1. Il principio di non arbitraggio e prime applicazioni

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1 . Il rco o arbtraggo e rme alcazo. Itrouzoe. Il rco o arbtraggo è l rco u cu baao qua tutt moell valutazoe Faza Matematca. Oortutà arbtraggo è la obltà realzzare u guaago certo eza alcu mego fo. L'ea equlbro u mercato fazaro rcouce al cocetto mercato ove ao aet obltà arbtragg. Il rco aeza arbtraggo ce: Se ue trumet forcoo all'eoca fale t m =T lo teo rultato, qualuque a lo tato el moo ω che verfca, allora all'eoca zale τ evoo avere lo teo rezzo. L'ote u mercato equlbro el quale o oo obl arbtragg ha u ruolo eezale el rcg trumet fazar. Ifatt e eve rezzare uo ecfco trumeto e queto uò eere relcato utlzzao u ortafoglo comoto altr trumet l cu rezzo è oto, allora l rezzo el rmo eve cocere co l rezzo el ortafoglo che lo relca. I reeza ù mercat, a eemo u mercato a rot e uo ervato, l arbtraggo cote el bloccare u roftto rvo rcho, etrao multaeamete traazo che rguarao ue o ù mercat. I mercat geerale, e quell fazar artcolare, offroo obltà arbtraggo, ovvamete molto rcercate, e cottucoo l'attvtà rcale alcu oerator, ett auto arbtraggt. Soo loro tervet che, fluezao la omaa e l'offerta rootto fazar var, rortao rezz vero loro valor equlbro, corroeza e qual o v oo oortutà arbtraggo. Eemo - S coer ua gorata ( marzo 22) cu oervao eguet ta cambo u ver mercat: L'Euro camba a Mlao cotro.865 Dollar - Il Fraco Svzzero camba a Zurgo cotro.476 Euro - Il Fraco Svzzero camba a New York cotro.282 Dollar I queto cao uò realzzare u roftto arbtraggo.49 Euro, acqutao u Fraco Svzzero a Zurgo er.476 Euro, lo rveo a New York realzzao.282 Dollar, rveo quet Dollar a Mlao e cao.489 Euro. Ho realzzato coì u roftto arbtraggo =.49 Euro, corroete a u remeto effettvo el 3 er mlle crca. I geerale, effettuao egl camb crocat moete ove u'utà moeta A camba cotro x utà moeta B e cotro y moeta C, o v oo oortutà arbtraggo e x utà moeta B cambao cotro y utà moeta C (ell'eemo uò verfcare che queto vcolo o è rettato: fatt la cozoe equlbro arebbe:.865*.476=.2769) Naturalmete, ella realtà occorre teere coto e cot traazoe e el temo ecearo er chuere l cclo: l'ceza e cot è ovva, metre, er quato rguara l temo, tra l'aertura e la chuura ella ozoe cor otrebbero cambare e vafcare l roftto. Eemo -2 Coeramo u azoe quotata ulle bore New York e Lora. Suoamo che l rezzo a New York a $72, metre a Lora è. Il tao cambo ollaro/terla è.75. U arbtraggta otrebbe comrare azo a New York e veerle mmeatamete a Lora otteeo coì u roftto eza rcho: **.75-*72=$3..2 Arbtraggo e mercat a terme Farm 22_3 - Prof.a Slvaa Stefa - FINARM

