Progettazione Assistita e Meccanica Sperimentale

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1 Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica Lezioni del corso di Progettazione Assistita e Meccanica Sperimentale prof. ing. Riccardo Nobile 1

2 Polarizzazione della luce e fotoelasticità Caratteristiche delle sorgenti luminose La luce è una radiazione elettromagnetica che si propaga sotto forma di onde con lunghezza d onda variabile Per rappresentare visivamente il fenomeno di propagazione si consideri una sorgente estesa che emetta una radiazione in un unica direzione. La direzione di propagazione si definisce cammino ottico e i piani ortogonali al cammino ottico costituiranno il fronte di propagazione 2

3 Polarizzazione della luce e fotoelasticità Caratteristiche delle sorgenti luminose Se ci concentriamo su un unico cammino ottico e consideriamo la stella di piani con asse il cammino ottico, possiamo rappresentare l oscillazione dell intensità luminosa nel piano come una sinusoide Questa rappresentazione va estesa a tutti i piani della stella, per cui gli andamenti sinusoidali sui piani vanno a formare una superficie di rivoluzione 3

4 Polarizzazione della luce e fotoelasticità Caratteristiche delle sorgenti luminose Se la luce è monocromatica coerente, essa si propaga con onde disposte su infiniti piani, aventi tutte la stessa lunghezza d onda e in fase. L intensità luminosa in un certo punto e in certo istante dipenderà dal valore della funzione sinusoidale Se cambiamo istante, ovvero ci spostiamo nello spazio, introdurremo una differenza di fase che determinerà la differenza di intensità luminosa 4

5 Polarizzazione della luce e fotoelasticità Caratteristiche della luce Indicando con z la direzione di propagazione e con x,y due assi di riferimento nel piano ortogonale, la luce è matematicamente descritta dal vettore campo elettrico E: = + le due componenti E x e E y possono variare arbitrariamente nel tempo e nello spazio 5

6 Polarizzazione della luce e fotoelasticità Riflessione e rifrazione della luce Quando la luce incide su un corpo la luce viene in parte riflessa e in parte rifratta Se il corpo è opaco la quasi totalità della luce viene riflessa Se il corpo è trasparente, la maggioranza della luce viene rifratta La rifrazione determina una riduzione della velocità della luce Si definisce indice di rifrazione del materiale il rapporto tra la velocità di propagazione della luce nel vuoto e nel materiale Alcuni valori caratteristici di n: per l aria, 1.33 per l acqua, nei solidi = 6

7 Polarizzazione della luce e fotoelasticità La luce polarizzata La luce polarizzata piana si propaga su un solo piano di oscillazione, definito come piano di polarizzazione. Essa viene ottenuta tramite un filtro disposto a valle della sorgente di luce coerente L asse di polarizzazione del filtro è perpendicolare al piano di oscillazione; tale filtro è detto polarizzatore 7

8 Polarizzazione della luce e fotoelasticità La luce polarizzata Nel caso della luce polarizzata le due componenti E x variano con una legge ben precisa: essendo = 2 φ x, φ y, gli sfasamenti iniziali = + = cos ( + ) = cos ( + ) il numero d onda e E y 8

9 Polarizzazione della luce e fotoelasticità La luce polarizzata Nel piano x, y le due componenti E x e E y si compongono per formare un vettore ruotato di α rispetto all asse x: = cos ( + ) cos ( + ) In generale α dipende dall istante di tempo considerato ovvero dalla coordinata z considerata 9

10 Polarizzazione della luce e fotoelasticità La luce polarizzata Nel caso in cui φ y - φ x = 0, π, l angolo diventa indipendente dal tempo e dallo spazio. Si parla in tal caso di luce polarizzata piana. = cos ( + ) cos ( + ) = ± A A La luce polarizzata piana è caratterizzata dal fatto che il piano formato dal vettore E e dalla direzione di propagazione è costante nel tempo e nello spazio 10

