Corso di laurea in Ingegneria Meccatronica CONTROLLI AUTOMATICI ED CA - 02 MODELLI DI SISTEMI FISICI

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1 Automation Robotics and System CONTROL Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia Corso di laurea in Ingegneria Meccatronica CONTROLLI AUTOMATICI ED AZIONAMENTI ELETTRICI CA - 02 MODELLI DI SISTEMI FISICI Cesare Fantuzzi (cesare.fantuzzi@unimore.it) Alberto Bellini (alberto.bellini@unimore.it)

2 La modellistica Matematica I contesti di applicazione dei controlli automatici sono ס molteplici. Un controllo automatico efficace richiede la conoscenza ס del comportamento del sistema da controllare La modellistica matematica consente ס di: Generalizzare il progetto del controllore. Strutturare la conoscenza del sistema da controllare per il progetto del controllore. Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 2

3 Modelli Matematici di sistemi dinamici Considereremo sistemi descritti da equazioni differenziali tra ס derivate dei segnali di ingresso u(t) e derivate dei segnali di uscita y(t) u(t) Sistema y(t) m j= 0 a j j d dt y j = n j= 0 b j j d u j dt Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 3

4 Notazione semplificativa j d dt y j = D j y t 0 y( t) dt = 1 D y( t) Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 4

5 Circuiti elettrici Q 0 è la carica iniziale del condensatore N 1 e N 2 sono i numeri di spire del circuito primario e secondario Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 5

6 Circuiti elettrici Le unità di misura delle grandezze elettriche nel sistema SI sono: Variabili: ס [v] = V, Volt; [i] = A, Ampere; [Q] = C, Coulomb; Parametri: ס [R] = Ω, Ohm; [L] = H, Henry; [C] = F, Farad; In genere, i modelli matematici di circuiti elettrici (composizione di sistemi ס elementari) si ricavano applicando le leggi di Kirchhoff che esprimono il bilancio delle cadute di potenziale lungo le maglie o delle correnti ai nodi: Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 6

7 Circuiti elettrici Le leggi di Kirchhoff esprimono il bilancio delle cadute di ס potenziale lungo le maglie o delle correnti ai nodi: La somma algebrica delle tensioni in una maglia è nulla; La somma algebrica delle correnti in un nodo è nulla. v 2 v 1 v3 v 4 i 2 i 3 i 1 i 4 v 1 = v 2 + v 3 + v 4 i 1 + i 2 + i 3 +i 4 = 0 Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 7

8 Circuiti elettrici - Esempio Volendo ricavare, anzichè la corrente i, la tensione d'uscita v u, si può operare la sostituzione i(t) = C D v u (t), mediante la quale si ottiene (v C (t) = v u (t)) l'equazione differenziale che mette in evidenza la relazione tra causa v i ed effetto v u. Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 8

9 Circuiti elettrici - Esempio i(t) ingresso i R equazione differenziale A i C equazione algebrica nell'operatore D v(t) uscita 1 i( t) = v( t) + R i condizioni iniziali nulle = 1 R v + CDv Kirchoff al nodo A i = i R + i C dv( t) C dt i i R C 1 = v( t) R dv( t) = C dt Sistema del 1 ordine 1 accumulatore di energia Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 9

10 v i (t) i(t) Circuiti elettrici - Esempio v R v c (t) Kirchoff alla maglia v i = v R + v C t equazione vi differenziale C 0 1 vi = Ri + C D 1 i equazione algebrica nell'operatore D 1 ( t) = Ri( t) + idτ C Dv i 1 = RDi + C i Se interessa v c come uscita v v R c = = t Ri idτ 0 condizioni iniziali nulle Sistema del 1 ordine Marzo - Giugno 2011 ricordando che i = i ( ) c CDv c CA-02-ModelliFisici v = RCD v