2 Coeramo l'eteza multaea u mercato a rot (ot) e u mercato a terme (forwar) er uo teo bee. Stulao u cotratto forwar, le ue art megao a cambar u bee, etto uorto, a caeza er u rezzo attuto al mometo ella ottocrzoe el cotratto teo. I effett, la coega el bee uò o avere luogo quato ella maggoraza e ca cotraet reoo ua ozoe oota aea rma ella caeza, blacao la receete, oa, come ce, chuoo la ozoe. S ch co t la ata correte, co T la caeza, co S t l rezzo (o coro) ot al temo t, co F t l rezzo forwar al temo t e co r l tao eroale eza rcho relatvo al eroo T-t. Coeramo ora u oeratore co aerta ua ozoe luga ( acquto) ul uorto e ua corta ( veta) ul mercato a terme. A caeza, el cao che eua elle ue ozo vega chua rma, l alo ell'oerazoe è G = S S T T t t T ove - S t è l'eboro t er acqutare l uorto, F t è l'cao attuto t e lquato T relatvamete alla veta a terme, S T è l'cao relatvo alla chuura ella ozoe ul uorto T (veta el bee) e -F T è l'eboro relatvo alla chuura ella ozoe a terme T (acquto el bee). A caeza l rezzo ot è uguale al forwar qu F T = S T e l alo ell'oerazoe veta G = F T t t Il alo a caeza è qu erfettamete oto al mometo cu are la ozoe (al temo t). L'oerazoe ha rcheto u vetmeto S t (fatt F t è oto ogg ma lo otterrà a caeza) e l uo remeto tra t e T è F S t S t t + F S F. Suoeo ua bae aua er l calcolo el remeto e chamao τ=t-t la frazoe ao corroete alla urata ella ozoe, l remeto ρ è Ft St ρτ = S che uò eere rcrtto come F t = S t (+ρτ). Per o avere oortutà arbtraggo eve valere ρ= r quato ache l remeto ρ è eza rcho e, e coì o foe, otrebbe fruttare tale obltà creao ua ozoe autofazata che rouca u reto. S uoga a eemo che a ρ>r: tal cao uò reere a retto la omma S t e revetrla mmeatamete ella ozoe ecrtta rma. I t o è rcheto alcu eboro metre l alo a caeza arà G T = F t - S t (+rτ), ove F t è l'cao alla veta a terme e S t (+rτ) è l rmboro el retto. Sottueo a F t l uo valore ottee G T = F t - S t (+rτ) = S t (+ρτ) - S t (+rτ) = S t τ(ρ- r) che è curamete otvo ell'ote ρ>r. S è uque realzzato u roftto certo eza alcu mego fo, ovvero è realzzato u roftto arbtraggo. L'oerazoe aea ecrtta chama cah a carry. Se foe ρ<r, l'oerazoe che ovrebbe attuare er otteere roftt arbtraggo chama revere cah a carry..3 Formalzzazoe u mercato fazaro U mercato co vere oortutà vetmeto attvtà fazare (ttol), o geercamete attvtà vere, arà comutamete ecrtto al vettore R e rezz t= egl ttol e agl t S uoe oltre, come ache el eguto, che l mercato o abba frzo, oa o coerao tae, cot traazoe, è oble reere a retto o retare allo teo tao e oo ermee vete allo coerto. Farm 22_3 - Prof.a Slvaa Stefa - FINARM 2

3 vettor R (=, 2,, ) che rareetao valor lquazoe (agamet) el ttolo -emo egl tat atura. I vettor ooo eere accotat e tal moo ottee ua matrce D M( ) ove le rghe rareetao gl tat atura e le coloe ttol; l geerco elemeto ca l agameto ello tato el ttolo : :... :... : D = :... :... : Geeralmete u mercato fazaro uoe ache l'eteza u ttolo, etto eza rcho, e efto come egue: Defzoe. U ttolo è etto eza rcho e acura alla ata termale u agameto uguale og tato atura. Se oltre uoe che l uo rezzo t= a, allora l uo valore a t=t arà +r ove r è efto come l tao eroale rvo rcho. Il vettore e agamet el ttolo eza rcho 2, rulta coì eere ove I è l vettore utaro R. [ + r r r ] T = ( + r ) I S ot che la matrce e agamet avrà ore (+) quato aggugerà ua coloa (l vettore I ) l cu ce arà = 3. Ovvamete u mercato fazaro og oeratore uò ceglere effettuare egl vetmet verfcat, ovvero cotture cò che comuemete chama u ortafoglo vetmet. Per rareetare tal oortutà, cotruce u vettore a + comoet θ R +, la cu geerca comoete θ rareeta la quattà ttolo acqutata. Coì faceo uò ermere l valore el ortafoglo t= come l rootto calare (,θ)= T θ= e la varable aleatora e obl valor lquazoe come l vettore θ R rultate al rootto θ =Dθ= = = = θ = : : ϑ ϑ ϑ 2 etfcato 'ora o co l'ce 3 Cò comorta che le ommatore u utlzzate el eguto (fatt uorrà che l tao eza rcho eta emre) ovrao eere el to = uttoto che =. Farm 22_3 - Prof.a Slvaa Stefa - FINARM 3

