OTTICA GEOMETRICA. - Si basa su tre leggi: 1. legge della propagazione rettilinea 2. legge della riflessione 3. legge della rifrazione

Transcript

1 OTTICA GEOMETRICA -Studia le caratteristiche fenomenologiche della propagazione della luce: ombra degli alberi in giorno di sole, specchio o superficie d'acqua che riflette un'immagine, immagine spezzata di un palo immerso parzialmente in acqua, l'arcobaleno, la struttura di una cellula vista al microscopio... - Si basa su tre leggi: 1. legge della propagazione rettilinea 2. legge della riflessione 3. legge della rifrazione - Non si occupa della natura della luce ma assume che la luce non perturbi la propagazione della luce - E` un approssimazione valida finche` le dimensioni in gioco sono molto maggiori di una lunghezza, caratteristica della radiazione osservata, lunghezza d'onda

2 Leggi dell'ottica GEOMETRICA La luce si propaga nel vuoto alla velocita` c = m/s. Definizione: L indice di rifrazione di un mezzo ottico rispetto al vuoto e` il rapporto tra la velocita` della luce nel vuoto e la velocita` della luce nel mezzo: n = c/v Per definizione l'indice di rifrazione del vuoto n 0 =1. 1. PROPAGAZIONE RETTILINEA: la luce, in un mezzo omogeneo, segue percorsi rettilinei => un oggetto opaco (albero) posto tra una sorgente luminosa puntiforme (sole) e uno schermo (terreno) proietta un'ombra con i contorni definiti

3 Leggi dell'ottica GEOMETRICA: RIFLESSIONE e RIFRAZIONE Quando un raggio incide sulla superficie di separazione tra due mezzi caratterizzati da valori differenti di n, viene in parte trasmesso ed in parte riflesso. Usualmente gli angoli sono misurati rispetto alla retta normale alla superficie. 2. RIFLESSIONE - raggio incidente, raggio riflesso e normale al punto di incidenza giacciono nello stesso piano, perpendicolare all interfaccia di separazione tra i mezzi - l angolo di incidenza `e uguale all angolo di riflessione (Legge di Cartesio) i = r i r => riflessione di un immagine in uno specchio o in una superficie d'acqua

4 Leggi dell'ottica GEOMETRICA: RIFLESSIONE e RIFRAZIONE 2. RIFRAZIONE Quando un raggio passa da un mezzo con indice di rifrazione n 1 ad un altro mezzo con indice di rifrazione n 2 la direzione di propagazione cambia. - raggio incidente, raggio rifratto e normale al punto di incidenza giacciono nello stesso piano, perpendicolare all interfaccia di separazione tra i mezzi - il raggio propaga secondo la Legge di Snell: 1 n 1 sin 1 = n 2 sin 2 Se il mezzo 1 e` il vuoto n 1 =n 0 =1 e la legge: n 1 n 2 n sin r =sin i 2 => immagine spezzata di un palo immerso parzialmente in acqua

5 Leggi dell'ottica GEOMETRICA: Principio di Revesibilita` e Riflessione Totale Dalla simmetria delle leggi dell ottica geometrica rispetto ai simboli segue il principio di reversibilita`: si può invertire il raggio incidente con il raggio riflesso/rifratto lasciando inalterata la costruzione geometrica, Tale principio e` limitato dal fenomeno della riflessione totale: quando la luce passa da un mezzo più denso ad uno meno denso (cioe`n 1 >n 2 ), all'aumentare dell'angolo di incidenza θ i aumenta anche l'angolo di rifrazione θ r. Il raggio rifratto si allontanerà progressivamente dalla normale fino ad arrivare, ad un certo punto, a formare con essa un angolo di 90. Da questo punto in poi avremo solo il fenomeno della riflessione; tutta la luce si riflette, come se la superficie di separazione dei due mezzi fosse uno specchio. L'angolo di incidenza a cui corrisponde un angolo di rifrazione di 90 è chiamato angolo limite θ c. sin c = n 2 / n 1

6 Cammino Geometrico e Cammino Ottico Definizione: il cammino geometrico d di un raggio in un mezzo di indice di rifrazione n e` d = t v = t c/n il cammino ottico e` definito come. = d n = c t Esso rappresenta la distanza che la luce percorre nel vuoto nello stesso tempo impiegato per percorrere la distanza d nel mezzo.

