3%, dovremmo pagare (figura 1): ,03 0,5ˆ 22142,32 E Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 25 RIMBORSO TOTALE ALLA SCADENZA Ricorda di uniformare sempre i tempo reativo aa durata e queo reativo a tasso. IL ALORE DI RISCATTO igura 1 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 3

4 I tasso appicato in caso di vautazione anticipata de debito eá i tasso di vautazione i di cui abbiamo giaá parato ne paragrafo precedente; a somma da pagare anticipatamente eá i vaore di riscatto de debito. Normamente i tasso di vautazione coincide con i tasso corrente, ma puoá anche essere concordato tra e due parti; eá comunque di soito piuá basso de tasso di remunerazione. In definitiva, se C eá i capitae prestato, i eá i tasso di remunerazione, i eá i tasso di vautazione e k eá i tempo di anticipazione rispetto aa scadenza naturae n, i vaore di riscatto k si cacoa con a seguente formua: k ˆ A 1 i n {z } montante aa scadenza 1 i n k {z } attuaizzazione a tempo n k La nuda proprietaá eá i vaore A de prestito, 'usufrutto eá a differenza tra k e A. ESEMPI 1. Davide ha chiesto in prestito E 1500 per far fronte ad un imprevisto. Gi viene concesso ae seguenti condizioni: tasso di interesse 3,4% annuo nominae convertibie semestramente, restituzione de capitae e degi interessi in un'unica souzione tra 6 mesi. Quae somma dovraá restituire Davide a suo creditore? Abbiamo che: A ˆ 1500 t ˆ 6 mesi j 2 ˆ 0,034 Dobbiamo cacoare i montante M in regime di interesse sempice trattandosi di un prestito a breve scadenza. Uniformiamo i tempi trasformando i tasso in tasso semestrae e i tempo in semestri: i 2 ˆ j2 2 ˆ 0,034 ˆ 0,017 t ˆ 1semestre 2 Possiamo adesso cacoare i montante: M ˆ C 1 it ˆ ,017 1 ˆ 1525,50 E 2. Eena chiede un finanziamento di E ad una banca che gieo concede ad un tasso di interesse composto trimestrae de'1,5% con a restituzione de debito dopo 2 anni e 6 mesi. Quae somma dovrebbe restituire Eena? Dopo un anno e mezzo a ragazza, avendo avuto un considerevoe aumento di stipendio, eá in grado di restuire 'intero prestito e a banca accetta concordando un tasso di vautazione annuo de 4,8%; quae somma deve restituire Eena? I dati de probema sono: A ˆ i 4 ˆ 0,015 tasso trimestrae t ˆ 2a 6m Dobbiamo cacoare M. Uniformiamo i tempo dea durata a tasso: 2 anni e 6 mesi = 10 trimestri Cacoiamo i montante: M ˆ ,015 10ˆ 16247,57 E In aternativa avemmo potuto trasformare i tasso trimestrae in tasso annuo con a formua dei tassi equivaenti: i ˆ 1 0, ˆ 0, ! M ˆ , ,5ˆ 16247,57 E Cacoiamo adesso i vaore di riscatto de prestito tenendo presente che eá: i ˆ 0,048 k ˆ 1anno (1anno prima dea scadenza) quindi n k ˆ 1 k ˆ 16247,57 1 0,048 1ˆ 15503,41 E Eena deve quindi restituire E 15503,41 dei quai E costituiscono a nuda proprietaá e E 1503,41 rappresentano 'usufrutto. 4 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

5 ERIICA DI COMPRENSIONE 1. Antonio ha avuto un prestito di E 5000 daa sua banca ad un tasso annuo de 6% con 'obbigo di restituzione dopo quattro anni. a. La somma che deve restituire aa scadenza, arrotondata a'euro, eá pari a: b. Se, d'accordo con a banca, anticipa i pagamento di 18 mesi a tasso di riscatto de 4,5%, deve restituire in euro circa: Tempo fa hai prestatoe10000 a tasso di remunerazione de 5,8% composto e oggi ti vengono restituiti E 11513,68. Quanto tempo fa eá avvenuta 'operazione? a. 3 anni e 2 mesi b. 1anno e 8 mesi c. 2 anni e 6 mesi d. 2 anni 3. IL RIMBORSO GLOBALE CON PAGAMENTO PERIODICO DEGLI INTERESSI Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 27 Abbiamo questo tipo di rimborso quando creditore e debitore si accordano per a restituzione de prestito, in modo che i capitae venga restituito per intero aa scadenza e gi interessi vengano pagati periodicamente. In pratica, i debitore riceve in prestito a somma A, periodicamente paga gi interessi su A e aa scadenza restituiraá A. Osserviamo che i cacoo degi interessi, proprio percheâ vengono pagati sempre sua stessa somma aa fine di ogni anno, o semestre o atro, va fatto in regime di interesse sempice. Questo significa che, aa fine di ogni periodo, i debitore pagheraá una somma pari a I ˆ Ai se i periodo eá 'anno I ˆ A i k se i periodo eá 1 k di anno In questo tipo di rimborso i creditore puoá richiedere i pagamento anticipato degi interessi, vae a dire che, aa concessione de prestito, trattiene a quota di interessi reativa a primo periodo. I debitore pagheraá a'inizio di ogni periodo tae quota di interessi e aa scadenza restituiraá i capitae avuto in prestito. Tornando a'esempio de paragrafo precedente, se ci viene concesso un prestito di E con questa modaitaá di rimborso, ad un tasso annuo de 6%, dovremo pagare: n un interesse I ˆ ,06 ˆ 1200 E ogni anno n 'intero capitae di E aa scadenza dopo due anni. Pagheremo cioeá: se 'interesse eá anticipato E 1200 aa stipua de contratto, cioeá a'inizio de primo anno, e questo equivae in pratica a ricevere ˆ E E 1200 a'inizio de secondo anno e E aa scadenza, cioeá aa fine de secondo anno se 'interesse eá posticipato E 1200 aa fine de primo anno Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 5

6 E aa fine de secondo anno, quota comprensiva de capitae e degi interessi. L'ammortamento americano o a due tassi In un contratto di prestito con rimborso gobae de capitae si puoá prevedere una causoa a tutea de creditore in base aa quae i debitore deve provvedere a costituire i capitae mediante versamenti periodici in una banca; questo a fine di evitare che aa scadenza ci sia i rischio di un mancato rimborso. Si para di ammortamento americano quando a costituzione de capitae avviene mediante una rendita vincoata a favore de creditore. In questa operazione finanziaria i tasso di remunerazione e i tasso di costituzione, cioeá i tasso dea rendita, sono diversi e i primo eá in genere maggiore de secondo; per questo motivo questo tipo di rimborso viene anche detto ammortamento a due tassi. Da punto di vista de creditore si tratta sempre di un rimborso gobae percheâ soo aa scadenza egi potraá ritirare i capitae prestato; da punto di vista de debitore si tratta di un rimborso graduae che studieremo megio ne prossimo paragrafo anaizzando e diverse possibiitaá. Per comprendere i funzionamento di questo tipo di rimborso vediamo un esempio. I Sig. Rossi, che ha avuto un prestito die40000 da rimborsare dopo 8 anni anni con pagamento annuo degi interessi a tasso annuo de 5%, conviene con i suo creditore una restituzione con ammortamento americano. La costituzione de capitae avviene mediante i deposito in una banca di una rata annua costante a tasso di interesse de 2%. Determiniamo quae somma deve pagare ogni anno i Sig. Rossi. Una quota di questa somma eá costituita dagi interessi annui: I ˆ ,05 ˆ 2000 E Ad essa va aggiunto 'importo da accantonare ogni anno per a costituzione de capitae; per determinaro dobbiamo cacoare a rata di una rendita annua posticipata formata da 8 rate costanti a tasso annuo di interesse de 2% che ha un montante di E , Impostiamo 'equazione: ˆ R 0,02 da cui ricaviamo che R ˆ ,02 1, ˆ 4660,40 E Compessivamente, aa fine di ogni anno, i Sig. Rossi dovraá quindi pagare ,40 ˆ 6660,40 E. Questi ragionamenti vagono in generae e ci permettono di concudere che in un ammortamento americano i debitore deve versare periodicamente due importi: I montante di una rendita posticipata si cacoa con a formua M ˆ R 1 i n 1 i 'interesse su debito da cacoarsi con a formua I ˆ A i o I ˆ A i k se a rata eá periodae una rata di costituzione de capitae a tasso i 0 (minore di i) da cacoarsi con A i 0 a formua R ˆ 1 i 0 n 1. 6 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

7 ESEMPI Esempi su rimborso gobae de capitae e rateizzazione degi interessi 1. Un debito contratto a tasso di remunerazione de 3,3% annuo prevede i pagamento degi interessi quadrimestrai di E 77 aa fine di ogni periodo. Qua eá i capitae richiesto in prestito? I dati a nostra disposizione sono: I ˆ 77 quadrimestrai i ˆ 0,033 interesse annuo, non conforme a periodo di pagamento degi interessi Dobbiamo cacoare i capitae A. Uniformiamo i tasso trasformandoo in tasso quadrimestrae in regime di interesse sempice: i 3 ˆ i 3 ˆ 0,033 ˆ 0,011 3 Utiizziamo a formua che esprime 'interesse da quae possiamo ricavare i capitae A : I ˆ A i 3! A ˆ I ˆ 77 i 3 0,011 ˆ 7000 E 2. Eena ha contratto un debito di E convenendo i pagamento semestrae posticipato degi interessi a tasso semestrae de 2,5% e a restituzione de capitae dopo 8 anni. Cacoiamo: a. quanto Eena dovraá pagare ogni 6 mesi b. quanto dovraá restituire aa scadenza c. i vaore totae dea somma restituita d. quanto avrebbe dovuto restituire aa scadenza con un rimborso gobae de capitae e degi interessi. I dati sono tutti omogenei rispetto a tempo; possiamo quindi rispondere subito ae richieste. a. Cacoiamo 'interesse semestrae: I ˆ ,025 ˆ 1250 E b. Aa fine de'ottavo anno Eena restituiraá una somma: S ˆ ˆ E c. Per rispondere a questa domanda dobbiamo considerare che i pagamento semestrae degi interessi costituisce una rendita di rata R ˆ 1250 con un numero di rate pari a 16; eá necessario quindi cacoare i montante di questa rendita posticipata: M ˆ R s 160,25 1 0, ! M ˆ ,025 ˆ 24225,28 E Ad essa va aggiunto i capitae iniziae da restituire die50000; i vaore compessivo de'operazione eá quindi di ,28 ˆ 74225,28 E. d. In caso di rimborso gobae, a somma da restituire eá i montante di E cacoato in regime di interesse composto per un periodo di 8 anni, cioeá 16 semestri: S ˆ ,025 16ˆ 74225,28 E Come si vede, compessivamente i costo de'operazione eá o stesso, percheâ sostanziamente cambia soo a modaitaá di pagamento degi interessi. Esempi su'ammortamento americano 3. Cacoiamo a rata di costituzione a tasso annuo de'1,5% che deve servire a rimborso di un capitae di E concesso a tasso annuo de 6% e rimborsabie dopo 5 anni con pagamento annuo posticipato degi interessi; troviamo poi a somma che deve essere pagata ogni anno da debitore per far fronte agi impegni presi. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 7