11 Polarizzazione della luce e fotoelasticità La luce polarizzata Nel caso in cui φ y - φ x = ± π/2, il vettore E descrive un elica cilindrica con asse coincidente con z. Se le due ampiezze A x e A y sono uguali si parla di luce polarizzata circolarmente. Se le due ampiezze A x e A y sono diverse si parla di luce polarizzata ellitticamente. = cos ( + ± 90 ) cos ( + ) = ± sin ( + ) cos ( + ) La luce polarizzata ellitticamente o circolarmente è caratterizzata dal fatto che il vettore E ruota descrivendo un elica che si avvolge su un cilindro a base ellittica o circolare rispettivamente 11

12 Polarizzazione della luce e fotoelasticità La luce polarizzata I polarizzatori moderni sono delle lastre polaroid molto sottili. Si basano sul fenomeno del dicroismo, cioè la proprietà di alcuni cristalli birifrangenti di assorbire in modo diverso i raggi polarizzati ordinario e straordinario. Nei fogli polaroid sono presenti in sospensione miriadi di cristalli con questa proprietà, su strati adiacenti, cosicché la luce viene polarizzata e filtrata 12

13 Polarizzazione della luce e fotoelasticità Alcuni materiali, cristalli e resine polimeriche, sono caratterizzati dal fenomeno della birifrangenza Quando la luce incide su un materiale birifrangente, la birifrangenza si manifesta con due effetti. La birifrangenza = 13

14 Polarizzazione della luce e fotoelasticità Il primo effetto consiste nel fatto che la luce viene rifratta su due soli piani tra loro ortogonali Gli unici due piani in cui la luce viene rifratta prendono il nome di piano ordinario e piano straordinario Analogamente si parla di raggio (di luce) ordinario e straordinario La birifrangenza = 14

15 Polarizzazione della luce e fotoelasticità Il secondo effetto consiste nel fatto che le velocità di propagazione del raggio ordinario e straordinario sono differenti All uscita dal corpo si ottiene una differenza di fase tra raggio ordinario e raggio straordinario La birifrangenza = 15

16 Polarizzazione della luce e fotoelasticità La birifrangenza In pratica il materiale presenta due indici di rifrazione differenti che sono legati alle tensioni principali attraverso le equazioni di Maxwell-Neumann = + + = + + = = C essendo C la costante fotoelastica del materiale 16

17 Polarizzazione della luce e fotoelasticità La birifrangenza A causa della differenza degli indici di rifrazione i due raggi avranno velocità differenti e attraverseranno lo spessore d del modello in tempi diversi Lo sfasamento temporale tra i due raggi è dato da: = = = ( ) cui corrisponde lo sfasamento spaziale assoluto e relativo: = = = = = Cd λ (σ σ ) 17

18 Polarizzazione della luce e fotoelasticità Polariscopio semplice Il polariscopio semplice è costituito da due lastre polaroid: il polarizzatore, la cui funzione è di produrre una luce polarizzata in una certa direzione, e l analizzatore il cui asse ottico può essere ruotato a piacimento per modulare l intensità luminosa 18

19 Polarizzazione della luce e fotoelasticità Polariscopio semplice Se gli assi ottici di polarizzatore e analizzatore coincidono, la luce in uscita sarà polarizzata secondo la direzione comune (configurazione a campo chiaro) 19

20 Polarizzazione della luce e fotoelasticità Polariscopio semplice Se gli assi ottici di polarizzatore e analizzatore sono perpendicolari, nessuna luce potrà emergere (configurazione a campo scuro) 20

21 Polarizzazione della luce e fotoelasticità Polariscopio semplice Se gli assi ottici di polarizzatore e analizzatore sono ruotati di α, l intensità luminosa emergente sarà ridotta di cos 2 α 21