7 Principio di Fermat - Le tre leggi viste descrivono i fenomeni dell'ottica geometrica - Esiste un principio unificatore che rende necessarie le tre leggi, il Principio di Fermat: la luce percorre da un punto A ad un punto B il percorso piu` breve possibile tra i due punti, ovvero il percorso che richiede il tempo minimo (o massimo). Piu` precisamente la luce segue il percorso il cui cammino ottico e` stazionario (un minimo o un massimo) rispetto ai percorsi vicini (cioe` con piccole variazioni rispetto a quello vero): n ds = c dt = 0 - Da esso si possono ricavare in modo naturale le 3 leggi dell'ottica geometrica e fornisce un metodo molto potente per trattare problemi di ottica geometrica - Funziona quando consideriamo cammini che non incontrino piccole aperture o che siano lontani da ostacoli netti.

8 Applicazioni del Principio di Fermat Se un sistema ottico porta diversi raggi uscenti da P a convergere in P', allora deve essere realizzato in modo da rendere equivalenti i loro cammini geometrici: i raggi uscenti da P in direzioni differenti che convergono in P', hanno percorso cammini geometrici differenti in tempi uguali (ovvero con cammini ottici uguali). P sistema ottico P' Per formare immagini costruisco quindi dispositivi ottici che rendano equivalenti cammini diversi

9 Sistema ottico focalizzante: definizioni - Oggetto: punto da cui escono i raggi luminosi - Immagine: punto in cui vengono fatti convergere i raggi luminosi - Coppia di punti coniugati: la coppia oggetto-immagine - Immagine reale: quando e` individuabile fisicamente come punto di incontro dei raggi emessi dall'oggetto - Immagine virtuale: quando per essa passano i prolungamenti dei raggi e non i raggi stessi Prendiamo una superficie di discontinuita`. Convenzioni: - la luce incidente proviene da sinistra - per gli oggetti a sinistra del vertice V le distanze p sono positive, per quelli a destra sono negative - per le distanze immagine q valgono le convenzioni opposte - il raggio di curvatura R della superficie e` positivo se il centro di curvatura e` a destra di V (superficie sferica convessa), negativo se e` a sinistra (superficie sferica concava) - le distanze dall'asse sono positive per punti sopra e negative per punti sotto per gli oggetti, viceversa per le immagini.

10 - e` lo strumento ottico piu` semplice P Q - da` per riflessione un'immagine virtuale di P in un punto Q che si trova nella posizione simmetrica di P rispetto allo specchio - da` un'immagine virtuale, diritta, non ingrandita e speculare - l'immagine non subisce il fenomeno della dispersione, e` quindi un sistema acromatico - e` un sistema stigmatico anche senza bisogno di approssimazione parassiale Sistema ottico focalizzante: formazione di immagini per riflessione (1) Sia data una superficie di discontinuita` tra due mezzi e un oggetto che invia luce alla superficie => anche limitandosi a superfici piane o sferiche la soluzione non e` semplice e spesso l'immagine di un punto non e` piu` un punto ma una regione estesa. Per avere corrispondenza biunivoca tra punti oggetto e punti immagine (stigmatismo) bisogna approssimare a fasci di raggi parassiali (cioe` con una piccola apertura, quasi paralleli e coincidenti con l'asse ottico). 1. SPECCHIO PIANO: Oggetto Immagine virtuale

11 Sistema ottico focalizzante: formazione di immagini per riflessione (2) 2. SPECCHIO SFERICO: la relazione tra distanza oggetto p e distanza immagine q e`: 1 p 1 q = 2 R Osservazioni: - Per R-> si ottiene lo specchio piano: p=q - Se l'oggetto e` all'infinito (p=+ ovvero raggi paralleli l'immagine si forma in q=r/2 - Per avere l'immagine all'infinito l'oggetto deve essere in p= -R/2 Definizione: la quantita` f= -R/2 si dice distanza focale dello specchio sferico La relazione sopra si puo` riscrivere: 1 p 1 q = 1 f

12 Sistema ottico focalizzante: formazione di immagini per trasmissione (1) DIOTTRO SFERICO Sia data una superficie sferica di separazione tra due mezzi di indici di rifrazione n 1 e n 2 l'equazione diventa: n 1 p n 2 q = n n 2 1 R Lo strumento e` stigmatico ma non acromatico (compaiono nell'equazione gli indici di rifrazione). Definizione: il rapporto (n 2 -n 1 )/R si dice potere convergente o diottrico