8 La rata di costituzione de capitae si ricava da'equazione: a cui souzione eá R ˆ 5822,68 E La quota annua degi interessi eá: I ˆ ,06 ˆ 1800 E Compessivamente i debitore deve pagare annuamente 1 0, ˆ R 0, , ˆ 7622,68 E. 4. Per estinguere un debito contratto con ammortamento americano, Mario deve versare in banca E 395,20 a mese a tasso annuo nominae convertibie mensimente de 3,6% per un periodo di tre anni. Cacoiamo 'ammontare de prestito e gi interessi che egi deve pagare ogni anno se i prestito eá stato concesso a tasso annuo de 5,4%. Questa vota conosciamo 'importo dea rata e dobbiamo cacoare i montante dea rendita tenendo presente che i numero dee rate eá 36 e che i 0 ˆ j ˆ 0, ˆ 0,003 M ˆ 395,20 s 36 0, , ! M ˆ 395,20 0,003 ˆ E Gi interessi da pagare ogni anno sono quindi: I ˆ ,054 ˆ 810 E I vaore di riscatto In questa forma di rimborso i capitae prestato A viene restituito aa scadenza, gi interessi vengono pagati ad ogni periodo; i vaore di riscatto ad un tempo k anteriore aa scadenza comprende quindi: a nuda proprietaá, che eá i vaore attuae di A a tempo k, cioeá pagabie dopo n k anni, a tasso di vautazione i : P k ˆ A 1 i n k 'usufrutto, che eá i vaore attuae dee n k quote di interesse di importo Ai ancora da pagare; poicheâ tai quote costituiscono una rendita, si ha che: U k ˆ Ai a ˆ Ai 1 1 i n k n k i i Quindi k ˆ A 1 i n k Ai 1 1 i i n k Consideriamo per esempio un prestito die12000 che deve essere restituito dopo 6 anni a tasso de 5%; a restituzione avviene peroá dopo 4 anni e a vautazione viene fatta a tasso i de 2,8%. In questo caso: a nuda proprietaá eá i vaore attuae di E a tempo 4 (n ˆ 6ek ˆ 4): P 4 ˆ ,028 2ˆ 11355,21 E 'usufrutto eá i vaore attuae di due quote di interesse n k ˆ 2 : U 4 ˆ ,05 {z } interesse I vaore di riscatto eá quindi: 1 1 0, ,028 ˆ 1151,42 4 ˆ 11355, ,42 ˆ 12506,63 E. 8 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

9 ERIICA DI COMPRENSIONE 1. aentina ha avuto in prestitoe5000 da restituire dopo 4 anni. Si concorda i pagamento posticipato annuo degi interessi a tasso annuo de 4,6%. aentina aa scadenza dovraá pagare euro: a b c d Giovanni ha avuto in prestitoe5800 a tasso annuo de 5% che restituiraá dopo 3 anni con ammortamento americano. I tasso fatto daa banca eá de 2% annuo: a. a quota interesse eá in euro: b. a rata da depositare annuamente in banca eá in euro: 2011, , ,01 3. ederico ha avuto in prestito E a 3,5% annuo da restituire fra 6 anni con ammortamento americano; se i tasso praticato daa banca per a costituzione de capitae eá de'1,8% annuo: a. a quota di interesse eá di euro: b. a rata annua da versare eá di euro: 1438, , ,23 4. IL RIMBORSO GRADUALE 4.1 Le caratteristiche di un ammortamento I due precedenti rimborsi sono moto onerosi quando i prestito eá di importo eevato; si preferisce aora suddividere i capitae da rimborsare in piuá quote e si para quindi di rimborso graduae o anche di ammortamento. In questo caso, i debitore versa periodicamente dee rate, dette rate di ammortamento, che sono formate da: una quota interesse I una quota capitae C. Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 32 EÁ importante evidenziare i seguenti aspetti: i debito si estingue soo con i pagamento dee quote capitae, cioeá a somma di tutte e quote capitae deve essere uguae a prestito i debito estinto a tempo k eá a somma dee soe quote capitae dee prime k rate i debito residuo eá a differenza tra 'intero capitae prestato e i debito giaá estinto. Una osservazione particoare va fatta poi sua quota interesse: nea prima rata gi interessi vengono cacoati su'intero capitae prestato nea seconda e in quee successive, gi interessi si cacoano su debito residuo. E' quindi evidente che a quota interesse diminuisce a crescere de numero di rate pagate. Come a soito deve poi vaere i principio di equivaenza finanziaria che in questo caso prevede che: i vaore attuae dee rate pagate da debitore deve essere finanziariamente equivaente aa somma prestata da creditore. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 9

10 Per comprendere i significato di un ammortamento vediamo un esempio introduttivo sempice. Supponiamo di aver ricevuto un prestito di E che conveniamo di estinguere in 4 anni, suddividendoo in quattro quote capitae a tasso concordato de 5% annuo: C 1 ˆ 2000E C 2 ˆ 3000E C 3 ˆ 2500E C 4 ˆ 2500E Per i cacoo dee rate prepariamo una tabea nea quae indicare: a quota capitae, a quota interesse, a rata annua, i debito estinto e i debito residuo. periodo k quota capitae C k quota interessi I k rata annua R k debito estinto E k debito residuo D k 0 ÐÐ ÐÐ ÐÐ ÐÐ ÐÐ Spieghiamo come eá stato costruito i piano di ammortamento. Tempo 0. Tempo 1. Tempo 2. Tempo 3. Tempo 4. Aa concessione de prestito, nessuna rata eá stata pagata e i debito residuo eá di E Dopo un anno, a prima rata eá formata daa quota capitae die2000 e daa quota interesse cacoata su E 10000: I ˆ ,05 ˆ 500 E) Dunque R ˆ 2500 E, i debito estinto eá di E 2000, i debito residuo eá di E Dopo due anni, a seconda rata eá formata daa quota capitae di E 3000 e daa quota interesse cacoata su E 8000: I ˆ ,05 ˆ 400 E) R ˆ 3400 E), i debito estinto eá di E 5000, i debito residuo eá di E Dopo tre anni, a terza rata eá formata daa quota capitae die2500 e daa quota interesse cacoata su E 5000: I ˆ ,05 ˆ 250 E R ˆ 2750 E, i debito estinto eá di E 7500, i debito residuo eá di E Dopo quattro anni, 'utima rata eá formata daa quota capitae di E 2500 e daa quota interesse cacoata su E 2500: I ˆ ,05 ˆ 125 E R ˆ 2625 E, i debito estinto eá di E 10000, i debito residuo eá di E 0. I piano eá finanziariamente equo in quanto: , , , ,05 4ˆ Esistono diversi tipi di ammortamento che dipendono da come viene cacoata a rata; i due piuá importanti sono: 'ammortamento progressivo o francese 'ammortamento uniforme o itaiano. LE PRINCIPALI ORME DI AMMORTAMENTO 10 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

11 4.2 L'ammortamento progressivo Si para di ammortamento progressivo quando un debito viene rimborsato in modo graduae con i pagamento periodico di n rate costanti ognuna dee quai contiene una quota capitae e una quota interessi. Questo tipo di ammortamento eá noto anche come ammortamento francese. E' questo i tipo di ammortamento che viene fatto quando si accede a un mutuo presso una banca, ad esempio per 'acquisto di una casa, o si paga a rate un'auto. I debitore sa esattamente quante rate deve pagare e qua eá i oro importo fisso. In tai rate, che supporremo sempre posticipate visto che gi interessi si pagano aa fine de periodo di competenza, eá sempre specificato inotre i vaore dee quote capitae e dee quote interesse; queste utime sono, con varie modaitaá, oneri deducibii nea dichiarazione dei redditi. ediamo un esempio. Otteniamo da una banca un mutuo di E a tasso de 4% annuo da rimborsare con ammortamento progressivo in 5 anni. Quae saraá a rata costante annua che dovremo pagare? In base a'equivaenza finanziaria E sono i vaore attuae di una rendita formata dae rate che verseremo; possiamo quindi dire che ˆ R a 50,04 da cui ricaviamo che i vaore dea rata eá R ˆ a ˆ 4 492,54 E 50,04 Potremo estinguere quindi i debito versando per 5 anni E 4 492,54 a'anno. In generae: in un ammortamento progressivo di un capitae A, costituito da n rate costanti a tasso i, 'importo R dea rata si cacoa con a formua R ˆ A n i dove abbiamo posto n iˆ 1 a n i I simboo n i rappresenta a rata annua posticipata necessaria ad estinguere un debito di E 1in n anni. Scrivendo per esteso a formua: i R ˆ A 1 1 i n Per stendere i piano di ammortamento dobbiamo costruire una tabea anaoga a quea de'esempio introduttivo; per faro osserviamo che: n a prima quota interesse eá cacoata su'intero debito e quindi avremo che I 1 ˆ ,04 ˆ 800 E ; n di conseguenza a prima quota capitae eá C 1 ˆ R I 1 ˆ 4492, ˆ 3692,54 E ; n dopo aver pagato a prima rata i debito residuo eá D 1 ˆ S C 1 ˆ ,54 ˆ 16307,46 E ; Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 11

12 n a seconda quota interesse saraá dunque cacoata su questa somma ed eá I 2 ˆ 16307,46 0,04 ˆ 652,30 E. Continuando in questo modo, possiamo stendere i piano di ammortamento come nea seguente tabea: anni (n) rata (R) quota interessi (I k ) quota capitae (C k ) debito estinto (E k ) dedito residuo (D k ) 0 ÐÐÐ ÐÐÐ ÐÐÐ ÐÐÐ , , , , ,54 652, , , , ,54 498, , , , ,54 338, , , , ,54 172, , ,99 0 Ne'istogramma di figura 2 viene mostrato 'andamento dee quote capitae e dee quote interesse. Sia daa tabea che daa rappresentazione grafica si evidenzia che e quote capitae sono crescenti, mentre diminuiscono e quote interesse. In particoare si dimostra che: e quote capitae crescono secondo una progressione geometrica di ragione 1 i. Una successione di numeri eá in progressione geometrica di ragione q se i rapporto fra un termine e i precedente eá uguae a q. Lo possiamo verificare anche da piano di ammortamento de'esempio: i rapporto tra due quote capitae successive eá costante e vae proprio 1,04: igura , ,61 ˆ 1, ,61 ˆ 1,04 e cosõá via 3993,85 I nome di ammortamento progressivo dato a questo metodo deriva proprio da questa proprietaá. La composizione dea k - esima rata si determina sfruttando a proprietaá evidenziata; questa a procedura: n si trova a rata costante R ˆ A ni n si trova a prima quota interesse I 1 ˆ A i n si trova a prima quota capitae come differenza tra a rata e a quota interesse C 1 ˆ R I 1 n si trova a k-esima quota capitae sfruttando e progressioni C k ˆ C 1 1 i k 1 n si trova a k-esima quota interesse per differenza I k ˆ R C k n si trova i debito residuo dopo i pagamento dea k-esima rata come vaore attuae dee restanti rate D k ˆ R a n k i In una progressione geometrica di ragione q a k ˆ a 1 q k 1 n si trova i debito estinto per differenza E k ˆ A D k 12 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

13 ESEMPI 1. Un debito di E eá rimborsabie in 10 anni con ammortamento progressivo a 5% annuo. Troviamo a composizione dea quinta rata e a situazione de debito dopo i pagamento dea settima rata. Non eá necessario stendere i piano di ammortamento; basta seguire e indicazioni date ed appicare e reazioni appropriate: cacoiamo a rata costante R ˆ ,05 ˆ 1942,57 E a prima quota interesse eá I1 ˆ ,05 ˆ 750 E di conseguenza a prima quota capitae eá C1 ˆ 1942, ˆ 1192,57 E a quinta quota capitae eá C5 ˆ 1192,57 1 0,05 4 ˆ 1449,58 E ed aora I5 ˆ 1942, ,58 ˆ 492,99 E Aora a composizione dea quinta rata eá: anno rata quota capitae quota interesse , ,58 492,99 Cacoiamo i debito residuo a tempo 7 come vaore attuae dee restanti 3 rate: D 7 ˆ 1942,57 a 30,05 ˆ 5290,10 E I debito estinto eá quindi E 7 ˆ ,10 ˆ 9709,90 E. I vaore di riscatto I vaore de prestito a tempo k eá i vaore attuae dee restanti n k rate costanti a tasso i : k ˆ R a n k i e poicheâ R ˆ A, otteniamo che: ni k ˆ A ni a n k i Per cacoare a nuda proprietaá e 'usufrutto si usa una comoda reazione che prende i nome di formua di Achard-Makeham che ega tra oro i debito residuo, a nuda proprietaá e 'usufrutto di un dato periodo k : LA ORMULA DI ACHARD-MAKEHAM D k ˆ U k i i P k La nuda proprietaá eá i vaore attuae dee rimanenti quote capitae; utiizzando questa formua si dimostra che: P k ˆ R 1 i n k 1 i i i L'usufrutto eá a differenza, quindi: U k ˆ k P k. n k Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 13

