Controlli Automatici A

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1 .Introduzione Controlli Automatici A Corsi di laurea triennali in Ingegneria Elettronica, Informatica, Telecomunicazioni a.a. 00/00 Docente: Prof. Aurelio Piazzi aurelio@ce.unipr.it 5 marzo 00

2 .Introduzione Introduzione ai metodi di analisi e sintesi per il controllo attivo di un processo Processo evoluzione nel tempo di ciò che caratterizza un sistema (fisico o non) Controllo attivo : strategia di controllo che prevede un azione di comando esercitata sul processo (esempio: sospensioni attive di una automobile) 5 marzo 00

3 .Introduzione Il controllo (attivo) risolve il problema di imporre una modalità di funzionamento desiderato ad un processo assegnato (il sistema controllato). Modalità di funzionamento desiderato una variabile (scalare o vettoriale) del processo coincida con una variabile (sca. o vett.) preassegnata (segnale di riferimento o set-point): Variabile controllata Segnale di riferimento Segnale di riferimento costante > problema di regolazione 5 marzo 00 3

4 .Introduzione. Generalità sul concetto di sistema (Possibile) definizione di Sistema: Un sistema è un complesso, normalmente costituito da più elementi interconnessi, in cui si possono distinguere grandezza soggette a variare nel tempo (le variabili). 5 marzo 00 4

5 .Introduzione def. di Segnale: Le funzioni che rappresentano l andamento delle variabili nel tempo si dicono segnali. Terminologia per le variabili: -Variabili controllate (o regolate) - Variabile di riferimento -Variabili manipolabili (o di controllo) -Variabili non manipolabili (o disturbi) -Variabili osservate (o misurate) 5 marzo 00 5

6 .Introduzione La classificazione fondamentale delle variabili di un sistema le distingue in variabili indipendenti (ingressi o cause) e in variabili dipendenti (uscite o effetti). Questa classificazione porta al concetto di sistema orientato: Esempi: una resistenza elettrica, un motore in corrente continua, 5 marzo 00 6

7 .Introduzione 5 marzo 00 7

8 .Introduzione 5 marzo 00 8

9 .Introduzione def. di Modello Matematico: Si dice m. m. la descrizione di un sistema, per esempio con equazioni e parametri, che permette di determinare i segnali delle uscite noti i segnali degli ingressi e le (eventuali) condizioni iniziali. Esempi: equazioni differenziali, modelli operazionali, modelli frequenziali, modelli di stato, Sistemi multivariabili (MIMO) e scalari (SISO) (ci occuperemo quasi sempre di sistemi scalari ): 5 marzo 00 9

10 0.Introduzione 5 marzo 00 def. Sistema (inizialmente) in quiete: Un sistema è detto (inizialmente) in quiete quando le variabili d uscita sono (inizialmente) nulle e rimarrebbero tali per ingressi identicamente nulli [sistema in equilibrio] Nota: valida anche per variabili costanti Considereremo sistemi a tempo continuo con variabili reali per gli ingressi ed uscite: tempo t in R, u(t) in R, y(t) in R. Caso multivariabile: t, ) (, ) ( p m R t y R t u ) ( ) ( ) ( t u t u t u m!! ) ( ) ( ) ( t y t y t y p!!

11 .Introduzione def. Sistema statico (o puramente algebrico) L uscita al tempo t, dipende esclusivamente dall ingresso al medesimo tempo t. Per questi sistemi esiste una funzione f: R m! R p tale che y(t) f(u(t)) per ogni t in R, Semplicemente y f(u) def. Sistema dinamico L uscita al tempo t dipende dalla funzione dell ingresso su (-inf., t]. Sono i sistemi con memoria: esiste un funzionale F(.) : U! Y per il quale y(t) F( u(.) (-inf., t] ) 5 marzo 00

12 .Introduzione Esempio del comportamento di un sistema dinamico: Esempio di modello statico SISO: motore in corrente continua in condizioni stazionarie, w f(v a ) è la caratteristica statica ingresso uscita (non lineare): 5 marzo 00

13 .Introduzione Modello linearizzato in un intorno dell origine: w k va, k: f () (va) va0 5 marzo 00 3