22 Polarizzazione della luce e fotoelasticità La fotoelasticità La fotoelasticità si basa sulla birifrangenza accidentale di un corpo; in pratica alcuni materiali diventano birifrangenti se sollecitati meccanicamente In particolare le direzioni di birifrangenza (il raggio ordinario e il raggio straordinario) coincidono con le direzioni principali di sforzo massimo e minimo 22

23 Polarizzazione della luce e fotoelasticità La fotoelasticità Se inseriamo il corpo all interno di un polariscopio a campo scuro (polarizzatore ed analizzatore con assi ortogonali) si otterrà una luce la cui intensità dipenderà dallo stato tensionale del corpo 23

24 Polarizzazione della luce e fotoelasticità La fotoelasticità Poiché lo stato tensionale non è uniforme sul corpo le componenti delle onde ordinaria e straordinaria rifratte lungo l asse dell analizzatore formano delle figure o frange che definiscono due famiglie di curve 24

25 Polarizzazione della luce e fotoelasticità La fotoelasticità Si può dimostrare che l intensità I del campo emergente da un polarizzatore piano ad assi incrociati è dato da: L intensità I si estinguerà in uno dei due casi: 1) 2) sin 2 = 0 sin = 0 = = sin 2 sin luogo dei punti per cui la croce delle tensioni principali è allineata con gli assi del polarizzatore e dell analizzatore (frange isocline) luogo dei punti per cui la differenza delle tensioni principali è costante (frange isocromatiche) 25

26 Polarizzazione della luce e fotoelasticità La fotoelasticità Se le tensioni principali coincidono con gli assi di polarizzatore e analizzatore si otterrà un punto scuro Il luogo dei punti che si trova in questa condizione dà luogo alla prima famiglia di curve: le isocline Le isocline sono il luogo dei punti per cui l orientazione delle direzioni principali di sforzo è costante 26

27 Polarizzazione della luce e fotoelasticità La fotoelasticità Se le tensioni principali sono tali per cui la loro differenza è costante, tali punti daranno origine a frange caratterizzate dal medesimo colore Il luogo dei punti che si trova in questa condizione dà luogo alla seconda famiglia di curve: le isocromatiche Le isocromatiche sono il luogo dei punti per cui la differenza delle tensioni principali di sforzo è costante 27

28 Il metodo fotoelastico Le curve isocline Quando in un punto qualsiasi del prototipo la direzione principale di uno dei due sforzi σ 1 e σ 2 coincide con il piano di polarizzazione entrante, sparisce una delle componenti del raggio birifratto, mentre l altra si mantiene parallela alla direzione del piano polarizzato e verrà eliminata dall analizzatore (ortogonale al polarizzatore). Il risultato è un punto scuro nel campo visivo proiettato; l unione di questi punti sul prototipo è una frangia scura, detta curva isoclina cioè luogo dei punti sul prototipo in cui l inclinazione delle direzioni principali (ossia l orientamento della croce delle tensioni principali) è costante, rispetto ad un asse di riferimento. 28

29 Il metodo fotoelastico Le curve isocline Ruotando sia il polarizzatore che l analizzatore dello stesso angolo si possono tracciare le curve isocline per un numero discreto di orientazioni delle direzioni principali 29

30 Il metodo fotoelastico Le curve isocromatiche Nel prototipo birifrangente sotto carico, i punti in cui σ 1 e σ 2 sono uguali determinano velocità di propagazione dei due raggi birifratti identiche, quindi i raggi in uscita sono in fase e si ricombinano per generare lo stesso raggio polarizzato entrante, il quale viene annullato dall analizzatore (ortogonale al polarizzatore). Il punto sul campo visivo appare quindi scuro e la curva che unisce tali punti è detta isocromatica di ordine zero. 30

