Matrici densità. e problema della N-rappresentabilità. David Picconi. 19 aprile Relatore: Prof. Renato Colle

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1 ridotte e problema della N-rappresentabilità 19 aprile 2010 Relatore: Prof. Renato Colle

2 ridotte Correlazione elettronica Teorema di completezza Span{ ϕ i } i=1 = L 2 (R 3 ) = Span{ Φ L } = L 2 (R 3N ) dove Φ L = Y j L â j Quindi l espressione più generale per lo stato fondamentale di un sistema molecolare è un espansione in determinanti di Slater: Ψ = X L C L Φ L Approssimazione di Hartree-Fock (HF) Si approssima la funzione d onda con un singolo determinante Si minimizza l energia rispetto agli spin-orbitali, sotto il vincolo di ortonormalizzazione

3 ridotte Correlazione elettronica Teorema di completezza Span{ ϕ i } i=1 = L 2 (R 3 ) = Span{ Φ L } = L 2 (R 3N ) dove Φ L = Y j L â j Quindi l espressione più generale per lo stato fondamentale di un sistema molecolare è un espansione in determinanti di Slater: Ψ = X L C L Φ L Approssimazione di Hartree-Fock (HF) Si approssima la funzione d onda con un singolo determinante Si minimizza l energia rispetto agli spin-orbitali, sotto il vincolo di ortonormalizzazione

4 ridotte Correlazione elettronica La differenza E HF E Esatta > 0 si chiama energia di correlazione. Metodi correlati Metodi post Hartree-Fock (CI,MPn) Coupled Cluster Quantum Monte Carlo Limiti Per recuperare correlazione servono basi grandi! Costo computazionale elevato Dimensioni limitate dei sistemi studiabili

5 ridotte Correlazione elettronica La differenza E HF E Esatta > 0 si chiama energia di correlazione. Metodi correlati Metodi post Hartree-Fock (CI,MPn) Coupled Cluster Quantum Monte Carlo Limiti Per recuperare correlazione servono basi grandi! Costo computazionale elevato Dimensioni limitate dei sistemi studiabili

6 ridotte Correlazione elettronica Un metodo alternativo: teoria di Hohenberg e Kohn L energia è un funzionale a singolo valore della densità elettronica: Z E = E[n], con n(x) = N Ψ(x, x 2,..., x N )Ψ (x, x 2,..., x N )dx 2 dx N Questo funzionale ha carattere variazionale La densità è funzione di sole tre variabili La teoria è esatta Il metodo scala come O(N 2 ) O(N 3 ) Purtroppo... Problemi inerenti ai domini (N e v-rappresentabilità) Negli schemi DFT si esegue un approssimazione per il funzionale (ignoto) di Hohenberg e Kohn, che non può essere sistematicamente migliorata

7 ridotte Correlazione elettronica Un metodo alternativo: teoria di Hohenberg e Kohn L energia è un funzionale a singolo valore della densità elettronica: Z E = E[n], con n(x) = N Ψ(x, x 2,..., x N )Ψ (x, x 2,..., x N )dx 2 dx N Questo funzionale ha carattere variazionale La densità è funzione di sole tre variabili La teoria è esatta Il metodo scala come O(N 2 ) O(N 3 ) Purtroppo... Problemi inerenti ai domini (N e v-rappresentabilità) Negli schemi DFT si esegue un approssimazione per il funzionale (ignoto) di Hohenberg e Kohn, che non può essere sistematicamente migliorata

8 ridotte Correlazione elettronica Ricerca di un formalismo intermedio Più accurato dei metodi DFT Computazionalmente meno esigente dei metodi della Quantum Chemistry e del QMC Sommario 1 ridotte Introduzione al formalismo Teoria RDMFT 2 Stati naturali e N-rappresentabilità 3 Teoria NOFT Un esempio di ricostruzione

9 ridotte Correlazione elettronica Ricerca di un formalismo intermedio Più accurato dei metodi DFT Computazionalmente meno esigente dei metodi della Quantum Chemistry e del QMC Sommario 1 ridotte Introduzione al formalismo Teoria RDMFT 2 Stati naturali e N-rappresentabilità 3 Teoria NOFT Un esempio di ricostruzione