4 .4 Ttol cotget agl tat atura (o ttol ur Arrow Debreu) Defzoe. S coo ttol cotget agl tat atura, coocut ache come ttol ur Arrow - Debreu, tutt que ttol che acurao l agameto ua utà e realzza u artcolare eveto ω e tutt gl altr ca. Tal ttol ooo eere coerat come ua fuzoe catore ω egl evet elemetar {ω } (co =,2,,), e ooo eere rareetat a vettor ella bae caoca R. A eemo, l ttolo cotgete allo tato atura ω 3 arà etfcato al vettore foametale e (3) R, ovvero l vettore e (3) = [... ] T. Se tal ttol etoo, al fatto che cottucoo ua bae er R, cee che og altro vettore R uò eere ereo come combazoe leare e ttol cotget. I artcolare, og varable aleatora X, efta come ora, uò eere crtta come combazoe leare egl e () (,, ) el moo eguete ( ) X = θ e aveo oortuamete celto gl calar θ = x( ω ) ( vea l Eemo Aece ). L terretazoe ecoomca el vettore θ cote el coerarlo come la comozoe el ortafoglo el ecore: uoe coè acqutare ua ercetuale θ = x( ω ) og ttolo cotgete e () (,, )..5 Oortutà arbtraggo S formalzzerà qu la ozoe oortutà arbtraggo ella quale oo gà tat fort alcu eem; tale cocetto verrà collegato a rezz e ttol cotget al fe otteere u oortuo trumeto matematco valutazoe che rareeta la chave tutt moell valutazoe ella moera faza matematca. Defzoe. S ce che l mercato offre oortutà arbtraggo (OA) e è oble cotrure u ortafoglo a coto ullo (o egatvo) che garatce u remeto certo otvo (o o egatvo) a caeza; altre arole e, cozo certezza, è oble cotrure t= u ortafoglo che of ua elle eguet ue cozo:. a a coto ullo e che garatca u remeto otvo almeo uo tato atura e o egatvo er tutt gl altr 2. a a coto egatvo e che garatca u remeto o egatvo og tato atura. Queta efzoe uò eere rcrtta forma comatta, utlzzao le ozo crtte receeza, oa T θ R + θ > D ove D è la matrce e agamet efta receeza e ove l mbolo > ca che tutte le comoet el vettore rultate (a comoet) oo o egatve e almeo ua è otva 4. 4 Le uguaglaze tra vettor terretao el moo eguete: x ca l eme { x x } x> ca l eme { x x e x } x>> ca l eme { x x > } Farm 22_3 - Prof.a Slvaa Stefa - FINARM 4

