ECM/Applicazioni Numeriche e Teoriche per la Costruzione di Macchine. La lunghezza della molla compattata (lunghezza solida) è:

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1 ESERCIZIO 1 Una molla ad elica a compressione ha le estremità quadrate (L s = (N t + 1) d) ed è fatta con un filo in acciaio al carbonio (G=80 GPa). Il diametro medio della molla è 20 mm mentre il diametro del filo è 3.2 mm. La molla ha una lunghezza libera di 155 mm ed un numero totale di spire uguale a 19. Calcolare: 1) Il passo alla lunghezza libera e l indice della molla 2) La lunghezza solida della molla 3) La deflessione della molla per portarla alla condizione di lunghezza solida 4) La rigidezza della molla 5) La forza necessaria per comprimerla alla sua lunghezza solida 6) Determinare se la molla incorre nell instabilità dopo aver raggiunto la sua lunghezza solida, considerando una delle estremità della molla libera di ruotare. Il passo della molla alla sua lunghezza libera è pari a: p = L free 155 mm = = 8.16 mm N tot 19 Mentre l indice della molla C è: C = D d = 20 mm 3.2 mm = 6.25 La lunghezza della molla compattata (lunghezza solida) è: L s = (N tot + 1) d = (19 + 1) 3.2 mm = 64 mm L abbassamento della molla, dalla lunghezza libera a quella compatta sarà di conseguenza: δ = L free L s = 155 mm 64 mm = 91 mm La costante elastica della molla può essere calcolata in differenti modi: 4 k = d4 G (3.2 mm) MPa N 8 D 3 = N 8 (20 mm) 3 = 7.7 (19 2) mm Oppure: d G k = 8 C 3 N = 3.2 mm MPa 8 (6.25) 3 (19 2) = 7.7 N mm La forza necessaria a comprimere la molla fino a compattarla è pari a: N F = k δ = mm = N mm 1

2 Infine si vuole capire se la molla, nella sua condizione di compattezza, sarà soggetta al fenomeno dell instabilità. Calcoliamo quindi i rapporti necessari ad utilizzare il seguente grafico. Nel caso in cui una estremità sia libera di ruotare si deve usare la curva B. δ L free = 0.6 L free D = 7.75 Quindi il fenomeno del buckling può incorrere perché il punto si trova nella zona di instabilità (al di sopra della curva B). ESERCIZIO 2 Una molla elicoidale di compressione con D=50 mm e d=5.5 mm è avvolta con un passo di 10 mm. Il materiale è un acciaio al carbonio ASTM A227. Se la molla è compressa al massimo (lunghezza solida) ritorna alla sua lunghezza originale (L free ) quando la forza è rimossa? La forza per comprimere la molla alla sua altezza solida, può essere calcolata dalla relazione dell abbassamento: δ = 8FD3 N d 4 G F = d4 Gδ 8D 3 N 2

3 Dove: δ = p d = 10 mm 5.5 mm = 4.5 mm N Il modulo G per il tipo di acciaio specificato è pari a 79 GPa. Quindi la forza necessaria a comprimere la molla è: F = (5.5 mm)4 79 GPa 4.5 mm 8(50 mm) 3 = 325 N Lo stress corrispondente può essere calcolato nel seguente modo: τ = 8 F D π d 3 Per C=D/d=9.09 il K s può essere ricavato dalla figura, ed è pari a Quindi lo stress è: τ = N 50 mm π (5.5 mm) = 261 MPa Dal grafico successivo invece ricaviamo lo stress di rottura per il materiale assegnato, per un diametro del filo di 5.5 mm, pari a circa 1300 MPa. Sappiamo inoltre che per acciai al carbonio τ s 0.45 S u = 585 MPa Quindi siccome la tensione agente è inferiore a quella limite di snervamento la molla ritornerà nella sua posizione originale. k s 3

4 ESERCIZIO 3 Una molla torsionale è usata come una molla di contro bilanciamento per un baule di automobile. La lunghezza della barra di torsione è 1.2 m con un diametro di 8 mm. Calcolare lo stress di taglio e la torsione nella barra se una delle estremità viene ruotata relativamente di 70, sapendo anche che G=79 GPa. L angolo di rotazione della barra e la rigidezza torsionale della trave sono pari a: T L θ = K = T J G = J G θ L Il momento d inerzia polare J è pari invece a: π d4 J = = mm4 32 Quindi: K = J G L = 26.5 N m T = K θ = 32.3 N m τ = 16 T = MPa π d3 4

