Liceo Scientifico G. Stampacchia Tricase Oggetto: compito in classe 1D

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1 L.Lecci\Compito 1D-PNI\ maggio 00 1 Liceo Scientifico G. Stampacchia Tricase Oggetto: compito in classe 1D Tempo a disposizione 10 minuti Argomenti: Teorema del resto- Divisione fra polinomi e fattorizzazione - Equazioni numeriche e letterali di primo grado- Problema di primo grado numerico ad un incognita Problema geometrico di primo grado- Problemi di geometria sintetica - Sistemi di equazioni di primo grado Informatica. Soluzione Algebra Es_1) (m) Considerato il polinomio P( x) = 8ax ax + (1 a) x + a 1, dopo aver determinato il valore del parametro a per il quale la divisione Px ( ):( x+ ) è esatta, scomporre in fattori il corrispondente polinomio P(x). Es_)(m) Risolvere e discutere la seguente equazione letterale nell incognita x mx + mx 0 = x x x+ Es_3)(m) Problema numerico di primo grado. Determinare i due numeri naturali pari consecutivi tali che i tre mezzi del minore superano di i cinque quarti del maggiore. Es_) (m)risolvere i seguenti sistemi di equazioni 3 9 = 0 x y x + y x+ y = + a.1. x y ( a 1) x+ ( a+ ) y = a y = 8 5 Geometria Problema_1 Si consideri un triangolo scaleno ABC con AB>AC e si prenda su AB il punto C in modo che AC AC e sulla semiretta del lato AC il punto B in modo che si abbia AB AB. Dimostrare che il quadrilatero BB CC è un trapezio isoscele. Problema_ (m) Nel quadrilatero convesso ABCD per le ampiezze degli angoli interni è noto che: 3 B ˆ = A ˆ, C ˆ = B ˆ, Dˆ = Bˆ + Cˆ Aˆ. 1) Determinare le ampiezze degli angoli interni del quadrilatero e classificare il poligono. ) Si supponga che CD AD e si tracci la bisettrice dell angolo interno ˆD ; sia E il punto in cui tale semiretta incontra il lato AB..1 Determinare le ampiezze degli angoli dei triangoli ADE, DEC, ECB.. Dimostrare che la diagonale AC taglia il segmento DE nel suo punto medio..3 Costruire la figura geometrica relativa al problema in modo che abbia le proprietà indicate. Informatica Costruire un programma in T.P. che risolve il seguente problema: L utente deve dare in input due numeri naturali A, B con A 100 e B 1000 ed il programma deve stampare tutti i multipli di A che non superano il numero B. L output fornito deve presentare i multipli di A disposti su righe contenenti 10 numeri ed indicare quanti multipli sono stati stampati. N.B. Nel programma si deve prevedere il controllo per la qualità dei numeri A e B inseriti; se i dati non rispettano i criteri indicati si deve segnalare un messaggio di errore per l utente e consentire la reimmissione di dati adeguati.

2 L.Lecci\Compito 1D-PNI\ maggio 00 Soluzione Algebra Es_1) P( x) = 8ax ax + (1 a) x + a 1 (1) Valore del parametro a Ricordiamo che nella divisione tra polinomi del tipo Px ( ):( x+ α), in virtù del teorema del resto, il resto R della stessa può essere determinato senza eseguire la divisione e risulta: R=P(-α). Ciò premesso, calcoliamo il resto della divisione proposta. Si ha: R= P( ) = 8 a( ) a( ) + (1 a)( ) + a 1= 75a 5 Poiché si vuole che la divisione sia esatta dovrà essere nullo il resto trovato e dunque il parametro a deve essere soluzione dell equazione 1 75a 5 = 0 a= Sostituendo questo valore al parametro nel polinomio P(x), dopo semplici operazioni si ha: Px ( ) = x + x + x Scomposizione in fattori di P(x) Osserviamo preliminarmente che il polinomio P(x) si può scrivere nella forma Px ( ) = (x x 8x+ ) Per scomporre in fattori il polinomio (x x 8x+ ) si può procedere velocemente tramite raccoglimenti parziali e successivamente tener conto del caso notevole della differenza di due quadrati. Riportiamo di seguito i passaggi. Px ( ) = x(x 1) (x 1) = ( x )(x 1) Px ( ) = ( x+ )( x )(x 1) Es_) L equazione in esame è razionale fratta e presenta il parametro m. Per la risoluzione è necessario precisare il dominio di definizione, cioè per quali valori dell incognita x ha senso, e di ciò si dovrà tener conto nell individuazione dell eventuale soluzione. Si riconosce immediatamente che il denominatore della seconda frazione è lo sviluppo del quadrato (x-) e quindi l equazione si può porre nella forma mx + mx 0 = (.1) x ( x ) Il primo membro ha senso per ogni valore reale x. L equazione si può trasformare nella seguente forma equivalente ( mx + )( x ) mx ( mx + )( x ) mx = 0 = 0 (.) ( x ) x Dopo aver eseguito i prodotti e semplificato l espressione si ricava ( m 1) x= (.3) Quest equazione ammette soluzione se (m-1) 0, cioè se m 1 ed è x = 1 m. Occorre però discutere l accettabilità del valore trovato come soluzione dell equazione di partenza, verificare, quindi, che sia x = 1 m. Ebbene, poiché con m 1 si ha:

3 L.Lecci\Compito 1D-PNI\ maggio 00 3 m 0 1 m = = deduciamo che per m=0 il valore trovato non è accettabile come soluzione dell equazione (.1) perché coincide proprio con il valore (che non appartiene al dominio di definizione) e quindi non Discussione dell equazione ( m 1) x =, con x essendoci altra soluzione Caso Risultato l equazione è impossibile. Se m=0 L equazione è impossibile perché si ricava Se m=1 l equazione (.3) si x= che non è accettabile come soluzione. riduce alla forma Se m=1 L equazione si riduce alla forma 0x= - 0x= - che non è soddisfatta da alcun valore di x, che è impossibile. dunque l equazione è impossibile. Se m 0 ed m 1 l equazione Se (m 0) e (m 1) L equazione è determinata e la soluzione è è determinata e la soluzione è: x = 1 m. x = 1 m Es_3) Problema numerico di primo Formalizziamo il problema. Indichiamo con x il minore dei due numeri naturali pari richiesti; il successivo è x+. La condizione cui devono verificare i due numeri porta alla seguente equazione: 3 x= 5 ( x+ ) + Liberando l equazione dai denominatori otteniamo 6x= 5x x= 18 I due numeri richiesti sono pertanto 18 e 18+=0. Es_) Risoluzione dei sistemi = 0 x y x + y x y y = 8 5 La prima equazione è razionale fratta e per la sua esistenza è necessario imporre le due condizioni x y 0, x+ y 0. Ciò premesso si riducono le due equazioni alla forma normale: 3( x+ y) 9( x y) = 0 6x+ 1y= 0 x= y x= 0 5( x y) 8y = 80 5x 18y= 80 8y= 80 y = 10 La coppia dei valori trovati verifica le due condizioni di esistenza, quindi si accetta come soluzione del sistema.. x+ y = + a ( a 1) x+ ( a+ ) y = a Il sistema è letterale e le due equazioni, intere, sono già ridotte alla forma normale. Il metodo che meglio consente di risolvere e discutere il sistema è quello di Cramer. Lo applichiamo. Calcoliamo i tre determinati. D= 1 ( ) ( 1) 5 a 1 a+ = a+ a = a+ ;

4 L.Lecci\Compito 1D-PNI\ maggio 00 + a 1 Dx = = a+ a = a a+ a a+ ( ) ( ) ( 5) + a Dy = = ( a) ( a 1)( + a) = ( a+ 5)( a ) a 1 a Discussione Se risulta D 0, quindi per a -5, il sistema è determinato e la soluzione è: Dx a( a+ 5) Dy ( a+ 5)( a ) x = = = a ; y = = = a D a+ 5 D a+ 5 Per a = -5 D=0, D x =0, Dy=0 e perciò il sistema è indeterminato, ammette cioè infinite soluzioni. Per ricavare la forma algebrica delle soluzioni poniamo a = -5 nelle equazioni del sistema x+ y = 5 x+ y = 3 x+ y= 3 ( 5 1) x+ ( 5+ ) y= ( 5) 6x 3y= 9 x+ y= 3 Come si vede le due equazioni che compongono il sistema sono coincidenti e quindi per determinare le soluzioni del sistema basta considerare una delle due. Le infinite soluzioni si possono ottenere fissando arbitrariamente il valore di una delle due incognite e determinando il valore della seconda in funzione di quello della prima. Per esempio, ponendo x =α y=-3-α. Le infinite soluzioni del sistema sono allora le coppie ordinate (α;-3-α), con α R. ;