31 Il metodo fotoelastico Le curve isocromatiche Se le tensioni σ 1 e σ 2 sono diverse, i raggi ordinario e straordinario hanno velocità diverse, per cui all uscita dal corpo comparirà un ritardo di fase proporzionale ad nπ, essendo n un numero proporzionale alla differenza delle tensioni principali (σ 1 - σ 2 ) Le isocromatiche sono il luogo dei punti in cui la differenza fra le tensioni principali è costante In luce bianca, tali curve hanno colore diverso; in luce monocromatica sono tutte nere Tali curve non sono modificate dalla rotazione di polarizzatore e analizzatore 31

32 Il metodo fotoelastico Le curve isocromatiche 32

33 Il metodo fotoelastico Le curve isocromatiche 33

34 Il metodo fotoelastico La separazione delle isocline e isocromatiche I fenomeni ottici che originano le curve isocline e le frange isocromatiche sono contemporaneamente presenti, per cui le curve sono sovrapposte Occorre quindi predisporre un metodo per evitare la sovrapposizione Si utilizzano le lamine a quarto d onda λ/4 Le lamine a quarto d onda sono lamine realizzate in materiale birifrangente aventi uno spessore tale da introdurre uno sfasamento pari a ¼ della lunghezza d onda della luce incidente tra il raggio ordinario e quello straordinario 34

35 Il metodo fotoelastico La separazione delle isocline e isocromatiche Quando una luce polarizzata attraversa una lamina a quarto d onda λ/4 si possono verificare vari fenomeni a seconda dell inclinazione della lamina rispetto alla direzione di polarizzazione Se l asse della lamina coincide con la direzione di polarizzazione, l intensità del raggio polarizzato rimane immutato ma sfasato di λ/4 35

36 Il metodo fotoelastico La separazione delle isocline e isocromatiche Se l asse della lamina è inclinata di un angolo α rispetto alla direzione di polarizzazione, il raggio polarizzato viene scomposto in due raggi perpendicolari, corrispondenti allo sfasamento di λ/4, che combinandosi danno luogo alla polarizzazione ellittica 36

37 Il metodo fotoelastico La separazione delle isocline e isocromatiche Se l asse della lamina è inclinata di un angolo α = 45 rispetto alla direzione di polarizzazione, il raggio polarizzato viene scomposto in due raggi perpendicolari, corrispondenti allo sfasamento di λ/4, di uguale intensità che combinandosi danno luogo alla polarizzazione circolare 37

38 Il metodo fotoelastico La separazione delle isocline e isocromatiche Infine se un raggio con polarizzazione circolare incide su una lamina inclinata inclinata di un angolo α = -45 rispetto alla direzione di polarizzazione, il raggio polarizzato circolarmente viene ricomposto nel raggio polarizzato originale 38

39 Il metodo fotoelastico La separazione delle isocline e isocromatiche Sfruttando le proprietà delle lamine a quarto d onda si ottiene il banco fotoelastico completo 39

40 Il metodo fotoelastico La separazione delle isocline e isocromatiche Quando sul provino di materiale fotoelastico incide una luce polarizzata circolarmente, le curve isocline scompaiono perché varia continuamente la direzione di polarizzazione, mentre le curve isocromatiche sono immutate e quindi visibili 40

41 Il metodo fotoelastico La separazione delle isocline e isocromatiche Per far riapparire le isocline basta rimuovere le lamine a quarto d onda e si riottengono entrambe le famiglie di curve A carico basso le isocromatiche sono poco visibili mentre le isocline sono indipendenti dal valore carico e sono più marcate 41

42 Polarizzazione della luce e fotoelasticità La fotoelasticità Si può dimostrare che l intensità I del campo emergente da un polarizzatore circolare ad assi incrociati è dato da: = sin L intensità I dipenderà esclusivamente dal ritardo di fase δ e quindi saranno visibili esclusivamente le frange isocromatiche sin = 0 = 42

43 Il metodo fotoelastico La relazione fondamentale della fotoelasticità La relazione fondamentale della fotoelasticità lega la differenza tra le tensioni principali all ordine di frangia tramite una costante di proporzionalità che dipende dal materiale fotoelastico, attraverso la costante fotoelastica F, e dallo spessore del provino s = Per migliorare la precisione della misura è importante che F sia la più grande possibile e lo spessore piccolo 43

