CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale MODELLI DI SISTEMI

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1 CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale MODELLI DI SISTEMI Ing. Luigi Biagiotti Tel / lbiagiotti@deis.unibo.it Modelli di sistemi dinamici Si prenderanno in esame alcuni esempi di modelli matematici dinamici per: illustrare i procedimenti generali che usualmente si impiegano nella loro deduzione; chiarire le analogie esistenti fra modelli di sistemi fisici di diversa natura. In particolare, verranno descritti sistemi: elettrici meccanici elettro-meccanici idraulici termici Si dedurranno i modelli in forma di equazioni differenziali ordinarie del tipo: Il problema della soluzione di tali equazioni differenziali, cioè ricavare l'andamento di y( in funzione di u(, verrà preso in esame successivamente: Trasformate di Laplace ModSemp -- 2

2 Modelli di sistemi dinamici Operatore D Opeatore D : Per semplificare la scrittura delle equazioni differenziali si userà il simbolo (o operatore) D per indicare l'operazione di derivazione rispetto al tempo: L'operatore D si può trattare come se fosse una costante: gode infatti della proprietà distributiva rispetto alla somma e della proprietà commutativa con le costanti (non con le funzioni del tempo). Ad esempio, se x (, x 2 ( sono funzioni derivabili, e a, a 2 costanti, allora Si può dare un significato anche al simbolo /D (o D - ) ponendo in cui K è un'opportuna costante. ModSemp -- 3 Modelli di sistemi dinamici Operatore D Questa relazione costituisce una notazione convenzionale, in quanto in realtà l'operatore D non è invertibile, rappresentando una corrispondenza che non è uno a uno, ma molti a uno: tutte le funzioni che differiscono per una costante presentano la stessa derivata: Per tale ragione /D non si può applicare ai due membri di una relazione esprimente l'uguaglianza di due funzioni: se è y( = x(, D y( = D x( non è detto che sia D - y( = D - x( (solo per cond. iniziali nulle). ModSemp -- 4

3 Circuiti elettrici Q 0 è la carica iniziale del condensatore N e N 2 sono i numeri di spire del circuito primario e secondario ModSemp -- 5 Circuiti elettrici Altri componenti di circuiti elettrici: Amplificatore operazionale Transistor Trattando con segnali logici, si possono considerare anche operatori logici quali: AND OR NOT NOR che costituiscono gli elementi di base delle Reti Logiche. ModSemp -- 6

4 Circuiti elettrici Le unità di misura delle grandezze elettriche nel sistema SI sono: Variabili: [v] = V, Volt; [i] = A, Ampere; [Q] = Coulomb; Parametri: [R] = Ω, [L] = H, [C] = F, Ohm; Henry; Farad; In genere, i modelli matematici di circuiti elettrici (composizione di sistemi elementari) si ricavano applicando le leggi di Kirchhoff che esprimono il bilancio delle cadute di potenziale lungo le maglie o delle correnti ai nodi: ModSemp -- 7 Circuiti elettrici Le leggi di Kirchhoff esprimono il bilancio delle cadute di potenziale lungo le maglie o delle correnti ai nodi: La somma algebrica delle tensioni in una maglia è nulla; La somma algebrica delle correnti in un nodo è nulla. v 2 v v 3 v 4 i 2 i 3 i i 4 v = v 2 + v 3 + v 4 i + i 2 + i 3 +i 4 = 0 ModSemp -- 8

5 Circuiti elettrici - Esempio Volendo ricavare, anzichè la corrente i, la tensione d'uscita v u, si può operare la sostituzione i( = C D v u (, mediante la quale si ottiene (v C ( = v u () l'equazione differenziale che mette in evidenza la relazione tra causa v i ed effetto v u. ModSemp -- 9 Circuiti elettrici - Esempio i( ingresso i R equazione differenziale A i C equazione algebrica nell'operatore D condizioni iniziali nulle Kirchoff al v( nodo A i = i R + i C uscita dv( i( = v( + C R i = R v+ CDv ir ic = v( R dv( = C Sistema del ordine accumulatore di energia ModSemp -- 0

6 Circuiti elettrici - Esempio v i ( i( equazione differenziale v R equazione algebrica nell'operatore D v c ( Kirchoff alla maglia v i = v R + v C t vi ( = Ri() t + idτ C 0 v Ri C D i = + i Dvi = RDi + C i Se interessa v c come uscita vr = Ri t vc = idτ 0 condizioni iniziali nulle Sistema del ordine ricordando che i = i ( ) c CDv c v = RCD + v ModSemp -- Circuiti elettrici - Esempio i( i L ingresso i R A i C equazione integro-differenziale condizioni iniziali nulle il = v( L Kirchoff al ir = v( v( nodo A R dv( i = i L + i R + i C ic = C uscita dv( i( = v( + v( + C L R derivando ambo i membri 2 equazione differenziale di dv d v del 2 ordine = v + + C 2 equazione algebrica nell'operatore D L R ModSemp -- 2 Sistema del 2 ordine 2 accumulatori di energia