14 Cacoiamo per esempio i vaore di riscatto di un capitae A ˆ E a tasso annuo i de 3% essendo noti i seguenti dati: i ˆ 6% tasso annuo n ˆ 8 rate annue tempo di riscatto k ˆ 5 Cacoiamo prima di tutto 'importo dea rata: R ˆ Appichiamo adesso e formue precedenti: 0,06 8 ˆ 1610,36 E 1 1 0,06 5 ˆ R a ˆ 1610, ,03 3 ˆ 4555,08 E n k i 0,03 1 0, ,03 P 5 ˆ 1610,36 0,03 0,06 3 ˆ 4053,94 E U 5 ˆ 4555, ,94 ˆ 501,14 E 4.3 L'ammortamento uniforme Questo tipo di ammortamento eá noto anche come ammortamento itaiano. Anche in questo vediamo dapprima un esempio di come costruire i piano di ammortamento. Dobbiamo rimborsare un prestito di E a tasso annuo de 5% in 6 rate annue posticipate. Per avere a quota capitae basta dividere 'importo de prestito in 6 parti uguai: C ˆ ˆ 2000 E Le quote interesse devono essere cacoate su debito residuo: Si para di ammortamento uniforme quando un prestito viene rimborsato in modo graduae con i pagamento periodico di n rate in cui a quota capitae rimane costante. prima rata, I viene cacoata su'ammontare de'intero prestito: I ˆ ,05 ˆ 600 E seconda rata, I viene cacoata su primo debito residuo, cioeá E 10000: I ˆ ,05 ˆ 500 E terza rata, I viene cacoata su secondo debito residuo, cioeá E 8000: I ˆ ,05 ˆ 400 E quarta rata, I viene cacoata su terzo debito residuo, cioeá E 6000: I ˆ ,05 ˆ 300 E e cosõá via per e rimanenti rate. Nea tabea che segue abbiamo rappresentato i piano di ammortamento per esteso. 14 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

15 anni quota capitae quota interesse rata debito estinto debito residuo 0 ÐÐÐ ÐÐÐ ÐÐÐ ÐÐÐ ÐÐÐ Ne'istogramma di figura 3 viene mostrato 'andamento dee quote capitae, che sono costanti, e dee quote interesse che invece diminuiscono ne tempo. In particoare, e quote interesse diminuiscono sempre dea stessa quantitaá percheâ ad ogni rata successiva vengono cacoate su una somma che diminuisce in modo costante; ne caso de nostro esempio diminuiscono sempre di 100 euro e formano quindi una progressione aritmetica di ragione 100 : Ripetendo gi stessi ragionamenti ne caso generae troviamo che, indicando con A 'ammontare de prestito, con i i tasso di interesse e con n i numero dee rate: a quota capitae eá: C ˆ A n a prima quota interesse eá A i e e successive formano una progressione aritmetica di ragione C i i debito estinto eá in progressione aritmetica di ragione C i debito residuo eá in progressione aritmetica di ragione C. Per trovare a k esima quota interesse basta quindi appicare e regoe dee progressioni aritmetiche e determinare 'eemento di posto k a partire da queo di posto 1 : I k ˆ I 1 k 1 Ci! I k ˆ I 1 k 1 Ci igura 3 In una progressione aritmetica di ragione d: a n ˆ a 1 n 1 d Sostituendo a I 1 eac e rispettive espressioni troviamo infine che: I k ˆ A i k 1 A n i! I k ˆ Ai 1 k 1 n cioeá I k ˆ Ai n k 1 n In definitiva in un ammortamento uniforme: a quota capitae eá costante ed eá: C ˆ A n a quota interesse eá variabie ed eá: Ik ˆ Ai n k 1 n a rata eá variabie ed eá: Rk ˆ A n Ai n k 1 n Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 15

16 ESEMPI 1. Determiniamo a variazione costante dea quota interesse in un ammortamento uniforme di un prestito di E in 4 anni a tasso de 4,4%. Costruiamo poi i piano di ammortamento. La quota capitae di ogni rata eá: C ˆ La prima quota interesse eá: ˆ 8000 E I 1 ˆ ,044 ˆ 1408 E Le successive quote diminuiscono di C i, cioeá di: Possiamo adesso stendere i piano di ammortamento: ,044 ˆ 352 E n C I R E D Cacoiamo a composizione dea sesta rata di un debito die contratto a tasso annuo de 4,5% e restituibie con ammortamento uniforme in 10 rate. La quota capitae costante eá di E 5000 Cacoiamo a sesta quota interessi quindi a sesta rata eá I 6 ˆ ,045 R 6 ˆ C I 6 ˆ ˆ 6125 E ˆ 1125 E I vaore di riscatto Ne'ammortamento uniforme, essendo e quote capitae costanti, eá sempice trovare a nuda proprietaá: P k ˆ C a n k i Anche in questo caso, per i cacoo de'usufrutto possiamo ricorrere aa formua di Achard-Makeham: U k ˆ C i i n k a n k i ERIICA DI COMPRENSIONE 1. Considera e seguenti proposizioni reative ad un ammortamento graduae: e quote capitae sono costanti e quote interesse sono costanti e rate sono costanti Di esse si puoá dire che: a. ne'ammortamento francese sono tutte vere b. ne'ammortamento francese eá vera soo a c. ne'ammortamento itaiano eá vera soo a d. ne'ammortamento itaiano eá vera soo a 16 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

17 2. Barra vero o faso. a. Ne'ammortamento progressivo e quote capitae costituiscono una progressione aritmetica. b. Ne'ammortamento uniforme e quote interesse formano una progressione aritmetica. c. In un ammortamento, se a rata eá costante, a quota capitae e a quota interesse non o sono mai. d. In un ammortamento, se a quota capitae eá costante, a rata eá costante. 5. IL LEASING Uno dei probemi dee aziende eá queo di poter disporre di macchinari i piuá possibie moderni per poter produrre beni tecnoogicamente avanzati e competitivi; spesso eá poi necessario aumentare gi spazi costruendo capannoni piuá grandi e piuá moderni; mote aziende hanno poi bisogno di mezzi di trasporto per e merci o di auto di rappresentanza. Tutto questo costa e in moti casi un'azienda non ha tutto i denaro che e serve per poter far fronte ae diverse necessitaá. Si ricorre aora ad una forma di finanziamento particoare chiamata easing, termine angosassone che possiamo tradurre con ocazione finanziaria. Nea giurisprudenza esistono diverse forme di easing, queo di cui ci occupiamo noi in questa sede eá i easing finanziario. Per spiegarne i funzionamento vediamo dapprima un esempio. Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 37 Supponiamo che un'azienda abbia a necessitaá di acquistare una macchina per eseguire dee avorazioni; si rivoge a una societaá finanziaria a quae acquista i bene che e interessa e ne diventa a proprietaria. La macchina viene poi messa a disposizione de'azienda dietro i pagamento periodico di un canone. Aa scadenza de contratto i bene puoá essere riscattato (cioeá acquistato) da'azienda che ne diventa a proprietaria, puoá essere restituito aa societaá finanziaria, oppure ancora si puoá stipuare un atro contratto di easing anaogo a queo scaduto. A differenza di un contratto di prestito, quindi, in cui eá un Istituto di Credito che presta denaro a'azienda per 'acquisto de bene, che diventa quindi proprietaá de'azienda stessa, in un contratto di easing 'azienda non eá proprietaria de bene e quindi non ha neâ i benefici neâ gi oneri che derivano da'essere proprietario. Per esempio, se a macchina si guasta eá a societaá di easing che provvede aa riparazione, se viene rubata a societaá di easing deve sostituira, ma se 'azienda usa impropriamente a macchina e a danneggia ne deve rispondere a proprietario; ne easing di un'autovettura boo, assicurazione sono a carico de'azienda ma riparazione di eventuai guasti sono a carico dea SocietaÁ di easing. ormaizziamo queo di cui abbiamo parato ne'esempio. In un contratto di easing intervengono due parti: un soggetto A che ha bisogno di disporre di un certo bene e che chiamiamo ocatario un soggetto B, che chiamiamo ocatore, che acquista i bene e che o mette a disposizione di A. Le paroe chiave di un contratto di esing: - ocatario - ocatore - canone - riscatto La disponibitaá de bene avviene dietro i pagamento periodico di una somma R che chiamiamo canone di ocazione. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 17

18 A termine de contratto i bene puoá diventare di proprietaá de ocatario A dietro i pagamento di una somma prestabiita detta vaore di riscatto. I contratto di easing stabiisce poi: n a durata In genere un easing dura da 3 a 5 anni, savo per i beni immobii per i quai a durata varia da 25 a 30 anni o piuá; a durata de contratto rappresenta normamente i periodo di vita utie de bene. n 'importo dei canoni di ocazione I canone eá di soito mensie e di importo costante, ma si possono avere easing con canoni di periodicitaá diversa e di importo variabie. n un eventuae acconto L'acconto comporta i pagamento anticipato di un certo numero di canoni e per questo viene di soito detto maxicanone. n i vaore di riscatto de bene aa scadenza de contratto Deve poi sempre vaere i principio di equivaenza finanziaria in base a quae i vaore de bene dato in ocazione, a tasso stabiito dae parti, deve essere uguae a vaore attuae di tutte e somme di denaro che a societaá ocataria si impegna a pagare. ediamo un esempio. Un imprenditore necessita di un macchinario de costo di E e stipua per questo un contratto di easing che prevede: i pagamento di 24 canoni mensii a tasso mensie deo 0,5% di cui 4 da versare come acconto possibiitaá di riscattare i bene aa scadenza de contratto dietro un pagamento di E La situazione eá rappresentata sua retta dei tempi in figura 4, dove con E abbiamo indicato i vaore di riscatto: igura 4 a tempo 0, momento dea stipua de contratto, 'imprenditore deve pagare 4 canoni, cioeá 4R, come acconto; ne rimangono quindi ancora 20 da pagare aa fine di ogni mese successivo deve pagare un canone R a tempo 20 paga i ventiquattresimo e utimo canone i contratto scade a tempo 24, per i restanti mesi non viene quindi piuá pagato acun canone, ma i riscatto de bene potraá avvenire soo a tempo 24 dietro i pagamento di E I canone di ocazione, che di soito eá posticipato visto che vi eá sempre un acconto che si paga aa stipua de contratto, viene cacoato in base a principio de'equivaenza finanziaria a tempo di stipua de contratto, cioeá a tempo zero: IL CALCOLO DEL CANONE vaore de bene ˆ canoni anticipati + vaore attuae dei rimanenti canoni + vaore attuae de riscatto 18 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

19 Ne nostro caso: ˆ 4R R a , ,005 e da questa equazione ricaviamo che eá R ˆ 12085,76 E. Questo significa che 'imprenditore deve pagare: E 48343,04 come anticipo E 12085,76 aa fine di ogni mese per venti mesi E ao scadere de contratto Compessivamente a macchina viene a costare E ,24. Osserviamo che i canone R varia anche in funzione de vaore di riscatto: maggiore eá questo vaore, minore eá 'importo dea rata. Prova a variare questo vaore ne'equazione precedente per verificaro. Generaizziamo e osservazioni fatte (figura 5): indicando con C i costo de bene, con p i numero di canoni di acconto, con n i numero totae dei canoni, con E i vaore di riscatto, 'equazione che permette di cacoare 'importo R de canone eá a seguente: C ˆ p R R a E 1 i k n n p ik Le grandezze coinvote in questa equazione sono C, n, p, E, R, noncheâ i tasso periodae i k ; da essa si puoá ricavare i vaore di una quasiasi di esse se sono noti i vaori dee atre. L'equazione permette quindi di risovere quasiasi probema di vautazione in un contratto di easing. igura 5 In acuni contratti 'anticipo iniziae viene a vote cacoato non sui canoni ma su una percentuae de costo de bene; ne caso de'esempio precedente 'acconto potrebbe essere pari a 10% di E , cioeáe In questi casi basta sostituire i primo termine a secondo membro de'equazione con i vaore A de'acconto e considerare che i canoni sono esattamente n: C ˆ {z} A R a E 1 i k n nik acconto ESEMPI 1. La ditta Rossi fa un contratto di easing per un automezzo de vaore di E 40000, con un contratto che prevede i pagamento de 10% de suo vaore a'atto dea stipua, i pagamento di canoni trimestrai a tasso de'1,5% trimestrae, i riscatto dopo 4 anni con a somma di E Qua eá i vaore de canone trimestrae? In questo contratto dobbiamo trovare R sapendo che: C ˆ A ˆ 10% di C i 4 ˆ 0,015 n ˆ 16 (4 trimestri per 4 anni) E ˆ 1000 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 19