14 .Introduzione Modello linearizzato nell intorno di (va, w): : f () (va ) va va ; w : w w v a : va va w v a def. Insieme dei behaviours B L insieme B è l insieme di tutte le possibili coppie causa-effetto associate al sistema dinamico Σ: B : { ( u(t), y(t) ) : y(t) è l uscita di Σ corrispondente all ingresso u(t) a partire da una condizione di quiete, u(t) in U } U :{ insieme delle funzioni continue a tratti definite su (-inf, inf) } 5 marzo 00 4

15 .Introduzione def. Linearità Un sistema si dice lineare quando soddisfa la proprietà di sovrapposizione degli effetti: per ogni ( u (t), y (t) ), ( u (t), y (t) ) B e per ogni a, a R > (a u (t) a u (t), a y (t) a y (t) ) B. def. Stazionarietà Un sistema Σ è stazionario (invariante nel tempo) se per ogni T in R: ( u(t), y(t) ) B > ( u(t-t), y(t-t) ) B 5 marzo 00 5

16 .Introduzione Esempio: Ambito di studio: sistemi dinamici lineari, stazionari e a tempo continuo. 5 marzo 00 6

17 .Introduzione. Controllo ad azione diretta e in retroazione Il controllo (attivo) è distinguibile in - controllo ad azione diretta (feedforward) o ad anello aperto o in catena aperta; - controllo in retroazione (feedback) o ad anello chiuso o in catena chiusa. Azione diretta : quando l azione di comando dipende da. obiettivo perseguito (p.e. segnale di riferimento). informazioni sul modello del sistema controllato 3. eventualmente, ingressi agenti sul sistema contr. (disturbi) 5 marzo 00 7

18 .Introduzione Retroazione : quando l azione di comando dipende da. obiettivo perseguito (p.e. segnale di riferimento). informazioni sul modello del sistema controllato 3. eventualmente, ingressi agenti sul sistema contr. (disturbi) 4. variabile controllata Esempi:. Schema a blocchi di un sistema di controllo ad azione diretta: 5 marzo 00 8

19 .Introduzione Schema a blocchi di sistema di controllo in retroazione: 5 marzo 00 9

20 .Introduzione Architettura usuale: Sistema di controllo in retroazione sull errore di inseguimento: 5 marzo 00 0

21 .Introduzione Confronto fra il controllo ad azione diretta e in retroazione: Problema: Regolazione di un processo statico di guadagno P; y uscita del processo (v. controllata); u ingresso del processo (v. di controllo); r segnale di riferimento. Sistema di controllo ad anello aperto: y P u P ( Cd) P Cd r Dall obiettivo r y " Cd : /P Il controllore è sintetizzato come sistema inverso del processo 5 marzo 00

22 .Introduzione Sistema di controllo ad anello chiuso: { e r y, y P C_r e } " y P C_r (r y) y (P C_r / ( P C_r ) ) r L obiettivo y r è idealmente irraggiungibile ma si può ottenere y ~ r progettando C_r tale che P C_r >> : C_r >> /P 5 marzo 00

23 .Introduzione Disamina delle strategie di controllo in condizioni perturbate: P --> P P P, p.e. P (/5) P nel controllo ad azione diretta: y P ~ P Cdr ( P P) r r ± r errore in % ± 0 nel controllo in retroazione: si ipotizza che T 5 PCr P Tyr : 0, 995 PC PCr 00, Cr 00 / (errore di inseguimento in cond. nom. circa uguale a 0,5%) ~ yr ~ P Cr ~ P C r PCr PCr PC PC errore 0,45% o 0,6% r r ± 0,9959 e 0,9938 r 5 marzo 00 3

24 .Introduzione Conclusione : Il controllo in retroazione è efficace anche in presenza di perturbazioni sul processo. Conclusione : Il controllo in retroazione è efficace anche in presenza di disturbi agenti sulla variabile controllata. [per il momento giustificazione euristica ] Per alcuni problemi di regolazione il controllo in retroazione è l unico possibile es.: regolazione di livello in un serbatoio. 5 marzo 00 4

25 .Introduzione Equazione del processo o impianto : z" ( q q ) A portata d acqua in ingresso (v. di controllo) q q portata d acqua in uscita (v. di disturbo) Il controllo ad azione diretta sicuramente fallirebbe (fenomeno di deriva) Il controllo in retroazione può risolvere il problema p.e. q r ( q C r z) ridefinendo u : q q0 la variabile di controllo, la legge di retroazione proposta corrisponde allo schema: 0 5 marzo 00 5

