Option Pricing con il modello di Heston

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1 POLITECNICO DI MILANO Facoltà di Ingegneria dei Sistemi Option Pricing con il modello di Heston Relatore: Prof. Carlo Sgarra - Politecnico di Milano Correlatore: Dott. Martino De Prato - Mediobanca Elaborato di Giovanni Maienza Matr Ottobre 2007

2 Indice 1 Introduzione 3 2 Da Black-Scholes ai modelli a volatilità stocastica Il modello di Black-Scholes e il concetto di volatilità implicita Il modello di Black-Scholes Prezzo di un opzione europea Definizione di volatilità implicita Lo smile di volatilità Principali Modelli a Volatilità Stocastica La volatilità come variabile La volatilità come processo stocastico Modelli a volatilità stocastica Distribuzione dei prezzi nei modelli a volatilità stocastica Il prezzo del rischio di volatilità Bilancio sui modelli a volatilità stocastica Il modello di Heston Descrizione del modello Distribuzione dei rendimenti Incompletezza dei mercati e rischio di volatilità Prezzo di un opzione europea Implementazione Calibrazione del modello Simulazione dell andamento dei prezzi Vantaggi e svantaggi del modello di Heston Simulazione con metodi Monte-Carlo I metodi Monte-Carlo L algoritmo di calcolo Teorema Centrale del Limite Controllo dell errore

3 INDICE Implementazione dello schema di Broadie e Kaya Architettura implementativa Aggiornamento della volatilità Integrale di volatilità Integrale stocastico di volatilità e aggiornamento del prezzo Risultati sperimentali Distribuzione dei Rendimenti Impatto di σ e ρ Comportamento nelle code Prestazioni dell algoritmo Conclusioni Metodologia Risultati ottenuti Considerazioni Finali A Derivazione della Trasformata di Laplace dell integrale di volatilità 75

4 Capitolo 1 Introduzione La modellizzazione dei mercati finanziari è un aspetto molto importante per una banca, soprattutto quando strategie di copertura vengono applicate sui portafogli gestiti. La spinta all implementazione di sempre nuovi modelli è data quindi dalla necessità di essere competitivi sul mercato; si tratta di una competizione sui prezzi dei contratti finanziari scambiati che cela però in sè una reale competizione tecnologica incentrata sulle tecniche di pricing. Questo lavoro nasce da un esperienza di stage con il team di analisti addetti alla strutturazione e al pricing presso Mediobanca S.p.A. L obiettivo di questo lavoro è l implementazione del modello di Heston per il pricing di opzioni su titoli azionari. Il risultato di questo lavoro è destinato ad integrarsi in una libreria finanziaria molto ampia e già esistente, in modo che i risultati prodotti possano interagire con gli altri modelli già implementati, per esempio i modelli sui tassi di cambio. Per soddisfare questa esigenza il codice utilizzato è stato C++. Nella prima parte vi è un introduzione ai modelli a volatilità stocastica. Partendo dal modello di Black-Scholes, considerato come uno standard nella modellizzazione dei mercati finanziari, si analizzano alcune sue anomalie rispetto ai mercati osservati e si introducono nuovi modelli nati per correggere questi difetti: i modelli a volatilità stocastica. Il capitolo successivo presenta il modello di Heston: uno specifico modello a volatilità stocastica che ha riscosso successo nell industria finanziaria in particolare nel pricing di alcune tipologie di prodotti derivati. Vengono presentate le sue caratteristiche principali e si introducono i problemi legati alla sua implementazione. In particolare si distinguono 2 problemi differenti: la calibrazione del modello e la simulazione della distribuzione di probabilità del rendimento di un titolo azionario con metodi Monte-Carlo. Nell ultimo capitolo quindi si propone una via risolutiva per il problema della simulazione dell andamento dei prezzi nel tempo, ottenuto grazie al 3

5 1. Introduzione 4 metodo Monte-Carlo. Diversi approcci sono proposti e si discutono i risultati sperimentali ottenuti. Vengono infine presentate delle conclusioni sul lavoro svolto e, partendo da alcune considerazioni sui risultati ottenuti e sul metodo seguito, si propongono alcuni spunti di miglioramento.

6 Capitolo 2 Da Black-Scholes ai modelli a volatilità stocastica In questo capitolo viene introdotto sinteticamente il modello di Black-Scholes per la descrizione dei mercati finanziari. Esso si basa su degli assunti che si sono dimostrati per certi versi lontani dalla realtà dei mercati; tra questi si possono elencare la continuità dei processi di prezzo, l assenza di costi di transazione, la distribuzione normale e indipendente dei rendimenti e la volatilità costante dei processi di prezzo [1]. Una delle più grosse differenze tra le previsioni del modello di Black- Scholes e ciò che si osserva nei mercati finanziari è il prezzo delle opzioni europee. Questo fenomeno è chiamato volatility smile e mostra come il modello di Black-Scholes in molti casi non sia sufficientemente predittivo, soprattutto per opzioni con prezzo di esercizio (strike price) lontano dal prezzo del sottostante, al tempo della valutazione. Per questo aspetto il modello di Black-Scholes potrebbe essere considerato come un approssimazione locale. Nella seconda parte del capitolo vengono presentate diverse modifiche al modello di Black-Scholes ottenute con l aggiunta di una componente stocastica nella volatilità del sottostante; viene mostrato brevemente quale sia il loro apporto nella qualità di predizione della distribuzione di probabilità del prezzo di un titolo azionario, e quindi del prezzo dei contratti derivati. 2.1 Il modello di Black-Scholes e il concetto di volatilità implicita In questa sezione viene introdotto il modello di riferimento per i mercati finanziari: il modello di Black-Scholes. Viene poi definita la volatilità im- 5

7 2. Da Black-Scholes ai modelli a volatilità stocastica 6 plicita nei prezzi di mercato dandone una spiegazione pratica e infine si pone il problema del cosiddetto smile di volatilità Il modello di Black-Scholes Seguendo l impostazione di Merton [2] si consideri un mercato formato da un contratto privo di rischio (risk free asset) e un titolo rischioso (risky asset). Chiamando (B(t)) t 0 il processo di prezzo del risk free asset, la sua dinamica nel tempo t segue la legge: db(t) = r(t)b(t)dt dove r è un qualsiasi processo adattato [8]. r(t) è chiamato rendimento del titolo privo di rischio ed è localmente deterministico; ad ogni tempo t infatti è definito come: db(t) B(t) dt = r(t) Il processo di prezzo del titolo rischioso (S(t)) t 0 invece può essere così caratterizzato: ds(t) = S(t)α(t, S(t))dt + S(t)v(t, S(t))dW (t) dove (W (t)) t 0 è un processo di Wiener, α e v funzioni deterministiche note. La funzione α è chiamata rendimento medio del prezzo del titolo S mentre la funzione v viene chiamata volatilità del prezzo del titolo. Il rendimento del titolo rischioso è allora così definito: ds(t) S(t) dt = α(t, S(t)) + v(t, S(t))dW (t) dt esso quindi non è deterministico perchè il termine di Wiener è stocastico. La differenza principale tra il contratto privo di rischio e il titolo rischioso consiste nel fatto che quest ultimo ha rendimento stocastico, quindi non determinabile con certezza a priori anche per tempi infinitesimali. Il modello proposto da Black-Scholes è un caso particolare di questo modello. Esso considera costanti il rendimento del titolo privo di rischio r, il rendimento medio del titolo rischioso α e la volatilità del prezzo del titolo rischioso v: db(t) = rb(t)dt (2.1) ds(t) = αs(t)dt + vs(t)dw (t) (2.2)

8 2. Da Black-Scholes ai modelli a volatilità stocastica 7 Figura 2.1: A sinistra confronto tra l andamento del prezzo di un titolo (linea nera) e la distribuzione log-normale (linea rosa: mean 2σ mean + 2σ). A destra distribuzione log-normale alla fine del periodo. Source: r, α e v costanti note. Applicando la formula di Itô si trovano allora le soluzioni esplicite delle equazioni 2.1 e 2.2: B(T ) = B(t)e r(t t) (2.3) T t. S(T ) = S(t)e (r v2 2 )(T t)+v(w (T ) W (t)) (2.4) S(T ) S(t), il rendimento del titolo nel periodo T t, non è quindi deterministico ma è la realizzazione di un processo casuale. Esso ha distribuzione log-normale perchè è l esponenziale della realizzazione di un moto Browniano distribuito normalmente con media (r v2 )(T t) e varianza 2 v2 (T t). A questo punto, è interessante sottolineare come la varianza del prezzo del sottostante, cioè la dispersione del rendimento del titolo intorno al suo valore medio, sia lineare nel periodo di tempo e quadratica nella volatilità v. E così spiegata la natura del termine volatilità: al crescere di v diventano più probabili le oscillazioni di prezzo e quindi la rischiosità del titolo Prezzo di un opzione europea Un opzione europea è un contratto che, scambiato ad un certo tempo t, dà il diritto di comprare (nel caso di una call) o di vendere (nel caso di una put) un titolo sottostante dal prezzo S t, al tempo fissato T t ed al valore

9 2. Da Black-Scholes ai modelli a volatilità stocastica 8 fissato K, chiamato prezzo di esercizio o strike price. Chi compra un opzione si garantisce questo ritorno Φ (payoff ) al tempo finale T : Φ Call (T, S T ) = max(s T K, 0) = (S T K) + (2.5) Φ P ut (T, S T ) = max(k S T, 0) = (K S T ) + (2.6) Per il principio di non arbitraggio, il valore al tempo T dell opzione deve corrispondere al payoff della stessa. Inoltre chiamando il prezzo di un contratto di tipo europeo V (t, S t ) in un mercato caratterizzato da 2.1 e 2.2 è determinato dall equazione di Black- Scholes: V t V + rs S v2 S 2 2 V rv = 0 (2.7) S2 V (T, S T ) = Φ(S T ) (2.8) con V (t, S t ) : [0, T ] R + R +. Considerando prima il caso dell opzione di tipo call, il suo processo di prezzo seguirà C BS (t, S t ) = E[e r(t t) Φ(S T ) F t ]. Seguendo le proprietà dei processi di Wiener e 2.5, 2.2 si ottiene: C BS (t, S t ) = S t N(d 1 ) Ke r(t t) N(d 2 ), (2.9) dove d 1 = 1 v T t ( log S ) t v2 + (r + K 2 )(T t) (2.10) d 2 = d 1 v T t (2.11) e per N(x) si intende la distribuzione cumulata di probabilità di una variabile aleatoria Gaussiana normale standard valutata nel punto x. Per valutare allora il prezzo di un opzione put europea (cioè con payoff definito da 2.6) si ha che un portafoglio lungo in una call e corto in una put ha come payoff : Φ Call P ut (T, S T ) = (S T K) + (K S T ) + = S T K (2.12) e quindi applicando il principio di non arbitraggio per tutti tempi t < T si trova la Put-Call parity:

10 2. Da Black-Scholes ai modelli a volatilità stocastica 9 da cui si può ricavare che C BS (t, S t ) P BS (t, S t ) = S t Ke r(t t) (2.13) P BS (t, S t ) = C BS (t, S t ) S t + Ke r(t t) = = S t (N(d 1 ) 1) + Ke r(t t) (1 N(d 2 )) e quindi il prezzo di una put europea è dato da: P BS (t, S t ) = Ke r(t t) N( d 2 ) S t N( d 1 ) (2.14) con d 1 e d 2 definiti in 2.10 e Definizione di volatilità implicita La volatilità implicita è una variabile che riassume molto bene le differenze tra le previsioni del modello di Black-Scholes e il mercato nel pricing di opzioni europee. Considerando infatti il prezzo di mercato come un dato e lasciando la volatilità come incognita, si può notare che la volatilità stimata dal mercato non è costante al variare delle caratteristiche delle opzioni (maturity e strike price), contraddicendo il modello Black-Scholes. Si definisce allora per ogni contratto la volatilità implicita I tale che: I > 0 : C BS (t, S t ; I) = C Market (2.15) Si può dimostrarne l esistenza e l unicità sotto la condizione I!; I > 0 C Market > C BS (t, S t ; 0). Inoltre derivando in 2.9 il prezzo dell opzione call rispetto alla volatilità implicita si ottiene C BS I = S te d 1/2 T t 2π > 0 Questo importante risultato ci conferma che il prezzo di un opzione call è crescente con l aumentare della volatilità (si può dimostrare che lo stesso risultato vale anche per un opzione put). Nei mercati si può inoltre notare come la parità put-call 2.13 sia comunque verificata perchè il principio di non arbitraggio è realizzato; di conseguenza, la volatilità implicita I definita tramite Black-Scholes di una put e di una call con le stesse caratteristiche è la stessa.