11 i(t) i L ingresso i R Marzo - Giugno 2011 Circuiti elettrici - Esempio A i C equazione integro-differenziale v(t) uscita condizioni iniziali nulle Kirchoff al nodo A i = i L + i R + i C 1 1 i( t) = v( t) dt + v( t) + L R equazione differenziale del 2 ordine = v + + C 2 equazione algebrica nell'operatore D di dt derivando ambo i membri 1 L 1 R CA-02-ModelliFisici dv dt d 2 dt v i i i 1 = v( t) dt L 1 = v( t) R dv( t) = C dt dv ( t ) C dt L R C Sistema del 2 ordine 2 accumulatori di energia 11

12 i(t) i L ingresso i R Circuiti elettrici - Esempio A i C v(t) uscita condizioni iniziali nulle Kirchoff al nodo A i = i L + i R + i C Se come uscita interessa la corrente nell'induttanza, ricordando che v = LDi i i i L R C Consente di ricavare l'uscita v(t) a partire dall'ingresso i(t) 1 = v( t) dt L 1 = v( t) R dv( t) = C dt Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 12

13 i(t) i L ingresso i R Circuiti elettrici - Esempio A i C v(t) uscita condizioni iniziali nulle Kirchoff al nodo A i = i L + i R + i C i i i L R C Consente di ricavare l'uscita v(t) a partire dall'ingresso i(t) Se come uscita interessa la corrente nella resistenza, ricordando che v = Ri R 1 = v( t) dt L 1 = v( t) R dv( t) = C dt Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 13

14 i L i R Circuiti elettrici - Esempio A i C i(t) Kirchoff al R v(t) R nodo A dv( i = i L + i R + i C ic = C ingresso uscita dt v = 1 1 i C C D condizioni iniziali nulle Consente di ricavare l'uscita v(t) a partire dall'ingresso i(t) i i L = = 1 v( t) dt L 1 v( t) Se come uscita interessa la corrente nei diversi componenti, ricordando che: t) Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 14

15 Assignment 2.1 Si calcoli il modello matematico del sistema elettrico ס v 1 (t) v 2 (t) ingresso uscita Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 15

16 Sistemi meccanici In generale si cerca di adottare modelli a costanti concentrate, perchè di più ס facile impiego, anche se spesso alquanto approssimativi e meno aderenti alla realtà di quanto non lo siano nel caso dei circuiti elettrici: ad esempio, in un modello a costanti concentrate la massa di una molla, (distribuita) è supposta trascurabile o concentrata agli estremi della molla. Si cerca di adottare modelli lineari, anche se ciò implica la limitazione dello ס studio a variazioni relativamente piccole delle grandezze in gioco. Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 16

17 Sistemi meccanici Nella deduzione dei modelli, per semplicità si farà riferimento a moti di ס traslazione lungo una sola direzione e di rotazione attorno ad un solo asse. Le equazioni differenziali che descrivono il moto dei sistemi meccanici si ס ricavano di regola esprimendo l'equilibrio delle forze e delle coppie applicate a ciascuna delle parti in movimento. Per ottenere il modello dinamico di un sistema meccanico in ס moto traslatorio è fondamentale la legge di Newton: f 4 f 5 dove m è la massa concentrata, f è la risultante di tutte le forze applicate, x lo spostamento risultante ( è quindi l'accelerazione). Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 17 f 1 f 2 f 3 f

18 Sistemi meccanici Per un corpo in rotazione attorno ad un asse la legge di Newton si scrive ס essendo: J il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione, c la risultante delle coppie, θ la rotazione del corpo. c θ Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 18

19 Sistemi meccanici I sistemi meccanici in moto traslatorio si possono considerare costituiti dai componenti ס elementari: massa, la ס in cui si concentrano le forze di inerzia, f 1 m x f 2 molla, la ס in cui si concentrano le forze di richiamo elastico, K f f x 1 x 2 (se per x 1 = 0 e x 2 = 0 la molla non è caricata) l'ammortizzatore, ס in cui si concentrano le forze di attrito viscoso. f f Si suppone che gli estremi di tali componenti ס meccanici siano sottoposti a moto traslatorio orizzontale. x 1 x 2 B Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 19