44 Il metodo fotoelastico La relazione fondamentale della fotoelasticità Il primo materiale fotoelastico fu il vetro (1900); si ottengono poche frange isocromatiche ed è difficile da usare. Coker (1920) utilizzò la celluloide (sensibilità 5 volte maggiore e facilmente lavorabile). Arakawa (1930) utilizzò la bakelite; utilizzò anche i moderni fogli polaroid che producevano fasci polarizzati molto larghi (20-30 cm) per modelli complessi. Oggi si usano le resine epossidiche ed il policarbonato, che producono alta efficienza fotoelastica, basso costo, possibilità di modellare parti complesse e di applicare la fotoelasticità 3D per congelamento delle tensioni. 44

45 Il metodo fotoelastico Soluzioni costruttive dei banchi fotoelastici Oggi si usano 3 tipi di banco fotoelastico : A luce diffusa A luce parallela o convergente A luce riflessa. Il banco a luce diffusa è il più semplice, economico e pratico. Il banco a luce parallela è più preciso ed adatto a lavori di ricerca particolarmente spinta; è anche il più costoso e complesso, in quanto usa delle ottiche molto elaborate. I banchi per riflessione sono più semplici ed adatti ad analisi fotoelastiche all aperto, cioè in situ. La precisione e l accuratezza sono però di ordine inferiore. 45

46 Il metodo fotoelastico Soluzioni costruttive dei banchi fotoelastici Confronto fra banchi elastici a luce diffusa e a luce parallela 46

47 Il metodo fotoelastico Soluzioni costruttive dei banchi fotoelastici Banco elastico a riflessione 47

48 Il metodo fotoelastico Caratteristiche dei banchi a luce diffusa Nei banchi a luce diffusa si usa un vetro diffusore opalino a valle di una o più lampade commerciali ad incandescenza per la luce bianca e di lampade al sodio per la luce monocromatica (λ = 589 nm) Si possono osservare grosse fette di modello fotoelastico (campo di analisi vasto) ed è possibile fotografare il campo delle curve con un obiettivo speciale posto a valle. Esiste un sistema di rotazione sincrona dei vari elementi collegati rigidamente (P-L). L analizzatore può invece esser ruotato separatamente per «compensare» l ordine frazionario delle frange. Gli inconvenienti sono : Raggi luminosi inclinati rispetto all asse di osservazione (effetto cono); i bordi del provino risultano cioè sfocati. 48 Bassa luminosità, dovuta alla dispersione e alla larghezza del fascio.

49 Il metodo fotoelastico Caratteristiche dei banchi a luce parallela Nei banchi a luce parallela la sorgente luminosa bianca di tipo cinematografico è puntiforme e molto luminosa; per la luce monocromatica si usano lampade a vapori di mercurio, nelle quali è necessario un filtro termico per disperdere il calore e filtrare la lunghezza d onda giusta (λ = nm). Il raggio luminoso è collimato e parallelo; si evitano le distorsioni di bordo. Il campo ottico è limitato a 20 cm, dato che diametri maggiori comporterebbero lenti costosissime. Gli inconvenienti sono: Il banco è più costoso e sensibile a movimenti ed umidità. L utilizzo è più complesso. 49

50 Il metodo fotoelastico Tracciamento delle isocline Il tracciamento delle isocline viene condotto utilizzando il polariscopio nella configurazione con campo scuro (polarizzatore e analizzatore ortogonali) a luce bianca. In questa configurazione si ha che: Il campo iniziale è scuro Caricando il modello si ottiene un pattern di frange colorate variabili con il carico (isocromatiche) Alcune bande scure permangono fisse con il carico (isocline); Ruotando polarizzatore e analizzatore insieme, le frange colorate non variano (isocromatiche) mentre le frange scure si modificano (isocline rilevabili in modo chiaro). 50