20 Cacoiamo 'anticipo: A ˆ ,1 ˆ 4000 Impostiamo 'equazione: ˆ 4000 R a 160,015 cioeá: ˆ R 1 1, ,015 da cui ricaviamo che R ˆ 2491,78 E , , Un contratto di easing dea durata di quattro anni per 'acquisto di un'autovettura prevede i pagamento di 48 canoni mensii di importo E 1021,28, tre dei quai costituiscono i maxicanone iniziae, a tasso annuo nominae convertibie mensimente de 4,8% e un vaore di riscatto di E Qua eá i costo de bene? Dobbiamo cacoare C conoscendo i vaori di tutti gi atri parametri; trasformiamo dapprima i tasso in tasso mensie: i 12 ˆ j12 12 ˆ 0, ˆ 0,004 Appichiamo a formua arrotondando i risutato a'euro piuá vicino: C ˆ , , , , ,004 48ˆ E La ricerca de tasso I probema dea ricerca de tasso incontra e stesse difficotaá degi anaoghi probemi di matematica finanziaria in quanto ci si trova di fronte aa risouzione di equazioni di grado moto eevato che devono essere risote per via approssimata. Supponiamo per esempio che un contratto di easing preveda e seguenti condizioni: costo de bene E acconto iniziae E canoni mensii posticipati di E 2100 ciascuno vaore di riscatto E Ci chiediamo a quae tasso mensie eá stato stipuato questo contratto. Impostiamo 'equazione ˆ i i 12 i 12 Per risovera, troviamo due tassi particoari, uno approssimato per difetto e uno per eccesso de tasso souzione e usiamo poi 'interpoazione ineare. Poniamo i 12 ˆ 0,005 e sostituiamo questo vaore ne secondo membro de'equazione; otteniamo 44778,64 che eá minore de primo membro. Abbiamo cosõá trovato un vaore approssimato per eccesso dea souzione (ricorda che i vaore attuae eá una funzione decrescente de tasso) Poniamo i 12 ˆ 0,004; sostituendo troviamo 45209,84 che eá maggiore de primo membro. Abbiamo trovato i vaore approssimato per difetto IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

21 Costruiamo a tabea dei punti per effettuare 'interpoazione: i 12 punto A 0, ,84 punto B 0, ,64 y x C Scriviamo 'equazione dea retta che passa per i punti A e B: x 0,004 0,005 0,004 ˆ y 45209, , ,84 Sostituiamo a posto di y e troviamo i vaore incognito de tasso: x 0, ,84 ˆ 0,005 0, , ,84! x ˆ 0, I contratto di easing eá stato stipuato a tasso mensie deo 0,45%. ERIICA DI COMPRENSIONE 1. In un contratto di easing: a. i costo de bene eá sempre inferiore a totae dee somme pagate da ocatario b. i ocatario ha 'obbigo di riscatto de bene c. i maxicanone eá sempre uguae a un certo numero p di canoni d. 'importo dee rate aumenta se diminuisce i vaore di riscatto e. 'importo dei canoni eá sempre maggiore de costo de bene ripartito sui canoni stessi. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 21

22 I concetti e e regoe I prestito Un prestito o mutuo eá a concessione di un capitae da parte di un soggetto A, i creditore, a un soggetto B, i debitore, i quae si impegna a restituire i capitae e a pagare gi interessi nei tempi convenuti. In genere si opera in regime di interesse sempice ne caso in cui a durata de prestito eá inferiore a'anno, in regime di interesse composto negi atri casi. I vaore attuae dee quote di capitae che devono essere ancora pagate prende i nome di nuda proprietaá; i vaore attuae dee quote di interesse che devono essere ancora versate si chiama usufrutto. Ogni prestito deve essere rimborsato e, a seconda dee regoe su cui si basa i rimborso, si puoá avere un rimborso gobae oppure graduae. I rimborso gobae Si para di rimborso gobae quando i capitae viene restituito interamente aa scadenza de periodo convenuto. Si puoá avere: i rimborso gobae sia de capitae che degi interessi; per determinare 'importo che deve essere restituito si deve cacoare i montante de capitae prestato: M ˆ C 1 it in capitaizzazione sempice M ˆ C 1 i t in capitaizzazione composta i rimborso gobae de capitae e periodico degi interessi; 'ammontare degi interessi si cacoa con a formua: I ˆ C i se i tasso eá annuo I ˆ C i k se i tasso eá periodae 'ammortamento americano in base a quae i debitore eá tenuto a versare due importi: 'interesse su debito che si cacoa con a formua I ˆ C i se a rata eá annua oppure I ˆ C i se a rata eá periodae k C i 0 a rata di costituzione de capitae a tasso i 0 ( minore di i) che si cacoa con a formua R ˆ 1 i 0 n 1 I rimborso graduae o ammortamento In questo tipo di rimborso, i capitae e gi interessi vengono ripartiti in una serie di rate periodai fino a'estinzione de debito; ciascuna rata eá composta da una quota capitae e da una quota interesse. Le principai forme di ammortamento sono e seguenti. Ammortamento progressivo o francese E Á un ammortamento a rate costanti in cui sia a quota capitae che a quota interesse sono variabii. Per cacoare a rata R si appica a formua: R ˆ A i ˆ A a n i 1 1 i n Inotre: a prima quota interesse eá: I 1 ˆ A i a prima quota capitae eá: C 1 ˆ R I 1 a k-esima quota capitae eá: C k ˆ C 1 1 i a k-esima quota interesse eá: I k ˆ R C k Ammortamento uniforme o itaiano E Á un ammortamento a rate variabii in cui: a quota capitae eá costante ed eá: a quota interesse eá variabie ed eá: a rata eá variabie ed eá: C ˆ A n n k 1 I k ˆ Ai n R k ˆ C I k ˆ A n Ai n k 1 n 22 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

23 I easing In un contratto di easing una societaá, detta ocatrice, acquista un bene per conto di un soggetto o ente, detto ocatario, concedendoo in uso dietro i pagamento di un canone di ocazione. Un contratto di easing prevede i pagamento di: un acconto iniziae a'atto dea stipua de contratto (i maxicanone) un certo numero di rate periodiche (i canoni) una somma stabiita E quae riscatto de bene. Questo tipo di contratto ha come modeo 'equazione C ˆ p R R a E 1 i k n ne caso in cui i maxicanone eá composto da p canoni di importo R n p ik C ˆ A R a E 1 i k n ne caso in cui 'acconto iniziae non dipende da'importo de canone. n ik Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 23

24 I rimborso dei prestiti LE CARATTERISTICHE DI UN PRESTITO a teoria eá a pag. 1 Comprensione 1 Barra vero o faso. a. Un prestito eá a breve scadenza soo se i rimborso avviene entro i mese di accensione de prestito. b. In un prestito a breve scadenza i cacoo degi interessi viene fatto in regime di interesse sempice. c. Se un prestito eá a media scadenza i cacoo degi interessi viene fatto in regime di interesse sempice. d. I prestiti a unga scadenza vengono vautati in regime di interesse composto. 2 Barra vero o faso. a. Un prestito eá indiviso se i rimborso avviene in un'unica souzione. b. Un prestito eá diviso in titoi se i rimborso avviene in piuá rate. c. In un rimborso gobae, i capitae prestato viene sempre restituito in un'unica souzione. d. In un rimborso gobae, gi interessi possono anche essere pagati in forma rateae. 3 Scegi a frase corretta. Ne rimborso di un prestito: a. i vaore di riscatto eá a somma de capitae da restituire con gi interessi b. i tasso di vautazione eá i tasso appicato ne cacoo degi interessi da pagare c. i tasso di vautazione si chiama anche tasso di remunerazione d. a paroa ammortamento impica una rateizzazione sia de capitae da restituire che degi interessi. 4 I simboo k riferito ad un prestito indica: a. i vaore di riscatto oggi b. i vaore di riscatto a tempo k c. a somma da restituire aa scadenza. 5 In un rimborso, a nuda proprietaá rappresenta: a. i vaore attuae dee quote di interesse che devono essere ancora versate b. i vaore attuae dee quote di capitae che devono essere ancora pagate c. i vaore attuae dee rate ancora da pagare d. i montante dee quote capitae che devono essere ancora pagate. 6 In un rimborso, 'usufrutto rappresenta: a. i vaore attuae dee quote di interesse che devono essere ancora versate b. i vaore attuae dee quote di interesse che sono giaá state versate c. i vaore attuae dee rate che devono essere ancora versate d. i montante dee quote di interesse che sono giaá state versate. 24 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

25 7 La somma tra a nuda proprietaá e 'usufrutto cacoati ad una data epoca danno: a. i vaore de prestito aa stessa epoca b. i vaore de prestito ad un'epoca quaunque c. gi interessi che compessivamente si devono pagare. IL RIMBORSO GLOBALE a teoria eá a pag. 3 RICORDA In un rimborso gobae sia i capitae prestato A che gi interessi vengono restituiti in un'unica souzione. Per i cacoo de montante si appica: i regime di interesse sempice per i prestiti a breve scadenza: M ˆ A 1 it t i regime di interesse composto per i prestiti a media e unga scadenza: M ˆ A 1 i Comprensione 8 Un capitae di E 4000 viene restituito dopo sei mesi ad un tasso di interesse de 7% annuo; a somma restituita eá di euro: a b. 4137,63 c d. 4230,68 9 Un capitae die6000 viene restituito dopo due anni e sei mesi ad un tasso annuo de'8%; aa scadenza si deve pagare una somma arrotondata a'euro piuá vicino di: a. E 7284 b. E 6998 c. E 7273 d. E Un capitae A dovrebbe essere restituito dopo due anni a tasso di remunerazione de 6,5%; viene peroá concordato un anticipo di 8 mesi de rimborso a tasso di vautazione de 2,5%. I debitore deve pagare una somma uguae a: a. i montante di A cacoato per 1 anno e 4 mesi a tasso de 2,5% b. i montante di A cacoato per 1 anno e 4 mesi a tasso de 6,5% c. i vaore attuae de montante di A cacoato per due anni a tasso de 2,5%, scontato poi per 8 mesi a tasso de 6,5% d. i vaore attuae de montante di A cacoato per due anni a tasso de 6,5%, scontato poi per 8 mesi a tasso de 2,5%. 11 Un prestito di E 5000 a tasso di remunerazione de 5,5% composto restituisce una somma pari a E 5871,21 dopo un tempo t. La durata de prestito eá di: a. 2 anni b. 3 anni c. 2 anni e 6 mesi d. 4 anni Appicazione Risovi i seguenti probemi reativi ad un rimborso totae. 12 Hai chiesto un prestito di E da restituire con rimborso gobae. Determina quae somma devi restituire appicando e eggi de regime di interesse sempice nei seguenti casi: a. durata 6 mesi, tasso annuo de 4% E 51000Š b. durata 9 mesi, tasso trimestrae de 2% E 53000Š c. durata 3 mesi, tasso annuo de 5% E 50625Š d. durata 8 mesi, tasso semestrae de 3%. E 52000Š Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 25

26 13 Luca ha avuto E in prestito da restituire con rimborso gobae. Quae somma dovraá restituire appicando e eggi de regime di sconto composto nei seguenti casi: a. durata 6 anni, tasso mensie deo 0,5% E 35801,11Š b. durata 1 anno e 9 mesi, tasso annuo de 3,6% E 26596,20Š c. durata 3 anni, tasso semestrae de 2,5% E 28992,34Š d. durata 1 anno, 8 mesi e 15 giorni, tasso annuo de 3%. E 26294,82Š 14 Aessandra riceve in prestito a somma di E 3000 che deve rimborsare fra 3 anni unitamente agi interessi cacoati a tasso annuo de 7,2%. Determina quae somma Aessandra paga aa scadenza. E 3695,78Š 15 Un prestito di E 8000 viene estinto dopo 10 mesi. Sapendo che 'interesse eá de 2% annuo, determina i capitae da restituire aa scadenza. In quae regime di capitaizzazione ritieni piuá opportuno avorare? Motiva a tua sceta. E 8133,33Š 16 Giorgio riceve in prestito a somma di E 4500 che si impegna a rimborsare fra 6 anni unitamente agi interessi a tasso de 4% semestrae. Determina a somma che deve pagare Giorgio aa scadenza. E 7204,64Š 17 ESERCIZIO GUIDA Sergio 7 anni fa ha dato in prestitoe9000 convenendo un rimborso gobae de capitae e degi interessi; oggi riceve E 12663,90. A quae tasso annuo eá stata fatta questa operazione finanziaria? Poiche si tratta di un periodo di 7 anni, a egge da appicare eá M ˆ C 1 i t : 12663,90 ˆ i 7 Da'equazione ottenuta ricaviamo: 1 i 12663,90 7ˆ r ,90 cioeá: i ˆ 1! i ˆ 0, I tasso appicato eá de 5% annuo. 18 Sei anni fa Giovanni ha chiesto in prestito E concordando i rimborso gobae; oggi paga a suo creditore E 17910,78. Cacoa i tasso annuo a cui viene fatta 'operazione finanziaria. 3% Š 19 Cacoa i tasso di interesse nee seguenti situazioni: a. capitae prestato E 32000, restituzione dopo 4 anni di E 37435,47 4% Š b. capitae prestato E 26000, restituzione dopo 8 anni di E 33451,14. 3,2% Š 20 ESERCIZIO GUIDA Da pagamento di un prestito di E fatto a tasso de 5% annuo con rimborso gobae, si ottengono E 51051,26. Quanto tempo fa eá stato concesso i prestito? La somma restituita indica un tempo superiore a'anno, quindi dobbiamo operare in regime di interesse composto. Scriviamo 'equazione de montante in cui 'incognita questa vota eá i tempo t : Risoviamo 'equazione: 51051,26 ˆ ,05 t 1,05 t ˆ 51051, ! og 1,05 t ˆ og 51051, ! 26 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