20 Sistemi meccanici rotatorio: Analogamente per sistemi in moto ס Forze coppie Masse inerzie c(t), ω(t) J c(t), θ 1 (t) K c(t), θ 2 (t) c(t), ω 1 (t) B c(t), ω 2 (t) Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 20

21 Sistemi meccanici Riduttore ס c1 (t), ω 1 (t) c 2 (t), ω 2 (t) In un riduttore ideale (senza perdite per attrito e con accoppiamento perfetto tra gli ingranaggi), la velocità viene ridotta del fattore k r Poiché in questo meccanismo la potenza entrante deve essere uguale a quella uscente la coppia risulta amplificata. Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 21

22 Sistemi meccanici elementi: Altri ס Cinghia/puleggia Vite a ricircolazione di sfere Camma Biella/manovella Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 22

23 Sistemi meccanici Oppure (caso rotatorio) Le unità di misura delle grandezze meccaniche nel sistema SI sono: Variabili: ס Newton; [f] = N, ס metri; [x] = m, ס velocità; = m/sec, ס accelerazione. = m/sec 2, ס Parametri: ס chilogrammi; [M] = kg, ס rigidezza; [K] = N/m, coefficiente di ס [B] = N sec/m, coefficiente ס di attrito viscoso. Variabili: [c] = N m; [θ] = rad; = rad/sec; = rad/sec^2. Parametri: [J] = kg\,m^2; [K] = N\,m/rad, coefficiente di rigidezza torsionale; [B] = N\,m\,sec/rad, coefficiente di attrito torsionale. Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 23

24 Sistemi meccanici - Esempio Carrelli con attrito ס m 2 m 1 u(t) x 2 (t) x 1 (t) Applicando la legge di Newton a ciascuna massa si ottiene ס Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 24

25 Sistemi meccanici - Esempio Carrelli con attrito ס m 2 m 1 u(t) x 2 (t) x 1 (t) La variabile osservata del sistema è la velocita di m 2 e quindi ס ottiene: Dalle due eq.ni differenziali, utilizzando l'operatore D, si ס Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 25

26 Sistemi meccanici - Esempio Da ס Si ricava numerici: Se si considerano per esempio per i parametri i valori ס si ottiene l'equazione differenziale la cui soluzione y(t) descrive l'andamento dell'uscita in funzione dell'ingresso u(t) e delle condizioni iniziali y(t_0) = Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 26

27 Sistemi meccanici - Esempio sono: Le coppie applicate in questo caso ס coppia esterna c(t) coppia dovuta alla molla torsionale c k (t) = k θ(t) coppia dovuta all'attrito torsionale c b (t) = B Applicando la legge di Newton si ha ס Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 27

28 Assignment 2.2 Calcolare il modello matematico del seguente sistema ס R 2 B 2 R 1 R 12 m 2 u(t) m 1 B 1 B x 1 (t) 12 x 2 (t) Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 28

29 Effetti non lineari - Attrito Nei sistemi meccanici esistono fenomeni nonlineari che, per la discontinuità delle ס caratteristiche, non sono suscettibili neppure di una linearizzazione locale: il più importante di questi è l'attrito. viscoso. Per rimanere nel campo dei modelli lineari si dovrebbe considerare il solo attrito ס In realtà è presente anche l'attrito secco o attrito al distacco, consistente in una forza che ס equilibra la forza applicata, impedendo l'inizio del moto, finché questa non supera una soglia F_d, oltre la quale inizia il movimento e la forza si annulla. Inoltre può essere presente l'attrito coulombiano, caratterizzato da una forza nulla quando ס il corpo è immobile, costante quando esso è in movimento e tale da opporsi al moto. cui, L'attrito al distacco e l'attrito coulombiano sono fenomeni tipicamente nonlineari, per ס finché l'approssimazione risulta accettabile, nei modelli matematici si considera il solo attrito viscoso. Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 29