51 Il metodo fotoelastico Tracciamento delle isocline Si segnano su un foglio trasparente delle linee nere in corrispondenza della frangia isoclina considerata. L operazione si ripete di 10 in 10 fino ad una rotazione complessiva di 90, in modo da esplorare tutta la famiglia di isocline. A questo punto, sempre con riferimento alle isocline, si tracciano le due famiglie ortogonali delle isostatiche su tutto il modello. Si verifica che: I bordi liberi del modello sono delle isostatiche; I punti di applicazione del carico sono punti singolari di tipo attrattivo, dove convergono tutte le isocline e le isostatiche di una stessa famiglia; Ripetendo l operazione tra 90 e 180 le curve si ripetono. 51

52 Il metodo fotoelastico Tracciamento delle isocromatiche Il tracciamento delle isocromatiche viene condotto utilizzando il polariscopio nella configurazione a polarizzazione circolare con campo scuro (polarizzatore e analizzatore ortogonali) a luce monocromatica. In questa configurazione si ha che: Caricando ulteriormente il modello ed inserendo i ¼ d onda, si generano delle frange grigie mobili con il carico; una di queste è fissa ed indica l ordine zero, in cui σ 1 = σ 2 Le isocline sono assenti Le isocromatiche sono perfettamente distinguibili e si possono calcolare gli ordini di frangia frazionari Ruotando il polarizzatore e l analizzatore non si verificano cambiamenti. 52

53 Il metodo fotoelastico Tracciamento delle isocromatiche Si inseriscono i ¼ d onda (che eliminano le isocline). In luce bianca si individuano i punti di zero (frange nere), che al contorno del modello segnalano le zone scariche, mentre all interno segnalano punti isotropici (σ 1 = σ 2 ). Sono queste le frange di ordine 0. Aumentando il carico lentamente, compaiono le frange successive colorate che vengono numerate (0,1,2,3 in campo scuro; 0.5,1.5,2.5,3.5. In campo chiaro). I vari colori tendono a confondersi al crescere dell ordine, dando frange di un grigio indefinito; si passa quindi alla luce monocromatica. Le frange vengono individuate più facilmente su tutto il modello. 53

54 Il metodo fotoelastico Tracciamento delle isocromatiche Nota la costante di frangia F (funzione della lunghezza d onda), si calcola la differenza delle tensione principali = Al bordo del modello una delle due tensioni è nulla e l altra è tangente al contorno e può quindi essere valutata a meno del segno (rilevabile, conoscendo il tipo di carico) 54

55 Il metodo fotoelastico Valutazione dell ordine di frangia frazionario Sui polariscopi a luce diffusa e parallela si utilizza il compensatore di Tardy, che non richiede equipaggiamento supplementare. Partendo dalla configurazione con polarizzatore e analizzatore perpendicolari, se si ruota il solo analizzatore si osserva uno spostamento continuo delle frange isocromatiche Una volta identificato il punto di misura si ruota l analizzatore in modo da spostare la frangia n oppure n+1 (quella più vicina) fino a farla coincidere con il punto di misura. Si provoca uno spostamento apparente delle isocromatiche, senza variare il carico. 55

56 Il metodo fotoelastico Valutazione dell ordine di frangia frazionario Noto quindi l angolo di rotazione imposto α, si calcola l ordine frazionario o f : = ± 180 Poiché si distinguono facilmente sull analizzatore rotazioni di 1, la sensibilità del metodo permetterebbe la precisione di 1/180 ordine di frangia. Nella pratica però, le frange isocromatiche non sono perfettamente nitide e nette (hanno un certo spessore) ed è difficile cogliere con esattezza il punto di passaggio; inoltre spesso le isocromatiche sono molto vicine tra loro e piccole rotazioni provocano spostamenti eccessivi. La precisione si riduce, in pratica, ad 1/25. 56