5 L.Lecci\Compito 1D-PNI\ maggio 00 5 Geometria Problema_1 Facciamo riferimento alla Fig.1 Per dimostrare la tesi che il quadrilatero B B C C è un trapezio isoscele occorre provare che ha due lati paralleli e che i lati obliqui sono tra loro congruenti, oppure che sono tra loro congruenti gli angoli adiacenti a ciascuna base. Ebbene, per costruzione sappiamo che AC AC e che AB AB, dunque i due triangoli ACC, ABB sono isosceli rispettivamente sulle basi CC, BB ; poiché i due triangoli hanno in comune l angolo nel vertice A, ricordando che la somma degli angoli interni di un triangolo misura 180, deduciamo che hanno la stessa ampiezza anche gli angoli alle due basi CC, BB. A questo punto, considerando i due angoli AC C, ABB possiamo osservare che formano una coppia di angoli corrispondenti rispetto alle rette delle basi CC, BB tagliate dalla trasversale AB e pertanto sono paralleli i segmenti CC, BB, dunque il quadrilatero CC BB è un trapezio. Osserviamo ancora che sussiste la seguente catena di congruenze C B AB-A C AB -AC C B e quindi il trapezio ha anche i lati obliqui congruenti, perciò è isoscele. Problema_ 1) Facciamo riferimento alla figura Fig.a In virtù delle ipotesi sulle ampiezze degli angoli 3 B ˆ = A ˆ, C ˆ = B ˆ, Dˆ = Bˆ + Cˆ Aˆ, indicando brevemente con x l ampiezza dell angolo nel vertice A si ha 3 Â = x, Bˆ = x, ˆ C = x, Dˆ = x+ x x= x e ricordando che la somma degli angoli interni di un quadrilatero convesso è due angoli piatti possiamo impostare l equazione nell incognita x: 3 3 x+ x+ x+ x= 360 che risolta fornisce x=60. Le ampiezze degli angoli del quadrilatero sono allora: ˆ 3 A = 60, Bˆ = Cˆ = 60 = 90, D ˆ = 60 = 10 Classificazione del poligono Il quadrilatero ha due angoli consecutivi retti, B ˆ = Cˆ = 90 per cui i lati AB, DC sono paralleli tra loro perché perpendicolari allo stesso lato BC e quindi il quadrilatero è un trapezio rettangolo. ).1 Ampiezze degli angoli dei triangoli ADE, DCE, ECB. Triangolo ADE

6 L.Lecci\Compito 1D-PNI\ maggio 00 6 L angolo DAE ˆ misura 60 ; inoltre sapendo che DE è bisettrice dell angolo ADC che misura 10 si deduce che ADE ˆ =60 e quindi anche il terzo angolo AED ˆ misura 60 il triangolo ADE è equilatero. Triangolo DCE Sappiamo per ipotesi che DC AD e che dall essere equilatero il triangolo ADE si ha anche DE AD ; per transitività ricaviamo che il triangolo DCE è isoscele sulla base CE. Osservato ora che CDE ˆ = 60 scaturisce che il triangolo è addirittura equilatero DCE ˆ = 60. Triangolo ECB Questo triangolo ha l angolo retto nel vertice B ed inoltre risulta BCE ˆ = BCD ˆ DCE ˆ = = 30 Pertanto il terzo angolo BEC ˆ misura 60.. Dimostrare che la diagonale AC taglia il segmento DE nel suo punto medio Avendo acquisito che sono equilateri i due triangoli ADE, DEC, si deduce che i segmenti DC ed AE, paralleli tra loro, sono anche congruenti e quindi il quadrilatero ADCE è un parallelogramma (esso è addirittura un rombo perché ha due lati consecutivi congruenti). Osservato che AC e DE sono le diagonali del parallelogramma ADEC e ricordando che in un parallelogramma le diagonali si tagliano scambievolmente a metà si deduce che il punto M in cui AC taglia DE è il punto medio di quest ultimo segmento..3 La figura Fig.b rappresenta un quadrilatero con le caratteristiche geometriche descritte nel testo. Informatica Riportiamo la codifica di una soluzione del problema proposto. Program Mult_A_B; Uses Crt; Var A,B,I,ContaM:Integer; Begin Clrscr; Write(' Inserisci due numeri naturali A e B positivi, con A<=100 e B<=1000;'); Writeln('il programma stampa tutti i multipli di A che non superano B.'); Repeat Write(' A= '); Readln(A); If (A>100) Or (A<=0) Then Write(' il numero non è accettabile;inseriscine un altro. 0<A<=100 '); Until (A>0) and (A<=100); Repeat Write(' B= '); Readln(B); If (B>1000) Or (B<=0) Then Write(' il numero non è accettabile;inseriscine un altro. 0<B<=1000'); Until (B>0) and (B<=1000); If (A>B) Then Writeln('Non esistono multipli di ', A,' non superiori a ', B) Else Begin Textcolor(1);Writeln(' Multipli di ', A,' che non superano ',B); ContaM:=0;I:=0; Repeat I:=I+1; If (A*I<=B) Then Begin Write(A*I:3,' '); ContaM:=ContaM+1; (* contatore dei multipli stampati*) If (ContaM Mod 10) = 0 Then Writeln; (* Su ogni riga si scrivono massimo 10 multipli.*);

7 L.Lecci\Compito 1D-PNI\ maggio 00 7 End; Until (A*I>B); Writeln; Textcolor(); Writeln(' Sono stati stampati ',ContaM,' multipli di ',A); End; Repeat Until Keypressed; End.