13 Sistema ottico focalizzante: formazione di immagini per trasmissione (2) Osservazioni: - per R-> si ottiene l'equazione del diottro piano: q= n 2 n 1 p - quando l'oggetto e` all'infinito (p= l'immagine si forma ad una distanza q= n 2 R/(n 2 -n 1 ), definita distanza focale posteriore f 2 - se l'oggetto e` a distanza p=n 1 R/(n 2 -n 1 ), definita distanza focale anteriore f 1 l'immagine si forma all'infinito (q= - essendo f1/f2=n1/n2 si puo` riscrivere l'equazione del diottro sferico come: f 1 p f 2 q =1

14 Sistema ottico focalizzante: LENTI (1) Un blocco di materiale trasparente delimitato da DUE superfici diottriche (in genere sferiche) aventi l'asse in comune costituisce una lente semplice. Le lenti semplici sono "oggetti" costituiti da materiale trasparente vetroso o similare opportunamente sagomati (due superfici sferiche o una piana ed una sferica) con i quali è possibile fare deviare i raggi di luce in modo da convergerli (o divergerli) a nostro piacimento. Le lenti sfruttano il fenomeno ottico della rifrazione. Se una lente semplice di spessore t e fatta da un materiale di indice n 2, e` immersa in un mezzo di indice n 1, nell'approssimazione parassiale si ha: n 1 n 2 = n n n n 1 = n n 1 2,, p 2 =t q 1 p 1 q 1 R 1 p 2 q 2 R 2 Dove l'ultima equazione esprime il fatto che l'immagine fornita dal primo diottro funge da oggetto per il secondo.

15 Sistema ottico focalizzante: LENTI (2) Definizione: - il punto F1 dell'asse in cui occorre mettere l'oggetto per ottenere l'immagine all'infinito si dice primo fuoco della lente - il punto F2 dell'asse in cui si forma l'immagine di un oggetto posto all'infinito e` detto secondo fuoco della lente > > > > F 1 > > F 2 F 1 > > F 2

16 Sistema ottico focalizzante: LENTI (3) - Nel caso di lenti sottili, cioe` quando la distanza tra le superfici di contorno e` piccola rispetto ai loro raggi di curvatura, si puo` trascurare lo spessore t e misuro le distanze dal centro della lente. Ottengo la legge dei punti coniugati: 1 p 1 q = 1 f con f = n 1 n 2 n 1 R 1 R 2 R 1 R 2 - Dato un sistema ottico che inizia e finisce sempre nello stesso mezzo e` sempre possibile individuare due piani z 1 e z 2 ortogonali all'asse ottico per cui resta valido il formalismo delle lenti sottili (misuro le distanze oggetto rispetto a z 1 e immagine rispetto z 2 ) Lente sottile Sistema ottico z 1 z 2 p q p q P F f F Q P F f F Q

17 Sistema ottico focalizzante: LENTI (4) Disponiamo quasi sempre di 3 raggi notevoli per la costruzione dell'immagine Q del punto P distante y dall'asse ottico: - I raggi paralleli all'asse ottico convergono in F - I raggi provenienti da F (o passanti per F) emergono dalla lente paralleli all'asse ottico - Raggi parassiali (vicini all'asse ottico) passanti per il centro ottico non vengono deflessi

18 Sistema ottico focalizzante: LENTI (5) In generale la dimensione trasversale y' dell'immagine non e` uguale a quella y dell'oggetto. y F p x x' y' f f Definizione: si definisce ingrandimento trasversale G: G y' y = q p = f x = x' f Per oggetti posti a grande distanza (p= ) e di dimensione angolare finita abbiamo 2 raggi notevoli (uno passante per il fuoco e uno passante per il centro della lente) per oggetto lontano y = f tan f q F

19 Sistema ottico focalizzante: LENTI (6) Le lenti sono essenzialmente di due tipi: 1. lenti convergenti (piu` spesse nel centro) 2. lenti divergenti (piu` sottili nel centro). All'interno delle due categorie vi e` un'ulteriore classificazione: Lenti convergenti: Lenti divergenti:

20 Sistema ottico focalizzante: LENTI (7) Una tipica lente convergente è così schematizzabile : Maggiore è lo "spessore" della lente, minore è la distanza focale Una tipica lente divergente e` cosi` schematizzabile: Spazio dell'oggetto Spazio dell'immagine

21 Strumenti Ottici (1) 1. OCCHIO: - lente di lunghezza focale f variabile (grazie al cristallino) - forma immagini di oggetti a distanza p variabile ad una distanza q fissa 2. LENTE D'INGRANDIMENTO (microscopio semplice): le dimensioni di un'immagine di un oggetto sulla retina sono all'angolo di vista. Ad occhio nudo riesco ad avvicinare l oggetto al piu` ad una distanza d 0 definita punto prossimo. Con la lente (che ipotizzo quasi attaccata all occhio) riesco ad avvicinare l oggetto fino ad una sitanza d 1 dall occhio tc. 1/d 1 +1/q = 1/f fino al punto in cui l immagine virtuale creata sara` in q = -d 0 (quando p<f ho immagini virtuali). Ho quindi un immagine virtuale ingrandita che soddisfa 1/d 1-1/d 0 =1/f ovvero un ingrandimento q/p = - d 0 /f + 1) y y p=d 1 f q =d 0

22 3. CANNOCCHIALE: Strumenti Ottici (2) - e` costituito da due gruppi ottici: obiettivo con lunghezza focale f 1 oculare con lunghezza focale f 2 - l'obiettivo forma un'immagine reale di un oggetto lontano: un oggetto a p = lo vedo sotto un angolo θ e con y'=f 1 θ - l'oculare agisce come lente d'ingrandimento per y ': se l'immagine formata dall'obiettivo e` nel fuoco dell'oculare ho θ ' = y' / f 2 da cui : G = ' / = f 1 / f 2

23 4. MICROSCOPIO: Strumenti Ottici (3) - e` costituito da due gruppi ottici: obiettivo con lunghezza focale f 1 oculare con lunghezza focale f 2 y - l'obiettivo da` un'immagine reale ingrandita di un oggetto vicino - l'oculare funge come al solito da lente d'ingrandimento

24 Misura Ottica di c (1) SCOPO: determinazione della velocita` della luce tramite principi di ottica geometrica Materiale: Si usa uno specchio fisso ed un solo banco ottico sul quale verranno montati: 1. Laser He-Ne (λ=632 nm) 2. Apparato con specchio rotante 3. Lenti L1 (f =48 mm) e L2 (f = 252 mm) 4. Microscopio con beam splitter 5. Un supporto con due polarizzatori (quando serve)

25 Misura Ottica di c (2) LASER: Light Amplification by the Stimulated Emission of Radiation, ovvero Amplificazione di Luce tramite Emissione Stimolata di Radiazione - Dispositivo in grado di emettere un fascio di luce coerente (i pacchetti emessi mantengono una certa relazione di fase), generalmente monocromatica, e (con alcune eccezioni) concentrata in un raggio rettilineo estremamente collimato. -Inoltre la luminosità (brillanza - potenza emessa per unità di angolo solido e unità di superficie della sorgente) delle sorgenti laser è elevatissima a paragone di quella delle sorgenti luminose tradizionali => non guardare la luce laser direttamente con l'occhio, usare polarizzatori POLARIZZATORI: Esistono filtri ottici per ottenere luce polarizzata linearmente. Sono composti da lamelle che impediscono o smorzano l'oscillazione del campo elettrico lungo la direzione ad esse ortogonale selezionando la polarizzazione ad esse parallele. Se un fascio di luce già polarizzato linearmente attraversa un filtro polarizzante l'intensità luminosa viene smorzata secondo la legge di Malus I=I 0 cos 2 ( ) dove I 0 è l'intensità della luce entrante, I l'intensità della luce uscente e θ è l'angolo tra le due direzioni di polarizzazione: in entrata e in uscita dal filtro.quindi se l'angolo θ è di 90 la luce viene completamente assorbita, se è di 0 passa inalterata.