30 Effetti non lineari - Saturazione Saturazione ס La saturazione è un fenomeno comune a tutti i processi fisici: l'uscita y del sistema è proporzionale all'ingresso x solo in un certo intervallo di valori, mentre rimane praticamente costante al di fuori di esso. Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 30

31 Effetti non lineari Elasticita Elasticità ס Si fa, quando possibile, l'ipotesi che i corpi con cui si tratta siano rigidi. A causa della presenza di inevitabili elasticità strutturali, i modelli che si ricavano con le ipotesi di corpi rigidi sono validi solo in opportune bande di frequenze, che per definizione sono al di sotto delle frequenze naturali delle strutture definite da questi effetti. Se possibile, si deve prestare attenzione a non eccitare queste ס frequenze. Una regola di tipo empirico che si può adottare è quella di far sì che la pulsazione del sistema complessivo (con il controllo) sia inferiore di quella naturale non è semplice determinare ω 0 ס Marzo - Giugno CA-02-ModelliFisici

32 Effetti non lineari Isteresi Isteresi ס Il sistema di attuazione (riduttore) introduce solitamente un qualche effetto di isteresi. Nel caso di riduttori, è dovuto al gioco d esistente tra gli ingranaggi. x: spostamento in ingresso y: spostamento in uscita Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 32

33 Effetti non lineari - Isteresi Il movimento dell'ingranaggio pilota non si trasmette all'altro fino a quando i denti delle due ruote non sono in contatto. Se la velocità di x cambia segno, allora y rimane costante per un certo tratto Ingresso Uscita (dash) Isteresi (d = 0.6) Non linearità a due valori : per ogni x vi sono 2 possibili valori di y, a seconda della storia dell'ingresso. Si possono avere instabilità o oscillazioni permanenti (cicli limite) Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 33

34 Sistemi meccanici Effetti non Zona morta ס lineari L'uscita non risente di variazioni dell'ingresso contenute in una data banda. Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 34

35 Automation Robotics and System CONTROL Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia SCHEMI A BLOCCHI Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 35

36 Schemi a blocchi Un sistema viene rappresentato graficamente con un ס blocco, e le sue variabili mediante collegamenti con l'ambiente esterno o con altri sistemi. S S 1 S 2 Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 36

37 Schemi a blocchi Un sistema orientato è un sistema in cui le variabili sono suddivise ס in Variabili di ingresso (cause) Variabili di uscita (effetti) ingressi u 1 (t) u 2 (t) Non sempre la suddivisione tra ingressi ed uscite (cause ed effetti) ס è univoca i R a a (t) L a c(t), ω(t) i e (t) S u 3 (t) y(t) uscita v a (t) v e (t) L e Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 37

38 Schemi a blocchi I sistemi (sottosistemi) possono essere connessi tra loro mediante le ס variabili di ingresso/uscita. Le variabili sono indicate con frecce, e in uno schema oltre ai ס blocchi che descrivono i sistemi vi possono essere nodi sommatori e punti udi 1 (t) diramazione. + u 2 (t) + y(t) u(t) y 1 (t) y 2 (t) - u 3 (t) y 3 (t) Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 38

39 Schemi a blocchi (serie): Connessione in cascata ס l uscita del primo costituisce l ingresso del secondo u(t) = u 1 (t) y y S 1 S 2 (t) = y(t) 1 (t) = u 2 (t) 2 parallelo: Connessione in ס stesso ingresso u 1 (t) u(t) u 2 (t) S 1 S 2 y 1 (t) y 2 (t) Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 39

40 Schemi a blocchi Connessione in retroazione: i sistemi sono collegati ad ס anello e si influenzano reciprocamente u 1 (t) y 1 (t) y 2 (t) S 1 S 2 u 2 (t) Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 40