26 .Introduzione I problemi del controllo in retroazione:. è una soluzione tecnica più complessa. è una soluzione che può presentare fenomeni di instabilità Esempio: in un sistema retroazionato all aumentare del guadagno di anello tipicamente si innesca una instabilità (p.e. auto-oscillazioni divergenti) : 5 marzo 00 6

27 .Introduzione C < C < C r r r3 I possibili problemi di instabilità sono particolarmente gravi nel controllo in retroazione dei sistemi con ritardi finiti esempio: regolazione di temperatura in un miscelatore di acqua fredda e calda 5 marzo 00 7

28 .Introduzione.3 Gli Schemi a Blocchi I sistemi complessi possono essere rappresentati con schemi a blocchi i cui elementi hanno ciascuno un solo ingresso ed una sola uscita: y u, guadagno dell elemento o blocco elementare R o {insieme delle funzioni razionali} o I blocchi sono collegati fra loro mediante i punti di diramazione e le giunzioni sommanti: z u, y u z x y 5 marzo 00 8

29 .Introduzione Regole di riduzione. Riduzione di blocchi in cascata. Riduzione di blocchi in parallelo 5 marzo 00 9

30 .Introduzione 3. Scambio di giunzioni sommanti 4. Spostamento di prelievo di segnale a monte di un blocco 5 marzo 00 30

31 .Introduzione 5. Spostamento di prelievo di segnale a valle di un blocco 6. Spostamento di giunzione sommante a monte di un blocco 5 marzo 00 3

32 .Introduzione 7. Spostamento di giunzione sommante a valle di un blocco 8. Eliminazione di un anello y e e r y y r 5 marzo 00 3

33 .Introduzione Esempio di riduzione alla forma minima Schema a blocchi iniziale 5 marzo 00 33

34 .Introduzione Applicando le regole n 6, 3, 8 si ottiene G 4 GG3 : G G H 3 5 marzo 00 34

35 .Introduzione Applicando ancora le regole n 6, 3, 8 : G 5 : GG G G 4 4 H Applicando infine la regola n 7: : BG B G G 5 c G5 r Bd [ G B ] c 5 5 marzo r d

36 .Introduzione.4 Cenni di Modellistica Modellistica costruzione dei modelli matematici dei sistemi Modellistica:. a partire da leggi fondamentali. a partire da dati sperimentali (identificazione) Scegliendo il primo approccio riportiamo qualche cenno su circuiti elettrici, sistemi meccanici e sistemi termici. 5 marzo 00 36

37 .Introduzione Circuiti elettrici Resistenza: v R Ri di Induttanza: v L L LDi dt D operatore derivata Capacità: v C Q C C t i(τ ) dτ Dv C i C 5 marzo 00 37

38 .Introduzione Esempio: circuito RLC v i v L v R v C v ( t) i LDi( t) Ri( t) C t i(τ ) dτ Costruzione del m.m. del circuito RLC orientato da v i (ingresso) ad i (uscita): 5 marzo 00 38

39 .Introduzione Eq. differenziale lineare a coefficienti costanti: Rappresentabile anche come: LD i RDi i C Dv i LD RD i C Dv i Costruzione del m.m. del circuito RLC orientato da v i (ingresso) ad v u (uscita): i Dvu i CDvu C v LD( CDv ) R( CDv i u u ) v u LCD v RCDv v u u u v i ( LCD RCD ) v u vi 5 marzo 00 39

40 .Introduzione Sistemi meccanici leggi del moto unidimensionale per componenti meccanici Massa: MD x t) f ( t) f ( t) ( Molla: f ( t) ( x ( t) x( t) ) Relazione valida nell ipotesi che la distanza fra le origini degli assi x e x sia pari alla lunghezza della molla non caricata. 5 marzo 00 40

41 .Introduzione Ammortizzatore: f ( t) B f ( t) BD ( v ( t) v( t) ) ( x ( t) x ( t) ) Legge che descrive un fenomeno di attrito viscoso: forza proporzionale alla velocità relativa 5 marzo 00 4