5 ESERCIZIO 4 Si esegua il progetto di una barra di torsione, in condizione statiche, con i seguenti dati caratteristici: P=5000 N, f=10 mm. I valori di L ed R devono soddisfare le seguenti limitazioni: L<800 mm e R<400 mm. Ai fini della resistenza si consideri uno stress di taglio ammissibile di MPa. L insieme dei diametri commerciali disponibili per realizzare la barra è composto dai seguenti valori, in mm: 5, 8, 10, 12, 15, 18, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50. Il coefficiente di sicurezza da usare è 1.5. La verifica di resistenza si esegue con la seguente relazione: τ = 16 T 16 P R = π d3 π d 3 Mentre la valutazione della freccia avviene mediante la seguente formula: f = 32 P R2 L G π d 4 Il procedimento risolutivo prevede i seguenti passi: 1) Si assume un valore del diametro tra quelli disponibili 2) Dalla prima relazione si valuta R verificando che rispetti la limitazione prefissata; se è soddisfatta si procede al passo successivo, altrimenti si cambia valore del diametro 3) Dalla seconda relazione si calcola il valore della lunghezza; se è soddisfatta si procede al passo successivo altrimenti si cambia il valore del diametro 5

6 4) Si verifica il parametro relativo al costo della barra di torsione per distinguere tra i vari progetti quale è il migliore. Dato che è possibile dimostrare che il volume della barra è costante indipendentemente dal valore iniziale del diametro, si assume come parametro caratteristico del costo la superficie laterale della barra che è fortemente legata al costo di lavorazione. In base al valore più basso della superficie si decide il progetto migliore. I risultati dei calcoli dei diametri sono riportati nella seguente tabella d R R<400 mm? L L<800 mm S SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI Il progetto migliore sembra essere quello con diametro pari a 35 mm. ESERCIZIO 5 Una molla di tensione usata in una macchina deve esercitare una forza statica di 135 N. È avvolta con una tensione iniziale di 45 N ed ha una rigidezza torsionale di 11 kn/m. Determinare una soddisfacente combinazione di D, d e N. Determinare la lunghezza della sezione a spirale quando la molla è scarica e quando è applicato un carico di 135 N. Dalla tabella seguente scegliamo il materiale del filo, in base al costo. 6

7 Proviamo cercare una soluzione utilizzando il materiale più economico, quindi ASTM A227. Il carico di rottura varia con il diametro del filo. Dal grafico successivo scegliamo un valore medio di circa 1500 MPa, al quale corrisponde un diametro d=3 mm. Per materiali ferrosi e molle compresse sappiamo che: τ s 0.45 S u = 675 MPa Adattiamo però questa equazione al nostro caso considerando un fattore di sicurezza pari a 2 applicato al carico, rispetto al caso di molla compressa. Proviamo ad utilizzare un valore di C=9, con il quale possiamo ricavare dal grafico successivo il valore di C K s, cioè per carichi statici. C K s = 9.5 7

8 Lo stress corretto nel caso di carichi statici è quindi: τ = 8 F SF π d 2 Dalla quale si può ricavare un valore di d. C K s = 0.45 S u d = 8 F SF C K π 0.45 S s = 3.11 mm u Da cui D = C d = 28mm. Con questo valore di d si può ricavare il valore corretto di S u dal grafico. Si ottiene che: S u 1400 MPa Possiamo ricalcolare il nuovo fattore di sicurezza: SF = π d S u 8 F C K s = 1.9 Valore accettabile rispetto alle ipotesi fatte. Dall espressione della rigidezza della molla possiamo ricavare il numero totale di spire: 8

9 k = d G d G 3.11 mm 79 GPa N = = 8 N C3 8 k C kn m (9) = Dove G, per il tipo di materiale scelto è pari a 79 GPa. L altezza della molla compatta, non caricata è: L s = (N + 1)d = 15 mm Quando invece la molla è caricata, i primi 45 N sono assorbiti dal precarico mentre i restanti 90 N vanno ad elongare la molla. δ = L s + F k 90 N = 15 mm + 11 N/mm = 23.2 mm Questa è una delle tante possibili soluzioni che si possono ottenere. 9