Metodi Dinamici in Economia. Modulo 1

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1 Metodi Dinamici in Economia. Modulo 1 Professor Dipartimento di Scienze Statistiche, Università di Udine Anno Accademico

2 Statica Un semplice modello di equilibrio parziale D(p) = a bp: funzione di domanda S(p) = m + sp: funzione di offerta p: prezzo a, b, s > 0 m 0: costanti D(p) = S(p): condizione di equilibrio

3 Equilibrio p = a m b+s Si tratta di un problema statico: non cé riferimento al tempo La soluzione è data da uno o più valori della variabile che soddisfano un eqazione algebrica Esercizio 1 Trovare le condizioni sui parametri a, b, m, s affinchè: (i) p > 0; (ii) in equilibrio domanda e offerta siano positive.

4 Dinamica. Tempo Discreto Disequilibrio Cosa succede se p p? Bisogna sostituire la condizione di equilibrio D(p) = S(p) con un meccanismo di aggiustamento Meccanismo di Aggiustamento Adattivo p t+h = p t + hϑ[d(p t ) S(p t )] (1) p t : prezzo al tempo t, t Z! h : intervallo di tempo ϑ: coefficiente di reazione (con dimensione: quantità/tempo) D(p t ), S(p t ): funzioni di domanda e offerta come prima

5 L equazione dinamica di base Poniamo h = ϑ = 1 (una delle due puó sempre essere posta uguale a 1, scegliendo opportunamente l unitá di misura del tempo). p t+1 = p t + [D(p t ) S(p t )] (2) ovvero, usando (1) (2) e ponendo α = a m e β = 1 b s, p t+1 = α + βp t (3)

6 L equazione (3) dicesi equazione alle differenze finite. Essa pone una relazione funzionale fra il valore della variabile p al tempo t e quello della stessa variabile a un tempo diverso, t + 1 Nota che (3) è lineare, poiché f (p t ) = α + βp t lo è (a rigori, è affine ) una soluzione di (3) è una funzione del tempo p(t) che soddisfa (3), dato un valore iniziale non necessariamente di equilibrio

7 Soluzione dell equazione (3) 1 Passo. Soluzione della parte omogenea Consideriamo la parte omogenea di (3), cioè quella che non constiene funzioni del tempo o termini costanti: p t+1 = βp t (4) La soluzione di (4) è p(t) = Aβ t, A costante arbitraria. Esercizio 2 Provate che p(t) = Aβ t è una soluzione della (4).

8 2 Passo. Soluzione particolare Cercate una soluzione particolare di (3). Regola del pollice : tentate una forma funzionale simile alla parte non omogenea di (3) Poiché quest ultima é semplicemente una costante, α, ponete p(t) = K con K costante, da cui sostituendo ottenete K = α + βk, ovvero K = α 1 β = a m = p (5) b + s Quindi la soluzione particolare della (3) è stazionaria e altro non è che il valore di equilibrio del problema statico!

9 3 Passo. Soluzione generale Poiché l equazione é lineare, la somma di due soluzioni é ancora una soluzione, ovvero: p(t) = p + Aβ t (6) Esercizio 3 Provare che, nel presente caso lineare, la somma delle due soluzioni è ancora una soluzione.

10 4 Passo. Interpretazione del termine costante Poiché la soluzione vale per un valore qualsisi di t Z, poniamo t = 0, da cui abbiamo: p(0) = p + A (7) e quindi A = p(0) p (8) Interpretazione della soluzione p(t) = p }{{} + [p(0) p] }{{} equilibrio dev.iniz. β t }{{} coeff.diespansione (9)

11 Stabilitá e Instabilità Dipendenza dal parametro β = 1 (b + s) 1 Se β > 1, le deviazioni iniziali esplodono e p(t) ± 2 Se β < 1, le devizioni implodono e p(t) p Esercizio 4 Come possiamo interpretare le condizioni β 1, in termini dei parametri di base, b, s?