10 ridotte Correlazione elettronica Ricerca di un formalismo intermedio Più accurato dei metodi DFT Computazionalmente meno esigente dei metodi della Quantum Chemistry e del QMC Sommario 1 ridotte Introduzione al formalismo Teoria RDMFT 2 Stati naturali e N-rappresentabilità 3 Teoria NOFT Un esempio di ricostruzione

11 ridotte Correlazione elettronica Ricerca di un formalismo intermedio Più accurato dei metodi DFT Computazionalmente meno esigente dei metodi della Quantum Chemistry e del QMC Sommario 1 ridotte Introduzione al formalismo Teoria RDMFT 2 Stati naturali e N-rappresentabilità 3 Teoria NOFT Un esempio di ricostruzione

12 ridotte Formalismo q-rdm Teoria RDMFT Base ortornormale completa { 1, 2,...} di stati monoelettronici: ( i j = δ i,j (ortonormalità) P i=1 i i = 1 (completezza) Spazio vettoriale H N degli stati N-elettronici: n H N = Span Ψ : R 3N - o 1, 1 N C P 2 2 ij Ψ = - Ψ, Ψ Ψ = 1, Ψ Ψ < q-rdm Ad ogni stato Ψ H N possiamo associare una matrice densità ridotta q D di ordine q, i cui elementi sono dati da q D i 1,...,i q j 1,...,j q = 1 q! Ψ â i 1 â i q â jq â j1 Ψ

13 ridotte Formalismo q-rdm Teoria RDMFT A cosa servono le matrici densità ridotte? Matrice densità ridotta di ordine q: q D = X q D i 1,...,i q j 1,...,j q â i 1 â i q â jq â j1 i 1,...,iq j 1,...,j q Per un operatore generico a q corpi... q Ω = 1 X q Ω i 1,...,i q j q! 1,...,j q â i 1 â i q â jq â j1, i 1,...,iq j 1,...,j q il valore medio si scrive bene tramite la q-rdm: Ψ q Ω Ψ = Tr( q Ω q D) = X q Ω i 1,...,i q q j 1,...,j q D i 1,...,i q j 1,...,j q i 1,...,iq j 1,...,j q

14 ridotte Formalismo q-rdm Teoria RDMFT In particolare, l Hamiltoniano......è un operatore con termini a uno e due corpi: H = 1 2 X p,q;s,t 2 K p,q s,t â pâ qâ tâ s dove 2 K p,q s,t = g p,q;s,t + 1 N 1 Z g p,q;s,t = (p, s q, t) = ϕ p(x 1)ϕ q(x 2) Z ε p,t =» ϕ p(x) v(x) (δq,sεp,t + δp,sεq,t) 1 r 1 r 2 ϕs(x1)ϕt(x2)dx1dx2 ϕ t(x)dx Funzionale esplicito per l energia Fissato il potenziale esterno v(x), l energia si scrive in termini della 2-RDM: E = Tr( 2 K 2 D) = X p,q;s,t 2 K p,q s,t 2 D p,q s,t

15 ridotte Formalismo q-rdm Teoria RDMFT In particolare, l Hamiltoniano......è un operatore con termini a uno e due corpi: H = 1 2 X p,q;s,t 2 K p,q s,t â pâ qâ tâ s dove 2 K p,q s,t = g p,q;s,t + 1 N 1 Z g p,q;s,t = (p, s q, t) = ϕ p(x 1)ϕ q(x 2) Z ε p,t =» ϕ p(x) v(x) (δq,sεp,t + δp,sεq,t) 1 r 1 r 2 ϕs(x1)ϕt(x2)dx1dx2 ϕ t(x)dx Funzionale esplicito per l energia Fissato il potenziale esterno v(x), l energia si scrive in termini della 2-RDM: E = Tr( 2 K 2 D) = X p,q;s,t 2 K p,q s,t 2 D p,q s,t

16 ridotte Formalismo q-rdm Teoria RDMFT Saremmo tentati di minimizzare l energia rispetto ai 2 D p,q s,t esclusivamente del fatto che la 2 D è semidefinita positiva. Purtroppo......si recupera troppa energia di correlazione, tenendo conto Energia in hartree (% di E corr) Metodo Be C 2+ O 4+ FCI (100) (100) (100) D (6437) (16786) (32917) LiH BH H 2 O FCI (100) (100) (100) D (8080) (22991) (164355) Mazziotti, Phys. Rev. A, 65(6), 2002 Perché? Gli elementi di matrice densità devono essere nella forma 2 D p,q s,t = 1 2 Ψ â pâ qâ tâ s Ψ, con Ψ H N (cond. di N-rappresentabilità) Dovremmo effettuare la minimizzazione variando 2 D nello spazio delle 2-RDM N-rappresentabili