11 2. Da Black-Scholes ai modelli a volatilità stocastica 10 Un tipico esempio della struttura della volatilità implicita è dato da [3], ottenuto dalle opzioni europee sull indice Standard-Poor500. Come nell esempio riportato il profilo di volatilità dipende in maniera non lineare dallo strike price e dalla maturity. La sua forma dipende dalle previsioni del mercato sull andamento del sottostante. In generale, per ogni scadenza, la volatilità, intesa in funzione del prezzo di esercizio, presenta concavità rivolta verso l alto; questo fenomeno è noto come volatility smile Lo smile di volatilità Il fatto che la volatilità implicita I, definita in 2.15, abbia concavità positiva in funzione del prezzo di esercizio K non è casuale ma riflette una caratteristica del mercato. Un profilo di questo tipo suggerisce l idea che ci sia un premio per il rischio maggiore per valori dello strike price K lontani dal prezzo osservato del sottostante. Come notato in [1], in particolare il mercato considera le previsioni del modello di Black-Scholes sbagliate: esse sottostimano la probabilità di grosse perdite e inoltre prevedono un aggiornamento della volatilità futura anche in funzione della volatilità realizzata.

12 2. Da Black-Scholes ai modelli a volatilità stocastica 11 Figura 2.2: Schema esemplificativo della curva di volatilità implicita per opzioni europee con stessa scadenza. Source: img.tfd.com Figura 2.3: Superficie di volatilità implicita in funzione dello strike (moneyness) e del tempo mancante alla scadenza (time to maturity - TTM). Source:

13 2. Da Black-Scholes ai modelli a volatilità stocastica 12 Derivando il prezzo di un opzione call si può ottenere: C Market K = C BS K + C BS I v K 0 e si ricava una condizione sulla pendenza della curva della volatilità implicita: ed equivalentemente per le put: I K C BS/ K C BS / v I K P BS/ K P BS / v Applicando la formula di Black-Scholes per il prezzo di opzioni put e call (2.5 e 2.6) si ottiene la limitazione: 2π x T t (1 N(d 2))e r(t t)+d2/2 1 I 2π K x T t N(d 2)e r(t t)+d2/2 1. Abbiamo quindi trovato un intervallo per la pendenza della curva volatilità implicita su strike price per opzioni europee. Questa limitazione è più debole rispetto all ipotesi del modello Black-Scholes per l andamento del prezzo di un titolo (2.2) che considera la volatilità come una costante. A questo punto è chiaro che per migliorare questo modello, un passo importante può essere la sostituzione di questa ipotesi con una più debole: vengono allora introdotti dei modelli in cui la volatilità è considerata variabile.

14 2. Da Black-Scholes ai modelli a volatilità stocastica Principali Modelli a Volatilità Stocastica In questa sezione sono presentati i principali modelli a volatilità stocastica presenti in letteratura. In particolare ci si sofferma sulle implicazioni che questi modelli comportano sul prezzo dei titoli e, di conseguenza, sul prezzo dei contratti derivati La volatilità come variabile Come discusso nella sezione precedente, per modellizzare più fedelmente il mercato, l ipotesi che considera la volatilità costante può essere indebolita. Introduciamo allora una modifica del modello di Black-Scholes 2.2 che preveda delle variazioni della volatilità nel processo di prezzo di un titolo: ds t = αs t dt + v(t, S t )S t dw t (2.16) L equazione che governa il prezzo di un opzione europea V può essere sempre ottenuta utilizzando il metodo di valutazione della strategia di copertura come per 2.7: V t v2 (t, S)S 2 2 V S + r( S V 2 S V ) = 0 con r tasso di crescita del titolo privo di rischio come in 2.1. La volatilità v(t, S) può essere una funzione deterministica del tempo e del sottostante: si può dimostrare che il modello di mercato resta completo ed esiste un unica misura di probabilità P neutrale al rischio, tale che il processo di prezzo segua un moto Browniano geometrico con drift r: dx t = rx t dt + v(t, X t )X t dw t sia (W t ) un moto Browniano sotto P. I modelli con volatilità deterministica riescono a migliorare le previsioni sui prezzi, ma devono essere basati su ipotesi che leghino la volatilità con il tempo e con il prezzo. Questa caratteristica è parzialmente presente nel mercato e si possono osservare elementi di tipo pseudo-deterministico (come per esempio una ciclicità temporale legata ai mesi dell anno). Le ipotesi su cui si basano questi

15 2. Da Black-Scholes ai modelli a volatilità stocastica 14 Figura 2.4: Esempio dell andamento storico della volatilità (Dow Jones STOXX 50, Apr - Oct 2006) modelli non sono generalizzabili, ma dipendono di volta in volta dal sottostante considerato. Per una generalizzazione, la volatilità implicita presente nel mercato può essere approssimata con modelli di tipo stocastico o di complessità superiore: questi modelli si sono mostrati affidabili e in linea con il comportamento reale dei prezzi La volatilità come processo stocastico A differenza dei modelli precedenti, i modelli a volatilità stocastica, prevedono che la volatilità stessa segua un processo stocastico (v t ) t 0 (2.17) e il processo di prezzo del sottostante (X t ) t 0 sia così caratterizzato : dx t = µx t dt + v t X t dw t (2.18) Perchè il modello sia ben definito, il processo di volatilità 2.17 deve soddisfare certe condizioni di regolarità, ma non deve essere per forza un processo di Itô: può essere per esempio un processo di salto o una catena di Markov e un importante condizione perchè rappresenti una volatilità è: (v t ) t 0 0

16 2. Da Black-Scholes ai modelli a volatilità stocastica 15 Una caratteristica importante dei modelli a volatilità stocastica è che il processo di volatilità non è perfettamente correlato al moto browniano (W t ), quindi esiste nella volatilità un elemento di casualità indipendente dall andamento del sottostante. Una conseguenza importante di questa caratteristica è che l ipotesi di completezza dei mercati, su cui si basa la teoria di Black-Scholes, non è più verificata Modelli a volatilità stocastica I principali modelli a volatilità stocastica presenti in letteratura si differenziano per le diverse caratterizzazioni del processo di volatilità (v t ) t 0. Tipicamente si approssima la volatilità con un processo di Itô che soddisfi un equazione differenziale stocastica guidata da un moto browniano e la maggior parte dei modelli sono caratterizzati da mean-reversion. In questa sezione caratterizziamo il processo di volatilità dove f(y) > 0 y R. v t = f(y t ) Il processo (Y t ) seguirà l equazione differenziale stocastica dy t = α(m Y t )dt +...dz t (2.19) e (Z t ) t 0 moto browniano correlato con (W t ) secondo il termine di correlazione ρ tale che: ρ dt = W, Z t (2.20) Si può notare che il termine di drift α(m Y t ) indirizza Y t verso il valore di lungo periodo m, mentre il termine stocastico esercita l azione di un rumore casuale. Il modello di Hull-White Il modello proposto da Hull e White nel 1987 è l unico che non presenta mean-reversion. Il processo (Y t ) è log-normale : con f(y) = y e ρ = 0. dy t = αy t dt + βy t dz t

17 2. Da Black-Scholes ai modelli a volatilità stocastica 16 I modelli di Scott e di Stein-Stein Il modello proposto da Scott nel 1988 e quello di Stein-Stein del 1991 propongono la stessa equazione differenziale stocastica per (Y t ): il processo di Ornstein-Uhlenbeck con mean-reversion. ρ = 0 e propongono rispettivamente: dy t = α(m Y t )dt + βdz t e f(y) = e y f(y) = y I modelli di Ball-Roma e di Heston Proposto nel 1994, il modello di Ball-Roma considera il processo di Cox- Ingersoll-Ross (CIR) per (Y t ): con f(y) = y e ρ = 0. dy t = α(m Y t )dt + β Y t dz t Il modello di Heston (1993) invece, è il primo in letteratura che presenta una correlazione ρ 0. Rispondendo alle stesse equazioni differenziali stocastiche del modello di Ball-Roma, il fatto di considerare una correlazione non nulla tra le variazioni stocastiche del processo di prezzo e quelle del processo di volatilità (come definito in 2.20) risponde a delle esigenze empiriche. In effetti questa correlazione è osservabile nei mercati. Segno e intensità del termine di correlazione ρ possono dipendere dalla natura del titolo (equity, commodity, etc...) Distribuzione dei prezzi nei modelli a volatilità stocastica Il principale effetto dei modelli a volatilità stocastica si ha nella valutazione delle opzioni, in particolare quando nel payoff di queste assumono importanza rendimenti poco probabili (quando cioè ci si trova nelle code). Le differenze rispetto al modello di Black-Scholes sono dovute appunto al cambiamento della distribuzione di probabilità dei prezzi, che non è più considerata log-normale. Inoltre l introduzione di un termine stocastico nella volatilità, introduce un fattore aggiuntivo al rischio di prezzo: il rischio di volatilità.

18 2. Da Black-Scholes ai modelli a volatilità stocastica 17 Se nel modello Black-Scholes i prezzi hanno distribuzione log-normale, [4] verifica che nel mercato i prezzi hanno distribuzione diversa e in particolare presentano code più grasse. In funzione dei parametri del modello, [1], [4] e [5] mostrano come la distribuzione dei rendimenti possa essere modificata e modellata sulla distribuzione di mercato Il prezzo del rischio di volatilità Come visto precedentemente, i modelli a volatilità stocastica considerano i mercati incompleti. Nell ambito del modello di Black-Scholes le opzioni europee possono essere continuamente replicate, cioè per ogni opzione europea esiste una strategia di investimento in titoli sottostanti all opzione, che ne replichi il rendimento. Questa operazione (chiamata hedging) può essere effettuata grazie alla proprietà di completezza dei mercati. La replicabilità dei portafogli è infatti, insieme al principio di non arbitraggio, necessaria per definire l equazione di evoluzione dei prezzi dei titoli derivati 2.7. Per i modelli a volatilità stocastica invece, l andamento del prezzo dei contratti derivati dipende da due sorgenti di rischio: il rischio di prezzo, dovuto al processo stocastico (S t ) t 0, ed il rischio di volatilità, dovuto al processo (v t ) t 0. [1], [3] e [6] mostrano che il prezzo di non arbitraggio di un contratto derivato non è unico, ma esistono diverse misure di martingala equivalenti P al variare dei parametri del modello: a ciascuna di esse corrisponde un diversi prezzo del contratto derivato. A diversi prezzi corrispondono diverse valutazioni del cosiddetto rischio di volatilità. Assumendo valido il principio di non arbitraggio, si può derivare un equazione di evoluzione per il prezzo di un contratto derivato V (S t, v t, t) analoga a 2.7; si ricava [9]: V t +1 2 V 2 vs2 S +ρσvs 2 V 2 v S +1 2 σ2 v 2 V V +rs v2 S rv = (k(v θ) Λσ V ) V v (2.21)

19 2. Da Black-Scholes ai modelli a volatilità stocastica 18 Figura 2.5: La distribuzione storica presenta una frequenza nelle code maggiore della distribuzione log-normale

20 2. Da Black-Scholes ai modelli a volatilità stocastica 19 dove Λ = Λ(S t, v t, t) è una funzione che rappresenta il prezzo di mercato del rischio di volatilità. In questo modo, il prezzo di ogni opzione non è unico a priori ma può essere delimitato da due valori estremi ed entrambi ammissibili. Per esempio, il prezzo V Model di un opzione per i modelli a volatilità stocastica può variare tra: V BS (v min ) < V Model < V BS (v max ) se si possono assegnare dei limiti a v t [v min, v max ]. In particolare per ogni modello si può individuare un insieme di parametri ammissibili Φ, in funzione dei quali si possono costruire diverse approssimazioni del mercato reale. Nella pratica ci sono diversi modi per definire i parametri del modello, i più comuni sono il metodo di massima verosimiglianza o il metodo dei momenti, basato sui rendimenti storici del sottostante. Comunemente, e soprattutto quando il modello ammette una formula chiusa, si stima il vettore dei parametri φ Φ a partire dai prezzi delle opzioni presenti nel mercato mediante una minimizzazione ai minimi quadrati: min (VModel (K, T ; φ) V Market (K, T )) 2 (2.22) φ Φ dove V Model (K, T ; φ) per ogni opzione considerata corrisponde al valore calcolato dal modello Bilancio sui modelli a volatilità stocastica Come mostrato, i modelli a volatilità stocastica sono considerati come un miglioramento possibile al modello di Black-Scholes. Essi infatti non solo replicano in maniera più verosimile il profilo della volatilità implicita ma, in pratica, essi approssimano le fluttuazioni reali della volatilità dei contratti in maniera realistica, sicuramente migliore del modello di riferimento a volatilità costante. Tra i modelli a volatilità stocastica, quello di Heston si distingue per l aggiunta di un termine di correlazione ρ 0,. Questo parametro costituisce un elemento di maggiore informazione del mercato ma, come mostrato in seguito, comporta una maggiore difficoltà computazionale.