12 La tecnica della tela di ragno (cob web) Condizione iniziale / verticalmente fino alla curva / orizzontalmente fino alla bisettrice / verticalmente fino alla curva, e così via

13 Un caso particolare del modello di disequilibrio Il modello h = 1, ϑ = 1/b p t+1 = p t + 1 b [a bp t m sp t ] s b p t = a m b (10)

14 Il modello di equilibrio cob-web Il Modello D(p t ) = a bp t S(pt e) = m + spe t (11) D(p t ) = S(pt e) dove la notazione è come prima, eccetto che pt e denota il prezzo atteso anzichè quello effettivo.

15 Determinazione delle aspettative Aspettative ingenue Possiamo fare molte diverse ipotesi sulla determinazione del presso atteso. Scegliamo qui la più semplice, cioè pt e = p t 1, vale a dire, i produttori si aspettano che i prezzi oggi siano gli stessi di quelli di ieri. Sostituendo e spostando in avanti tutti gli indici temporali, otteniamo: p t+1 = a m s b b p t (12) Questa è la stessa equazione del caso particolare discussa sopra, con lo stesso stato stazionario p = a m b+s.

16 Dinamica di equilibrio e di disequilibrio L equazione del caso particolare h = 1, ϑ = 1/b descrive una dinamica di disequilibrio, mentre il modello cob-web descrive una dinamica di equilibrio (domanda=offerta per tutti i valori di t ma il prezzo di equilibrio e le corrispondenti domanda e offerta possono cambiare nel tempo. nel primo caso, il prezzo converge o meno verso l equilibrio, a seconda che β = 1 (b + s) 1 nel secondo caso l equilibrio converge verso lo stato stazionario ( p), o diverge da esso, a seconda che s/b 1 Esercizio 5 La dinamica (convergente o divergente) del modello cob web è oscillatoria?

17 Tempo Continuo 1 Riscrivete la (1), mantenendo ϑ = 1, ma rendendo esplicito h: p t+h = p t + h[d(p t ) S(p t )] (13) 2 Dividete per h (h 0!) e riarrangiate: p t+h p t h = [D(p t ) S(p t )] (14) 3 Prendete il limite per h 0 e omettete l indice temporale t: p t+h p t lim h 0 h = dp dt = [D(p) S(p)] = (a m) (b + s)p dove ora t R. La (15) si può anche scrivere: (15) ṗ = [D(p) S(p)] = (a m) (b + s)p (16)

18 Equazioni Differenziali Le equazioni(15) (16) sono equazioni differenziali (ordinarie), nelle quali il valore della variabile p rispetto alla (unica) variabile indipendente t è funzionalmente collegata alla sua derivata rispetto al tempo (velocità).

19 Soluzione dell equazione (15) 1 Passo. Soluzione della parte omogenea La parte omogenea della (15) si scrive: dp dt = (b + s)p (17) Separando le variabili si ottiene: dp (b + s)p = dt (18) Da cui si ottiene: ln p = (b + s)t + C (19) dove C è una costante di integrazione arbitraria.

20 Soluz. della parte omogenea (seguito) Dall equazione sopra, si ottiene la funzione del tempo desiderata, ovvero: dove A = e C. Esercizio 6 p(t) = e (b+s)t+c = Ae (b+s)t (20) Provate che la funzione p(t) sopra effettivamente è una soluzione della (15).

21 3 Passo. Soluzione Particolare Proviamo una soluzione costante come il termine non omogeneo, cioè poniamo p(t) = K Sostituendo nella (15), otteniamo: dk dt = 0 = (a m) (b + s)k K = a m b+s = p: la soluzione particolare è nientaltro che il valore di equilibrio, cioè a dire quello per cui ṗ = 0

22 4 Passo. Soluzione Generale Sommando le due soluzioni. abbiamo: p(t) = p + Ae (b+s)t (21) Ponendo t = 0, abbiamo p(0) = p + A, donde: A = p(0) p e sostituendo: p(t) = p + [p(0) p]e (b+s)t (22) Interpretazione p(t) = p }{{} + [p(0) p] }{{} equilibrio dev. iniz. e (b+s)t }{{} coeff. di espansione (23)

23 Il Diagramma di Fase

24 Tempo continuo. Un semplice modello di crescita Il Modello di Solow Swan Y = F(K, L): funzione di produzione, Y : output (=reddito) lordo, K :capitale, L: lavoro Ipotesi: F omogenea di grado 1 (=rendimenti costanti di scala) possiamo scrivere la funzione di produzione in termini pro capite, y = f (k) L(t) = L 0 e nt : la forza-lavoro cresce a un tasso proporzionale costante, n S = sy : il risparmio lordo, S, è una quota costante, s, del reddito lordo Y S = I G = K + mk : l investimento lordo I G è uguale al rispamio lordo S che, a sua volta è uguale all investimento netto, K più una quota costante m di deprezzamento del capitale