5 La efzoe ata ce ue art, la cu ereoe corroe alle ue cozo alteratve ella efzoe:. ortafoglo che a a coto ullo e che garatca u remeto otvo almeo uo tato atura e o egatvo er tutt gl altr equvale a. (, ) e θ er og e er almeo u vale > θ 2. ortafoglo che a a coto egatvo e che garatca u remeto o egatvo og tato atura equvale a 2. (, ) < e θ er og Prma roceere co u foametale rultato collegato al cocetto OA, rulta utle trourre u mortate Teorema, oto letteratura come Lemma Farka, che ermetterà gucare ulla comatbltà etermat rezz co l aeza OA, ata la matrce e agamet a caeza. Lemma Farka. Sa D ua matrce (+). U vettore R + ofa la uguaglaza T θ er og θ R + tale che Dθ e e olo e ete R a comoet tutte otve tale che T = T D. Utlzzao l Lemma Farka, oché alcu altr Teorem 5, ervee al eguete foametale Teorema: Teorema Cozoe eceara e uffcete er l aeza OA è che eta u vettore R a comoet trettamete otve tale che T = T D Il vettore efce qu u fuzoale leare valutazoe a coeffcet otv ull eme e agamet e var ttol, ovvero efce ua fuzoe leare :R R che aoca al vettore e agamet futur (l omo) l rezzo correte (coomo), fatt uò crvere come: ( ) = = Ioltre ota agevolmete l collegameto co ttol ur e co l ttolo eza rcho, oervao che ( ) ( e ) =. Duque l vettore rareeta u vettore le cu comoet oo rezz e ttol cotget agl tat atura, a cu egue la efzoe rezz cotget. Ioltre ( ) ( e ) = = e ( ) = ( e ) = ( ) ( ) ovvero, alla efzoe ata, è l rezzo el ttolo eza rcho (fatt queto aga tutt gl tat atura, qu l uo vettore e agamet è ) e ofa la relazoe 5 Come l Teorema earazoe e cove Farm 22_3 - Prof.a Slvaa Stefa - FINARM 5

6 A queto uto uò efre u uovo vettore = = + r = q che ofa q > er og (co =, 2,, ) e q = ; queto vettore uò eere faclmete terretato come ua uova legge robabltà efta ello azo {Ω,I} otteeo, oo aver chamato Q la uova legge robabltà, lo azo robabltà {Ω,I,Q}. I queto uovo azo, teeo coto elle oervazo receet e el fatto che q = =, l rezzo u geerco ttolo uò eere crtto come = = = + r q ovvero S uò allora eucare l eguete Teorema E Q + r [ ] Farm 22_3 - Prof.a Slvaa Stefa - FINARM 6 =. Teorema 2. Cozoe eceara e uffcete aeza OA è l eteza ua mura robabltà tale che l rezzo ogg u ttolo è uguale al valore atteo attualzzato el rezzo futuro el ttolo teo..6 Comletezza el mercato e robabltà eutra al rcho Il roblema che a queto uto c oe è verfcare otto qual cozo, ata D, a oble garatr u qualvogla lvello rcchezza W t= attravero la cottuzoe u ortafoglo t=, l che equvale a garatre ua oluzoe θ al tema W=Dθ er og W. Se tale cozoe è ofatta, l mercato ce comleto. Dalle ozo algebra leare euce che l coomo ell alcazoe D eve eere tutto R, ovvero eve oter otteere qualuque vettore R come combazoe leare, co coeffcet θ, e vettor. Cò gfca che, u mercato comleto, l roflo e agamet u uovo ttolo o ervato (oto, future, ecc ) uò eere relcato meate u oortua combazoe leare e ttol etet; coegueza, alla efzoe tea aeza OA, l rezzo el uovo trumeto ovrà eere la tea combazoe leare e rezz egl + ttol orgar. Affché cò a oble, rcora che la meoe el coomo D eve eere uguale a, l che gfca che la matrce D eve avere rago (r(d)) uguale a, oa r(d)=, coè evoo etere vettor learmete eet. Ua cozoe eceara er la comletezza che erva a quete coerazo è che a +, oa ttol obl evoo eere almeo tat quat gl tat atura.