7 Circuiti elettrici - Esempio i( i L ingresso Se come uscita interessa la corrente nell'induttanza, ricordando che v = LDi i R A i C v( uscita condizioni iniziali nulle Kirchoff al nodo A i = i L + i R + i C i i i L R C = v( L = v( R dv( = C Consente di ricavare l'uscita v( a partire dall'ingresso i( ModSemp -- 3 Circuiti elettrici - Esempio i( i L ingresso v = Ri R i R A i C v( uscita condizioni iniziali nulle Kirchoff al nodo A i = i L + i R + i C i i i L R C = v( L = v( R dv( = C Consente di ricavare l'uscita v( a partire dall'ingresso i( Se come uscita interessa la corrente nella resistenza, ricordando che ModSemp -- 4

8 Circuiti elettrici - Esempio A il = v( condizioni iniziali nulle L i i( L i R i C Kirchoff al ir = v( v( R nodo A dv( i = i L + i R + i C ic = C ingresso uscita v C D = i C Consente di ricavare l'uscita v( a partire dall'ingresso i( Se come uscita interessa la corrente nei diversi componenti, ricordando che: ModSemp -- 5 Sistemi meccanici In generale si cerca di adottare modelli a costanti concentrate, perchè di più facile impiego, anche se spesso alquanto approssimativi e meno aderenti alla realtà di quanto non lo siano nel caso dei circuiti elettrici: ad esempio, in un modello a costanti concentrate la massa di una molla, (distribuita) è supposta trascurabile o concentrata agli estremi della molla. Si cerca di adottare modelli lineari, anche se ciò implica la limitazione dello studio a variazioni relativamente piccole delle grandezze in gioco. ModSemp -- 6

9 Sistemi meccanici Nella deduzione dei modelli, per semplicità si farà riferimento a moti di traslazione lungo una sola direzione e di rotazione attorno ad un solo asse. Le equazioni differenziali che descrivono il moto dei sistemi meccanici si ricavano di regola esprimendo l'equilibrio delle forze e delle coppie applicate a ciascuna delle parti in movimento. Per ottenere il modello dinamico di un sistema meccanico in moto traslatorio è fondamentale la legge di Newton: f 4 f 5 dove m è la massa concentrata, f è la risultante di tutte le forze applicate, x lo spostamento risultante ( è quindi l'accelerazione). f f 2 f 3 f ModSemp -- 7 Sistemi meccanici Per un corpo in rotazione attorno ad un asse la legge di Newton si scrive essendo: J il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione, c la risultante delle coppie, θ la rotazione del corpo. c θ ModSemp -- 8

10 Sistemi meccanici I sistemi meccanici in moto traslatorio si possono considerare costituiti dai componenti elementari: la massa, in cui si concentrano le forze di inerzia, f m x f 2 la molla, in cui si concentrano le forze di richiamo elastico, f K f (se per x = 0 e x 2 = 0 la molla non è caricata) l'ammortizzatore, in cui si concentrano le forze di attrito viscoso. Si suppone che gli estremi di tali componenti meccanici siano sottoposti a moto traslatorio orizzontale. x x 2 f f x B x 2 ModSemp -- 9 Sistemi meccanici Analogamente per sistemi in moto rotatorio: Forze coppie Masse inerzie c(, ω( J c(, θ ( K c(, θ 2 ( c(, ω ( B c(, ω 2 ( ModSemp -- 20

11 Sistemi meccanici Riduttore c (, ω ( c 2 (, ω 2 ( In un riduttore ideale (senza perdite per attrito e con accoppiamento perfetto tra gli ingranaggi), la velocità viene ridotta del fattore k r Poiché in questo meccanismo la potenza entrante deve essere uguale a quella uscente la coppia risulta amplificata. ModSemp -- 2 Sistemi meccanici Altri elementi: Cinghia/puleggia Vite a ricircolazione di sfere Camma Biella/manovella ModSemp -- 22