26 Misura Ottica di c (3) = velocita` di rotazion A -> q (B+D) -> p Metto in rotazione lo specchio: il raggio quando torna a M R lo trova spostato di t = 2D/c. E` come se la sorgente S si fosse spostata di S=2 D in S 1 e l'immagine s al microscopio si sposta di s'=2 D q/p in s 1. Sostituisco in s' : q/p=a/(b+d) e 2D/c e ricavo : c= 4 A D 2 w B D s'

27 Misura Ottica di c (4) - L'allineamento e` la parte piu` delicata dell'esperienza: puo` richiedere anche tutta la mattinata Si usa una procedura differente da quella descritta nel manuale della PASCO (vedere scheda corrispondente sul sito del laboratorio) - Analisi degli errori: L'errore statistico su s' (~2-3%) va ridotto ripetendo la misura piu` volte (50 rip. L'errore sistematico e` governato principalmente dalla misura della distanza A. Posso ricavarla dalla legge dei punti coniugati: 1 p 1 q = 1 f 2 => devo misurare bene f 2 (non basarsi sul valore dichiarato)!!!!

28 Spettrometro a Prisma (1) 3 FLINT PRISM 2 1 MATERIALE: collimatore con fenditura di ampiezza regolabile telescopio con reticolo movibile e focus regolabile base rotante con scale Vernier (risoluzione fino a 30'' di arco) piatto per lo spettrometro prisma di vetro retto a base triangolare lampade a scarica a Hg, Ne, Na, He

29 Spettrometro a Prisma (2) MESSA A PUNTO: 1. Distanza traguardo-oculare (operare con l'occhio a riposo): regolo 1 finche` il reticolo non e` nitido 2. Distanza obiettivo-traguardo (non variare l'aggiustamento dell'occhio): a. mantengo fissa la regolazione 1 b. punto il cannocchiale verso un oggetto lontano (fuori dalla finestra) e regolo 2 finche` esso e` nitido simulataneamente al traguardo 3. Distanza fenditura-lente del collimatore: a. illumino la fenditura con la sorgente b. punto il cannocchiale verso la fenditura c. regolo 3 finche` la fenditura ed il traguardo sono nitidi simultaneamente 4. Stringere la fenditura: ridurre la larghezza della fenditura finche` la riesco a vedere ridursi => se tutto e` stato fatto bene il collimatore produce un fascio di raggi paralleli ampio quanto la lente del collimatore (non e` un fascio stretto)

30 Spettrometro a Prisma (3) Dispersione: l'indice di rifrazione di una data sostanza e` leggermente diverso per la luce di differenti colori, ovvero n e` funzione della lunghezza d'onda della luce n=n( ). Cio` provoca la scomposizione di uno spettro non monocromatico entrante nel prisma dopo passaggio in fenditura in piu` righe corrispondenti ai diversi colori (Nel caso di luce bianca si osserva una banda continua, fatta di colori che vanno dal rosso al blu). Lampade a scarica: si basano sull'emissione di radiazione elettromagnetica da parte di un plasma di gas ionizzato per mezzo di una scarica elettrica attraverso il gas stesso. La radiazione emessa e` caratterizzata da un certo spettro di lunghezze d'onda caratteristico. Sono lampade non coerenti. => il passaggio di tale luce nel prisma provoca la separazione delle diverse lunghezze d'onda. L'osservazione delle righe sullo schermo permette di risalire al tipo di lampada confrontandosi con le intensita` tabulate per ciascun gas (NB:l occhio umano non è ugualmente sensibile a tutte le onde elettromagnetiche che cadono nella banda visibile, ma la sensibilità ha un andamento gaussiano con il picco di massima sensibilità nelle frequenze relative alla luce verde)

31 Spettrometro a Prisma (4) = angolo di deflessione del fascio = angolo al vertice del prisma - E` in realta` una misura di minimo, cerco cioe` la condizione in cui e` minimo, e cio` ruotando il prisma e trovando il punto oltre il quale le righe tornano indietro - Misuro cercando il raggio riflesso (centro il traguardo sulla fenditura, misuro la posizione iniziale del prisma, blocco il cannocchiale e giro il prisma finche` rivedo l'immagine, leggo la nuova posizione del prisma) - Da misura di e di min per note - Hg) ricavo n=n( ) e lo riscrivo come: n( )=a+b/ 2 -Da tale curva posso ricavare dalla misura di min di una data riga spettrale (e quindi di n) la corrispondente, e caratterizzare quindi lampade ignote

32 Spettrometro Elettromagnetico In laboratorio si utilizzano: - lampade a scarica nel visibile - sorgenti di microonde - laser He-Ne