27 t og 1,05 ˆ og 51051, ! t ˆ og 51051,26 og og 1,05! t ˆ 5 Poiche i tasso appicato eá annuo, i tempo eá misurato in anni; i prestito eá stato quindi concesso 5 anni fa. 21 Cacoa quanto tempo fa eá stato concesso un prestito die22000 che, oggi, a tasso di remunerazione de 2,3%, daá un rimborso gobae di E 25504,35. 6 anni e 6 mesiš 22 Cacoa a durata de prestito nei seguenti casi: a. capitae prestato E 18000, tasso di remunerazione annuo 6,4%, somma restituita E 21681,90 3 anniš b. capitae prestato E 24500, tasso di remunerazione annuo 7,2%, somma restituita E 32355,28 4 anniš c. capitae prestato E 15000, tasso di remunerazione annuo 6%, somma restituita E 18393,39. 3 anni 6 mesiš 23 ESERCIZIO GUIDA Piero ha ottenuto un prestito die 6700 a tasso de 6,5% che dovraá restituire insieme agi interessi fra 9 anni; oggi, trascorsi 7 anni ed avendo ereditato una certa somma, ottiene di riscattare i debito a tasso corrente de 3% annuo. Cacoa i vaore di riscatto oggi ed i tasso effettivo de prestito. Cacoiamo i vaore de riscatto a tempo 7, utiizzando a formua: 2 ˆ , , ˆ 11131,32 E Per cacoare i tasso effettivo de prestito occorre impostare a seguente uguagianza: i 7 ˆ 11131,32 da cui si ottiene un tasso de 7,52%. 24 Un prestito eá rimborsabie fra 6 anni a tasso de 5%. I suo vaore dopo 4 anni, vautato a tasso annuo de 6%, eá di E 19082,89. Cacoa 'ammontare de debito. E 16000Š 25 Donata ha avuto in prestito E a tasso di remunerazione de 3,8% che dovraá restituire, assieme agi interessi, fra 6 anni. Oggi, trascorsi 4 anni e 6 mesi, eá in grado di restituire a somma a tasso di vautazione de 4,5%. Cacoa i vaore di riscatto oggi. E 21075,71Š IL RIMBORSO GLOBALE CON PAGAMENTO PERIODICO DEGLI INTERESSI a teoria eá a pag. 5 RICORDA n In un rimborso gobae con pagamento periodico degi interessi, i capitae prestato viene resituito aa scadenza, gi interessi si pagano ad ogni periodo. I cacoo degi interessi viene sempre fatto in regime di interesse sempice ed eá : I ˆ A i se i periodo eá 'anno I ˆ A i k se i periodo eá 1 k di anno Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 27

28 n In caso di ammortamento americano, a costituzione de capitae avviene mediante una rendita vincoata a favore de creditore. L'importo dea rata di costituzione si ottiene con a formua: A i 0 R ˆ 1 i 0 n 1 essendo i 0 i tasso di costituzione de capitae n La nuda proprietaá e 'usufrutto de vaore di riscatto si cacoano con e formue: n k Pk ˆ A 1 i essendo i i tasso di vautazione Uk ˆ Ai a ˆ Ai 1 1 i n k n k i i Comprensione 26 Hai avuto in prestito una somma A convenendo un rimborso gobae con pagamento bimestrae degi interessi a tasso annuo i. Per cacoare gi interessi devi usare a formua: a. I ˆ A i 2 b. I ˆ A i 2 c. I ˆ A i 6 d. I ˆ A i 6 27 I rimborso gobae con pagamento periodico anticipato degi interessi I di una somma A, comporta: a. ricevere A, pagare I aa scadenza di ogni periodo, pagare A aa scadenza de contratto b. ricevere A I, pagare I a'inizio di ogni periodo successivo, pagare A aa scadenza de contratto c. ricevere A, pagare I a'inizio di ogni periodo successivo, pagare A aa scadenza de contratto d. ricevere A I, pagare I a'inizio di ogni periodo successivo, pagare A I aa scadenza de contratto. 28 I rimborso gobae con pagamento periodico posticipato degi interessi I di una somma A, comporta: a. ricevere A, pagare I aa scadenza di ogni periodo, pagare A I aa scadenza de contratto b. ricevere A I, pagare I aa fine di ogni periodo successivo, pagare A aa scadenza de contratto c. ricevere A, pagare I aa scadenza di ogni periodo, pagare A aa scadenza de contratto d. ricevere A, pagare I a'inizio di ogni periodo, pagare A I aa scadenza de contratto. 29 Ne'ammortamento americano i creditore: a. riceveraá aa scadenza in un'unica souzione sia i capitae avuto in prestito che gi interessi maturati su capitae b. riceveraá aa scadenza 'intero capitae avuto in prestito e periodicamente gi interessi c. riceveraá periodicamente parte de capitae e parte degi interessi d. riceveraá aa scadenza in un'unica souzione tutti gi interessi e periodicamente parte de capitae. 30 Ne'ammortamento americano, i debitore: a. paga a creditore in un'unica souzione e aa scadenza sia i capitae avuto in prestito che gi interessi b. paga a creditore gi interessi periodici e aa scadenza i capitae c. paga a creditore gi interessi periodici e accantona una rata periodica per a costituzione de capitae d. paga a creditore sia gi interessi periodici sia a rata di costituzione de capitae. Appicazione Risovi i seguenti probemi reativi ad un rimborso gobae con pagamento periodico degi interessi. 31 ESERCIZIO GUIDA Dobbiamo restituire un debito di E 5000 contratto 4 anni fa a tasso annuo de 5%; a modaitaá di rimborso eá stata fissata in rimborso gobae con pagamento annuo posticipato degi interessi. Cacoiamo: a. gi interessi da pagare ogni anno b. 'importo dea somma da pagare aa scadenza. 28 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

29 a. L'interesse annuo eá: I ˆ A i ˆ ,05 ˆ 250 E b. Aa scadenza dobbiamo pagare gi interessi de'utimo anno e i capitae: ˆ 5250 E 32 Cacoa quanto si deve pagare aa fine di ogni anno per i rimborso di un prestito nee seguenti situazioni: a. capitae prestato: E 15000, durata: 5 anni, tasso annuo di remunerazione: 3,8% I: E 570; utimo anno: E 15570Š b. capitae prestato: E 32000, durata: 8 anni, tasso annuo di remunerazione: 4%. I: E 1280; utimo anno: E 33280Š 33 Giorgia 2 anni fa ha contratto un debito di E 6000 che deve restituire aa scadenza con a modaitaá di rimborso gobae de capitae e periodico degi interessi a tasso semestrae de 3%. Cacoa gi interessi pagati da Giorgia ogni 6 mesi e quanto restituisce aa scandenza. I ˆ 180 E, M ˆ 6180 E Š 34 ESERCIZIO GUIDA Un prestito die7000 viene estinto in 4 anni con rimborso gobae e pagamento annuo degi interessi a tasso annuo de 6%. erificare che i rimborso gobae totae eá ad esso equivaente. Si deve verificare che i pagamento in un'unica souzione eá finanziariamente equivaente a pagamento periodico degi interessi. Pagamento in un'unica souzione: M ˆ ,06 4ˆ 8837,34 E Interesse periodico: I ˆ ,06 ˆ 420 E autazione aa scadenza dee quote di interesse: autazione de capitae restituito: 1 0, , ,34 ˆ 8837,34 E Avendo ottenuto o stesso vaore, e due forme di rimborso sono equivaenti. ˆ 1837,34 E 35 Miena deve restituire un debito di E contratto 5 anni fa a tasso annuo de 4,6%; a modaitaá di rimborso eá stata fissata in rimborso gobae con pagamento annuo posticipato degi interessi. Cacoa i pagamenti che Miena dovraá effettuare e verifica anche che i rimborso in un'unica souzione coincide con queo precedente. I ˆ 552 E ; M ˆ 15025,87 E 36 Giovanni ottiene un prestito di E 5000 per un anno a tasso de 6,5% annuo. Cacoa i rimborso nei seguenti casi: a. rimborso de capitae e degi interessi in unica souzione E 5325Š b. rimborso de capitae aa scadenza e pagamento posticipato trimestrae degi interessi. I ˆ 81,25 E ; M ˆ 5325 E 37 Un prestito di E 4200 viene estinto mediante rimborso gobae con pagamento periodico degi interessi. Sapendo che gi interessi annui ammontano a E 378, cacoa i tasso annuo appicato. 9%Š 38 aeria concede in prestito a somma die 5600 per 4 anni a tasso annuo de 5,7%. A mano a mano che riscuote gi interessi che i debitore e paga annuamente in via anticipata, i versa presso una banca a tasso annuo de 2,5%. Determina di quae somma aeria dispone compessivamente aa scadenza de prestito. E 6958,62Š 39 Aessia ottiene un prestito di E 4000 a tasso de 7% annuo e si impegna restituire tae somma dopo 5 anni pagando annuamente gi interessi. Trascorsi 4 anni, Aessia vuoe estinguere peroá i suo debito, anticipando cosõá di un anno i pagamento; e viene concesso di faro ad un tasso di vautazione de'8%. Cacoa i vaore di riscatto. E 3962,96Š Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 29

30 Risovi i seguenti probemi sua determinazione dea nuda proprietaáe de'usufrutto. 40 Maria contrae un debito die 7000 a tasso de 6% annuo convenendo i rimborso dea somma dopo 5 anni ed i pagamento annuo degi interessi. Cacoa a nuda proprietaá e 'usufrutto dopo 3 anni, a tasso di vautazione de 4%. E 6471,89; E 792,15Š 41 Luca ha contratto un debito die impegnandosi a pagare gi interessi ogni quattro mesi a tasso quadrimestrae de 6% e a restituire dopo 6 anni i capitae; egi decide peroá di rimborsare anticipatamente i debito. Cacoa i vaore de debito in caso di rimborso anticipato di 2 anni, a tasso de 12% annuo convertibie quadrimestramente, noncheâ 'usufrutto e a nuda proprietaá. E 33145,29; E 9435,85; E 23709,44Š 42 Annamaria ha contratto un debito che decide di estinguere anticipatamente dopo 4 anni daa sua accensione e per questa operazione viene fissato un tasso di vautazione de 7% annuo. A tae epoca a nuda proprietaá ha 'importo di E 3814,48. A quanto ammonta i debito? E 5000Š 43 Sonia contrae un debito di E impegnandosi a restituiro dopo 6 anni. Se decidesse di pagaro invece dopo 3 anni ad un tasso di vautazione de 10% annuo, 'usufrutto sarebbe di E 2362,51. A quae tasso eá stato contratto i debito? 9,5%Š L'ammortamento americano 44 Cacoa a rata compessiva annua dei seguenti ammortamenti americani considerando che i tassi sono annui. a. PrestitoE20000, tasso di interesse su prestito 4%, tasso appicato daa banca 2%, durata de prestito 6 anni. E 3970,52Š b. Prestito E 8000, tasso di interesse su prestito 3,4%, tasso appicato daa banca 1,2%, durata de prestito 7 anni. E 1374,37Š c. Prestito E 12000, tasso di interesse su prestito 5%, tasso appicato daa banca 2,2%, durata de prestito 10 anni. E 1685,94Š d. Prestito E 15000, tasso di interesse su prestito 2,8%, tasso appicato daa banca 2,5%, durata de prestito 8 anni. E 2137,01Š 45 Agnese deve rimborsare un capitae die 3000 fra 6 anni. Paga annuamente gi interessi de 5% e provvede inotre aa costituzione de capitae da rimborsare mediante versamenti annui di importo costante presso una banca che appica i tasso annuo de 4%. Determina a somma che compessivamente Agnese versa ogni mese. E 602,29Š 46 Un debito di E 7000, contratto a 4% annuo, viene ammortizzato in 8 anni co metodo americano. I tasso annuo appicato daa banca eá de 2% annuo. Determina: a. a quota degi interessi E 280Š b. a quota di costituzione de capitae E 815,56Š c. a rata annua compessiva. E 1095,56Š 47 Un debito die 15000, contratto a'8% annuo, viene ammortizzato in 10 anni con metodo americano. I tasso appicato daa banca per a costituzione de capitae eá de 5% annuo. Determina a rata compessiva annua e i tasso annuo effettivo per i debitore. (Suggerimento: per i secondo quesito ricorda che i vaore attuae dee rate compessive deve essere uguae a...) E 2392,57; 9,53%Š 48 Bruno ha contratto con un rivenditore di auto un debito di E 5000; i contratto stabiisce un ammortamento di tae debito in 4 anni con metodo americano. Egi paga aa fine di ogni mese gi interessi a 5% annuo nominae convertibie mensimente ed inotre versa in una banca che capitaizza a tasso de 2% effettivo annuo dee quote costanti per a costituzione de capitae. Determina: a. 'ammontare degi interessi mensii E 20,83Š 30 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

