Castello Motore TEORIA. Valutazione delle forze agenti

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1 TEORIA Valutazione delle forze agenti Castello Motore Il castello motore è la struttura prodiera adibita a sorreggere il motore ed i suoi annessi più diretti. Si compone di due fiancate distanti tra loro 390 mm ( ), vincolate alla fusoliera in modo tra loro indipendente, da due aste incernierate. Sulla struttura vanno ad agire contemporaneamente le forze dovute: al peso del motore, alla trazione dell elica e agli effetti della coppia di reazione generata dal motore stesso. Sebbene sia possibile analizzare contemporaneamente i tre fenomeni si è deciso di esaminarli separatamente per poi sommarli al termine dei calcoli. Il primo effetto che valutiamo è il peso. La massa del motore è soggetta ad accelerazioni superiori a quella di gravità che vengono a generarsi a causa del fattore di contingenza a cui si trova il velivolo, per questa ragione la struttura deve essere dimensionata per resistere alla massima forza che dovrà reggere, cioè al peso moltiplicato per il fattore di contingenza. Per semplicità d analisi, questa forza si suppone gravi sui nodi A e D (vedi fig.) con intensità pari ad un quarto di quella complessiva ed a bilanciarle vi sia nel nodo C una reazioni vincolare pari a metà del carico totale. In evidente conseguenza questi carichi, essendo bilanciati dal vincolo supposto nel nodo C si ripercuotono sulle due aste (6 e 7) che fissano la parte anteriore della fiancata alla fusoliera generando sempre nel medesimo punto una forza eguale alla precedente ma di verso contrario che si ripercuote sulle dette aste (6 e 7). È evidente che la forza massima che dovrà reggere ogni singola fiancata è pari alla metà della forza massima generata dal peso in quanto essendo due le fiancate il carico viene uniformemente ripartito tra esse.

2 Qm/4 Qm/ Qm/4 Qm/ La trazione dell elica, ovvero la forza generata mediante la portanza ottenuta dalla rotazione della pala, atta a trascinare l aeromobile, si scompone, sempre per semplicità, distribuendosi nella prima parte della struttura, per un quarto sui nodi A e D con forza diretta nella direzione di volo, e al nodo C con intensità mezza della trazione totale rivolta però in senso contrario alle precedenti. Come prima è evidente che nel nodo C della seconda parte del castello motore, si genererà una ennesima forza di intensità pari alla precedente ma di verso concorde alla direzione di volo. T/4 T/ T/4 T/ Pag. 1

3 La coppia di reazione è l effetto che crea ogni corpo in rotazione che trasmette potenza e che consiste nel generare una coppia eguale e contraria a quella trasmessa. La coppia del motore genera infatti un complesso di forze sulla struttura, che andremo a considerare solo sulla fiancata in cui aggravano i carichi dovuti al peso. In questa situazione le forze agiscono con intensità mezza di F rivolta verso il basso nei nodi A e D, e con forza pari ad F diretta in alto in C. F/ F F/ F Pag.

4 Dimensionamento delle aste Il passo successivo all individuazione delle forze agenti nelle varie aste consiste nel dimensionamento delle stesse a seconda delle sollecitazioni che subiscono: trazione o compressione. La scelta del materiale è da compiersi a priori; esso deve essere sicuramente acciaio che possa essere saldato facilmente e che comunque mantenga buone caratteristiche meccaniche. Per queste ragioni ci si può indirizzare subito su un basso legato con modesto contenuto di carbonio; elemento spesso fastidioso in saldatura se contenuto in percentuali troppo elevate. Successivamente deve essere scelta la sezione e quindi il profilato da utilizzare, tenendo conto che sebbene il momento d inerzia sia ininfluente nelle sollecitazioni traenti, è rilevante nel carico di punta dove andando l instabilità elastica ad agire nella sezione più debole, questi si deve mantenere sempre su valori i più alti possibile. Sarebbe inoltre inutile usare una trave a doppio T resistente ottimamente su una direzione e debolissima sull altra. Il dimensionamento a trazione è il più semplice, in esso si ottiene l area della sezione ponendo che la somma di tutti gli sforzi interni unitari (σ), massimi ammissibili, agenti nel corpo devono eguagliare la forza a cui è sottoposta l asta. Per ragione di sicurezza oltre al coefficiente introdotto sulla σ massima si decide di considerare come forze agenti sulla struttura non quelle ottenute dai precedenti calcoli ma dei carichi 1 volta e mezza quelli stimati in precedenza. Il dimensionamento a compressione risulta più complesso in quanto legato strettamente alla snellezza dell asta da cui ne dipende l instabilità elastica. λ è il parametro di snellezza unicamente legato alla lunghezza libera di inflessione dell asta e al raggio d inerzia ovvero, al momento d inerzia della sezione della stessa rapportato alla sua area. La lunghezza libera di inflessione è la lunghezza lungo cui l asta è libera di inflettersi lateralmente a causa di carichi di punta ovvero una parzialità della lunghezza totale variabile a seconda dei vincoli. La variazione avviene tenendo presente che la linea elastica della trave è determinata da una sinusoide per cui se la trave è incernierata ai due estremi essa corrisponde alla lunghezza effettiva, mentre se incastrata, per evidenti ragione, alla metà della stessa. Si tenga in oltre presente che molto spesso, si tiene conto di una minima cedevolezza dei vincoli inserendo un coefficiente nel calcolo della stessa. Il dimensionamento inizia con il calcolo della sezione estraendo il momento d inerzia minimo dalla formula di Eulero e con esso determinando il valore del diametro esterno ed interno del- Pag. 3

5 la sezione. Questo algoritmo ha validità solo in campo elastico ovvero in condizioni di trave snella dove il λ della stessa è superiore a λ lim. Calcolato questo valore caratteristico del materiale (λ lim ), si confronta lo stesso con quello della trave che se risulta inferiore deve essere ridimensionata mediante la formula di Johnson che esegue un dimensionamento plastico ovvero fa si che la trave in fase di utilizzo si troverà ad operare con il materiale di cui è composta ormai snervato. Questo algoritmo determinante una curva di tipo parabolica ed è una sostituzione più precisa del dimensionamento a compressione semplice valido solamente per travi estremamente tozze. Attualmente il dimensionamento di travi compresse si esegue col metodo ω dove ω appunto è un coefficiente per cui viene moltiplicato il carico a cui è soggetta la trave nella formula di compressione semplice. Questo metodo ha come vantaggio che può essere applicato a travi di qualsiasi snellezza ma di contro la necessita del suddetto coefficiente ricavabile solo da grafici caratteristici per ogni materiale e sezione. Pag. 4

6 Dimensionamento delle saldature Le aste, come accennato in precedenza, saranno connesse tra loro mediante saldatura. Come indicato in disegno esse saranno incernierate in ogni nodo ad un perno (rappresentante il nodo stesso) mediante un anello che verrà saldato alle loro estremità. La saldatura sarà dimensionata in relazione al diametro della trave e al carico che dovrà reggere. La dimensione (altezza) del cordone, ottenuta con i successivi calcoli sarà da intendere come la massima misurata perpendicolarmente alla superficie del cordone stesso. Pag. 5

7 Calcoli Valutazione delle forze agenti La prima entità da calcolare è il valore della forza massima che genera la massa del motore al fattore di contingenza indicatoci, cioè: Q max = Q m n In essa Q max è la massima forza che il motore eserciterà sulla struttura per via della sua massa accelerata dalle manovre svolte, Q m è il peso del motore espresso in (N) ed n è il massimo valore di fattore di contingenza garantito. È in secondo luogo necessario risalire alla massima energia disponibile che il motore potrà fornirci, pari a: π = π η η d m r e Cioè alla potenza in Watt del motore moltiplicata per il rendimento del riduttore e per il rendimento dell elica. Conoscendo ciò possiamo ottenere la forza di trazione dell elica pari a: T = π d v Dove T è il valore di trazione ricavato in (N), π d la potenza disponibile in Watt e v la velocità in (m/s) ovvero quella espressa in km/h diviso3,6. Per il calcolo della coppia di reazione è necessario conoscere la velocità di rotazione del motore pari a: ω m = π n m 60 In essa n m sono i giri al minuto compiuti dal motore e ω m la velocità di rotazione dello stesso espressa in rad/s. Ottenuto questo dato ci serve conoscere i giri dell albero in uscita dal riduttore: ω e = m ω τ Dove ω e è la velocità angolare in rad/s in uscita dal riduttore (si mantiene costante fino all elica), ω m la velocità del motore (sempre in rad/s) e τ il rapporto di riduzione del riduttore. Di conseguenza essendo la coppia di reazione contraria e di eguale intensità a quella trasmessa dall albero possiamo definirla come: Pag. 6

8 C R π m ηr = ω m Cioè la coppia di reazione ridata in Nm corrisponde alla potenza trasmessa dall albero all uscita dal riduttore ovvero il prodotto della potenza del motore per il rendimento del riduttore, fratto la velocità angolare dell albero. Conoscendo la coppia di reazione è possibile comprendere a che forza è sollecitata ogni fiancata che, sapendo che una coppia sono due forze eguali ed opposte applicate ad un distanza tra loro (braccio), è pari; a: C F = R Nella quale F è la forza a cui ogni fiancata deve resistere, C R è la coppia di reazione e la distanza tra le due fiancate. Conoscendo tutte le forze che vengono ad applicarsi alla struttura ci è ora possibile comprendere a che forza dovrà resistere ogni singola asta. Per ottenere la risoluzione del complesso di travi, che non è altro che una travatura reticolare ci siamo affidati al metodi degli sforzi ridotti, che però ci richiede la posizione di ogni singolo nodo rispetto che ad un riferimento cartesiano avente arbitraria origine nel nodo A. Per questa ragione essendoci ignota la posizione sia in ordinata che in ascissa del nodo B rispetto all origine degli assi di riferimento posti nel nodo A, l unico modo di calcolarla è applicare il teorema di Carnot per cui l angolo che formano l asta 1 e, definito α è pari a: l 1 + l l5 α = ar cos l1 l Dove per l x si intende la lunghezza dell asta indicata in pedice. Conoscendo α deduciamo la posizione di B mediante le funzioni di seno e coseno. Avendo tutti i dati necessari possiamo tranquillamente ottenere gli sforzi lungo le varie aste applicando il sistema di equilibrio in ogni nodo necessario al nostro fine. Pag. 7

9 Dimensionamento delle aste Come detto in precedenza, il primo passo è definire materiale e sezioni usate. Nella nostra situazione si è reputato idoneo un acciaio per strutture S355J0H con carico di rottura pari a 510 N/mm² determinato secondo norme UNI EN e avente una σ di snervamento garantita a 355 N/mm² come indicato in nomenclatura. Si tratta di un acciaio a grano fine per impieghi strutturali con basso tenore di carbonio attestabile sullo 0. % e aggiunta di silicio allo 0.55 % e manganese all 1.6 %. Questa bassa alligazione lo rende idoneo ad impieghi in cui è richiesta una media resistenza meccanica e gli permette al contempo di poter essere facilmente saldato. Il passo successivo è identificare un profilato che venga prodotto nel materiale prescelto e che abbia una sezione con momento d inerzia minimo il più alto possibile. Per queste ragioni si è optato per una sezione circolare cava che come noto ha J costante in tutti i suoi assi baricentrici, con rapporto indicativo χ di 0.8 che verrà poi modificato a seconda dei profilati disponibili. Si è osservato che la normativa UNI di riferimento dei materiali ha una seconda parte denominata UNI EN che definisce proprio dei semilavorati e che noi riteniamo idonei a questa applicazione. Essa designa dei tubi di diametro variabile tra 1.3 mm e 508 mm con spessori variabili tra.3 e 40 mm. I dimensionamenti saranno effettuati considerando le forze agenti aumentate di 1/3 per cui: F CAL = F 1.5 Successivamente quando si parlerà di forze, se non diversamente specificato ci si riferirà alle forze di calcolo. Il primo dimensionamento che svolgeremo sarà quello a trazione dove: F A = σ amm In cui l area A in mm² è pari alla forza agente rapportata alla massima tensione interna ammessa per questo materiale (σ amm ). La σ amm è stata decisa a priori come /3 della σ di rottura per cui pari a 340 N/mm². Per ricondurci al valore di diametro del tubo sappiamo che l area dello stesso può essere e- spresso come: A = π ( D d ) 4 Pag. 8

10 In cui D è il diametro esterno (in mm) e d l interno. Per stimare il valore del diametro esterno introduciamo il parametro χ tale rapporto d/d da cui: D = 4 A π χ ( 1 ) Dove di conseguenza: d = D χ È evidente che tutti i valori che i calcoli ci restituiranno non saranno contemplati tra i diametri di tubi codificati UNI e che di conseguenza decideremo la sezione di volta in volta maggiorandola così da ricondurci a profilati esistenti. Le aste compresse come detto saranno dimensionate secondo la formula di Eulero che ci restituisce il valore del momento d inerzia della sezione come: P CR = π E J l 0 MIN Dove P CR è appunto il carico massimo a cui dovrà reggere ovvero la forza di calcolo, E è il modulo di Young, l 0 la lunghezza libera di inflessione e J MIN il momento d inerzia minimo riscontrato su un asse baricentrico della figura. Questa formula è valida solo se il parametro di snellezza dell asta è maggiore a quello limite del materiale. Il valore del parametro di snellezza della trave è pari a: λ = l 0 J A J Dove è il raggio d inerzia minimo ed l0 la lunghezza libera d inflessione. A Per poterlo confrontare con il λ lim del materiale è necessario calcolare quest ultimo pari a: λ LIM = π E σ p Dove E è il modulo di Young e σ p è la tensione interna di proporzionalità del materiale e che nel nostro caso assume il valore λ lim Come detto, se λ<λlim la formula di Eulero non ha significato e il dimensionamento avviene secondo la formula di Johnson. In caso contrario dalla stessa formula come detto si ottiene il valore di J MIN della sezione da cui estraiamo il valore del diametro come: Pag. 9

11 D = 4 4 A π χ ( 1 ) Avendo il diametro esterno otteniamo l interno e successivamente tra i semilavorati UNI disponibili scegliamo la sezione più idonea e con le dimensioni della stessa rivalutiamo l allungamento dell asta. Nel caso sopraccitato in cui non sia valida la formula di Eulero, Johnson sancisce che: R σ σ = σ R λ 4 π E Ovvero che la tensione interna (σ in N/mm²) equivale alla differenza tra la tensione di rottura (σ R ) ed il rapporto del quadrato della stessa per il quadrato della snellezza fratto quattro pi greco modulo di elasticità normale. In essa sostituendo λ e σ si ottiene il diametro esterno come: D 4 σ R l0 F + σ R π (1 χ ) π E ( 1 χ ) ( ) 1+ χ = Da dove come sopra si ottiene il diametro interno e successivamente si scegli tra i profilati UNI il più idoneo. Pag. 10

12 Dimensionamento delle saldature Il dimensionamento delle saldature è una pedestre applicazione della formula: σ sn = π 4 F [( D + a) + D ] Dove D è il diametro esterno del tubo considerato (mm), F la forza a cui e soggetta la trave (N) e a lo spessore del cordone di saldatura dimensionato secondo la σsn (tensione di snervamento) inserita nell eguaglianza. È chiaro la risoluzione della formula in funzione di a dà origine ad una equazione di secondo grado avente due soluzioni delle quali, una, essendo negativa può essere tranquillamente e- sclusa. Pag. 11

13 Risultati Valutazione delle forze agenti Le sollecitazioni a peso sulle varie aste dovute ai vari effetti sono: Carichi dovuti a Q. n Carichi dovuti a T Carichi dovuti alla CR n l (mm) N (N) n l (mm) N (N) n l (mm) N (N) La cui somma a seconda che si consideri o meno la forza causate dalla coppia di reazione (in base alla fiancata analizzata) sono: Carichi totali con coppia Carichi totali senza coppia n l (mm) N (N) n l (mm) N (N) La situazione dei carichi della prima parte del castello motore, composta dalle aste numerate dalla 1 alla 5 è stata analizzata in separata sede dalla situazione delle rimanenti travi e si può riassumere come indicato. L asta 1 viene caricata, per effetto del peso e della coppia, a sforzi assiali traenti mentre la trazione dell elica non la sollecita in alcun modo essendo questa obliqua ed essendo inoltre la forza considerata (T/) applicata nella stessa direzione dell asse longitudinale dell asta che se ne fa carico totalmente da sola. L asta risulta compressa dal peso e dalla coppia mentre la trazione dell elica riduce le tensioni interne della stessa mediante una modesta sollecitazione traente, questa trave infatti deve bilanciare il momento che i primi due effetti (Q e C R ) creano, tendenti a far ruotare l asta 1 in senso orario se non contrastata appunto dalla reazione di questa trave. L asta 3 si comporta come la 1 venendo però sollecitata in modo inferiore. L asta 4 si nota che è compressa sia da peso che da forze dovute alla coppia che dalla trazione esercitata dall elica. Pag. 1

14 L asta 5 subisce gli effetti di solo peso e coppia in quanto, come le altre oblique non viene condizionata dalla trazione dell aeromobile. La seconda parte della struttura, composta dalle aste 6 e 7, vincolate alla fusoliera per mezzo di due cerniere subiscono, essendo entrambe oblique, sollecitazioni dovute a tutti e tre gli effetti. L asta 6 risulta sollecitata a soli sforzi assiali traenti. L asta 7 viene compressa da peso e forze dovute alla coppia, mentre la trazione dell elica ne alleggerisce i carichi risultando la trave, per solo questo effetto, sottoposta a sollecitazioni traenti. In conclusione è osservabile dai dati ottenuti come la coppia di reazione aggravi notevolmente i carichi a cui le aste devono reggere, definendosi come un elemento fondamentale da considerare in fase di progetto. Pag. 13

15 Dimensionamento delle aste Dai calcoli e dalle valutazioni fatte per il dimensionamento delle aste si è giunti alle conclusioni riportate in tabella. Fiancata soggetta a coppia Progetto Calcolo n l (mm) N (N) Tipo D (mm) s (mm) D (mm) s (mm) σ (N/mm²) λ Peso (N) T 1,3,6,4, 316-5, P 1,3,3 19,8, ,6 4, T 1,3,3 19,3 1,9 60-3, P 1,3,3 17,7 1, ,6 4, P 1,3,3 17, 1, ,0, T 1,3,3 1,6, 38-9, P 6,9 3, 7,6 16, , 16,80 TOTALE: 46,69 Fiancata non soggetta a coppia Progetto Calcolo n l (mm) N (N) Tipo D (mm) s (mm) D (mm) s (mm) σ (N/mm²) λ Peso (N) T 1,3,3 0,4,0 9-5, P 1,3,3 18,4 1, ,6 4, T 1,3,3 17,6 1,8 16-3, P 1,3,3 16,7 1, ,6 4, P 1,3,3 15,8 1, ,0, T 1,3,3 19,8,0 75-9, P 6,9,6 6,4 196, ,9 14,00 TOTALE: 43,9 Come già visibile dall analisi delle forze la struttura si compone di 6 tiranti e 8 puntoni distribuiti sulle due fiancate. La quasi totalità delle aste è dimensionata a trazione o compressione secondo la formula di Johnson e a ragion di ciò l area richiesta per l equazione di equilibrio è estremamente bassa tanto che il loro diametro è il minimo prodotto secondo norme UNI pari a 1.3 mm e il loro è spessore di.3 mm. A ciò fa eccezione l asta 1 della fiancata dimensionata a coppia che richiede un diametro sempre di 1.3 mm ma uno spessore di.6 mm. Le aste 7 sono invece le uniche ad essere dimensionate a carico di punta con la formula di Eulero in quanto di notevole lunghezza e fortemente caricate (estremamente snelle) e ciò richiede infatti un diametro di 6.9 mm e uno spessore di.6 o 3. mm. È interessante sebbene inutile ai fini pratici osservare che dimensioni ci sono state restituite dai calcoli e come per le scelte dei profilati effettuate a priori siamo stati costretti ad un sovradimensionamento esorbitante. È d'altronde impossibile reperire tubi unificati di dimensioni inferiori. Pag. 14

16 Dimensionamento delle saldature I risultati dei calcoli suddivisi in base alle aste sono i seguenti: Fiancata soggetta a coppia Progetto Calcolo n Tipo a (mm) a (mm) 1 T 1,87 P 1,69 3 T 1,5 1,41 4 P 1,5 1,7 5 P 1,54 6 T 1,75 7 P 1,5 1,33 Fiancata non soggetta a coppia Progetto Calcolo n Tipo a (mm) a (mm) 1 T 1,57 P 1,5 1,41 3 T 1,5 1,18 4 P 1,5 1,08 5 P 1,5 1,9 6 T 1,5 1,48 7 P 1,5 1,11 Si nota come la totalità delle aste richiede una saldatura con cordone variabile da 1,5 a mm e come nella fiancata soggetta a coppia a causa dell aumento delle forze agenti si osserva la necessità di saldature più robuste. Pag. 15