41 Riduzione di schemi a blocchi Spesso i sistemi complessi vengono rappresentati con schemi a blocchi, i ס cui elementi hanno ciascuno un solo ingresso e una sola uscita. Blocchi elementari per la rappresentazione di sistemi puramente algebrici ס sono x y Saturazione: che rappresenta un elemento nonlineare, la cui caratteristica ingresso-uscita è tracciata schematicamente entro il blocco stesso x K y Guadagno: che rappresenta un elemento lineare, caratterizzato dalla costante di proporzionalità K che lega l'uscita all'ingresso y(t) = K x(t), specificata di regola entro il blocco stesso La seconda rappresentazione verrà estesa anche ai sistemi dinamici lineari ס stazionari, introducendo, al posto della costante di proporzionalità, la funzione di trasferimento, che comprende ogni informazione relativa al comportamento dinamico ingresso-uscita (a partire da una condizione iniziale di quiete). Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 41

42 Riduzione di schemi a blocchi - Regole cascata: Riduzione di blocchi in ס parallelo: Riduzione di blocchi in ס Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 42

43 Riduzione di schemi a blocchi - Scambio di giunzioni sommanti ס Regole Spostamento di un punto di prelievo di segnale a monte di un ס blocco: Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 43

44 Riduzione di schemi a blocchi - Regole blocco: Spostamento di un punto di prelievo a valle di un ס blocco: Spostamento di una giunzione sommante a monte di un ס Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 44

45 Riduzione di schemi a blocchi - Regole blocco: Spostamento di una giunzione sommante a valle di un ס anello: Eliminazione di un ס Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 45

46 Riduzione di schemi a blocchi Le regole viste prima corrispondono a semplici ס operazioni sulle equazioni algebriche rappresentate dagli schemi a blocchi. Mediante queste otto regole fondamentali, si possono ס ridurre schemi a blocchi comunque complessi fino a giungere ad una forma minima. Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 46

47 Riduzione di schemi a blocchi Forma minima Per i sistemi con un solo ingresso ed una sola uscita, in un solo blocco ס Per i sistemi con più ingressi e più uscite in un numero di blocchi pari al prodotto ס del n.o degli ingressi per il n.o delle uscite n b = n i X n u Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 47

48 Esercizio blocchi: Ridurre lo schema a ס d(t) r(t) + + G G - 2 B G 3 G 1 G 3 H 1 c(t) H 2 Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 48

49 Assignment 2.3 blocchi: Ridurre lo schema a ס u(t) G G 2 y(t) H 2 H 1 Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 49

50 Automation Robotics and System CONTROL Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia CLASSIFICAZIONE DEI SISTEMI Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 50

51 Sistemi Dinamici/Statici Sistema statico/dinamico ס modello matematico dei sistemi statici equazioni algebriche (sistemi privi di memoria) l'uscita del sistema dipende solo dal valore assunto dall'ingresso in quell'istante relazione tra tensione e corrente in un resistore modello dei sistemi dinamici. equazioni differenziali (sistemi con memoria) l'uscita del sistema non dipende solo dal valore assunto dall'ingresso in quell'istante, ma anche da quelli passati relazione tra tensione e corrente in un condensatore Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 51

52 Esempi (algebrico) Sistema statico ס i(t) v(t) R V, I Tempo (s) Sistema dinamico ס i(t) C v(t) R Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 52

53 Modelli a parametri concentrati Le caratteristiche fisiche dei sistemi dinamici sono distribuite nel sistema fisico ס stesso: - massa - elasticità - resistenza -... Nella descrizione dei modelli dinamici, se è possibile fare delle approssimazioni ס che permettono di concentrare in uno (o pochi) punti tali caratteristiche e quindi ottenere notevoli semplificazioni nelle loro espressioni matematiche. Si hanno i cosiddetti modelli a parametri concentrati. Nella pratica, anche se è chiaro che tutte le caratteristiche dei sistemi fisici sono ס distribuite, si cerca ove possibile di avere modelli a parametri concentrati. Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 53

54 Modelli a parametri concentrati I modelli a parametri concentrati sono espressi da equazioni ס differenziali ordinarie, che sono funzioni solo del tempo: Se non è possibile considerare come concentrati alcuni ס dei parametri del modello, allora si deve ricorrere a equazioni alle differenze parziali. Infatti, la dinamica non dipende solo dal tempo ma anche, per esempio, dallo spazio: Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 54