31 b. a quota mensie di costituzione de capitae E 100,17Š c. a rata mensie compessiva che deve pagare per rimborsare i prestito. E 121Š 49 Un prestito di E eá rimborsabie con ammortamento americano in 5 anni. I tasso bancario eá de 2,1%, a rata compessiva versata da debitore eá die5 419,36. Cacoa i tasso annuo a cui viene fatto i prestito. 2,5% Š 50 Un prestito di E eá rimborsabie con ammortamento americano in 8 anni. I tasso bancario eá de'1,8%, a rata compessiva versata da debitore eá di E ,57. Cacoa i tasso annuo a cui viene fatto i prestito. 3,2% Š 51 ESERCIZIO GUIDA Giuio aveva un debito di E 6000, concordato ad un tasso annuo de'8%, ammortizzabie in 8 anni con metodo americano; a banca di appoggio pratica i tasso annuo de 2%. Pagata a quarta rata, a banca aumenta i tasso di un quarto di punto percentuae. Determina e rate da pagare per estinguere i debito prima e dopo a variazione de tasso. Cacoiamo innanzi tutto 'interesse annuo: I ˆ ,08 ˆ 480 E Cacoiamo a rata di costituzione: R ˆ ,02 1 0, ˆ 699,05 E Aora a rata annua compessiva per i primi 4 versamenti ammonta a: ,05 ˆ 1179,05 E Dopo i versamento dea quarta rata c'eá una variazione; cacoiamo aora i fondo costituito dopo i quarto versamento cioeá i montante di una rendita formata da 4 rate di importo R: 4 ˆ 699,05 s 4 0,02 ˆ 2881,21 E Capitaizziamo i fondo a nuovo tasso per 4 anni cioeá aa scadenza de prestito: A Giuio rimane da costituire una somma pari a: M ˆ 2881,21 1 0,025 4 ˆ 3180,31 E ,31 ˆ 2819,69 E Cacoiamo a nuova rata per gi utimi 4 versamenti a nuovo tasso de 2,5%: R ˆ 2819,69 0, , ˆ 679,03 E Gi utimi 4 versamenti ammontano quindi a: R 1 ˆ ,03 ˆ 1159,03 E. 52 Rosa ha un debito die 5000 contratto a 9% annuo da ammortizzare in 5 anni con metodo americano; i tasso appicato daa banca eá de 3% annuo. Pagata a terza rata, a banca diminuisce i tasso di mezzo punto percentuae. Determina i fondo costituito dopo i pagamento dea terza rata e e rate da pagare per estinguere i debito, prima e dopo a variazione. E 2910,91; E 1391,77; E 1408,88Š 53 Un prestito die eá ammortizzabie in 9 anni con metodo americano. La rata annua di costituzione de capitae eá di E 1543,13. Determina i tasso di interesse annuo. 3,5%Š (Suggerimento: usa 'interpoazione ineare) 54 Un debito die eá ammortizzabie con i metodo americano in 8 anni. Gi interessi sono corrisposti ogni sei mesi a tasso de 5% semestrae e, sempre ogni sei mesi, si depositano in banca, a tasso de 2% effettivo annuo, quote costanti per a costituzione de capitae. Determina 'importo dea rata compessiva. E 1943,40Š Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 31

32 IL RIMBORSO GRADUALE a teoria eá a pag. 9 RICORDA n Ne'ammortamento progressivo e rate sono costanti e si cacoano con a formua R ˆ A n i i ˆ A. 1 1 i n n Ne'ammortamento uniforme a quota capitae eá costante e si cacoa con a formua C ˆ A n. Comprensione 55 In un ammortamento: a. gi interessi si cacoano sempre sua somma avuta in prestito b. i debito si estingue attraverso i pagamento dee rate periodiche c. ogni rata eá formata da una quota interesse e da una quota capitae d. in ogni rata a quota interesse eá decrescente. 56 In un ammortamento progressivo a rata eá: a. crescente b. costante c. decrescente 57 In un ammortamento progressivo i debito residuo dopo i pagamento dea k-esima rata si ottiene: a. sommando tutte e rate posteriori aa k-esima b. cacoando i vaore attuae dee restanti rate c. sommando e quote capitai versate fino a tempo k d. cacoando i vaore attuae dee rate giaá pagate. 58 In un ammortamento progressivo a k-esima quota capitae C k si cacoa con a formua: a. C k ˆ C 1 i k b. C k ˆ R E k c. C k ˆ C 1 1 i k 1 d. C k ˆ k C 1 59 In un ammortamento uniforme a rata eá: a. crescente b. costante c. descrescente 60 In un ammortamento uniforme a k esima quota interesse I k si cacoa con a formua: a. I k ˆ Aik b. I k ˆ Ai n k 1 n c. I k ˆ Ai n k 1 k d. I k ˆ Ai n k 1 k Appicazione Competa i piani di ammortamento nei casi indicati. 61 Un debito di E 8000 viene rimborsato a tasso annuo de 4% con 3 quote capitai come indicato nea seguente tabea: n C I R E D 0 ± ± ± ± Competa i piano di ammortamento. 32 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

33 62 eronica ha contratto un prestito die10000 da pagarsi con 4 rate annue a tasso annuo de 4,5% e e cui quote capitai sono indicate daa tabea che segue: n C I R E D 0 ± ± ± ± Competa i piano di ammortamento. 63 Sofia ha preso in prestito E a tasso annuo de 3,8%. Conviene con i creditore un rimborso graduae con quote capitai indicate nea seguente tabea. n C I R E D 0 ± ± ± ± Competa i piano di ammortamento. L'ammortamento progressivo RICORDA n Riportiamo e formue utii aa risouzione dei probemi: Ai Rata R ˆ A ˆ n i 1 1 i n Prima quota interesse I1 ˆ A i Prima quota capitae C1 ˆ R I 1 k - esima quota capitae Ck ˆ C 1 1 i k 1 Debito residuo dopo k versamenti Dk ˆ R a n k i Debito estinto dopo k versamenti Ek ˆ A D k 64 Cacoa a rata costante di un ammortamento progressivo sapendo che: a. A ˆ E i ˆ 0,04 n ˆ 5 E 4492,54Š b. A ˆ E i ˆ 0,06 n ˆ 8 E 8051,80Š c. A ˆ E i ˆ 0,05 n ˆ 7. E 3110,76Š 65 Cacoa a rata trimestrae costante in un ammortamento progressivo sapendo che: a. A ˆ 8000 E i 4 ˆ 0,02 n ˆ 5 trimestri E 1697,27Š b. A ˆ E j 4 ˆ 0,08 n ˆ 10 trimestri E 1669,90Š c. A ˆ E i 4 ˆ 0,015 n ˆ 7 anni. E 1144,03Š Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 33

34 66 Un prestito di E 8000 eá rimborsabie in 6 anni con ammortamento progressivo a tasso annuo de'8,25%. Determina a rata d'ammortamento. E 1743,67Š 67 Un prestito di E 5500 eá rimborsabie in 4 anni con ammortamento progressivo a tasso annuo de 9%. Determina a rata di ammortamento e redigi i piano di ammortamento reativo. E 1697,68Š 68 Un prestito di E eá rimborsabie in 6 anni con ammortamento progressivo a tasso annuo de 7%. Cacoa a rata di ammortamento e redigi e prime tre righe de piano di ammortamento. E 3881,22Š 69 Un debito di E 6300 eá rimborsabie in 3 anni con rate mensii costanti a tasso de 15% annuo nominae convertibie mensimente. Determina a rata mensie di ammortamento e redigi e prime 3 righe de piano di ammortamento. E 218,39Š 70 Cacoa a terza quota capitae C 3 in un ammortamento progressivo con i dati seguenti: a. C 1 ˆ 250 E i ˆ 0,05 E 275,63Š b. C 1 ˆ 1200 E i ˆ 0,04 E 1297,92Š c. C 1 ˆ 800 E i ˆ 0,06. E 898,88Š 71 Cacoa i debito residuo dopo i pagamento dea quarta rata D 4 in un ammortamento progressivo sapendo che: a. R ˆ 1234,88 E i ˆ 0,04 n ˆ 10 E 6473,41Š b. R ˆ 650,45 E i ˆ 0,055 n ˆ 6 E 1200,94Š c. R ˆ 965,50 E i ˆ 0,028 n ˆ 8. E 3606,09Š 72 Cacoa a durata di un ammortamento progressivo di cui sono noti i seguenti eementi: a. A ˆ E i ˆ 0,05 R ˆ 7344,17 E n ˆ 3Š b. A ˆ E i ˆ 0,03 R ˆ 2215,17 E n ˆ 6Š c. A ˆ E i ˆ 0,04 R ˆ 4752,89 E. n ˆ 8Š 73 ESERCIZIO GUIDA Un debito viene ammortizzato co sistema progressivo a tasso annuo de 5%, in 12 anni. Sapendo che a sesta quota capitae eá di E 15367,13, determina 'importo de debito. Usiamo a formua C 6 ˆ C 1 1 i 5 e reativamente ai dati de probema abbiamo 15367,13 ˆ C 1 1 0,05 5 da cui si ottiene C 1 ˆ 12040,55 E ,55 ˆ R I 1 >< I 1 ˆ A 0,05 Con i dati forniti e trovati si puoá impostare i seguente sistema: A R ˆ >: a Risovendo i sistema si ottiene A ˆ ,96 E 12 0,05 74 Un prestito eá rimborsabie in 16 anni con ammortamento progressivo. Sapendo che a quota di capitae reativa a dodicesimo anno eá doppia rispetto a quea reativa a quarto anno, determina i tasso a cui eá stato contratto i prestito. 9%Š 75 Un debito viene ammortizzato in 6 anni con i metodo progressivo a tasso annuo de 6%. Sapendo che a quarta quota capitae eá di E 1280,60, determina 'importo de debito e a composizione dea prima riga de piano di ammortamento. E 7500Š 76 Antonia ottiene un prestito a tasso annuo de 3,50% rimborsabie in 14 anni mediante ammortamento progressivo. Avendo nuove disponibiitaá economiche, aa sesta rata aggiunge E 566,50 ed estingue i debito. Cacoa 'importo de prestito. E 900Š 34 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