25 Derivazione dell equazione differenziale del modello k = d dt K L = sy L ( K L ) = L K K L L 2 m K L = K L kn = sy mk = sf (k) (n + m)k k = g(k) = sf (k) (n + m)k (24) un equazione differenziale nella variabile k, nonlineare se lo è la funzione f Caso particolare: funzione di produzione Cobb Douglas, F(K, L) = K α L 1 α, 0 < α < 1 (produttività marginale del capitale e del lavoro descresenti) quindi f (k) = k α e dunque: k = sk α (n + m)k (25)

26 Il diagramma di fase nel piano (k, k) Esercizio 7 Provate che, se la funzione di produzione F(K, L) è omogenea di grado 1, essa può essere espressa come f (k), dove k = K /L, cioè in termini pro capite

27 Tempo Discreto. Modello di Crescita Il Modello di Solow Swan Y t = F(K t, L t ): funzione di produzione (Y t : output (=reddito) lordo al tempo t Z, K t :capitale, L t : lavoro, al tempo t Ipotesi: F omognea di grado 1 (=rendimenti costanti di scala) possiamo scrivere la funzione di produzione in termini pro capite, y t = f (k t ) L t+1 = L t (1 + n): la forza-lavoro cresce a un tasso proporzionale costante, n S t = sy t : il risparmio lordo, S, è una quota costante, s, del reddito lordo Y t S t = IG t = K t+1 K t + mk t : l investimento lordo IG t è uguale al rispamio lordo S t che, a sua volta è uguale all investimento netto, K t+1 K t più una quota costante m < 1 di deprezzamento del capitale

28 Derivazione dell equazione alle differenze finite del modello Dividendo per L t 0 e utilizzando l ipotesi di rendimenti costanti, otteniamo sy t = sf (k t ) = K t+1 L t k t + mk t Consideriamo ora che K t+1 L t = K t+1 L t+1 (1 + n) = k t+1 (1 + n) L equazione alle differenze finite desiderata è dunque: k t+1 = G(k t ) = ( s 1 + n ) f (k t ) + ( 1 m 1 + n ) k t (26)

29 Il diagramma cob web Equilibrio Funzione di produzione Cobb Douglas : f (k) = k α, 0 < α < 1 Condizione di equilibrio: k = G( k) Soluzioni: k 1 = 0, k ( ) 1 2 = s 1 α n+m Esercizio 8 1. Provare che k 1 e k 2 sono i due valori di equilibrio del modello e discutere la loro stabilità. 2. Il fatto che k 1 e k 2 sono valori di equilibrio implica che per tali valori capitale e lavoro sono costanti?

30 Modello di crescita con effetti ambientali Tempo Discreto. Il Modello k t+1 = G(k t ) = ( ) s kt α Ak t (27) 1 + n Il termine Ak t < 0 denota la relazione negativa fra il livello dello stock di capitale e la crescita dello stesso, dovuta a una varietà di fattori, quali l eccessiva densità di strutture produttive, inquinamento, congestione del traffico, ecc. Notate che, per semplicità abbiamo assunto m = 1, cioé lo stock di capitale si deprezza interamente in un solo periodo Equilibri: [ k 2 = k 1 = 0 s (1+A)(1+n) ] 1 1 α (28)

31

32 Il punto massimo della curva G(k) (per il quale G (k) = 0) è uguale a: k 2 k se G( k 2 ) = 0 ( ) 1 ( ) 1 A(1 + n) k α 1 sα 1 α = = sα A(1 + n) A 1+A α E quindi la curva interseca l ascissa per k = k [ ] 1 1 α 2 = > k 2 > 0 s A(1+n)

33 Stabilitá locale dell equilibrio G ( k) 1 Equilibri della mappa G : k 1 = 0 instabile; k 2 stabile

34 lim k 0 G (k) = E dunque l equilibrio nullo k 1 = 0 è localmente instabile G ( k 2 ) = α(1 + A) A 0 se α A 1+A G ( k 2 ) 0 se k 2 k (29)