7 Ioltre, cooceo D e, alle coerazo fatte fora, euce che l vettore e coegueza l vettore q (o la legge robabltà Q) è uco e l mercato è comleto. Teccamete, e r(d)=, uò vertre la matrce D oo avere elmato le - coloe ovrabboat (quelle corroet a ttol che ooo eere relcat meate gl altr ) e otteere alla relazoe T D - = T Suoamo ora voler calcolare l valore atteo, ello azo ecrtto alla tera {Ω,I,Q}, el remeto aleatoro [ ~ ~ r... r... ~ r ] T ~ r = u geerco ttolo calcolato er l -emo tato atura come egue ~ r = e, otazoe comatta, ~ r = ( ) Utlzzao le relazo receet er calcolare l valore atteo, ottee E [ ~ Q r ] = EQ ( ) = EQ [ ] EQ [ ] = ( + r ) = = r Il gfcato queto rultato è mmeato: el moo efto alla tera {Ω,I,Q}, l valore atteo el remeto aleatoro u ttolo è uguale al remeto eza rcho, qu la eomazoe robabltà eutra al rcho co cu c rferce alla legge robabltà Q. Farm 22_3 - Prof.a Slvaa Stefa - FINARM 7

8 Bblografa Ceccaro G., Falbo P. (998), Elemet Faza Matematca, Dee el coro Matematca Alcata all Ecooma e alla Faza Uvertà egl Stu Breca Geroazzo L. (999), Itrouzoe al calcolo tocatco e alle ue alcazo Ecooma e Faza, Aut er l coro Moell matematc er mercat fazar - Uvertà egl Stu Freze Hull J.C. (997), Ozo, future e altr ervat, Il Sole 24 Ore, Mlao Farm 22_3 - Prof.a Slvaa Stefa - FINARM 8

9 Aece Iote, efzo e otazo L'certezza uoe ecrtta a uo azo robabltà etfcato alla tera {Ω,I,Π} ove otzza: car{ω}=, oa Ω è cottuto a u umero fto elemet I= (Ω), l'eme elle art Ω ω Ω, π(ω)> La rma ote, che gfca che l'eme elle obl realzzazo è fto, è utle er oter ermere le realzzazo ua varable aleatora X efta Ω er mezzo u vettore R, le cu comoet oo valor X er og tato atura. Qu crve [ x ω ), x( ω ),..., x( )] T ( 2 ω La ecoa ote mlca che tutt gl {ω } oo evet elemetar, cu è aegata ua robabltà [ ω ), π ( ω ),..., π ( ] T ( 2 ω ) π. La terza ote gfca che tereao olo gl evet co robabltà o ulla verfcar. Eemo. S coer u roretaro terrero la cu reta x u camo coltvato è roorzoale al valore el foo teo ecoo l'equazoe x ' =cx ove c è la cotate roorzoaltà. S uoga oltre che tale reta var a ecoa el temo urate l'ao: e l temo è bello,la rouzoe arà abboate e c alto, e l temo è brutto, la rouzoe arà cara e qu c bao. C trovamo u cao orzzote temorale u ao (alla ema al raccolto). S ha qu Ω={ω,ω 2 } {temo bello, temo brutto}, I={,Ω,ω,ω 2 }. Suoamo oltre er emlctà che gl evet ao equrobabl, oa ( ω T ) π ( ω 2 ) =.5. 5 π. Aocamo oltre valor c agl tat atura el moo eguete.2 e ω c =.5 e ω Π= [ ] [ ] T e otzzamo x()=. S evoo rolvere ue roblem Cauchy x' =.2x e ω x' =.5x e ω 2 e x() = x() = Le realzzazo ella varable aleatora X ooo eere raute al vettore T.2.5 X= [ ] [ ] T x( ω ) x( ω 2 ) = e e ove t=, eeo l'orzzote temorale lmtato a u ao. Il valore atteo el foo al temo arà uque x( ω ) = E(X)=Π T X= [ π ( ω ) π ( ω )] =.5 e +.5 e ( 2 ) x ω Il vettore che raume le realzzazoe ella varable aleatora X (l valore el foo a fe eroo) uò eere ereo come combazoe leare e ue vettor ella bae caoca R², e () e e (2), el moo eguete:.2 e.2. 5 X = = e + e.5 e 2 Farm 22_3 - Prof.a Slvaa Stefa - FINARM 9