35 77 Determina 'importo di un prestito contratto a tasso annuo de 3% ed estinguibie in 15 anni, sapendo che i debito estinto dopo a nona rata annua costante eá di E 6718,51. E 12300Š 78 eicita ha un debito die 5000 e conviene con i suo creditore di ammortizzaro con i metodo progressivo. La seconda e a quarta quota capitae sono rispettivamente die 920,46 e die 1073,63. Determina i tasso annuo e a durata de'ammortamento. (Suggerimento: ricorda a formua dee progressioni geometriche a s ˆ a r q s r per cui C 4 ˆ C 2 1 i ::: ) 8%; 5 anniš 79 Otto anni fa, Angea contrasse un debito die 3000 da ammortizzare con metodo progressivo in 18 anni a tasso annuo de 4%. Sette anni fa, contrasse un atro prestito di E 5000 a 5% annuo, da rimborsare con o stesso metodo in 20 anni. Oggi ottiene di unificare i pagamento dee rate di rimborso e viene fissato un unico tasso de 5,25%. Determina a rata da pagare per i primo e per i secondo prestito; cacoa inotre i debiti residui a momento de'unificazione e a rata costante dopo aver unificato i rimborsi, per poter terminare i pagamento entro 10 anni. E 236,98; E 401,21; E 1922,12; E 3768,82; E 745,98Š Risovi i seguenti probemi su vaore di riscatto, sua nuda proprietaáe su'usufrutto. 80 Tre anni fa eá stato concesso un prestito a tasso annuo de 6%, rimborsabie in 10 anni, mediante rate annue costanti di E 2000; oggi si vuoe vautare i prestito a tasso annuo de 5%. Cacoa 'ammontare de prestito e i suo vaore odierno. E 14720,17; E 11572,75Š 81 Un prestito die eá ammortizzabie co metodo progressivo in 15 anni a tasso annuo de 7%. Sapendo che i vaore de prestito aa fine de'ottavo anno eá di E 6631,09, cacoa i tasso di vautazione. 9%Š 82 Un prestito die eá ammortizzabie con metodo progressivo in 12 anni a tasso annuo de 5%; dopo 4 anni i vaore de prestito eá die 7006,19 e, aa stessa epoca, 'usufrutto eá die 3552,76. Cacoa i tasso annuo di vautazione e a nuda proprietaá dopo i versamento de'ottava rata. 6%; E 3453,43Š 83 Davide ha ricevuto in prestito a somma die 7000 a tasso annuo nominae convertibie semestramente de 14%, da rimborsare in 18 semestri mediante rate semestrai costanti. Cacoa i vaore de prestito dopo i versamento dea decima rata, a nuda proprietaá e 'usufrutto dopo i versamento dea nona rata ad un tasso di vautazione de 6% annuo. Se appicassimo un tasso di vautazione annuo superiore a 6%, i vaore de prestito risuterebbe maggiore o minore rispetto a queo cacoato con i tasso a 6% annuo? E 4321,32; E 3337,81; E 1395,41Š 84 Un prestito contratto a tasso annuo de 6%, eá rimborsabie mediante 16 rate costanti annue di E 2000 ciascuna. Cacoa 'ammontare de prestito. Cacoa inotre a nuda proprietaá, i vaore de prestito e 'usufrutto dopo i nono versamento con tasso annuo di vautazione de a. 6% b. 8%. E 20211,79; a: E 8783,77; E 11164,76; E 2381,02; b: E 8156,67; E 10412,74; E 2256,07Š L'ammortamento uniforme RICORDA n Riportiamo e formue utii aa risouzione dei probemi: quota capitae C ˆ A n Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 35

36 k - esima quota interesse Ik ˆ Ai k - esima rata Rk ˆ C I k Debito estinto dopo k versamenti Ek ˆ k C Debito residuo dopo k versamenti Dk ˆ A E k n k 1 n 85 Cacoa a quota capitae costante in un ammortamento uniforme sapendo che: a. S ˆ E n ˆ 10 E 2300Š b. S ˆ E n ˆ 8 E 1375Š c. S ˆ E n ˆ 12 E 2916,67Š d. S ˆ E n ˆ 15. E 1333,33Š 86 Stendi i piano di ammortamento di un debito die 8000 estinguibie in 8 anni a tasso de 7% annuo con metodo uniforme. 87 Redigi i piano di ammortamento uniforme di un prestito di E 5000 rimborsabie con 8 rate semestrai a tasso de 6% annuo nominae convertibie semestramente. 88 Cacoa i debito estinto dopo i pagamento dea quinta rata E 5 in un ammortamento uniforme utiizzando i seguenti dati: a. C ˆ 2000 E E 10000Š b. C ˆ 1300 E E 6500Š c. A ˆ E n ˆ 20 E 14000Š d. A ˆ E n ˆ 8 E 10000Š e. A ˆ E D 5 ˆ E. E 9000Š 89 Un prestito di E 8000 eá rimborsabie in 8 anni mediante pagamento di quote costanti di capitae a tasso annuo de'8%. Cacoa a quota costante di capitae, i debito estinto a settimo anno, i debito residuo a quarto anno, e a composizione dea settima rata. C ˆE 1000; E 7 ˆE 7000; D 4 ˆE 4000; R 7 ˆE 1160Š 90 Cacoa a sesta quota interesse I 6 in un ammortamento uniforme sapendo che: a. A ˆ E i ˆ 0,05 n ˆ 20 E 600Š b. A ˆ E i ˆ 0,03 n ˆ 8 E 360Š c. A ˆ E i ˆ 0,06 n ˆ 10. E 300Š 91 Cacoa a durata di un ammortamento uniforme utiizzando i seguenti dati: a. A ˆ E C ˆ 2000 E n ˆ 20Š b. A ˆ E C ˆ 500 E n ˆ 50Š c. A ˆ E I 3 ˆ 533,33 i ˆ 0,05. n ˆ 6Š 92 ESERCIZIO GUIDA Un debito viene ammortizzato con i metodo dee quote costanti di capitae. Dopo i pagamento dea quinta rata i debito estinto eá di E 5000 e queo residuo eá di E Cacoiamo 'ammontare de debito e i numero dee rate. I vaore iniziae de debito eá a somma de debito estinto con i debito residuo aa medesima scadenza; esso eá quindi ˆ 8000 E Sappiamo anche che i debito estinto dopo i pagamento dea quinta rata eá E 5 ˆ 5C ˆ 5 A n 36 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

37 cioeá n ˆ 5000 da cui n ˆ 8 I probema puoá anche essere risoto utiizzando e formue reative a debito residuo e a debito estinto; prova ad usare questo secondo metodo e confronta i risutati ottenuti. 93 Un debito di E 6000 viene ammortizzato con metodo uniforme in 4 anni, a tasso de 10% annuo nominae convertibie semestramente, con versamenti semestrai. Determina a composizione dea sesta rata e a situazione de debito aa fine de secondo anno. C ˆ 750 E ; I 6 ˆ 112,50 E ; E 4 ˆ 3000 E ; D 4 ˆ 3000 E Š 94 Un prestito eá rimborsabie in 8 anni con metodo uniforme a tasso annuo de 4%. La quinta rata di ammortamento eá di E Trova 'ammontare de prestito. E 10000Š 95 Si deve ammortizzare un prestito con i metodo dee quote costanti di capitae. I debito residuo aa fine de primo anno eá die Sappiamo inotre che a quota capitae ammonta ae 3000 e a terza quota di interessi eá di E 300. Determina 'ammontare de debito, i tasso e a durata. E 12000; 5%; n ˆ 4Š 96 In un prestito ammortizzabie in 10 anni con i metodo uniforme, a quota di interesse diminuisce annuamente di E 12 e 'ammontare dea sesta rata eá di E 260. Determina 'ammontare de prestito ed i tasso annuo a cui eá stato concesso. E 2000; 6%Š IL LEASING a teoria eá a pag. 17 RICORDA n L'equazione che regoa un contratto di easing eá a seguente: in caso di pagamento di un maxicanone formato da p rate: C ˆ p R R a E 1 i k n n p i k in caso di pagamento di un acconto A : C ˆ A R a E 1 i k n n i k Comprensione 97 Indica, tra e seguenti, e voci che devono comparire in un contratto di easing: a. banca d'appoggio b. durata de contratto c. tasso de'operazione d. numero dei dipendenti de'azienda che stipua i contratto e. numero dei canoni da pagare f. tipo di contabiitaá in uso presso 'azienda g. numero dei canoni da pagare a'atto dea stipua de contratto h. vaore di riscatto i. uso che 'azienda deve fare de bene. 98 Se hai due proposte di easing per o stesso bene e vuoi sapere quae dee due ti eá piuá favorevoe devi: a. vautare quae societaá di easing ha presentato per prima i preventivo b. vautare quae dee due proposte ha i canoni di importo inferiore c. vautare i tasso a cui eá stata fatta 'operazione d. vautare quae dei due contratti ha un minor vaore di riscatto. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 37

38 Appicazione Risovi i seguenti esercizi sua determinazione de canone di ocazione. 99 Cacoa i canone mensie da corrispondere per 8 anni, a tasso de'1,65% mensie, per a ocazione di una macchina de costo di E E 416,57Š 100 Un attrezzo ginnico, i cui costo eá die 18000, viene preso in easing da una paestra, ae seguenti condizioni: pagamento di 12 canoni semestrai tutti di uguae importo tasso de 12% annuo convertibie semestramente. Determina i canone di ocazione. E 2146,99Š 101 Un'azienda stipua un contratto di easing per un impianto de vaore di E ae seguenti condizioni: pagamento aa stipua de contratto di un maxicanone di E pagamento di 36 canoni mensii posticipati a tasso annuo nominae convertibie mensimente de 9% vaore di riscatto dopo 3 anni di E Determina 'importo de canone. E 5602,45Š 102 Trova quanto bisogna pagare trimestramente per un contratto di easing de vaore di E dea durata di 2 anni ae seguenti condizioni: pagamento aa stipua de contratto di un maxicanone pari a'8% de vaore pagamento canoni trimestrai posticipati a tasso trimestrae de 2,6% vaore di riscatto aa scadenza di E E 2864,46Š 103 La ditta Bianchi, per un automezzo de vaore die 50000, stipua un contratto di easing che prevede i pagamento de 5% de suo vaore a'atto dea stipua, i pagamento di canoni posticipati costanti ogni 4 mesi a tasso de 5% semestrae e i riscatto dopo 6 anni con a somma die Quanto deve pagare a ditta periodicamente? E 3921,26Š 104 Una ditta ha stipuato un contratto easing dea durata di 3 anni per un automezzo. I contratto prevede i pagamento immediato die 2700 e poi 30 mensiitaá posticipate die 700 ciascuna. I vaore di riscatto, a termine dea ocazione, eá pari a 6% de capitae ocato. Determina i costo de'automezzo, sapendo che 'operazione finanziaria eá stata fatta a tasso de 6% annuo nominae convertibie mensimente. E 23325,34Š 105 ESERCIZIO GUIDA Una azienda ha stipuato un contratto di easing per 5 anni per un macchinario de vaore die I contratto prevede: pagamento di una certa somma aa stipua de contratto 1 pagamento di 54 mensiitaá posticipate d'importo pari ad dea somma precedente 6 vaore di riscatto di E Determiniamo e somme pagate sapendo che i tasso a cui eá stata fatta questa operazione eá de 24% annuo nominae convertibie mensimente. Cacoiamo i tasso mensie: i 12 ˆ 0,24 12 ˆ 0,02 Indichiamo con R a rata mensie e schematizziamo a situazione come nea figura di pagina seguente: 38 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

39 Impostiamo 'equazione: ˆ 6R R a 54 0, ,02 60 da cui R ˆ 628 E 106 I titoare di una azienda ha stipuato un contratto easing per 4 anni per un macchinario de vaore di E I contratto prevede: pagamento aa stipua de contratto di una certa somma pagamento di 44 mensiitaá posticipate costanti d'importo pari ad un quarto dea somma precedente vaore di riscatto a termine dea ocazione pari a 7% de capitae ocato. Determina e rate pagate sapendo che 'operazione eá stata compiuta a tasso de 2,5% mensie. E 1283,25Š 107 La ditta di trasporti "Prendi e ai" acquista in easing per 25 mesi un mezzo i cui costo eá di E I contratto stabiisce e seguenti condizioni: pagamento di una somma pari a 10% de costo a'atto dea stipua de contratto pagamento di 25 canoni mensii posticipati. Cacoa i canone di easing ne caso in cui: a. a termine de contratto non eá previsto i riscatto b. a termine de contratto si riscatta i mezzo con una somma pari a 2,5% de costo originae. I tasso de contratto previsto per entrambe e situazioni eá de'1,3% mensie. a: E 5087,73; b: E 4985,41Š Risovi i seguenti esercizi sua ricerca de tasso appicato a'operazione finanziaria. 108 I signor erdi stipua un contratto di easing per 3 anni per poter disporre di un macchinario de vaore di E 7232,58. I contratto prevede: i pagamento aa stipua de contratto di E 3000 pagamento di 6 rate quadrimestrai posticipate di E 600 ciascuna vaore di riscatto a termine dea ocazione di E Cacoa a quae tasso quadrimestrae eá stata fatta 'operazione. 5,5%Š 109 Una ditta ha bisogno di un nuovo macchinario de costo di E per a sua produzione. Decide di prendero in ocazione con un contratto di easing dea durata di 30 mesi con questi requisiti: pagamento iniziae E 3352,67 30 canoni mensii posticipati ciascuno di E 1750 vaore di riscatto E Cacoa i tasso mensie a cui eá stata fatta questa operazione. 1%Š ESERCIZI RIASSUNTII 110 Tommaso ha un debito die 6000 che doveva essere ammortizzato in 11 anni co metodo americano a tasso di interesse annuo de'8%. I tasso con cui viene fatta a costituzione de capitae eá de 2,5% annuo. Pagata a quinta rata, Tommaso si accorge di non essere in grado di fare i versamenti previsti in Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 39