21 Capitolo 3 Il modello di Heston Nel 1993 Heston propose per la prima volta un modello a volatilità stocastica in cui i moti Browniani potessero essere correlati [5]. L idea, suggerita forse dalle osservazioni del mercato, è che l andamento della volatilità del prezzo di un titolo non sia del tutto indipendente dall andamento del prezzo stesso. Per esempio per i titoli azionari è facile pensare che la volatilità aumenti quando il titolo si deprezza. Spesso infatti [3] in un momento di deprezzamento del titolo si riscontra una situazione di incertezza del mercato rispetto al futuro della società quotata. Analogamente, per le commodities si può pensare che il mercato consideri più incerta la situazione quando prezzo si alza (si pensi per esempio ai casi del petrolio o dell oro). Si può quindi assumere irrealistica l ipotesi di non correlazione tra i due moti Browniani che caratterizzano i processi di prezzo e di volatilità di un titolo sottostante in un modello a volatilità stocastica, come definito in 2.18 [5]. 3.1 Descrizione del modello L andamento del processo di prezzo di un titolo (S t ) t 0 e della sua volatilità (v t ) t 0 nel modello di Heston sono così caratterizzati: ds t = µs t dt + v t S t dw t (3.1) dv t = k(θ v t )dt + σ v t dz t (3.2) con ρ dt = W, Z t correlazione tra i moti Browniani, ρ, µ, k, θ e σ costanti. 20

22 3. Il modello di Heston 21 Il processo di prezzo Analogamente a quanto visto precedentemente per il processo di prezzo nel modello di Black-Scholes 2.2, il termine µs t dt in 3.1 rappresenta la direzione di crescita (drift) del prezzo del titolo S t. L elemento stocastico infatti vt S t dw t è simmetrico con media 0; si ha quindi che E [ ds t ] = µst dt Il drift µ rappresenta il rendimento medio istantaneo o termine di deriva [ dst ] µ = E S t dt Come visto per gli altri modelli a volatilità stocastica, quello che cambia è la distribuzione di probabilità del rendimento. Soprattutto per valori estremi (quindi quando ci si trova nelle code) essa è significativamente legata al processo di volatilità 3.2. Il processo di volatilità L equazione 3.2 che regola l andamento del processo di volatilità 2.17 è composta anch essa da un termine deterministico dv DET t = k(θ v t )dt (3.3) a cui si somma il termine stocastico ST OC dvt = σ v t dz t. (3.4) In analogia con un sistema fisico, l equazione 3.2 potrebbe descrivere il comportamento di una molla nel tempo (dvt DET ), su cui viene applicato un ST OC disturbo casuale di tipo stocastico (dvt ): dv t = dv DET t + dv ST OC t

23 3. Il modello di Heston 22 Figura 3.1: La curva di volatilità parte dal valore iniziale considerato noto e tende asintoticamente al valore di θ. Al variare del parametro k cambia la velocità di aggiornamento. Analizzando il primo addendo 3.3 si può notare come questo porti la volatilità ad oscillare intorno al valore medio θ, che per questo viene chiamato volatilità di lungo termine o long-term volatility. Il valore del fattore k, invece, indica la velocità di questa oscillazione e ne determina la frequenza: si ha che 1 corrisponde al periodo dell oscillazione stessa. Per questo motivo k k viene chiamato in letteratura reversion speed. I parametri k e θ in 3.3 possono essere anche interpretati guardando il profilo della curva di volatilità implicita. Per ogni prezzo di esercizio, la volatilità di lungo termine θ rappresenta il valore asintotico della volatilità e k rappresenta la velocità con cui la volatilità implicita si avvicina a θ, a partire dal valore iniziale. Nel termine stocastico 3.4, il parametro di riferimento è σ (la cosiddetta volatility of volatility), questo indica appunto l intensità del disturbo generato da dz t. Per esempio per σ = 0 la volatilità diventa deterministica, mentre per σ 0 il termine deterministico dvt DET diventa trascurabile rispetto a ST OC dv t Distribuzione dei rendimenti Rispetto alla distribuzione log-normale dei rendimenti proposta da Black- Scholes (2.4), il modello di Heston permette di adattare questa distribuzione

24 3. Il modello di Heston 23 Figura 3.2: Effetto del parametro ρ sulla distribuzione del prezzo Figura 3.3: Effetto del parametro ρ sul prezzo di un opzione call europea a quella osservata nel mercato, in particolare approssimandone non solo i momenti primo e secondo (media e varianza) ma anche skewness (momento terzo) e kurtosis (momento quarto). Da questo punto di vista si può capire a cosa deve il modello di Heston le sue migliori capacità predittive. Il termine di correlazione ρ ha un effetto diretto sulla skewness della distribuzione dei rendimenti, cioè quando ρ 0 la distribuzione logaritmica diventa asimmetrica. Come mostrato dallo stesso Heston, questa caratteristica ha delle implicazioni dirette sul prezzo delle opzioni e si può facilmente verificarne graficamente l impatto.

25 3. Il modello di Heston 24 Figura 3.4: Effetto del parametro σ sulla distribuzione del prezzo Figura 3.5: Effetto del parametro σ sul prezzo di un opzione call europea Così come il parametro di correlazione ρ influisce sul momento terzo della distribuzione dei rendimenti logaritmici, allo steso modo il parametro σ modella il momento quarto, influendo sullo spessore delle code. Il parametro σ, cambiando la probabilità degli eventi cosiddetti rari, può influire significativamente sul prezzo delle opzioni europee Incompletezza dei mercati e rischio di volatilità Come introdotto nella sezione dedicata ai modelli a volatilità stocastica, anche per il modello di Heston l andamento di ogni opzione dipende da due

26 3. Il modello di Heston 25 sorgenti di rischio: il rischio di prezzo dovuto al processo stocastico (S t ) t 0 e il rischio di volatilità dovuto al processo (v t ) t 0. Seguendo l impostazione precedentemente introdotta, l equazione 2.21 per il prezzo di un contratto derivato V (S t, v t, t) è: V t +1 2 V 2 vs2 S +ρσvs 2 V 2 v S +1 2 σ2 v 2 V V +rs v2 S rv = (k(v θ) Λσ V ) V v con Λ = Λ(S, v, t) prezzo di mercato del rischio di volatilità. Questo rappresenta la parte del prezzo V dovuta al rischio legato al processo di volatilità (v t ) t 0. Heston assume che questo prezzo sia proporzionale alla volatilità stessa: c > 0 : Λ(S, v, t) = c V Λ(S, v, t)σ V = cσv λ(s, v, t) Il parametro λ(s, v, t) è nella pratica impossibile da stimare [9] ma il problema può essere aggirato grazie alla natura parametrica del modello e lo si può affrontare con un approccio neutrale al rischio. Il prezzo di un opzione può essere calcolato come il valore scontato del suo rendimento atteso sotto una misura di martingala equivalente Q i : V t = E Q i t [e r(t t) H(T )] (3.5) con H(T ) payoff a scadenza dell opzione. Ad ogni prezzo del rischio di volatilità Λ i, corrisponde una misura di martingala equivalente Q i per cui vale 3.5. Il cambio di misura rispetto alla misura di probabilità reale P è funzione di λ i (S, v, t) e, grazie all applicazione del teorema di Girsanov, si ottiene: dw Q i t = dw P t + (ϑ i ) t dt dz Q i t = dz P t + Λ i (S, v, t) dwt P e dzt P sono i processi di Weiner presenti in 3.1 e 3.2 sotto la misura di probabilità reale P. dw Q i t e dz Q i t sono gli stessi processi sotto la misura di martingala equivalente Q i riferita al prezzo del rischio di volatilità Λ i.

27 3. Il modello di Heston 26 dq i dp = exp{ 1 2 t 0 ((ϑ i ) 2 s +Λ i (S, v, s) 2 )ds (ϑ i ) t = µ r vt t 0 (ϑ i ) s dw P s t 0 Λ i (S, v, s)dz P s Si ottiene che il cambio di misura (da quella reale P a quella di martingala equivalente Q i ) ha effetti sui parametri k e θ del modello. Sotto una misura Q i il modello di Heston diventa: ds t = µs t dt + v t S t dw Q i t dv t = k i (θ i v t )dt + σ v t dz Q i t } con ρ dt = W Q i, Z Q i t k i = k + λ i θ i = k iθ k i + θ Si ha quindi che per ogni prezzo del rischio di volatilità corrisponde un diverso set di parametri Θ i. Questo fenomeno è direttamente legato all incompletezza dei mercati nei modelli a volatilità stocastica ma l esistenza di una forma chiusa per il prezzo delle opzioni europee e la natura parametrica del modello di Heston ci sono d aiuto. Come vedremo in seguito una via per risolvere questa indeterminatezza dei parametri può essere percorsa mediante un operazione di approssimazione del mercato, che prende il nome di calibrazione. Il cambio di misura ci permette di riscrivere l equazione che governa il prezzo delle opzioni 2.21: V t V 2 vs2 S +ρσvs 2 V 2 v S σ2 v 2 V V +rs v2 S rv = k i(v θ i ) V v (3.6) Per semplicità di notazione, da questo momento considereremo noto il set di parametri Θ i del modello neutrale al rischio e ometteremo il pedice i

28 3. Il modello di Heston Prezzo di un opzione europea Il modello di Heston presenta una soluzione in forma chiusa solo per i contratti di tipo europeo. In questa sezione si ripercorre la ricerca del prezzo di un opzione europea di tipo call e si rinvia a [4] per approfondimenti. Il metodo utilizzato è quello delle Trasformate di Fourier applicato al nostro modello, come caso particolare di un processo affine di diffusione senza salti. Fissando ( F (t, T ) ) x(t) = ln K con F (t, T ) il prezzo forward del titolo sottostante e chiamando C il prezzo dell opzione a scadenza (che equivale al payoff ) si può derivare dall equazione 3.6 per τ = (T t): C τ v(t)c xx v(t)c x σ2 v(t)c vv +ρσvc xv +k(θ v(t))c v = 0 (3.7) considerando i pedici come derivate parziali di C: C vincolo a scadenza: = C e sotto il C(x, v, 0) = max(0, K(e x 1)) (3.8) La soluzione di 3.7 sotto 3.8 non è a priori nota e, per analogia con il modello di Black-Scholes, si cerca una soluzione del tipo: C(x, v, τ) = e x P 1 (x, v, τ) P 0 (x, v, τ) (3.9) dove il primo termine rappresenta la pseudo-aspettativa del valore finale del sottostante nel caso in cui l opzione scadrà in-the-money e il secondo termine rappresenta la pseudo-probabilità di esercizio. Sostituendo la 3.9 in 3.7 si ottiene che i due termini P 0 e P 1 devono soddisfare: (P j ) τ v(p j) xx + ( 1 2 j)v(p j) x σ2 v(p j ) vv +ρσv(p j ) xv +(a b j v)(p j ) v = 0 (3.10)

29 3. Il modello di Heston 28 per j = 0, 1 e dove a = k v b j = k jρσ (3.11) sotto la condizione finale: lim τ 0 P j (x, v, τ) = I (0, ) (x) χ(x) (3.12) Definiamo per P j la Trasformata di Fourier: allora per 3.12 P j (u, v, τ) = e iku P j (x, v, τ)dx P j (u, v, 0) = e iux χ(x)dx = 1 iu. La Trasformata Inversa o Antitrasformata di Fourier va allora così definita: P j (x, v, τ) = Sostituendo in 3.10 si ottiene: e iux 2π P j (u, v, τ)du. (3.13) ( P j ) τ ( 1 2 u2 v + ( 1 2 j)iuv) P j σ2 v( P j ) vv + (ρσiuv + a b j v)( P j ) v = 0 Definiamo allora: α = u2 2 iu 2 + iju β = k ρσj ρσiu (3.14) L equazione 3.14 diventa: γ = σ2 2

30 3. Il modello di Heston 29 v { α P j β( P j ) v + γ( P j ) vv } + a( Pj ) v ( P j ) τ = 0 (3.15) Sostituendo P j così composta: P j (u, v, τ) = exp[c(u, τ) v + D(u, τ)v] P j (u, v, 0) P j (u, v, τ) = 1 exp[c(u, τ) v + D(u, τ)v] (3.16) iu si possono trovare le derivate parziali di Pj : ( P j ) τ = ( vc τ + vd τ ) P j ( P j ) v = D P j ( P j ) vv = D 2 Pj L equazione 3.15 è verificata se le derivate parziali C τ e D τ soddisfano: dove definiamo C τ = kd D τ = α βd + γd 2 = γ(d r + )(D r ), r ± = β ± β 2 4αγ 2γ β ± d σ 2. Integrando allora le derivate con condizione iniziale C(u, 0) = D(u, 0) = 0, si trova una forma per le funzioni ausiliarie C e D: dove si definisce g r r +. C(u, τ) = u [ r τ 2 ge dr ln(1 ) ] (3.17) σ2 1 g D(u, τ) = r 1 e dr 1 g dr (3.18) Ricordando che date le funzioni C e D, le funzioni Pj sono note dalla formula 3.16, possiamo utilizzare l antitrasformata di Fourier definita in 3.13 per trovare i valori delle funzioni P j iniziali: P j (x, v, τ) = π 0 Re[ ec j(u,τ)θ+d j (u,τ)v+iux ]du (3.19) iu

31 3. Il modello di Heston 30 Si può notare che C j (u, τ) e D j (u, τ) sono delle funzioni indipendenti da x e da v, e il calcolo delle derivate è così semplificato. La forma chiusa ottenuta sostituendo in 3.9 i valori trovati in 3.19 è esatta, ma la sua integrazione può essere realizzata solo tramite metodi numerici. Di conseguenza il calcolo del prezzo di un opzione di tipo europeo è nella pratica approssimato e per una maggiore precisione nel prezzo sarà necessario un maggiore tempo di calcolo. Prezzo di altri contratti A differenza delle opzioni europee, non esistono altri contratti per cui il modello di Heston fornisca una soluzione esatta. Il metodo allora più comunemente utilizzato per prezzare questo tipo di contratti è il metodo Monte- Carlo. L assenza di forme chiuse per il prezzo dei contratti esotici e l utilizzo di metodi probabilistici assegnano un ruolo fondamentale alla fase di programmazione. 3.2 Implementazione L implementazione del modello di Heston è una delle maggiori difficoltà legate al suo utilizzo. In essa convergono problemi di natura finanziaria, matematica e numerica. Per utilizzare il modello di Heston nel pricing di opzioni con metodi Monte-Carlo è necessario svolgere due operazioni fondamentali: La calibrazione del modello L implementazione dello step Monte-Carlo Questi due elementi possono essere trattati separatamente anche se, ovviamente, un errata calibrazione porta a delle simulazioni Monte-Carlo errate sull andamento dei prezzi e delle volatilità. Nel seguito di questa sezione si pongono i due problemi e si suggeriscono diverse vie realistiche per risolverli. Nel capitolo successivo invece si intraprenderà una via per l implementazione dello step Monte-Carlo per la simulazione dell andamento dei prezzi e si analizzerà nel dettaglio una via risolutiva Calibrazione del modello Nonostante le giustificazioni teoriche all utilizzo del modello di Heston rispetto agli altri modelli a volatilità stocastica, il successo o insuccesso nel suo uti-

32 3. Il modello di Heston 31 lizzo è determinato dalle difficoltà computazionali implicite nella calibrazione. Come già visto nella sezione precedente, il modello di Heston prevede che il processo di prezzo di un titolo (S t ) t 0 e il processo della sua volatilità (v t ) t 0 seguano le leggi 3.1 e 3.2 in cui intervengono dei parametri µ, k, θ, ρ, σ considerati costanti. Il valore di questi parametri non è direttamente osservabile nel mercato: si pensi ai diversi cambi di probabilità proposti in 3.5. L operazione di calibrazione consiste nel determinare i parametri necessari al modello per poter inizializzare le simulazioni di tipo Monte-Carlo. Per ogni sottostante si hanno dunque sette variabili incognite: i cinque parametri relativi alle leggi di evoluzione, µ, k, θ, ρ e σ, e i due valori iniziali di prezzo e volatilità S 0 e v 0. Come si può facilmente immaginare, il prezzo iniziale del titolo S 0 è direttamente osservabile nel mercato come il parametro di drift del prezzo µ che, per argomenti di non arbitraggio, è univocamente definito per tutti i titoli [8]. La dimensione del vettori di parametri φ cercati si riduce allora a cinque e questà sarà per noi la dimensione del problema di calibrazione del modello. Per il modello di Heston si stima l insieme dei parametri φ, a partire dai prezzi delle opzioni europee presenti nel mercato mediante una minimizzazione ai minimi quadrati [3], [6] come in Questo metodo può essere affinato dando dei pesi alle opzioni su cui si è deciso di calibrarlo in modo da dare per esempio più importanza alle opzioni più liquide sul mercato: min φ Φ n i=1 ( w i V Model i (S, v, τ i, K i ; φ) Vi Market (S, v, τ i, K i ) ) 2 (3.20) sia n il numero di opzioni usate per la calibrazione. I pesi w i 0 possono essere definiti in diversi modi, alcuni esempi sono: w i = 1 (bidprice) i (askprice) i w i = 1 K i S w i = (openinterests) i w i = w(k i, τ i ;...)

33 3. Il modello di Heston 32 In tutti i precedenti casi l interesse è quello di dare più importanza alle opzioni più scambiate nel mercato, perchè il prezzo non sia deviato da altri fenomeni come la mancanza di liquidità. Definita come in 3.20, e indipendentemente dalla scelta dei pesi, la calibrazione è di fatto assimilabile ad un problema di minimizzazione in cinque dimensioni. Il problema è una minimizzazione ai minimi quadrati pesati delle differenze di prezzo tra i prezzi ottenuti dal modello Vi Model e i prezzi osservati nel mercato Vi Market. Un modo teoricamente equivalente di affrontare la calibrazione è di approssimare con il modello la curva di volatilità implicita osservabile nel mercato. Definendo I(V i ) la volatilità implicita di un opzione, si ha che il problema di minimizzazione diventa: min φ Φ n i=1 ( w i I(V Model i (S, v, τ i, K i ; φ)) I(Vi Market (S, v, τ i, K i )) ) 2 (3.21) Per entrambi gli approcci si ha quindi questo problema di minimizzazione: con φ = (v 0 ; θ, k, σ, ρ) e sotto le condizioni ζ: Φ è l insieme dei φ ammissibili min f(φ) (3.22) φ Φ v 0 0 θ 0 k 0 σ 0 1 ρ +1 (3.23) Φ = R 5 ζ allora la funzione da minimizzare, o funzione obiettivo f(φ) : Φ R + viene chiamata energia ed è sempre positiva perchè somma di termini positivi.

34 3. Il modello di Heston 33 Il problema di minimizzazione non è banale in quanto la funzione obiettivo f(φ) non può essere a priori caratterizzata in alcun modo: essa può avere diversi minimi locali [3] e la ricerca di un minimo globale più essere computazionalmente lunga (nessun algoritmo può a priori trovare il minimo globale in un tempo finito). [3] e [6] propongono diversi metodi di ricerca del minimo: steepest descent, gradiente e gradiente coniugato ma anche algoritmi stocastici e algoritmi genetici. La preferenza di un metodo rispetto a un altro può dipendere da diversi fattori tra cui molto influente è la frequenza di aggiornamento dei parametri, e si può ipotizzare di alternare i diversi metodi. Per esempio nel caso in cui si supponga di aver trovato un minimo globale, ci si può aspettare che, in un periodo di tempo breve e in assenza di fenomeni catastrofici sul mercato, esso evolva in un intorno relativamente piccolo del punto di partenza. Entrambi gli approcci al problema della calibrazione (minimizzazione sui prezzi 3.20 o sulle volatilità implicite 3.21) si basano sul fatto che il modello di Heston è capace di prezzare in forma esatta i prezzi delle opzioni europee secondo la formula 3.9. Si vede allora come la precisione nell integrazione numerica dell antitrasformata di Fourier in 3.19 influisca sulla calibrazione; in particolare la precisione di questo calcolo influisce in modo significativo sull eventuale calcolo delle derivate della funzione obiettivo, necessario per poter eseguire molti algoritmi di minimizzazione numerica Simulazione dell andamento dei prezzi L andamento del prezzo di un titolo nel framework di Heston e la distribuzione dei rendimenti non possono essere calcolati in modo esatto. Per effettuare il pricing di contratti derivati si utilizzano allora le tecniche Monte-Carlo. Il metodo Monte-Carlo consiste nel simulare molti cammini delle variabili di stato, nel nostro caso il prezzo del titolo S t e la sua volatilità v t, per poi associare ad ogni cammino trovato il rendimento del titolo derivato che si vuole prezzare relativo a quel cammino: per il Teorema Centrale del Limite, si può dimostrare che con l aumentare del numero di cammini generati aumenta la precisione del risultato. Questo tipo di simulazione viene chiamato così perchè per la prima volta fu utilizzato per dimostrare l iniquità dei giochi d azzardo proposti nei casinò, di cui la città di Monte-Carlo è una degna rappresentante. Per effettuare delle simulazioni di questo tipo per il modello di Heston descritto da 3.1 e 3.2, esistono in letteratura diversi approcci possibili, che si differenziano per la qualità delle approssimazioni effettuate che hanno un influenza diretta sulla velocità di convergenza del metodo. Di seguito ne intro-

35 3. Il modello di Heston 34 durremo alcuni, e nel prossimo capitolo, analizzeremo nel dettaglio uno di questi metodi. Discretizzazione di Eulero Il metodo di discretizzazione di Eulero è considerato l approccio più semplice. Per ogni cammino si effettua una partizione dell orizzonte temporale [0, T ] in M periodi di durata costante t. Fissando: [0 = t 0 < t 1 < t M = T ] t i = it, i = 0, 1,, M M la discretizzazione per il processo di prezzo (S t ) t 0 è: S ti = S ti 1 + µs ti 1 t + v ti 1 S ti 1 W ti (3.24) e per il processo di volatilità (v t ) t 0 : v ti = V ti 1 + k(θ V ti 1 ) t + v ti 1 σ Z ti (3.25) con W ti = W ti W ti 1 e Z ti = Z ti Z ti 1. Per simulare gli incrementi dei moti Browniani W ti e Z ti si sfrutta la proprietà di indipendenza degli incrementi nel tempo e si rispetta il vincolo di correlazione: ρ dt = W, Z t sapendo che ogni incremento è l estrazione di una variabile casuale normale di media 0 e deviazione standard t. Il metodo di discretizzazione di Eulero è di comprensione immediata e semplice da implementare, ma comporta un problema di non poco conto: il valore della volatilità può raggiungere con probabilità non nulla un valore negativo, contrariamente alla sua definizione. Due approcci sono stati proposti in letteratura per aggirare questo problema: il primo, chiamato metodo di troncamento, prevede di considerare nulla la volatilità in caso di valori negativi; il secondo, chiamato metodo di specularità, consiglia di considerarne solo il valore assoluto. Entrambi i metodi vengono utilizzati pur non avendo una giustificazione teorica e non comportano grandi deviazioni nei risultati delle simulazioni.

36 3. Il modello di Heston 35 Schema di Broadie-Kaya Questo schema di calcolo dello step Monte-Carlo si basa sulla possibilità di avere dei valori esatti delle distribuzioni di probabilità del prezzo del sottostante e della sua volatilità ad ogni incremento discreto di tempo. Per ogni intervallo di tempo t = (t i 1, t i ) si ha: S ti = S ti 1 exp [ µ t 1 ] v s ds + ρ vs dw s (3.26) 2 t t e v ti = v ti 1 + kθ t k v s ds + σ vs dz s. (3.27) t t Come vedremo nel capitolo seguente, questo schema offre in effetti una soluzione esatta per la simulazione di uno step Monte-Carlo, ma il calcolo degli integrali sulla volatilità è un problema molto complicato a livello numerico e la soluzione può essere fornita solo in maniera approssimata. Schemi di Kahl-Jackel e di Andersen Le difficoltà implementative dello schema proposto da Broadie-Kaya hanno stimolato la ricerca di altri metodi per la soluzione di un passo per le simulazioni Monte-Carlo che, pur approssimando i risultati, fossero più efficienti e più accurati rispetto all approssimazione lineare di Eulero. In letteratura un altro metodo viene spesso citato: lo schema di Kahl-Jackel. Esso consiste nel considerare un approssimazione di secondo grado dei processi di prezzo e di volatilità. Esistono anche altre soluzioni intermedie, per esempio utilizzando la simulazione esatta di Broadie-Kaya 3.27 per il processo di prezzo (S t ) t 0 e invece approssimando il processo di volatilità (v t ) t 0 con il metodo di Eulero Un nuovo metodo utilizzabile è stato proposto da Andersen nel Gennaio 2007 [10] e considera un approssimazione della volatilità che utilizzi delle variabili gaussiane. Queste distribuzioni di probabilità vengono modellate sulle distribuzioni teoriche, variandone i momenti della funzione di probabilità. La scelta di un metodo migliore In definitiva i due metodi principali proposti in letteratura, metodo di approssimazione di Eulero e schema di Broadie-Kaya, offrono due vie risolutive opposte. Se al metodo di Eulero corrisponde un livello di approssimazione inferiore a parità di passo temporale t rispetto alla soluzione esatta di Broadie-Kaya, esso permette una rapidità di calcolo altamente maggiore al

37 3. Il modello di Heston 36 punto di potere competere riducendo la dimensione dello step temporale. Gli altri metodi rappresentano delle vie intermedie e ogni soluzione proposta offre dei risultati validi. La scelta di un metodo per la simulazione dello step Monte-Carlo per il modello di Heston è allora dipendente dalle necessità degli utilizzatori: a seconda degli scopi si può prediligere una maggiore precisione a scapito della velocità di calcolo o viceversa. In pratica, l implementazione dello schema di Bradie-Kaya, che corrisponde al metodo con precisione maggiore, è comunque importante per poter verificare la bontà del modello che si vuole utilizzare. Per questo motivo, una buona implementazione del metodo esatto è fondamentale per avere un controllo della qualità delle approssimazioni utilizzate, controllo necessario non solo per motivi scientifici ma anche, almeno in Europa, per ragioni legislative. Un check della qualità dei prezzi trovati è obbligatorio qualora l attività di pricing sia svolta per finalità diverse da quelle accademiche, come la compravendita di strumenti finanziari e la valutazione a bilancio delle attività o passività presenti nei portafogli delle istituzioni finanziarie. 3.3 Vantaggi e svantaggi del modello di Heston Come visto in questo capitolo il modello di Heston è tra i modelli a volatilità stocastica quello che, almeno a livello teorico, è in grado di approssimare meglio l andamento di prezzi nel mercato. La sua applicazione comporta però alcune problematiche rilevanti: la difficoltà computazionale del calcolo del prezzo dei contratti plain vanilla di tipo europeo, l assenza di forme chiuse per contratti non europei, la necessità dell utilizzo di metodi Monte- Carlo da cui nasce il bisogno di una complessa calibrazione del modello a cinque dimensioni. Tutti questi aspetti rendono spesso preferibile l utilizzo di altri modelli che approssimano l andamento del mercato tra cui, per esempio, si è fatto strada il modello SABR. Questi modelli, pur non essendo teoricamente preferibili al modello di Heston, restano dei buoni strumenti alternativi per il pricing dei prodotti finanziari strutturati. [6] segnala inoltre le difficoltà predittive del modello di Heston per periodi brevi e propone l utilizzo di modelli più complessi, comprendenti la possibilità di salti nel processo di volatilità. Nel capitolo seguente vengono quindi mostrate le principali problematiche relative alla simulazione con metodi Monte-Carlo dell andamento dei prezzi

38 3. Il modello di Heston 37 nel framework di Heston. In particolare verrà posta l attenzione sulla necessità del controllo dell errore che, all interno dello schema di simulazione Monte-Carlo, rischia di sommarsi ad ogni passo all errore precedentemente accumulato e che quindi può portare a valori significativamente diversi da quelli teorici.

39 Capitolo 4 Simulazione con metodi Monte-Carlo L attività di pricing di strumenti finanziari derivati richiede nel framework del modello di Heston l utilizzo di metodi probabilistici di tipo Monte-Carlo. L andamento del prezzo dei titoli sottostanti può essere simulato secondo diversi schemi, presentati nel capitolo precedente, che per loro natura impongono una simulazione molto precisa e soprattutto un controllo dell errore di calcolo. Dopo aver introdotto i metodi Monte-Carlo, in questo capitolo vediamo come simulare l andamento di prezzo di un titolo secondo lo schema di Broadie-Kaya: sono affrontate le principali problematiche implementative e viene proposta una via risolutiva. 4.1 I metodi Monte-Carlo In finanza i metodi Monte-Carlo sono comunemente usati quando si ha il bisogno di calcolare il valor medio di una funzione f(x) data nota la distribuzione di densità dell argomento ψ(x) con x R n : v = E ψ(x) [f(x)] = f(x)ψ(x)dx n (4.1) L algoritmo di calcolo L algoritmo di simuzione Monte-Carlo è quindi il seguente: Stabilire una procedura per estrarre dei valori della variabile x dalla funzione di densità ψ(x) Inizializzare a 0 una variabile Somma, una variabile Media ed un contatore 38

40 4. Simulazione con metodi Monte-Carlo 39 intero i. Estrarre un vettore x i e calcolare il valore della funzione f i (x i ) Aggiungere il valore calcolato a Somma Incrementare di 1 il contatore i Calcolare la Media = Somma / i Ripetere le iterazioni fino a che si verifichi la condizione di arresto: raggiunto un numero di iterazioni massime o raggiunta la precisione desiderata Al termine della procedura, dopo N iterazioni, l algoritmo fornisce dunque una stima del valore cercato v definita dallo stimatore: v N := 1 N N f(x i ) (4.2) E importante il controllo dell errore che si compie con tale stima, esso converge a zero grazie al Teorema Centrale del Limite. i= Teorema Centrale del Limite Data una sequenza di variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite ξ i con: definendo: E[ξ i ] = µ V ar[ξ i ] = σ S n := n i=1 ξ i allora per n crescente la variabile X n X n := S n nµ σ n converge in probabilità alla distribuzione di una variabile normale standard: X n N(0, 1)

41 4. Simulazione con metodi Monte-Carlo Controllo dell errore Il Teorema Centrale del Limite ci dà una stima dell errore commesso utilizzando l algoritmo di simulazione Monte-Carlo arrestato all N-esimo ciclo. Assumendo costante la varianza di ogni simulazione σ 2, si ottiene: ( σ ) v N N µ, N Si ottiene allora che l errore di approssimazione al passo N, ɛ N, è inversamente proporzionale a N: ɛ N 1 N e inoltre ricordando che il valore cercato v è la media di ogni simulazione, cioè v = µ si ottiene la convergenza dei metodi Monte-Carlo: lim v N = µ = v N Arrestandosi ad un passo N sufficientemente grande, i metodi Monte- Carlo offrono una stima del valore cercato v che può essere considerata come σ una realizzazione della variabile aleatoria v N = N(v, N ). Il controllo dell errore è quindi ottenibile per via statistica a partire dalla varianza di ogni singola simulazione σ 2 che, a seconda dei casi, può essere più o meno facile da valutare ma che nella maggior parte delle simulazioni può essere limitata superiormente da un valore di controllo σmax 2 > σ 2 in modo da ottenere un limite superiore in probabilità dell errore ɛ N. Una comune via per risolvere questo problema consiste nel considerare la varianza delle simulazioni σ N 2 calcolata secondo la definizione di varianza, quindi: ( 1 σ N 2 = N N vi 2 i=1 ) ( 1 N N ) 2 v i i=1 si considera quindi l errore standard ɛ N ɛ N = σ N N questa valutazione fornisce un indicazione utile che non garantisce un limite all errore realmente ottenuto ma che viene spesso utilizzata per definire la condizione di arresto delle simulazioni Monte-Carlo.

42 4. Simulazione con metodi Monte-Carlo Implementazione dello schema di Broadie e Kaya In questa sezione sviluppiamo lo svolgimento dello schema di calcolo proposto nel 2004 da Mark Broadie e Ozgur Kaya della Columbia University [6]. Utilizzando il metodo Monte-Carlo essi propongono una via per simulare l andamento di prezzo di un titolo nel framework del modello di Heston. Partendo dalle equazioni descrittive del modello 3.1 e 3.2 essi propongono un algoritmo di simulazione esatta, dove con questo aggettivo si intende che le distribuzioni di probabilità del prezzo e della sua volatilità da cui si estraggono i valori per le simulazioni Monte-Carlo (come definito in 4.1) sono calcolate in maniera esatta. La difficoltà implicita nel volere calcolare per via esatta queste distribuzioni consiste nel fatto che la distribuzione di probabilità del processo di prezzo (S t ) t 0 è legata all andamento del processo di volatilità nel tempo (v t ) t 0. Riprendendo le equazioni descrittive 3.1 e 3.2, esse possono essere riscritte esplicitando il parametro di correlazione ρ tra i moti browniani: ds t = µs t dt + v t S t [ρdw (1) t + 1 ρ 2 dw (2) t ] (4.3) dv t = k(θ v t )dt + σ v t dw (1) t (4.4) con (W s (1) ) s 0 e (W s (2) ) s 0 moti browniani standard indipendenti. Il metodo di simulazione esatta del processo di prezzo si basa quindi sulla soluzione dell equazione 4.3. Considerando noti ad un tempo fissato u il prezzo S u e la volatilità v u si può avere per ogni tempo t u la legge per il prezzo del titolo S t : S t = S u exp [ µ(t u) 1 2 t u v s ds + ρ t u vs dw (1) s + 1 ρ 2 t u ] vs dw s (2) (4.5) La volatilità al tempo t, v t, è anch essa ricavabile da: v t = v u + kθ(t u) k t u v s ds + σ t u vs dw (1) s (4.6)

43 4. Simulazione con metodi Monte-Carlo 42 Per risolvere con un metodo Monte-Carlo il problema di pricing di contratti derivati con un titolo sottostante che segua le leggi del modello di Heston (4.3 e 4.4) bisogna essere in grado di estrarre dei valori S t e v t partendo dai valori noti S u e v u utilizzando le equazioni 4.5 e 4.6 e per ogni ciclo di simulazione si utilizzeranno diverse realizzazioni dei termini stocastici legati ai moti browniani (W s (1) ) s 0 e (W s (2) ) s 0. La simulazione esatta del modello di Heston secondo le schema di Broadie e Kaya comporta i seguenti passi: Generare una realizzazione della distribuzione di v t, noto v u Generare una realizzazione della distribuzione di t v u sds, noti v u e v t Calcolare t vs dw (1) u s, noti v u, v t e t v u sds Generare una realizzazione della distribuzione di S t, noti t v u sds e t vs dw (1) u s Architettura implementativa Ognuna delle operazioni proposte nello schema di Broadie e Kaya deve essere ripetuta ad ogni passo per ogni ciclo di simulazione Monte-Carlo. Dal punto di vista della programmazione abbiamo deciso di definire una funzione Step MC. Lo scopo di tale funzione è quella di svolgere un ciclo dell algoritmo di Broadie e Kaya, essa quindi fornirà in uscita una realizzazione delle distribuzioni di prezzo e di volatilità: (S t, v t ) = Step MC (S u, v u ; µ, k, θ, σ, ρ; (t u)) i parametri µ, k, θ, σ e ρ potrebbero essere omessi in quanto considerati costanti per ogni titolo. L interesse però è quello di fornire un metodo che si possa adattare a qualsiasi titolo e quindi la funzione Step MC li considera come inputs. Ad ogni passo dello schema di Broadie e Kaya corrisponderanno allora altrettante funzioni, ognuna con lo scopo di eseguire una delle istruzioni dell algoritmo: (v t ) = VOLA (v u ; µ, k, θ, σ, ρ; (t u)) (int t u ) = INTEGRALE DET VOLA (v u, v t ; µ, k, θ, σ, ρ; (t u)) (stoc t u ) = INTEGRALE STOC VOLA (v u, v t, int t u ; µ, k, θ, σ, ρ; (t u)) (S t ) = PREZZO (v u, v t, int t u, stoc t u ; µ, k, θ, σ, ρ; (t u)) Proseguiamo analizzando ognuna di queste funzioni; la scomposizione del-

44 4. Simulazione con metodi Monte-Carlo 43 lo step Monte-Carlo in sottofunzioni è importante e utile in quanto ognuna di queste può essere, per esempio, programmata e modificata indipendentemente dalle altre Aggiornamento della volatilità Il primo passo dello schema di Broadie e Kaya consiste nell aggiornamento della volatilità v u. La nuova volatilità v t è indipendente dal processo di prezzo e segue l equazione 4.6. Come dimostrato da Cox, Ingersoll e Ross [11] la nuova volatilità segue, a meno di un fattore di scala, una distribuzione chi-quadro non-centrale: v t = σ2 (1 e k(t u) ) χ 2 4k d ( 4ke k(t u) ) σ 2 (1 e k(t u) ) v u, t > u (4.7) dove χ 2 d (λ) indica una variabile casuale con distribuzione chi-quadro non centrale, d gradi di libertà e parametro di non-centralità λ, dove: d = 4θk σ 2 λ = 4ke k(t u) σ 2 (1 e k(t u) ) v u Per riuscire allora a simulare una realizzazione di v t sarà necessario poter effettuare delle estrazioni da una distribuzione chi-quadro non centrale con d gradi di libertà e parametro di non-centralità λ. Si noti che d R + e λ R + possono assumere solo valori positivi. La simulazione esatta di una distribuzione chi-quadro non-centrata può avvenire attraverso scomposizione: chiamando χ 2 d una variabile casuale chiquadro con d gradi di libertà, è valida la seguente scomposizione [12]: χ 2 d (λ) = χ 2 1 (λ) + χ 2 d 1 Nel caso in cui valga:

45 4. Simulazione con metodi Monte-Carlo 44 d 1 (4.8) e ricordando che: χ 2 1 (λ) = (Z + λ) 2 dove Z è una variabile gaussiana normale standard, la simulazione della variabile χ 2 d (λ) può avvenire, quando d > 1 attraverso la simulazione di una variabile chi-quadro centrata con d 1 gradi di libertà, χ 2 d 1 e di una variabile normale standard Z: χ 2 d (λ) = (Z + λ) 2 + χ 2 d 1 (4.9) con Z e χ 2 d 1 variabile aleatorie indipendenti. Ci resta da vedere come simulare la distribuzione χ 2 d (λ) nel caso in cui 0 < d < 1. In questo caso Johnson, Kotz e Balakrishnan [12], osservano che una variabile aleatoria chi-quadro non-centrale può essere rappresentata da come una variabile aleatoria chi-quadro con un numero aleatorio di gradi di libertà. In particolare: χ 2 d (λ) χ 2 d+2n ed N P oisson( λ 2 ). Ciò significa che per simulare la variabile aleatoria χ 2 d (λ) sarà necessario simulare prima una variabile aleatoria di tipo Poisson N con media λ e poi 2 una variabile chi-quadro χ 2 d+2n con d + 2N gradi di libertà. L estrazione delle variabili aleatorie, normale standard, Poisson e chiquadro (centrale), non pone particolari problemi in quanto si possono utilizzare comuni librerie di calcolo. Nel nostro caso è stata utilizzata la libreria di strumenti matematici GSL, disponibile gratuitamente su diversi siti internet universitari.

46 4. Simulazione con metodi Monte-Carlo 45 Figura 4.1: Il grafico mostra la funzione cumulata ottenuta sperimentalmente r (v t) vu di per quattro diversi valori della varianza della volatilità σ (in ordine t u per σ crescente: rosso, verde chiaro, viola, verde scuro) e per k = 0 (linea blu)

47 4. Simulazione con metodi Monte-Carlo 46 La distribuzione di volatilità finale dipenderà ovviamente dal passo temporale scelto: maggiore sarà l intervallo t e maggiore sarà la dispersione della distribuzione di volatilità. Si può anche notare che facendo tendere t la volatilità assume la distribuzione: v t σ2 4k χ 2 d (0) = σ2 4k χ2 d Si ha quindi che il modello di Heston prevede una distribuzione di volatilità asintotica per ogni titolo ed è interessante notare come questa distribuzione non dipenda più dal valore iniziale della volatilità v u. Tale distribuzione di volatilità può essere utilizzata nel caso in cui non si possa risalire ad un valore iniziale di volatilità (per esempio per titoli di nuova quotazione). In questo paragrafo ci siamo occupati dell estrazione della volatilità alla fine di ogni step Monte-Carlo, cioè abbiamo descritto l algoritmo della funzione: (v t ) = VOLA (v u ; µ, k, θ, σ, ρ; (t u)) Una volta simulato il valore finale di volatilità v t il passo successivo sarà quello di estrarre un valore per l integrale della curva di volatilità nel tempo Integrale di volatilità Dopo aver aggiornato la volatilità trovando il valore finale v t, si pone il problema di estrarre un valore per l integrale di volatilità: t u v s ds vu,v t (4.10) Come si può vedere nel grafico sottostante per ogni coppia di valori di volatilità iniziale e finale (v u, v t ) ci sono diversi cammini stocastici possibili. Ad ogni cammino corrisponde un valore diverso dell integrale 4.10 e quindi, seguendo la tecnica Monte-Carlo, per ogni simulazione di volatilità estraiamo un valore anche per l integrale.

48 4. Simulazione con metodi Monte-Carlo 47 Figura 4.2: 5 possibili curve di volatilità con estremi fissati noti (0,18 ; 0,23). L integrale della volatilità nel tempo corrisponde graficamente all area sottesa dalla curva di volatilità.

49 4. Simulazione con metodi Monte-Carlo 48 Seguendo l algoritmo di Broadie e Kaya [6] utilizziamo la tecnica delle trasformate di Laplace. Chiamando V (u, t) = t v u sds vu,vt si ha che: P rob[v (u, t) x] = 1 π sin(ax) Φ(a)da = 2 a π 0 sin(ax) REAL[Φ(a)]da a (4.11) x 0 e dove: [ Φ(a) = E exp ( ia t u v s ds ) vu,v t ] (4.12) Utilizzando il lavoro di Pitman e Yor [13] la 4.12 può essere sviluppata come composizione di funzioni esponenziali in a e di due funzioni di Bessel modificate della prima specie: Φ(a) = γ(a)e 1 2 (γ(a) k)(t u) (1 e k(t u) ) k(1 e γ(a)(t u) ) [ vu + v ( t k(1 + e k(t u) ) exp γ(a)(1 + e γ(a)(t u) ) )] σ 2 1 e k(t u) 1 e γ(a)(t u) [ vu ] 4γ(a)e I 0.5d 1 v 0.5γ(a)(t u) t σ 2 (1 e γ(a)(t u) ) [ vu ] (4.13) 4ke I 0.5d 1 v 0.5k(t u) t σ 2 (1 e k(t u) ) dove: γ(a) = k 2 2σ 2 ia d è dato da 4.8 e I ν (x) è la funzione di Bessel modificata della prima specie.

50 4. Simulazione con metodi Monte-Carlo 49 Figura 4.3: Funzione Phi nello spazio complesso: Phi(0)=(1;0) e Phi( )=(0;0)

51 4. Simulazione con metodi Monte-Carlo 50 Figura 4.4: Funzione Phi nello spazio complesso con passo di tempo t-u molto piccolo Lasciando in appendice A i dettagli della derivazione di 4.13 vediamo come si può estrarre un valore per l integrale Estraendo un valore b da una distribuzione unitaria uniforme, 0 b 1, si cerca il valore x, x 0, tale che la funzione cumulata dell integrale di volatilità 4.11 sia uguale a b in x = x. In questo modo si ottiene un estrazione casuale non distorta del valore dell integrale. Il problema da risolvere sarà allora quello di trovare x e questo corrisponderà al valore dell integrale cercato. La funzione 4.11 non è invertibile ma è monotòna crescente in x, d altra parte è ragionevole (e dimostrabile) che la probabilità che un valore positivo non noto, nel nostro caso il valore dell integrale di volatilità, sia minore di un valore positivo noto fissato, nel nostro caso x, cresca al crescere di x per convergere al valore unitario quando x tende a. Essendo la funzione 4.11 monotòna crescente in x e sapendo che: P rob[v (u, t) 0] = 2 π 0 sin(0) REAL[Φ(a)]da = 0 a

52 4. Simulazione con metodi Monte-Carlo 51 cioè che la probabilità che l integrale di volatilità sia minore o uguale a 0 è nulla, si può pensare di aggirare l ostacolo della non inversibilità della funzione mediante un approssimazione attraverso un metodo di integrazione numerica, per esempio il metodo dei trapezi: P rob[v (u, t) x] = hx π + 2 π j=0 sin(hjx) REAL[Φ(hj)] e d (h) (4.14) j dove h è il parametro di griglia usato nella discretizzazione e e d (h) è il relativo errore di discretizzazione. Ovviamente si ha che: [ hx P rob[v (u, t) x] = lim h 0 π + 2 π j=0 sin(hjx) ] REAL[Φ(hj)] j cioè che l errore di discretizzazione diminuisce al decrescere di h. Il metodo dei trapezi fornisce una buona approssimazione quandi si vogliono integrare funzioni con oscillazioni: in questo caso gli errori tendono a cancellarsi. Come mostrato da Abate e Whitt [14], l errore di discretizzazione e d (h) può essere limitato inferiormente e superiormente utilizzando la formula di sommatoria di Poisson: [ k=1 k=1 [ P rob[v (u, t) ( 2kπ h P rob[v (u, t) ( 2kπ h ] + x)] P rob[v (u, t) (2kπ h x)] 0 ] +x)] P rob[v (u, t) (2kπ h x)] [1 P rob[v (u, t) ( 2π ] h x)] Supponendo di voler limitare l errore di discretizzazione a ɛ allora per la scelta del parametro di griglia si ha: h = 2π x + x max π x max

53 4. Simulazione con metodi Monte-Carlo 52 dove ɛ = 1 P rob[v (u, t) x max ] e 0 x x max. Teoricamente l integrale cercato x può assumere qualsiasi valore positivo e la scelta di un valore massimo x max potrebbe essere considerata limitativa. Nella pratica utilizzando le informazioni contenute nella funzione caratteristica 4.13 si può scegliere x max in funzione dei momenti della distribuzione, per esempio come media più cinque volte la varianza, in modo da limitare il più possibile la probabilità che la somma 4.14 non arrivi al valore estratto b per la distribuzione cumulata. Oltre all errore di discretizzazione e d (h) l approssimazione per trapezi comporta anche un altro tipo di errore dovuto ai limiti fisici del calcolo numerico: l errore di troncamento e T (N). Si ha infatti che la serie in 4.14 al momento del calcolo verrà troncata al passo N. La 4.14 diventa: P rob[v (u, t) x] = hx π + 2 π N j=0 sin(hjx) REAL[Φ(hj)] e d (h) e T (N) j (4.15) Cerchiamo di dare una limitazione all errore di troncamento e T (N). La funzione Φ(a) ha modulo 1 per a = 0 e il suo modulo decresce al crescere dell argomento a (come si può notare nei grafici della funzione nel piano complesso e 4.2.3). Dato che anche sin(ax) 1, per l integrando in 4.11 vale: 2 REAL[Φ(a)] 2 Φ(a) πa πa Per il fatto che l integrando sia una funzione periodica, l ultimo termine della serie troncata ad un passo fissato N fornisce una buona stima per l errore di troncamento. Volendo limitare l errore a ɛ vale 2 Φ(hN) h πhn < ɛ si ottiene una regola per l arresto nel calcolo della serie:

54 4. Simulazione con metodi Monte-Carlo 53 Figura 4.5: Funzione Cumulata dell integrale di volatilità: estratto da una variabile aleatoria uniforme il valore di b, si cerca x nell intervallo (0; x max ) N > 2 Φ(hN) πɛ Fissati quindi con questi criteri il parametro di griglia h ed il numero di addendi N per il calcolo dell integrale 4.11 mediante il metodo dei trapezi dato da 4.15 si può quindi calcolare il valore dell integrale 4.10 fissato un valore x. Per risalire al valore cercato x tale che l integrale 4.10 assuma il valore estratto b da una distribuzione uniforme, si possono adottare diversi metodi. In questo ambito la ricerca operativa ci è d aiuto: se il metodo più semplice da implementare e più stabile è quello della bisezione si possono pensare a metodi più complessi come per esempio quello di Newton. Bisogna però tenere conto che i metodi che richiedono il calcolo di derivate e che hanno convergenza migliore (intesa come numero di iterazioni) richiedono più

55 4. Simulazione con metodi Monte-Carlo 54 Figura 4.6: Funzione di Bessel modificata della prima specie: curva sperimentale di REAL[I nu (z)]al variare dell ordine ν in ( 1; +1) e di z reale (REAL[z] (0; 2)) tempo per il calcolo di ogni iterazione e, soprattutto, comportano dei problemi di instabilità dovuti al fatto che il calcolo dell integrale non è esatto ma comprende diverse approssimazioni. Il procedimento descritto comporta molte difficoltà implementative, ivi compresa la difficoltà di calcolo della funzione modificata di Bessel della prima specie che figura nel calcolo dell integrando Φ. La funzione di Bessel può essere scritta come serie: ( 1 ) ν I ν (z) = 2 z ( z2 4 )j j!γ(ν + j + 1) j=0 (4.16) dove Γ è la funzione Gamma e z è un numero complesso.

56 4. Simulazione con metodi Monte-Carlo 55 Figura 4.7: Funzione di Bessel modificata della prima specie: curva ottenibile sul sito internet f unctions.wolf ram.com/webm athematica/f unctionp lotting.jsp?name = BesselI Il confronto tra le due due curve è stato utile per trovare eventuali errori di programmazione

57 4. Simulazione con metodi Monte-Carlo 56 Figura 4.8: Errore relativo tra i risultati sperimentali e i risultati forniti dalla libreria GSL che valuta I ν (z) solo per z reale. Facendo variare l ordine ν in (0; +25) e z reale in (0, +50) l errore relativo massimo compiuto è dell ordine di 10 6 Per approssimare correttamente questa funzione è stato utilizzato l algoritmo proposto da Amos [15] nella versione scalata (calcolo di e REAL(z) I ν (z)) con attenzione ai tagli nel piano complesso dovuti all elevamento a potenza del numero complesso z seguendo la formula di Abramovitz e Stegun [16]: I ν (ze mπi ) = e mνπi I ν (z) con m intero. Il corretto calcolo della funzione di Bessel modificata della prima specie I nu (z) ci ha permesso di ottenere la distribuzione dell integrale di volatilità La funzione (int t u ) = INTEGRALE DET VOLA (v u, v t ; µ, k, θ, σ, ρ; (t u)) di cui abbiamo visto l algoritmo genera un valore estratto da questa distribuzione.

58 4. Simulazione con metodi Monte-Carlo 57 Figura 4.9: Parte reale della funzione di Bessel modificata della prima specie al variare di z: mantenendo il modulo costante z = 2, ν = 0.6, e aumentando la fase è importante che la funzione sia continua nei punti di taglio ( z ; nπ) Figura 4.10: Parte reale di I ν (z) per z = 20 e ν = 0.2. Al variare di ordine e modulo di z la curva cambia aspetto ma restano la continuità ed il periodo

59 4. Simulazione con metodi Monte-Carlo 58 Figura 4.11: Funzione Cumulata dell integrale di volatilità per diversi valori della varianza della volatilità σ 2 La distribuzione è più o meno stretta a seconda della varianza della volatilità; si può infatti immaginare che per σ 2 0 la curva di volatilità tende ad un segmento e la distribuzione cumulata dell integrale ha come limite la funzione scalino centrata in (t u) vu+vt 2. La scelta del passo di tempo t u comporta due effetti principali sulla distribuzione dell integrale della volatilità Come si potrebbe già cogliere in maniera intuitiva l integrale cresce linearmente con la lughezza dell intervallo di tempo, inoltre è interessante vedere come la varianza aumenti con il tempo. Questo fenomeno è caratteristico dei moti browniani e i risultati sperimentali sono confortanti Integrale stocastico di volatilità e aggiornamento del prezzo Una volta aggiornata la volatilità finale v t e l integrale di volatilità t v u sds vu,vt per completare un passo di tipo Monte-Carlo secondo lo schema propos-

60 4. Simulazione con metodi Monte-Carlo 59 Figura 4.12: Funzione Cumulata dell integrale di volatilità per diversi valori dello step temporale (t u) to da Broadie e Kaya si deve calcolare l integrale stocastico di volatilità t u vs dw (1) s e simualare il prezzo finale S t. L integrale stocastico della volatilità è facile da calcolare noti v u, v t e t v u sds, dall equazione 4.6 si ha che: vu,vt t u vs dw (1) s = v t v u kθ(t u) + k t u v sds σ La simulazione di un livello di prezzo al tempo finale t segue da 4.5: [ S t = S u exp µ(t u) 1 2 t u v s ds + ρ t u vs dw (1) s + 1 ρ 2 t u ] vs dw s (2) Cercando la distribuzione del logaritmo naturale ln(s t ) del prezzo finale si ha che:

61 4. Simulazione con metodi Monte-Carlo 60 [ ] [ E ln(s t ) = ln(s u )+ µ(t u) 1 2 t u v s ds+ρ t u vs dw (1) s +E [ 1 ρ 2 t u ]] vs dw s (2) [ ] V ar ln(s t ) = V ar[ 1 ρ 2 t u ] vs dw s (2) Dalle equazioni descrittive del modello di Heston 4.3 e 4.4 si ottiene che il processo di volatilità è indipendente dal secondo moto browniano, v s dw s (2), l integrale stocastico di volatilità t vs dw (2) u s avrà distribuzione normale, con media 0 e varianza t v u sds. La distribuzione del prezzo finale sarà quindi: S t = e m(u,t)+s(u,t)z (4.17) dove Z è una variabile gaussiana normale standard, m(u, t) = ln(s u ) + [ µ(t u) 1 2 t u v s ds + ρ t u ] ] vs dw s (1). s 2 (u, t) = (1 ρ 2 ) t u v s ds L ultimo passo dell algoritmo di Broadie e Kaya per effettuare uno step Monte-Carlo mediante la funzione PREZZO (v u, v t, int t u, stoc t u ; µ, k, θ, σ, ρ; (t u)) consiste quindi in un estrazione casuale di una variabile aleatoria normale standard. 4.3 Risultati sperimentali Mediante l applicazione dell algoritmo proposto da Broadie e Kaya [6] siamo riusciti a scrivere il codice di programmazione per effettuare uno step Monte- Carlo. Questo algoritmo, nonostante le diverse approssimazioni introdotte,

62 4. Simulazione con metodi Monte-Carlo 61 fornisce delle simulazioni esatte del movimento di prezzo e volatilità dal punto iniziale noto al tempo u, (S u, v u ), ad un punto estratto dalle distribuzioni esatte di prezzo e di volatilità al tempo finale t, (S t, v t ). Per verificare la qualità delle simulazioni è stato applicato l algoritmo per prezzare delle opzioni europee. In particolare il prezzo di tali opzioni ottenuto con il metodi Monte-Carlo può essere confrontato con il prezzo teorico fornito dalla soluzione esatta 3.9. In questo modo l impatto del parametro di griglia h e del parametro di troncamento N nell approssimazione di 4.15 è stato valutato e i questi valori sono stati calibrati a seconda della precisione voluta nel prezzo finale. Una volta operato questo controllo e controllati gli errori di approssimazione è possibile applicare il metodo Monte-Carlo descritto nel pricing di opzioni diverse da contratti di tipo call e put europei Distribuzione dei Rendimenti Effettuando un alto numero di simulazioni Monte-Carlo si ha che le distribuzioni del prezzo S t e della volatilità v t ottenuti convergono in probabilità alle distribuzioni di prezzo e volatilità teoriche non esprimibili esplicitamente per il modello di Heston. Le distribuzioni sperimentali ottenute confermano alcune peculiarità del modello di Heston a volatilità stocastica già discusse nei capitoli precedenti. In particolare si può vedere come all aumentare del tempo la distribuzione dei rendimenti si allontani dalla distribuzione lognormale di Black-Scholes 2.4. Dal secondo grafico si può già notare un aumento di probabilità nella coda sinistra significativamente superiore al modello di Black-Scholes. Questa situazione è molto importante perchè corrisponde a una maggiore probabilità di rendimenti molto negativi del prezzo Impatto di σ e ρ E molto interessante vedere quale ruolo giochino i parametri σ e ρ nella distribuzione finale. Le equazioni descrittive del modello 3.1 e 3.2 indicano σ 2 come parametro di varianza della volatilità e ρ come correlazione tra i

63 4. Simulazione con metodi Monte-Carlo 62 Figura 4.13: Distribuzione simulata del prezzo per un passo temporale piccolo, (t u) = 1Mese a confronto con una distribuzione lognormale di uguale media e varianza.

64 4. Simulazione con metodi Monte-Carlo 63 Figura 4.14: Distribuzione simulata del prezzo per un passo temporale grande, (t u) = 1Anno a confronto con una distribuzione lognormale di uguale media e varianza.

65 4. Simulazione con metodi Monte-Carlo 64 Figura 4.15: q-q plot di confronto dei rendimenti con la distribuzione lognormale: con ρ = 0 l aumento di σ aumenta la probabilità nelle di valori estremi moti browniani nel processo di prezzo, (dw τ (1) ) τ 0, e nel processo di volatilità, (dw τ (2) ) τ 0. In particolare, come già discusso, σ e ρ influiscono sui parametri di forma della distribuzione del prezzo finale S t : il momento terzo, skewness, e momento quarto, kurtosis. Effettuando dei q-q plot di confronto tra una distribuzione lognormale e la distribuzione ottenuta si può visualizzare graficamente l impatto di questi due fattori. Con l aumento della volatilità di volatilità σ aumenta la kurtosis in modo da far crescere la probabilità nelle code. L effetto di ρ varia a seconda del suo segno: i risultati della calibrazione pongono ρ < 0. Questa caratteristica riprende la filosofia dei mercati azionari che, come osservato da Heston [5], sono caratterizzati da maggiore volatilità nei momenti di difficoltà del mercato.

66 4. Simulazione con metodi Monte-Carlo 65 Figura 4.16: q-q plot di confronto dei rendimenti con la distribuzione lognormale: con σ = 1 il segno di ρ influisce significativamente sulla forma della distribuzione, per ρ < 0 la probabilità nelle code aumenta Comportamento nelle code Uno dei motivi principali del successo dei modelli a volatilità stocastica, e quindi del modello di Heston, è il comportamento sostanzialmente diverso nelle code. La distribuzione ottenuta con le simulazioni Monte-Carlo conferma questa caratteristica Prestazioni dell algoritmo L algoritmo esatto di Broadie e Kaya fornisce una precisione elevata nell attività di pricing di opzioni. Questa precisione ha però un costo computazionale elevato dovuto alla chiamata ricorsiva di funzioni a loro volta ricorsive, caratteristica di annidamento. A questo proposito è stato interessante effettuare dei controlli sui tempi impiegati dalle diverse sezioni di ogni step Monte-Carlo con lo scopo di ottimizzare il tempo totale. Come proposto da Broadie e Kaya è stato inoltre utile confrontare le prestazioni dell algoritmo esatto con l algoritmo di Eulero 3.24 e 3.25.

67 4. Simulazione con metodi Monte-Carlo 66 Figura 4.17: Grafico logaritmico della distribuzione di probabilità del rendimento nelle code (asse verticale) in funzione del rendimento logaritmico (asse orizzontale). Figura 4.18: Simulazioni del prezzo di una opzione call con l algoritmo di Eulero. Figura 4.19: Simulazioni del prezzo di una opzione call con l algoritmo esatto.

68 4. Simulazione con metodi Monte-Carlo 67 A parità di tempo impegato, si vede che per poche simulazioni l algoritmo di Eulero è più efficace ma con il crescere delle simulazioni l errore quadratico medio normalizzato (RMS) diminuisce molto più velocemente per il metodo esatto. Il metodo esatto, avendo variabilità inferiore, permette in pratica di approssimare meglio il valore dell opzione con meno simulazioni rispetto al metodo di Eulero. Si conclude che il metodo esatto è preferibile.

69 Capitolo 5 Conclusioni Il lavoro di programmazione di metodi Monte-Carlo per il pricing di opzioni nel framework di Heston è stato per me un occasione per affrontare da vicino alcune questioni attualmente molto discusse nell ambito finanziario. La necessità di utilizzare modelli sempre più evoluti si scontra con i limiti della conoscenza matematica e della programmazione. Il mondo finanziario viaggia ormai a velocità di macchina con sistemi di Algorithmic Trading, si pensi all importanza per molte banche d affari di localizzare i server di trading automatico a distanza minore possibile dai server delle borse. Nonostante ciò è necessario che chi gestisce questi sistemi abbia una visione d insieme. A titolo di esempio la crisi che ha interessato i mercati finanziari nell ultima estate del 2007 ha colpito duramente la istituzioni finanziarie che più intensamente utilizzano sistemi automatici di trading. Si può parlare di abuso quando questi modelli vengono applicati dando per scontate le ipotesi su cui si fondano, omettendone la verifica. 5.1 Metodologia Questo lavoro è stato svolto in collaborazione con Mediobanca, istituzione che l ha ispirato e presso la quale ho svolto un periodo di stage a tempo pieno. Il risultato di questo approfondimento è che i modelli a volatilità stocastica sono in pratica migliori del modello di Black-Scholes in quanto tengono conto del fenomeno dello smile di volatilità e della curva di volatilità nel tempo, con ripercussioni sui prezzi di molti prodotti derivati. Tra di essi il modello proposto da Heston nel 1993 [5] è inoltre stato il primo a tener conto della relazione, o meglio della correlazione, tra l andamento del prezzo di un titolo azionario e dell andamento della sua volatilità. 68

70 5. Conclusioni 69 Figura 5.1: Valori estratti di prezzo e volatilità con parametro di correlazione dei moti browniani ρ negativo. Si può notare come gioca ρ nel rapporto tra rendimento e volatilità: a maggiore rendimento corrisponde minore volatilità.

71 5. Conclusioni 70 Al grado di accuratezza predittiva di questo modello si affiancano però problemi di calcolo e di calibrazione che possono rimettere in competizione altri modelli, teoricamente meno accurati ma nella pratica in grado di competere con il modello di Heston. Il mio lavoro ha preso spunto dall ampia bibliografia presente in letteratura e in particolare il lavoro di Broadie e Kaya [6] mi ha dato una traccia molto utile da seguire nella parte implementativa. Il risultato di questo lavoro è un codice di programmazione, in linguaggio C++, che attualmente è inserito in una più ampia libreria finanziaria di pricing. Lo sviluppo del codice è stato fatto seguendo le logiche di tracciabilità e migliorabilità, caratteristiche fondamentali perchè questo lavoro non venga presto surclassato ma possa eventualmente interagire nel futuro con altri modelli. Durante questo periodo sono stato supportato dal Professor Carlo Sgarra che ha curato con il necessario rigore gli aspetti più teorici, mentre per quanto riguarda le problematiche implementative ho seguito i preziosi suggerimenti del Dott. Martino De Prato. 5.2 Risultati ottenuti Il risultato più importante e meno scontato è stato riuscire a simulare il prezzo di contratti derivati con precisione molto alta. Per ottenere un elevato gradi di accuratezza è però stato necessario un aumento considerevole dei tempi di calcolo (dai secondi ai minuti su un comune personal computer). Nella pratica si può preferire la rapidità di calcolo utilizzando altri modelli; ciò nonostante la possibilità di avere a disposizione uno strumento di controllo dell errore commesso è fondamentale. Alla soddisfazione di esser arrivato al compimento dell attività di pricing di contratti derivati con il modello di Heston si unisce la soddisfazione per aver prodotto un codice dal fine pratico. Il fatto che il proprio lavoro trovi applicazione in un processo produttivo aziendale è per un aspirante ingegnere un risultato molto importante. In questo lavoro ho infatti potuto apprezzare l importanza dell aver ricevuto una formazione polivalente che mi ha permesso di comprendere problemi di diversa natura. Se da una parte questa attività ha richiesto un certo rigore procedurale attraverso il controllo della qualità di ogni passo compiuto, dall altra il progetto ha ricevuto diverse spinte: delle scadenze temporali alle questioni logistiche. Gestire questo insieme di problematiche è stato importante e secondo me molto educativo anche dal punto di vista professionale.

72 5. Conclusioni Considerazioni Finali Il lavoro svolto in questa tesi offre diversi spunti di approfondimento. Dal punto di vista matematico abbiamo visto come l assenza di soluzioni esatte sia la causa di molti problemi. In particolare la necessità di ricorrere a soluzioni approssimate coinvolge alcuni aspetti della programmazione come l ottimizzazione del tempo e la gestione dell errore. Dal punto di vista finanziario invece bisogna stare attenti a non perdere di vista il framework in cui il modello di Heston si inserisce. Se da un lato è importante ottenere delle valutazioni precise del prezzo dei contratti derivati, da un altro è importante ricordare che ogni modello di pricing si basa su diverse ipotesi non sempre verificabili direttamente nei mercati finanziari. Ciò significa che la precisione del prezzo teorico di uno strumento derivato deve essere sempre considerata in relazione al modello che si è deciso di prendere in considerazione. Per questo motivo è buona norma in pratica prezzare ogni strumento con modelli e metodi diversi: si può così meglio comprendere in che modo il prezzo che calcoliamo sia influenzato dal modello con cui decidiamo di farlo. La comprensione di questi aspetti è fondamentale per tenere sotto controllo i rischi connessi all attività di scambio di pordotti derivati. Se infatti nei mestieri della finanza può capitare che si decida di assumere dei rischi, è buona norma che questa decisione sia fatta con cognizione di causa.

73 5. Conclusioni 72 Ringrazio il Professor Carlo Sgarra ed il Dott. Martino De Prato per avermi guidato durante la preparazione e lo svolgimento di questo lavoro. Un grazie al Politecnico di Milano ed al Dipartimento di Matematica per la qualità dell insegnamento e per l organizzazione dei corsi, per avermi permesso di studiare all estero e per avermi dato la formazione necessaria ad affrontare a testa alta il mondo del lavoro. Ringrazio Marco, Martino, Marcello, Davide e Cristian per avermi accompagnato durante i mesi di stage. Un grazie al Dott. Rinetti e ad Andrea Ventura per avermi dato la possibilità di collaborare con Mediobanca. Non posso non ringraziare i miei amici e compagni di corso per avermi accompagnato durante questi indimenticabili anni: Francesca, Elena, Pisk, Linus, Chiara, Anna, Tony, Agnes, Stefano, Ale Pizzo, Davidone, Dani, Sau, Fabio, Blase, Ruben, Massi, Vera, Mara ed Elena, Davide Magno, La Robbé, Irene, Vito, Paolo e tutti gli altri. Albi, Andre, Giako, Sergio, Teo e Vali: grazie per essere sempre presenti. Ringrazio Francesca, Marcello, Enea e Mariagrazia per la fiducia con cui mi hanno seguito. Grazie a mamma Lucia e papà Nicola per averci creduto anche quando la partita sembrava persa. Un grazie alla mia bella per avermi supportato e sopportato senza indugi.

74 Bibliografia [1] J-P. Fouque, G. Papanicolaou, K.R. Sircar Derivatives in financial markets with stochastic volatility Cambridge University Press, [2] R. Merton The Theory of Rational Option Pricing Bell Journal of Economics and Management Science 4, , [3] S. Mikhailov, U. Nogel Heston s stochastic volatility model implementation, calibration and some extensions WILMOTT Magazine, July [4] J. Gatheral Stochastic volatility and local volatility Case Studies in Financial Modelling Course - Merryll Lynch, [5] S. L. Heston A closed form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options The Review of Financial Studies, Vol. 6 n 2, [6] M. Broadie, O. Kaya Exact simulation of stochastic volatility and other affine jump diffusion processes Columbia University Press, Sept [7] A. Savine A theory of volatility Fixed Income Derivatives Research - BNP Paribas, [8] T. Bjork Arbitrage Theory in Continuous Time Oxford University Press, Second Edition,

75 BIBLIOGRAFIA 74 [9] N.Moodley The Heston Model: A Practical Approach University of the Witwatersrand, Johannesburg, [10] L.Andersen Efficient simulation of the Heston stochastic volatility model Bank of America Securities, Second Version, January [11] J.C. Cox, J.E. Ingersoll, S.A. Ross A theory of the term structure of interest rates Econometrica, Vol. 53, No. 2, , [12] N.L. Johnson, S. Kotz, N. Balakrishnan Continuous Univariate Distributions Volume 2, Second Edition, Wiley, New York, [13] J. Pitman, M. Yor A Decomposition of Bessel Bridges Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete, Vol. 59, , [14] J. Abate, W. Whitt The Fourier-Series Method for Inverting Transforms of Probability Distributions Queueing Systems, Volume 10, No.1, 5-88, [15] D.E. Amos Algorithm 644, A Portable Package for Bessel Functions of a Complex Argument and Non-negative Order ACM Trans. Math. Softw., Volume 12, No. 3, , [16] M. Abramowitz, I.A. Stegun Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathemtical Tables National Bureau of Standards, Washington D.C., 1972.

76 Appendice A Derivazione della Trasformata di Laplace dell integrale di volatilità In questa appendice deriviamo la trasformata di Laplace dell integrale di volatilità [ Φ(a) = E exp ( ia t u v s ds ) vu,v t ] (A.1) Sappiamo da 4.6 che, fissando per convenienza il tempo iniziale u = 0, la volatilità al tempo t è v t = v 0 + t 0 k[θ v s ]ds + t 0 σ v s dw s Analizzando l ultimo addendo vale: = 2 t 0 t =inlegge 2 σ v s dw s σ vs dw s 2 0 t 0 vs dw σ 2 s 4 75

77 A. Derivazione della Trasformata di Laplace dell integrale di volatilità 76 La seconda uguaglianza segue dalla proprietà di scalabilità del moto browniano. Chiamando u = σ2 s σ2, si ha du = ds e vale: 4 4 v t = v σ 2 t 4 σ 2 0 k[θ v 4u σ 2 t ]du σ 2 0 v 4u σ 2 dw u Definendo il processo ρ(u) = v 4u σ 2 si ottiene ρ σ 2 t 4 = ρ σ 2 t 4 σ 2 0 k[θ ρ u ]du + 2 σ 2 t 4 0 ρu dw u e chiamando n = 4kθ σ 2 ρ t = ρ 0 + e j = 2k σ 2 t 0 si ha [2jρ u + n]du + 2 t 0 ρu dw u Il generatore infinitesimale di questo processo è 2xD 2 + (2jx + n)d dove D = d. Pitman e Yor [13] propongono la seguente formula per il processo dx quadratico di Bessel X s con generatore infinitesimale 2xD 2 + nd: [ ( Ẽ exp b2 2 t 0 ] X0 X s ds) = x, X t = y ( xyb ) ( bt ) [ x + y ]I ν sinh bt = exp (1 bt coth bt) ( xy ) (A.2) sinh bt 2t I ν t dove ν = n 1, I 2 ν(.) è la funzione di Bessel modificata della prima specie e Ẽ indica il valor medio rispetto alla legge del processo quadratico di Bessel. Riprendendo la trasformata di Laplace dell integrale di volatilità abbiamo: [ ( Φ(a) = E exp ia [ ( ia = E exp σ 2 t u t u ρ σ 2 s ds 4 ) v s ds vu,vt] ) ρ σ2u 4,ρ σ 2 t 4 ]

78 A. Derivazione della Trasformata di Laplace dell integrale di volatilità 77 = [ ( Ẽ exp ( 4ia σ 2 [ ( Ẽ exp j2 2 j2 ) σ 2 t ) 4 ρ ρ 2 σ 2 u s ds 4 σ2u σ 2 t 4 ρ σ 2 u s ds 4 ) ρ σ2u 4 4,ρ σ 2 t 4,ρ σ 2 t 4 ] ] Utilizzando la A.2 nell ultima espressione si ricava la formula esplicita della trasformata di Laplace dell integrale di volatilità: Φ(a) = γ(a)e 1 2 (γ(a) k)(t u) (1 e k(t u) ) k(1 e γ(a)(t u) ) [ vu + v ( t k(1 + e k(t u) ) exp γ(a)(1 + e γ(a)(t u) ) )] σ 2 1 e k(t u) 1 e γ(a)(t u) [ vu ] 4γ(a)e I 0.5d 1 v 0.5γ(a)(t u) t σ 2 (1 e γ(a)(t u) ) [ vu ] 4ke I 0.5d 1 v 0.5k(t u) t σ 2 (1 e k(t u) ) dove γ(a) = k 2 + 2σ 2 a