17 ridotte Formalismo q-rdm Teoria RDMFT Saremmo tentati di minimizzare l energia rispetto ai 2 D p,q s,t esclusivamente del fatto che la 2 D è semidefinita positiva. Purtroppo......si recupera troppa energia di correlazione, tenendo conto Energia in hartree (% di E corr) Metodo Be C 2+ O 4+ FCI (100) (100) (100) D (6437) (16786) (32917) LiH BH H 2 O FCI (100) (100) (100) D (8080) (22991) (164355) Mazziotti, Phys. Rev. A, 65(6), 2002 Perché? Gli elementi di matrice densità devono essere nella forma 2 D p,q s,t = 1 2 Ψ â pâ qâ tâ s Ψ, con Ψ H N (cond. di N-rappresentabilità) Dovremmo effettuare la minimizzazione variando 2 D nello spazio delle 2-RDM N-rappresentabili

18 ridotte Formalismo q-rdm Teoria RDMFT Non possiamo utilizzare l espressione esplicita per l energia se non definiamo (almeno in parte) lo spazio delle 2-RDM N-rappresentabili Tuttavia, in linea teorica, ci basta qualcosa in meno Teoremi di Gilbert 1 Corrispondenza uno a uno tra 1-RDM ed energia dello stato fondamentale: E 0 v = E `1D, con 1 D p q = Ψ 0 â pâ q Ψ 0 2 Equazione variazionale per l energia: Ev 0 `1D = min F + Tr `1V1 D 1 D J N dove F `1D = inf Ψ 1 D Ψ 1 T + 2 U Ψ n o J N = 1 D 1 Dq p = Ψ â pâ q Ψ La funzione F( 1 D) resta ignota e va valutata ricorrendo necessariamente ad espressioni empiriche

19 ridotte Formalismo q-rdm Teoria RDMFT Non possiamo utilizzare l espressione esplicita per l energia se non definiamo (almeno in parte) lo spazio delle 2-RDM N-rappresentabili Tuttavia, in linea teorica, ci basta qualcosa in meno Teoremi di Gilbert 1 Corrispondenza uno a uno tra 1-RDM ed energia dello stato fondamentale: E 0 v = E `1D, con 1 D p q = Ψ 0 â pâ q Ψ 0 2 Equazione variazionale per l energia: Ev 0 `1D = min F + Tr `1V1 D 1 D J N dove F `1D = inf Ψ 1 D Ψ 1 T + 2 U Ψ n o J N = 1 D 1 Dq p = Ψ â pâ q Ψ La funzione F( 1 D) resta ignota e va valutata ricorrendo necessariamente ad espressioni empiriche

20 DFT standard ridotte Formalismo q-rdm Teoria RDMFT 1 e 2-RDM in rappresentazione delle coordinate Z x 1 1 D x 1 = ϱ 1 (x 1 ; x 1) = N Ψ (x 1,..., x N )Ψ(x 1,..., x N )dx 2 dx N x 1, x 2 2 D x 1, x 2 = ϱ 2(x 1, x 2 ; x 1, x 2 ) = N Z Ψ (x 1, x 2,..., x N )Ψ(x 1 2 2,..., x N )dx 3 dx N dove x = (r, s) contiene sia le coordinate spaziali che la variabile di spin La 1-RDM è calcolabile se è nota la 2-RDM: Z 2 ϱ 2(x 1, x 2; x 1, x 2)dx 2 = ϱ 1(x 1; x 1) N 1 In un formalismo più compatto: 2 N 1 X q 2 D p,q s,q = 1 D p s