40 banca per i 3 anni successivi e paga quindi soo gi interessi a creditore. Determina: a. a rata che avrebbe dovuto pagare E 960,63Š b. 'interesse che versa a creditore negi anni in cui sospende a costituzione E 480Š c. a somma che versa in banca negi utimi 3 anni E 998,23Š d. a rata compessiva negi utimi 3 anni. E 1478,23Š 111 Maria Grazia contrae un prestito di E 4500 a cui rimborso provvede mediante ammortamento americano in 9 anni. I tasso de prestito eá de 9,5% annuo, mentre i tasso fissato con 'istituto bancario per i versamenti da farsi per a costituzione de capitae eá de'8% annuo. Dopo 7 anni e 5 mesi, d'accordo con i creditore, decide di estinguere anticipatamente i debito pagando, otre a capitae dovuto, anche gi interessi maturati nei 5 mesi trascorsi dopo 'utimo pagamento degi interessi. Determina quae versamento Maria Grazia ha effettuato annuamente per i primi 7 anni e cacoa inotre gi interessi reativi ai 5 mesi. E 787,86; E 178,12Š 112 Un prestito rimborsabie mediante metodo americano in 10 anni, ha a rata annua compessiva di E 5033,16; i tasso di impiego dee quote versate in banca eá de 2% annuo e i fondo costituito a sesto anno eá di E 2571,21. Cacoa a quae tasso eá stato fatto i prestito ed i suo vaore iniziae. 11%; E 25000Š 113 Armando ha un debito die 8000 che doveva essere ammortizzato in 14 anni con i metodo americano; i tasso appicato daa banca eá de 4% annuo. Egi, versata a decima quota, eá costretto a preevare E 1000; per costituire aa scadenza fissata a somma prevista eá quindi costretto ad aumentare 'importo dei futuri versamenti. Determina i fondo costituito dopo i versamento dea decima rata e 'importo dea rata da versare per gi utimi 4 anni. E 4250,89; E 712,84Š 114 ora ha contratto un debito che si impegna ad ammortizzare con i metodo progressivo in 15 anni. Sapendo che i tasso di ammortamento eá de'8% annuo e che i debito estinto dopo i pagamento dea nona rata eá die 18396,46, determina i vaore de debito e a rata di ammortamento. Dopo aver versato a decima rata, ora conviene con i creditore di estinguere i rimanente debito con 3 versamenti annui costanti posticipati. Cacoa a nuova rata annua. E 40000; E 4673,18; E 7240,18Š 115 Un prestito di E eá rimborsabie in 16 anni a tasso annuo de 6,5% mediante ammortamento progressivo. Dopo aver pagato a nona rata i debitore ottiene di pagare per 3 anni una rata inferiore di E 500 rispetto a quea originaria e di riprendere in seguito 'ammortamento con rate costanti in modo da competare i rimborso a ventitreesimo anno. Determina 'importo dea rata originae e dea rata modificata. E 1842,80; E 1029,08Š 116 Pietro contrae un prestito di E da rimborsare mediante i versamento di 20 rate annue costanti posticipate. Dopo i versamento de'ottava rata ottiene di modificare i piano sospendendo i versamenti per 2 anni e riprendendo poi a pagare una nuova rata annua in modo da competare i rimborso con un anno di anticipo rispetto aa data prefissata. Determina 'importo dea rata originaria e quea dea rata modificata, sapendo che 'operazione finanziaria eá stata fatta a tasso annuo de 10,75%. E 3705,85; E 5341,44Š Per a verifica dee competenze 1 Dieci anni fa hai avuto un prestitoe30000 convenendo un rimborso gobae a tasso de 4,6%. Quanto devi restituire oggi? E 47036,84Š 2 Diego ha contratto un debito di E da restituire dopo 4 anni, convenendo i rimborso gobae de 40 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

41 capitae e i pagamento semestrae degi interessi a tasso semestrae de 3%. Cacoa 'importo degi interessi semestrai. Se invece avesse concordato un rimborso gobae sia de capitae che degi interessi, quanto avrebbe restituito aa scadenza? I ˆE 360; M ˆ 15201,24Š 3 Armando ha avuto un prestito die5800 a tasso de 5% che dovraá restituire, insieme agi interessi, fra 8 anni; oggi, trascorsi 6 anni, ottiene di riscattare i debito a tasso corrente de 2,8% annuo. Cacoa: a. quae somma avrebbe dovuto restituire aa scadenza, cioeá 8 anni dopo i prestito E 8569,24Š b. i vaore di riscatto oggi E 8108,79Š c. i tasso effettivo de prestito. 5,74% Š 4 Ornea, 9 anni fa, ha contratto un debito di E ad un tasso de 6,5% da restituire con ammortamento americano. Cacoa a rata annua posticipata compessiva sapendo che i tasso di costituzione eá de 2,5% annuo. E 8272,84Š 5 Un debito di E viene contratto a 6% annuo, con e seguenti modaitaá: rimborso dopo 8 anni e pagamento annuo degi interessi. Cacoa i vaore di riscatto, a nuda proprietaá e 'usufrutto dopo 5 anni, a tasso di vautazione de 5% annuo. Interpreta poi i risutati da punto di vista economico. 5 ˆ 10272,32 E ; P 5 ˆ 8638,38 E ; U 5 ˆ 1633,95 E Š 6 Un debito di E eá rimborsabie con ammortamento uniforme a tasso annuo de 5,5% in 10 rate. Determina: a. a quota capitae costante E 3000Š b. a quinta quota interesse E 990Š c. i debito estinto dopo i pagamento dea sesta rata E 18000Š d. i debito residuo dopo i pagamento de'ottava rata E 6000Š e. a composizione dea nona rata. I 9 ˆ 330 E ; R 9 ˆ 3330 E Š 7 I signor Bianchi stipua un contratto di easing ae seguenti condizioni: a. costo de bene E b. pagamento di 12 canoni trimestrai c. pagamento de 10% de vaore de bene aa stipua de contratto d. tasso trimestrae de'1,1% e. vaore di riscatto E 2000 f. indicizzazione de contratto. Dopo i versamento de 4 o canone i tasso scende di mezzo punto percentuae. Cacoa i canone originario e queo variato in conseguenza dea indicizzazione. R ˆ 3061,98 E ; D 4 ˆ 25158,85 E ; R 1 ˆ 2985,56 E Š Risutati di acuni esercizi. 1 a., b., c., d. 2 a., b., c., d. 3 d. 4 b. 5 b. 6 a. 7 a. 8 a. 9 c. 10 d. 11 b. 26 c. 27 b. 28 a. 29 b. 30 c. 55 a., b., c., d. 56 b. 57 b. 58 c. 59 c. 60 b. 97 b., c., e., g., h. 98 c. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 41

42 Testfinae di autovautazione 1 In un ammortamento i due eementi che diminuiscono di rata in rata sono: a. i tasso di vautazione e a quota capitae b. a quota capitae e i debito residuo c. i debito estinto e a quota interesse d. a quota interesse e i debito residuo. 3 punti 2 Hai avuto in prestitoe1000 e puoi scegiere tra un rimborso gobae oppure un rimborso gobae de capitae e i pagamento periodae degi interessi. Quae decisione prendi? a. Scegi a prima modaitaá percheá compessivamente paghi una somma minore rispetto aa seconda modaitaá. b. Scegi a seconda modaitaá percheá compessivamente paghi una somma minore rispetto aa prima modaitaá. c. E' indifferente percheá a somma che paghi compessivamente eá a stessa. 5 punti 3 Aurora ha chiesto un prestito di E a tasso mensie deo 0,8% e i creditore e chiede di pagare anticipatamente gi interessi. Quanto riceve Aurora e quanto restituisce dopo un anno avendo pattuito un rimborso gobae de capitae e mensie degi interessi? a. Riceve E e aa scadenza restituisce E avendo pagato a'inizio di ogni mese E 80 di interesse. b. RiceveE10000 e aa scadenza restituiscee10080 avendo pagato a'inizio di ogni mesee80 di interesse. c. RiceveE9920 e aa scadenza restituiscee9920 avendo pagato a'inizio di ogni mese E 80 di interesse. d. RiceveE9920 e aa scadenza restituiscee10000 avendo pagato a'inizio di ogni mesee80 di interesse. 8 punti 4 Paoo ha contratto un debito di E 5000 che si impegna a restiture fra un anno pagando bimestramente gi interessi a 6% annuo. Ogni bimestre Paoo paga: a. 300 E b. 50 E c. 150 E d. 30 E 8 punti 5 Per pagare un debito di E 12000, contratto a tasso de 5%, convieni con i creditore 'ammortamento americano. La restituzione deve avvenire dopo tre anni e a banca presso cui i debitore deposita e rate per a costituzione dea somma da restituire appica i tasso annuo de 2%. I debitore: a. paga a creditore aa fine di ogni anno E 600 e deposita in banca aa fine di ogni anno E 4000 b. paga a creditore aa fine di ogni anno E 600 e deposita in banca aa fine di ogni anno E 3921,06 c. paga a creditore aa fine di ogni anno E 3921,06 e deposita in banca aa fine di ogni anno E 600 d. paga a creditore aa fine di ogni anno E 4000 e deposita in banca aa fine di ogni anno E 600. I creditore: e. riceve aa fine di ogni anno E 600 come interesse e E 3921,06 come rata f. riceve aa fine di ogni anno E 600 come interesse e E 4000 come rata g. riceve aa fine di ogni anno E 600 come interesse e E dopo 3 anni h. riceve dopo 3 anni E 12600: 12 punti 6 Cacoa quanto dovrai restituire per pagare un debito di E 24000, contratto a tasso semestrae de 2,1%: a. con rimborso gobae dopo 4 anni b. con rimborso gobae de capitae dopo 4 anni e semestrae degi interessi. 42 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

43 Ne'ipotesi che i contratto preveda 'opzione b., i creditore investe gi interessi semestrai in un'atra operazione finanziaria che gi rende i 2,1% annuo e, aa scadenza de prestito, ritira sia i capitae sia quanto maturato daa seconda operazione. Qua eá i vaore de capitae che ottiene aa fine? Dai risutati ottenuti quai concusioni puoi trarre? 14 punti 7 Un debito di E verraá restituito mediante e quote capitai indicate nea tabea che segue. Competaa sapendo che i tasso di remunerazione eá de 4,8%. n C I R E D punti 8 Hai avuto in prestito E da rimborsare in 5 anni con ammortamento progressivo a tasso annuo de 3,5%.Cacoa: a. a rata b. a seconda quota capitae c. a terza quota interesse d. i debito estinto dopo i pagamento dea seconda rata e. i debito residuo dopo i pagamento dea quarta rata. 14 punti 9 Una ditta di trasporti prende in ocazione un automezzo de costo di E ae seguenti condizioni: - durata de contratto 4 anni - maxicanone pari a vaore di 8 canoni - pagamento, a partire daa fine de primo mese, di atri 48 canoni mensii a tasso mensie deo 0,06% - vaore di riscatto aa fine de quarto anno pari a 5% de costo de'automezzo. Cacoa i canone mensie di ocazione. 12 punti Esercizio Totae Punteggio oto: totae 10 1 ˆ Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 43

44 Souzioni 1 d. 2 c. 3 d. 4 b. 5 b., g. 6 a. M ˆ ,13 E b. aa fine di ogni semestre E 504 e aa scadenza E E 504 c. M ˆ ,13 E 7 n C I R E D a. R ˆE 3322,22, b. C 2 ˆE 2895,12, c. I 3 ˆE 325,77, d. E 2 ˆE 5692,35, e. D 4 ˆE 3209,87 9 R ˆE 791,40 44 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS