Esame di stato 2016/2017

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1 Esame di stato 6/7 Soluzioni a cura di: Prof. Francesco Marinelli e Prof. Matteo Capati Soluzione al problema n. Punto n. Consideriamo la funzione f: R R, periodica di periodo T = 4 il cui grafico, nell'intervallo [; 4], è il seguente: CONTINUITÀ La funzione f è continua dal momento che, come si vede dal grafico, non presenta punti di discontinuità. La periodicità della funzione assicura quindi la continuità su tutti i numeri reali. Formalmente in ogni punto Dom lim f () = f ( ) DERIVABILITÀ [;4] La funzione nell intervallo I = [;4] presenta due punti angolosi per = ed = infatti

2 lim f '() = mentre lim + f '() = lim f '() = mentre lim f '() = + La derivata è stata calcolata tenendo conto che la funzione f() è formata da tre rette distinte il cui coefficiente angolare vale rispettivamente,-,. Pertanto f() non è derivabile nei punti + 4k, + 4k + k GRAFICO DELLA DERIVATA la funzione f può essere così espressa f () = se + se < 4 se < 4 quindi la derivata g() = f () ha andamento g() = se < < se < < se < < 4 g() - 4

3 GRAFICO DELLA PRIMITIVA La primitiva h() rappresenta l area sottesa dal grafico di f al variare dell estremo superiore di integrazione. Tale funzione ha come derivata prima la funzione f stessa. Studiando f notiamo che dove il grafico di f è maggiore di zero g deve essere crescente, dove è minore di zero g deve essere decrescente Dove f è crescente la concavità di g sarà rivolta verso l alto, dove f è decrescente la concavità di g è verso il basso. Inoltre essendo h() = f (t)dt : h() = f (t)dt = h() = f (t)dt = / Perché è l area compresa tra e Perché è l area compresa tra e h() = f (t)dt = h() = f (t)dt = / Area compresa tra e.. 4 h(4) = f (t)dt = Quindi il grafico di h() sarà del tipo h ().5 4

4 Punto Il periodo della funzione sinusoidale s() = sin(b) è dato da T = π b Imponendo che T = 4, si ha che b = π I grafici delle funzioni f ed s nell'intervallo [;] sono riportati nella seguente figura dove sono evidenziate le tre regioni in cui le due curve dividono la porzione quadrata OABC. Per determinare le probabilità che un punto preso a caso all'interno del quadrato OABC ricada in ciascuna delle tre regioni, dobbiamo ricavare le aree di queste tre regioni e poi calcolare il rapporto delle singole aree con l'area totale del quadrato. (I) s() (II) Area III = f ()d = d = / (Per svolgere il calcolo basta riconoscere che si tratta dell area di metà di un quadrato di lato ). quindi P(III) = Area(III) = / =,5 = 5% Areatot = f() (III) Area II = (s() f ())d = [sin( π ) ]d = π cos(π )] = π quindi 4 P(II) = Area(II) Areatot = π,7 =,7 %

5 π π Area (I) = - Area (II) - Area (III) = e dunque P(I) = =,6 = 6, % Punto n. Le funzioni s() e f(), essendo entrambe minori di, nell'intervallo considerato, diminuiscono il proprio valore una volta elevate al quadrato. In base a questo ragionamento l'area (I) aumenta in quanto il suo margine inferiore si sposta verso il basso, mentre l'area (III) diminuisce poiché è il suo margine superiore che si sposta verso il basso. Più delicato è valutare il cambiamento dell area (II). la regione (II) si 'abbassa' in quanto si abbassano entrambi i contorni. Per capire però se la sua estensione aumenta o diminuisce dobbiamo considerare che la funzione f è minore della funzione s lungo tutto l'intervallo [;], e dunque la potenza quadratica diminuisce il valore di f più di quanto diminuisca quello di s. Questo vuol dire che f si 'muove' verso il basso più velocemente di s facendo sì che l'area (II) aumenti. Concludendo: l'area (I) aumenta l area (II) aumenta l'area (III) diminuisce (I) s() (II) f() (III) La risposta così data era qualitativa. Se vogliamo quantificare quanto cambiano le aree dobbiamo svolgere qualche integrale definito (omettiamo alcuni passaggi per semplicità): A(III) = A(II) = f () d = d = / (s() f () )d = sin ( π )d d = 6 A(I) = Area (I) = - Area (II) - Area (III) = 5

6 Punto 4 Il volume di solido generato dalla rotazione attorno all'asse y della porzione di piano compresa tra il grafico di una generica funzione positiva p(), e l'asse delle per [a;b], è dato da: π b a p()d Nel nostro caso dovremo calcolare il volume che si ottiene dalla rotazione attorno all'asse y della regione di piano evidenziata in figura. h ().5 Occorre però calcolare h() in maniera esplicita, nell intervallo [;] se [ ;] h() = f (t)dt = t dt = se [ ;] h() = f (t)dt = t dt + ( t + )dt = + t + t = + N.B. La funzione h() può essere trovata anche svolgendo integrali definiti della funzione f() in ciascuno dei due intervalli [,] e [,]. Per calcolare poi i valori delle costanti c basta imporre il passaggio delle parabole ottenute per particolari punti, ricavati al momento della costruzione del grafico di h(). 6

7 Troviamo infine il volume richiesto V = π h()d = π d + = π d + + d = = π π = π 4 + π = 8π!,7 = + d = 7