21 DFT standard ridotte Formalismo q-rdm Teoria RDMFT Teoremi di Hohenberg e Kohn: corrispondenza uno a uno tra E 0 v la densità elettronica n(x) = ϱ 1(x, x) E 0 v si ottiene minimizzando un funzionale (ignoto) di n(x), sotto i vincoli (noti) di N-rappresentabilità per n(x) Forma funzionale esplicita Se conoscessimo il dominio funzionale di N-rappresentabilità della ϱ 2(x 1, x 2; x 1, x 2), potremmo minimizzare l espressione esplicita: E = 1 2 Z Z 2 ϱ 1 (x 1 ; x 1 ) x1 =x dx Z ϱ2 (x 1, x 2 ; x 1, x 2 ) v(x)n(x)dx + dx 1 dx 2 r 1 r 2 che dipende da ϱ 2(x 1, x 2; x 1, x 2), funzione di sole tre coordinate

22 ridotte Stati naturali N-rappresentabilità Definizione Stati naturali a q-corpi: q D γ (q) i = n (q) i γ (q) i In particolare, per la 1-RDM 1 D = X p;s 1 D p sâ pâ s se gli indici p e q corrono sugli stati naturali: 1 D p s = n pδ p,s e pertanto 1 D = X i n iâ i âi Gli autovalori n i (numeri di occupazione) sono non negativi e vengono ordinati in ordine decrescente: i < j n i n j Espressione per la densità elettronica: n(x) = X i n i γ (1) i (x) 2

23 ridotte Stati naturali N-rappresentabilità Proprietà degli orbitali naturali La serie Ψ(x 1,..., x n) = X i Z h γ (1) i (x 1 ) γ (1) i (x 1)i Ψ(x 1,..., x n)dx 1 fornisce, termine a termine, la più rapida convergenza a Ψ La serie 1 D = X i n i γ (1) i γ (1) i fornisce, termine a termine, la più rapida convergenza a 1 D Per un operatore monoelettronico 1 Ω = X i n i 1 Ω i i Ma soprattutto detto J N lo spazio delle 1-RDM N-rappresentabili, si ha che ( 1 0 n i 1 D J N P i ni = N

24 ridotte Stati naturali N-rappresentabilità Proprietà degli orbitali naturali La serie Ψ(x 1,..., x n) = X i Z h γ (1) i (x 1 ) γ (1) i (x 1)i Ψ(x 1,..., x n)dx 1 fornisce, termine a termine, la più rapida convergenza a Ψ La serie 1 D = X i n i γ (1) i γ (1) i fornisce, termine a termine, la più rapida convergenza a 1 D Per un operatore monoelettronico 1 Ω = X i n i 1 Ω i i Ma soprattutto detto J N lo spazio delle 1-RDM N-rappresentabili, si ha che ( 1 0 n i 1 D J N P i ni = N

25 ridotte N-rappresentabilità della 2-RDM Stati naturali N-rappresentabilità Relazioni banali antisimmetria degli stati fermionici 2 D p,q s,t = 2 D q,p s,t = 2 D p,q t,s = 2 D q,p t,s hermitianità traccia 2 D p,q s,t = 1 D p s = 2 N 1 `2D s,t p,q X q 2 D p,q s,q Per la 2-RDM sono note condizioni necessarie (ma non sufficienti ) per la N-rappresentabilità Condizioni di positività (Garrod e Percus, Mazziotti) 2 D 0, 2 G 0, 2 Q 0, 2 D p,q s,t = 1 2 Ψ â pâ qâ tâ s Ψ (condizione D) 2 G p,q s,t = 1 2 Ψ â pâ qâ tâ s Ψ (condizione G) 2 Q p,q s,t = 1 2 Ψ âpâqâ tâ s Ψ (condizione Q)

26 ridotte N-rappresentabilità della 2-RDM Stati naturali N-rappresentabilità Relazioni banali antisimmetria degli stati fermionici 2 D p,q s,t = 2 D q,p s,t = 2 D p,q t,s = 2 D q,p t,s hermitianità traccia 2 D p,q s,t = 1 D p s = 2 N 1 `2D s,t p,q X q 2 D p,q s,q Per la 2-RDM sono note condizioni necessarie (ma non sufficienti ) per la N-rappresentabilità Condizioni di positività (Garrod e Percus, Mazziotti) 2 D 0, 2 G 0, 2 Q 0, 2 D p,q s,t = 1 2 Ψ â pâ qâ tâ s Ψ (condizione D) 2 G p,q s,t = 1 2 Ψ â pâ qâ tâ s Ψ (condizione G) 2 Q p,q s,t = 1 2 Ψ âpâqâ tâ s Ψ (condizione Q)

27 ridotte Stati naturali N-rappresentabilità Minimizzazione sotto le condizioni D, G, Q Energia in hartree (% di E corr) Metodo Be C 2+ O 4+ FCI (100) (100) (100) DQG (100) (100) (100.02) LiH BH H 2 O FCI (100) (100) (100) DQG (100.02) (109.1) (104.2) Mazziotti, Phys. Rev. A, 65(6), 2002 Pesantezza di calcolo confrontabile con quella di altri metodi accurati (QMC, Coupled-Cluster,...) Un approccio preferibile: esprimere la 2-RDM tramite dli elementi della 1-RDM (della quale conosciamo le condizioni di N-rappresentabilità)

28 ridotte Teoria NOFT Un esempio Natural Orbital Functional Theory Teorema di Gilbert: corrispondenza biunivoca tra proprietà molecolari e matrice densità a un corpo Gli elementi della 2-RDM in base naturale dipendono esclusivamente dagli n i 2 D p,q s,t = f(n 1, n 2,...) Problema di ricostruzione 1 Esprimere la 2-RDM tramite la 1-RDM 2 Se conoscessimo la f, minimizzando il funzionale per l energia, otterremmo i risultati esatti Procedura generale NOFT: costruire forme di ricostruzione empiriche, cercando di tener conto delle condizioni necessarie di N-rappresentabilità della 2-RDM

29 ridotte Teoria NOFT Un esempio Esempio: Goedecker e Umrigar [Phys. Rev. Lett., 81(4), 1998] Espressione per l energia, con p, q, s, e t indici per gli orbitali naturali: E = X 2 K p,q2 s,t D p,q s,t = X g 2 p,q;s,t D p,q s,t + X ε p,pn p p,q;s,t p,q;s,t p Espressione di ricostruzione 2 D p,q n pn q npn q s,t = (δ p,sδ q,t δ p,tδ q,s )(1 δ p,q) 2 2 Sostituendo nell equazione precedente E = X n pε p,p + 1 X n pn qg p,q;p,q 1 X npnqg p,q;q,p 2 2 p p q Se si minimizza rispetto agli spin-orbitali e agli n i p q n pˆt p + n pˆv p + X q p n pn q ˆ Jq p X q p npn q ˆKq p = ε p p ε p,p + X n qg p,q;p,q X r 1 nq g p,q;q,p = µ p 2 n q p q p p con ˆ J q e ˆK q usuali operatori coulombiano e di scambio

30 ridotte Teoria NOFT Un esempio Esempio: Goedecker e Umrigar [Phys. Rev. Lett., 81(4), 1998] Espressione per l energia, con p, q, s, e t indici per gli orbitali naturali: E = X 2 K p,q2 s,t D p,q s,t = X g 2 p,q;s,t D p,q s,t + X ε p,pn p p,q;s,t p,q;s,t p Espressione di ricostruzione 2 D p,q n pn q npn q s,t = (δ p,sδ q,t δ p,tδ q,s )(1 δ p,q) 2 2 Sostituendo nell equazione precedente E = X n pε p,p + 1 X n pn qg p,q;p,q 1 X npnqg p,q;q,p 2 2 p p q Se si minimizza rispetto agli spin-orbitali e agli n i p q n pˆt p + n pˆv p + X q p n pn q ˆ Jq p X q p npn q ˆKq p = ε p p ε p,p + X n qg p,q;p,q X r 1 nq g p,q;q,p = µ p 2 n q p q p p con ˆ J q e ˆK q usuali operatori coulombiano e di scambio

31 ridotte Teoria NOFT Un esempio Perché il funzionale di Goedecker e Umrigar è buono? Assenza di auto-interazioni orbitaliche Regola di somma per la 2-RDM. È violata solo per termini dell ordine di n p(1 n p) Hartree-Fock come caso limite (n p = 0, 1) Nessun problema di dissociazione Stati di transizione Potenziali dipendenti dagli orbitali. Gli orbitali virtuali sono poco delocalizzati Potenziale chimico. n p = n q µ p = µ q

32 ridotte Teoria NOFT Un esempio H H He Li Be C Ne Energia in a. u. (QMC) E LDA E ( ϱ) PBE E NA ( ϱ) NA HF E ( ϱ) NOFT E ( ϱ) Goedecker e Umrigar, Phys. Rev. Lett., 81(4), 1998

33 Conclusioni ridotte Teoria NOFT Un esempio Ad oggi sono stati proposti solo pochi e rudimentali funzionali di orbitali naturali Un funzionale privo di parametri (GU) riesce a fornire energie e densità atomiche più accurate dei migliori funzionali di densità Ci si aspetta che funzionali NOFT possano fornire accurate differenze di energia per diverse geometrie molecolari Possibilità di costruire funzionali migliori di orbitali naturali

34 Bibliografia ridotte Teoria NOFT Un esempio E. R. Davidson. Reduced Density Matrices in Quantum Chemistry. Academic Press, C. Garrod and J. K. Percus. Reduction of the N-Particle Variational Problem. J. Math. Phys, 5(12): , Dec T. L. Gilbert. Hohenberg-Kohn theorem for nonlocal external potentials. Phys. Rev. B, 12(6): , Sep S. Goedecker and C. J. Umrigar. Natural Orbital Functional for the Many-Electron Problem. Phys. Rev. Lett., 81(4): , Jul David A. Mazziotti. Variational minimization of atomic and molecular ground-state energies via the two-particle reduced density matrix. Phys. Rev. A, 65(6):062511, Jun C. Valdemoro. Approximating the second-order reduced density matrix in terms of the first-order one. Phys. Rev. A, 45(7): , Apr 1992.

35 Funzionale NOFT esatto per il caso 2-elettronico Energia esatta per un singoletto bielettronico: dove n i = c i 2 E = 2 X c i c iε i,i + i=1 X c i c jg i,j;j,i, i,j=1 Si può dimostrare che, se la correlazione è debole, c 1 > 0 e c i < 0, i > 1 Espressione esatta (Kutzelnigg) E = 2 X i n iε i,i + n 1g 1,1;1,1 2 X n1n jg 1,i;i,1 + i=2 X nin jg i,j;j,i i,j=2 Quest espressione risulta valida anche per sistemi in cui n 1 si discosta molto da 1, come ad esempio lo ione H Esiste un espressione esatta anche per lo stato di tripletto

36 Funzionale NOFT esatto per il caso 2-elettronico Energia esatta per un singoletto bielettronico: dove n i = c i 2 E = 2 X c i c iε i,i + i=1 X c i c jg i,j;j,i, i,j=1 Si può dimostrare che, se la correlazione è debole, c 1 > 0 e c i < 0, i > 1 Espressione esatta (Kutzelnigg) E = 2 X i n iε i,i + n 1g 1,1;1,1 2 X n1n jg 1,i;i,1 + i=2 X nin jg i,j;j,i i,j=2 Quest espressione risulta valida anche per sistemi in cui n 1 si discosta molto da 1, come ad esempio lo ione H Esiste un espressione esatta anche per lo stato di tripletto

37 Ricostruzione di Valdemoro (Phys. Rev. A, 45(7), 1992) 2 D p,q 1 Ds p1 D q t s,t = 2 Energie (hartree) per l atomo Be 1 D p t 1 D q s 4 metodo Stato fondamentale Primo stato eccitato Secondo stato eccitato Full-CI RDM Non vale la regola di somma P 2 p,q D p,q p,q = `N 2 Funzionale di Valdemoro in base naturale E = X p 2 D p,q n pn q n pn q s,t = (δ p,sδ q,t δ p,tδ q,s 2 4 ) n pε p,p + 1 X n pn qg p,q;p,q 1 X n pn qg p,q;q,p 2 4 p,q p,q Simile al funzionale di Goedecker e Umrigar

38 Ricostruzione di Valdemoro (Phys. Rev. A, 45(7), 1992) 2 D p,q 1 Ds p1 D q t s,t = 2 Energie (hartree) per l atomo Be 1 D p t 1 D q s 4 metodo Stato fondamentale Primo stato eccitato Secondo stato eccitato Full-CI RDM Non vale la regola di somma P 2 p,q D p,q p,q = `N 2 Funzionale di Valdemoro in base naturale E = X p 2 D p,q n pn q n pn q s,t = (δ p,sδ q,t δ p,tδ q,s 2 4 ) n pε p,p + 1 X n pn qg p,q;p,q 1 X n pn qg p,q;q,p 2 4 p,q p,q Simile al funzionale di Goedecker e Umrigar