35 Due casi: 1.[ k 2 < k ] α(1 + A) A = α(1 + A) A < 1 per α < 1 2.[ k 2 > k ] α(1+a) A = A α(1+a) 1 se (A 1)/(1+A) α

36 Figura 3. Equilibri della mappa G: k 1 e k 2 entrambi instabili

37 e:/beamer/growthenv3 Figura 4. Diagramma di biforcazione della mappa G

38 Poiché d/da[a/(1 + A)] = [1/(1 + A) 2 ] > 0, tanto piú forte l effetto ambientale misurato da A, tanto maggiore é la probabilità che l equilibrio k 2 sia alto (maggiore di k ) Poichè d/da[(a 1)/(1 + A)] > 0, tanto piú forte é tale effetto, tanto maggiore é la probabilitá che l equilibrio sia instabile. Un equilibrio relativamente alto ( k 2 > k ) e stabile si ottiene per valori di α e A tali che (A 1)/(1 + A) < α < A/(1 + A) Infine, notate che affiché l intervallo I = [0, k 2 ] sia invariante (cioé, per qualsiasi k I, G(k) I), occorre che G(k ) k 2. Questo fatto é importante per escludere che k diventi negativo.

39 LA MAPPA LOGISTICA Insiemi invarianti. Stabilità x n+1 = G(x n ) = rx n (1 x n ) (30) L intervallo [0, 1] é invariante, cioé G([0, 1]) [0, 1] per 0 < r 4 Equilibrio: x 1 = 0, x 2 = 1 1/r dg dg dx = r(1 2x), dx x=0 = r, dg dx x=1 1/r = 2 r x 1 instabile se r > 1 x 2 { stabile se 1 < r < 3 instabile se r > 3 (31)

40 Orbite periodiche per r > 3, x 1, x 2 sono instabili Dove vanno a finire le orbite che non partono da uno di quei punti?

41 Orbite periodiche di periodo 2 cerchiamo i punti fissi di G 2 : G 2 ( x) = x G 2 è l iterata seconda di G : G 2 ( ) = G(G( )) Attenzione! x 1, x 2 sono punti fissi di G 2 in modo banale, nel senso che essi lo sono anche di G k per qualsiasi k i punti periodici di periodo 2 interessanti sono quelli che soddisfano G 2 (x) = x, ma non G(x) = x

42 Orbite Periodiche di G di periodo 2, non banali G 2 ( x) = G(G( x)) = x, da cui r 3 x 4 2r 3 x 3 + r 2 (1 + r) x 2 + (1 r 2 ) x = 0 Usando le due soluzioni note, abbiamo x 3,4 = 1 + r ± r 2 2r 3 2r (32) (discriminante 0 se r 3) Dalla (31) si ottiene G( x 3 ) = x 4, G( x 4 ) = x 3 Esercizio 9 Provare che x 3, x 4 sono effettivamente soluzioni di x = G 2 ( x)

43 Stabilitá delle orbite periodiche Stabilità dei punti fissi di G 2 = G G dg 2 dx = G (G( x 3 ))G ( x 3 ) = G ( x 4 )G (G( x 4 )) = dg dx x3 x4 (33)

44 dg dx = (1 2 x 3 )(1 2 x 4 ) x3, x 4 se 3 < r < , = r 2 [1 + 4 x 3 x 4 2( x 3 + x 4 )] = r 2 + 2r + 4 dg dx (34) < 1 e quindi il ciclo di x3, x 4 periodo 2 di G è stabile se r > 1 + 6, > 1 e quindi il ciclo-2 di G è x3, x 4 dg dx instabile. Nasce allora un ciclo-4 stabile di G, ovvero G 4 ha 4 punti fissi stabili

45 Raddoppio del periodo o Period doubling Aumentando r da 1 a r : ogni volta che un ciclo di periodo 2 k, k = 0, 1, 2,... della mappa G (convenzione: punto fisso = ciclo di periodo 2 0 = 1), perde la sua stabilitá, nasce un ciclo di periodo 2 k+1 (= nascono due punti fissi della mappa G k+1 ), inizialmente stabile. Per r = r 3.57 c é un infinitá di cicli con periodo 2 k tutti instabili L orbita tipica (escluso un insieme di punti iniziali di misura di Lebesgue zero) converge verso un insieme infinito di punti detto attrattore di Fegeinbaum. r < r 4: Regione Chaotica che include orbite periodiche, quasiperiodiche e chaotiche