12 Sistemi meccanici Le unità di misura delle grandezze meccaniche nel sistema SI sono: Variabili: [f] = N, Newton; [x] = m, metri; = m/sec, velocità; = m/sec 2, accelerazione. Parametri: [M] = kg, chilogrammi; [K] = N/m, coefficiente di rigidezza; [B] = N sec/m, coefficiente di attrito viscoso. Oppure (caso rotatorio) Variabili: [c] = N m; [θ] = rad; = rad/sec; = rad/sec^2. Parametri: [J] = kg\,m^2; [K] = N\,m/rad, coefficiente di rigidezza torsionale; [B] = N\,m\,sec/rad, coefficiente di attrito torsionale. ModSemp Sistemi meccanici - Esempio Carrelli con attrito m 2 m u( x 2 ( x ( Applicando la legge di Newton a ciascuna massa si ottiene ModSemp -- 24

13 Sistemi meccanici - Esempio Carrelli con attrito m 2 m u( x 2 ( x ( La variabile osservata del sistema è la velocita di m 2 e quindi Dalle due eq.ni differenziali, utilizzando l'operatore D, si ottiene: ModSemp Sistemi meccanici - Esempio Da Si ricava Se si considerano per esempio per i parametri i valori numerici: si ottiene l'equazione differenziale la cui soluzione y( descrive l'andamento dell'uscita in funzione dell'ingresso u( e delle condizioni iniziali y(t_0) = ModSemp -- 26

14 Sistemi meccanici - Esempio Le coppie applicate in questo caso sono: coppia esterna c( coppia dovuta alla molla torsionale c k ( = k θ( coppia dovuta all'attrito torsionale c b ( = B Applicando la legge di Newton si ha ModSemp Sistemi meccanici Effetti non lineari Nei sistemi meccanici esistono fenomeni nonlineari che, per la discontinuità delle caratteristiche, non sono suscettibili neppure di una linearizzazione locale: il più importante di questi è l'attrito. Per rimanere nel campo dei modelli lineari si dovrebbe considerare il solo attrito viscoso. In realtà è presente anche l'attrito secco o attrito al distacco, consistente in una forza che equilibra la forza applicata, impedendo l'inizio del moto, finché questa non supera una soglia F_d, oltre la quale inizia il movimento e la forza si annulla. Inoltre può essere presente l'attrito coulombiano, caratterizzato da una forza nulla quando il corpo è immobile, costante quando esso è in movimento e tale da opporsi al moto. L'attrito al distacco e l'attrito coulombiano sono fenomeni tipicamente nonlineari, per cui, finché l'approssimazione risulta accettabile, nei modelli matematici si considera il solo attrito viscoso. ModSemp -- 28

15 Sistemi meccanici Effetti non lineari Altri effetti non lineari eventualmente presenti in un sistema meccanico. Saturazione La saturazione è un fenomeno comune a tutti i processi fisici: l'uscita y del sistema è proporzionale all'ingresso x solo in un certo range di valori, mentre rimane praticamente costante al di fuori di esso. ModSemp Sistemi meccanici Effetti non lineari Altri effetti non lineari eventualmente presenti in un sistema meccanico. Elasticità Si fa, quando possibile, l'ipotesi che i corpi con cui si tratta siano rigidi. A causa della presenza di inevitabili elasticità strutturali, i modelli che si ricavano con le ipotesi di corpi rigidi sono validi solo in opportune bande di frequenze, che per definizione sono al di sotto delle frequenze naturali delle strutture definite da questi effetti. Se possibile, si deve prestare attenzione a non eccitare queste frequenze. Una regola di tipo empirico che si può adottare è quella di far sì che la pulsazione del sistema complessivo (con il controllo) sia inferiore di quella naturale non è semplice determinare ω 0 ModSemp -- 30

16 Sistemi meccanici Effetti non lineari Isteresi Il sistema di attuazione (riduttore) introduce solitamente un qualche effetto di isteresi. Nel caso di riduttori, è dovuto al gioco d esistente tra gli ingranaggi. x: spostamento in ingresso y: spostamento in uscita Il movimento dell'ingranaggio pilota non si trasmette all'altro fino a quando i denti delle due ruote non sono in contatto. Se la velocità di x cambia segno, allora y rimane costante per un certo tratto. Ingresso Uscita (dash) Non linearità a due valori : per ogni x vi sono 2 possibili valori di y, a seconda della storia dell'ingresso. Si possono avere instabilità o oscillazioni permanenti (cicli limite) Isteresi (d = 0.6) ModSemp -- 3 Sistemi meccanici Effetti non lineari Zona morta L'uscita non risente di variazioni dell'ingresso contenute in una data banda. ModSemp -- 32

17 CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale Modelli di Sistemi FINE Ing. Luigi Biagiotti Tel / lbiagiotti@deis.unibo.it