55 Modelli a parametri costanti nel tempo Se le proprietà di un dato sistema sono indipendenti dal tempo ס (costanti), allora i relativi parametri sono costanti. I relativi modelli sono detti stazionari o invarianti. Per tali sistemi si ha la ripetibilità degli esperimenti: l'uscita che si ס ottiene applicando al sistema a uno stato iniziale x 0, un ingresso al tempo t 0 è uguale (a parte una traslazione nel tempo) a quella che si ottiene (con lo stesso stato iniziale x 0 ) applicando lo stesso ingresso all'istante t-δ x, y 0.5 x, y Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici Tempo (s) Tempo (s)

56 Modelli a parametri costanti nel tempo Da un punto di vista pratico, è raro che i parametri di un ס sistema non cambino nel tempo. D'altra parte, è sufficiente che essi non varino in modo ס apprezzabile in un arco temporale confrontabile alla durata dell'esperimento. Nei modelli stazionari, non ha importanza l'istante di ס inizio dell'osservazione, che viene quindi solitamente considerato uguale a zero: t 0 = 0 Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 56

57 Risposta da stato zero, con ingresso zero, completa In generale, l'uscita y(t) di un sistema dinamico per t t 0 ס dipende: dall'ingresso u(τ) applicato in [t 0, t]; dallo stato iniziale x 0 che ha il sistema per t =t 0. forzata) Risposta da stato zero (o risposta ס Si dice risposta da stato zero o risposta forzata la risposta y ZS (t) di un sistema che è inizialmente in quiete (ingresso ed uscita nulli) e che viene sollecitato da un ingresso non nullo. nullo, Il sistema, senza l'applicazione dell'ingresso non ס rimarrebbe indefinitivamente nella condizione di quiete. Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 57

58 Risposta da stato zero, con Risposta da stato zero ingresso zero, completa Risposta all`impulso (caso ideale) f x(t) Pos, Vel Palla inizialmente in quiete (v 0 = 0), sollecitata da una forza impulsiva (piano con attrito non nullo) Tempo [sec] Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 58

59 Risposta da stato zero, con ingresso zero, completa libera) Risposta con ingresso zero (o risposta ס Si dice risposta con ingresso zero o risposta libera la risposta y ZI (t) di ס un sistema che è sollecitato da un ingresso nullo. Se il sistema è inizialmente in quiete (ingresso ed uscita nulli), vi ס permane per t > t 0, altrimenti vi è una evoluzione dell'uscita Condensatore inizialmente carico (q(t 0 ) = q 0 0); la variabile di uscita è la corrente i(t) nel circuito. i(t) x 10-5 Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici Tempo [sec] 59

60 Risposta da stato zero, con Risposta completa ס ingresso zero, completa Si dice risposta completa la risposta di un sistema che si trova ס inizialmente in condizioni non di quiete ed è sollecitato con ingresso non nullo. E in questo caso necessario conoscere sia l'ingresso ס applicato che lo stato iniziale in cui si trova il sistema. ESEMPIO: Data una massa m che nell'intervallo [t 0, t 1 ] cade ס in caduta libera, soggetta alla sola forza di gravità -g, non è possibile in t = t 1 calcolarne la posizione e/o la velocità se non si conoscono la posizione e la velocità iniziali. Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 60

61 1 0.5 Risposta da stato zero, con ingresso zero, completa Posizione Velocita` v 0 = 0 m/s 1.5 Posizione 4 Velocita` Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici v 0 = 2 m/s

62 Modelli lineari Una funzione f: C -> C ס è lineare sse gode delle seguenti proprietà: 1) Additività 2) Omogeneità proprietà: Un modello dinamico è lineare sse valgono le seguenti tre ס 1) la risposta con ingresso zero è lineare rispetto allo stato iniziale; 2) la risposta da stato zero è lineare rispetto all'ingresso; 3) la risposta completa coincide con la somma della risposta con ingresso zero e della risposta da stato zero: Spesso, l'ipotesi di linearità di un sistema è una approssimazione che si applica ס considerando opportune limitazioni sugli ingressi e uscite del sistema stesso. In generale infatti i sistemi fisici NON sono lineari, e possono essere considerati ס tali solo entro opportuni intervalli di `funzionamento'. Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 62