46 Esponenti Caratteristici di Lyapunov Tasso di divergenza di orbite vicine. Caso Unidimensionale G : U R, U R x n+1 = G(x n ) (35) ˆx n x n = G n (ˆx 0 ) G n (x 0 ) = T (ˆx 0, x 0 ) (36) Poniamo: x 0 costante, e quindi T funzione di ˆx 0 soltanto; x i = G i (x 0 ) i 1.Espandendo in serie di Taylor attorno a ˆx 0 = x 0 e ignorando per il momento la funzione, otteniamo: ˆx n x n dt d ˆx 0 ˆx0 =x 0 (ˆx 0 x 0 ) = dgn d ˆx 0 ˆx0 =x 0 (ˆx 0 x 0 ) = [G (x 0 )G (x 1 ),, G (x n 1 )](ˆx 0 x 0 )] (37)

47 Divergenza di orbite vicine (continua) L approssimazione (37) può rendersi tanto accurata quanto si vuole prendendo ˆx 0 x 0 sufficientemente piccolo Considerando che: x = e ln x e xyz... = x y z..., possiamo scrivere ˆx 1 x 1 = e ln G (x 0 ) ˆx 0 x 0 ˆx 2 x 2 = e ln G (x 1 ) ˆx 1 x 1 ˆx n x n = e ln G (x n 1 ˆx n 1 x n 1 (38) Sostituendo: ˆx n x n = n 1 i=0( EXP(ln G (x i ) ) ˆx 0 x 0 n 1 ) = EXP i=0 ln G (x i ) ˆx 0 x 0 ( = EXP ln ) n 1 i=0 G (x i ) ˆx 0 x 0 (39)

48 Interpretazione Consideriamo dapprima il caso più semplice in cui G (x) sia costante in ( valore assoluto e ln G (x) = µ. Avremo n 1 ) allora che EXP i=0 ln G (x i ) = e nµ e quindi: ˆx n x n = e nµ ˆx 0 x 0 (40) Questo significa che, per valori di ˆx 0 vicini a x 0, la distanza fra due orbite che partono da ˆx 0 e x 0 diverge a un tasso esponenziale µ 0 se G (x) 1

49 Interpretazione (continua) Consideriamo ora il caso generale in cui G (x) non sia costante in valore assoluto. In tal caso, invece di una costante µ, prendiamo il valore atteso del tasso di espansione della distanza, calcolato lungo l orbita che parte da x 0, cioè: 1 n 1 λ(x 0 ) = lim ln G (x i ) (41) n n i=0 Se il limite esiste, possiamo scrivere ˆx n x n = e nλ(x 0) ˆx 0 x 0 (42)

50 Dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali (DSCI) Definition Dipendenza Sensibile dalle Condizioni Iniziali (DSCI) Per una mappa G su uno spazio metrico M (uno spazio dotato di una funzione di distanza d), diciamo che vi é DSCI se un numero reale δ > 0 tale che x M e ɛ > 0, y M, y x e un intero k > 0 tali che d(x, y) < ɛ e d[(g k (x), G k (y)] > δ

51 ECL e DSCI λ(x 0 ) misura il tasso esponenziale di divergenza di orbite vicine, ovvero il tasso di amplificazione degli errori, calcolato in media lungo un orbita che parte da x 0. Esso é chiamato esponente caratteristico di Lyapunov (ECL) Quando λ > 0 c é una forma forte di DSCI (cioé le orbite divergono esponenzialmente) Per sistemi detti ergodici, esiste un valore tipico di λ che é lo stesso per quasi tutti i punti iniziali (nel senso di Lebesgue). Scrivere allora l ECL λ Per una mappa G sull intervallo, come quelle studiate, avremo: λ < 0 : orbita tipica periodica di per. 1 λ > 0 λ = 0 : orbita tipica caotica : caso particolare, ad esempio punti di biforcazione (43)