42 4.Introduzione 5 marzo 00 Esempio: sistema meccanico vibrante (quando il sistema è a riposo abbiamo x 0 e x 0 ) ) ( ) ( Dx B x x x B D x D M x x B D x f x M D sistema di eq. differenziali del secondo ordine

43 .Introduzione Problema: costruzione del m.m del sistema vibrante orientato da f (ingresso) a x (uscita) [oppure, a x ]: Come eliminare la variabile x? MD x BDx M ( BD) D B Dx x B Dx ( M D B D ) x M D x x f BDx x B Dx x f BDx ( B B ) Dx x 5 marzo 00 43

44 44.Introduzione 5 marzo 00 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ] ) ( [ ] [ x Dx B B x D M B D M D x B D B D M D B Dx f B D x B D M D B D Gli operatori differenziali commutano, quindi si deduce: ( ) ( ) ( ) Df B x D B x Dx B B x D M B D M D x Dx B B x D M B D M D B Dx f B D ] ) ( [ ] ) ( [ ] [.... Si ottiene una eq. differenziale lineare del 4 ordine

45 .Introduzione Esempio di un sistema elettromeccanico: motore in c.c. controllato in armatura. i a corrente di armatura; v a tensione di armatura (ingresso); Φ flusso magnetico; e c forza controelettromotrice (tensione); J m inerzia del motore; J c inerzia del carico; C m coppia motrice. 5 marzo 00 45

46 .Introduzione La coppia motrice è proporzionale al flusso e alla corrente di armatura: C m Φ i a, con flusso costante C m i m a In assenza di perdite energetiche, il bilancio di potenza all albero motore è: {potenza elettrica} { potenza meccanica} e c i a C m ω da cui e c i a m i a ω Eq. elettromeccanica senza carico: e c m ω va LDia Ri mia Bmω a J m m ω Dω 5 marzo 00 46

47 .Introduzione Eliminando la variabile i a si otiene il m.m del motore orientato da v a ad ω (senza carico): m ( LB ) ( ) m RJ m Dω RBm m mva LJ D ω ω Eq. Elettromeccaniche con carico v a m i a LDi B m a ω Ri J a m mω Dω C C coppia resistente dovuta al carico; ω c velocità angolare a valle del riduttore; C c coppia resistente del carico a valle del riduttore Ipotizzando che il riduttore non dissipi potenza: { potenza meccanica a monte del rid. } { potenza meccanica a valle del rid. } Cω C c ω c 5 marzo 00 47

48 ω ω c C Cc r C r.introduzione r rapporto di riduzione ω : c ω eq. meccanica del carico a valle del riduttore: C r B ω C c c r J c Dω ( B c J c D) ω c c C ( B J D)ω r c c Implicazioni: il coefficiente di attrito ed il momento d inerzia del carico possono essere riferiti all albero motore moltiplicandoli per r. I valori così ottenuti si sommano a quelli relativi al motore 5 marzo 00 48

49 49.Introduzione 5 marzo 00 ( ) ( ) c r m mc c r m mc c r m c r m a m c r c r m m a m J J J B B B D J J B B i D J B D J B i : : ω ω ω ω ω ω m.m del motore orientato da v a a ω c (con carico): ( ) ( ) a m m mc mc mc mc v RB D RJ LB D LJ ω ω ω

50 .Introduzione Esempio di sistema termico: Boiler Semplificazione: miscelazione istantanea e perfetta. M massa d acqua [kg] c calore specifico dell acqua [Cal/(g C)] θ temperatura dell acqua nel boiler [ C] Θ i temperatura dell acqua all ingresso Θ a temperatura dell ambiente q flusso di calore dal riscaldatore [Cal/s] coefficiente di resistenza termica globale delle pareti [Cal/(s C)] g portata entrante o uscente [kg/s] 5 marzo 00 50

51 .Introduzione eq. di bilancio termico: McDθ ( t) qt) ( θ ( t) θ ) g( t) c( θ ( t) θ ) a i Orientamento del sistema: q -> variabile manipolabile; θ -> variabile controllata; g -> variabile di disturbo. m.m. del sistema orientato da q a θ: ( cg( t) ) θ ( t) q( t) θ a cθ g( ) McDθ ( t) t i Interpretazione: eq. diff. lineare con coefficienti varianti (quindi, sistema lineare non stazionario) 5 marzo 00 5