63 Modelli lineari ESEMPIO: Si consideri la risposta completa di un sistema ס dinamico in cui x 0 = x(t 0 ) è lo stato iniziale. La risposta è somma della risposta con ingresso zero e da stato zero, però il sistema è non lineare poiché la risposta non è lineare né rispetto allo stato iniziale (x 02 ) né rispetto all'ingresso (u 2 ). Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 63

64 Modelli lineari - Esempii Si consideri la risposta completa del sistema dinamico ס Il sistema è non lineare poichè la risposta non è lineare rispetto all'ingresso (u 2 ). Si consideri la risposta completa del sistema dinamico ס Il sistema è lineare poiché: la risposta è somma della risposta con ingresso zero e da stato zero; la risposta è lineare rispetto allo stato iniziale; la risposta è lineare rispetto all'ingresso. Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 64

65 Modelli lineari Molti sistemi ammettono modelli matematici lineari purché i valori ס delle variabili non escano da determinati intervalli x q 1 z 2 z Si consideri il sistema di figura, costituito da un serbatoio: la portata ס entrante q 1 è funzione lineare della posizione x dello stelo di una valvola q 1 = K x si suppone che la portata uscente q 2 sia indipendente dal livello z. Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 65 q 2

66 Modelli lineari Il modello matematico del sistema è espresso dall'equazione integrale lineare ס o, equivalentemente, dall'equazione differenziale (ottenuta derivando rispetto al tempo ambo i membri) in cui z indica il livello dell'acqua nel serbatoio (in m), Z 0 il livello iniziale, q 1 e q 2 le portate entrante e uscente (in mc/sec), A l'area della sezione orizzontale del serbatoio (in mq). Tale modello è evidentemente valido entro i limiti ס in cui X 1, X 2, Z 1 (=0) e Z 2 rappresentano rispettivamente i valori minimo e massimo della posizione dello stelo della valvola e del livello nel serbatoio. Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 66

67 Modelli lineari Proprietà di sovrapposizione degli effetti importante: Per i sistemi lineari vale una proprietà molto ס La sovrapposizione degli effetti. Linearità rispetto allo stato iniziale ס Questo caratteristica dei sistemi dinamici risulta evidente (ed utile) nello studio dei sistemi nello spazio degli stati. Viene qui citata solo per completezza, ma non verrà utilizzata nel seguito, in quanto si è maggiormente interessati ad una rappresentazione dei sistemi non basata sul concetto di stato. Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 67

68 Modelli lineari Proprietà di sovrapposizione degli effetti Linearità rispetto all'ingresso ס Sia dato un sistema inizialmente in quiete. Si applichino (singolarmente) i q ingressi u i (t), i=1,, q, t 0, ottenendo le corrispondenti risposte forzate y ZS,i (t): u(t) Σ y(t) La linearità rispetto all'ingresso implica che se si applica al sistema l'ingresso ס allora si ottiene l'uscita Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 68

69 Esempio: ס Modelli lineari Proprietà di sovrapposizione degli effetti Additività delle risposte ס Proprietà di additività della risposta libera e della risposta forzata. Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 69

70 Sommario modellare: Abbiamo visto come ס i sistemi elettrici attraverso le leggi della elettrotecnica e I sistemi meccanici attraverso le leggi della meccanica classica. Descrivere mediante schemi a blocchi l interconnessione tra sistemi e sottosistemi. testo: Riferimenti al libro di ס La modellistica di sistemi fisici è trattata in vari esempi sparsi sul libro di testo. Gli schemi a blocchi sono trattati nel capitolo 5 a partire da pag Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 70

71 Automation Robotics and System CONTROL Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia MODELLI DI SISTEMI FINE Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 71