52 Un caso semplice La mappa a tenda" G Λ (y) = { 2y se 0 y 1/2 2 2y se 1/2 < y 1 (44) G (x) = 2 quasi dovunque. Quindi, per la mappa a tenda: 1 n 1 λ = lim ln G (x i ) = lim n n i=0 n 1 [n ln 2] = ln 2 > 0 (45) n

53 Coniugio Topologico Coniugio fra la mappa logistica e quella a tenda G 4 (x) = 4x(1 { x) 2y se 0 y 1/2 G Λ (y) = 2 2y se 1/2 < y 1 G Λ [0, 1] [0, 1] θ θ [0, 1] G4 [0, 1] (46) (47)

54 Due requisiti del coniugio topologico Le mappe G 4, G Λ si dicono topologicamente coniugate e sono dinamicamente equivalenti quando valgono le seguenti proprietà: 1 la mappa θ è un omeomorfismo (funzione continua con inversa continua) 2 per tutti i valori di y [0, 1], il diagramma (47) è commutativo, cioè a dire: θ[(g Λ (y)] θ G Λ = G 4 [θ(y)] ovvero, in termini di operatori = G 4 θ (48) Le suddette proprietà sono soddisfatte dalla mappa θ : [0, 1] [0, 1], θ(y) = sin 2 ( πy 2 )

55 Amplificazione degli errori e previsione Se lo stato iniziale é osservato che una precisione limitata e anziché un punto esso é un intervallo di lunghezza ɛ 0, dopo un numero di iterate k l incertezza sullo stato del sistema sará uguale a ɛ k = ɛ 0 e kλ Nel caso della mappa a tenda, dopo un numero di iterate k = ln ɛ 0 ln 2 ɛ k = 1 e dunque tutta l informazione contenuta nell osservazione dello stato iniziale sará perduta. Quando l esponente caratteristico di Lyapunov, λ, è maggiore di zero, la previsione possibile solo nel breve periodo

56 Modello a generazioni sovrapposte c 0 (t): consumo dell agente giovane al tempo t c 1 (t + 1): consumo dello stesso agente, vecchio al tempo t + 1 c 1 (t): consumo dell agente vecchio al tempo t w 0 : dotazione assegnata all agente giovane, costante w 1 : dotazione assegnata all agente vecchio, costante ρ t : fattore di interesse=tasso di cambio fra consumo presente e futuro al tempo t U(c 0 (t), c 1 (t + 1)): funzione di utilitá dell agente giovane

57 Problema dell agente giovane Vincoli: vincolo di bilancio max U(c 0(t), c 1 (t + 1)) c 0 (t),c 1 (t+1) c 1 (t + 1) = w 1 + ρ t [w 0 c 0 (t)] c 0 (t), c 1 (t + 1) 0 equilibrio di mercato, domanda = offerta del bene di consumo c 0 (t) + c 1 (t) = w 0 + w 1

58 Quindi ρ t = U( )/ c 0(t) U( )/ c 1 (t + 1) = F 1[c 0 (t), c 1 (t + 1)] (49) Da (1) + vincolo di bilancio abbiamo: F 1 [c 0 (t), c 1 (t + 1)] = w 1 c 1 (t + 1) c 0 (t) w 0 (50) Se possiamo invertire la (2) con rispetto a C t+1, abbiamo c 1 (t + 1) = F 2 [c 0 (t); w 0, w 1 ] (51)

59 Equilibrio del mercato Spostando il tempo in avanti di un unitá), abbiamo c 1 (t + 1) = w 0 + w 1 c 0 (t + 1) donde c 0 (t + 1) = G[c 0 (t)] = w 0 + w 1 F 2 [c 0 (t); w 0, w 1 ] un equazione alle differenze finite in c 0 (t)

60 Esempio da cui U(c 0 (t), c 1 (t + 1)) = ac 0 b/2c 2 0, c 1 0 c 0 a/b, a, b > 0 (w 0, w 1 ) = (0, w), w > a/b c 0 (t + 1) = ac 0 (t)(1 b/ac 0 (t)) (52) con un cambiamento di variabile, si ottiene c 0 = a b x e quindi e a b x t+1 = a2 b x t(1 x t ) x(t + 1) = rx(t)(1 x(t)) r = a la logistica