Simulazione di II prova: Fisica

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1 Liceo Scientifico Paritario R. Bruni Padova, loc. Ponte di Brenta, 05/12/2016 Simulazione di II prova: Fisica Classe V sez. A Soluzione Problemi. Risolvi uno dei due problemi: 1. Un dispositivo realizzato in laboratorio è costituito da un magnete che genera un campo magnetico costante e uniforme! B e da un avvolgimento rettangolare di N spire di filo di rame. Il rettangolo ha dimensione L nella direzione dell asse di rotazione ed h nella direzione perpendicolare (vedi Figura 1). L avvolgimento ruota, con attrito trascurabile, immerso completamente nel campo! B. Inizialmente, tramite una forza esterna, viene messo in rotazione l avvolgimento il quale ha le sue estremità aperte in modo che non circoli corrente. Si osserva che non occorre alcun momento della forza! τ per far ruotare l avvolgimento. Se invece si collega ai due estremi dell avvolgimento un resistore di resistenza R, la corrente comincia a circolare ed è necessario un momento torcente per mantenere in rotazione l avvolgimento con una velocità angolare ω. N h B τ S L i R Figura 1. i. Spiega il fenomeno fisico che sta alla base del funzionamento del dispositivo e chiarisci perché a circuito aperto non c è momento torcente mentre a circuito chiuso sì. 1 di 12

2 ii. Determina il momento torcente dell avvolgimento, in funzione dei parametri dati! dal testo ( B, N, L, h, R ed ω ). Una volta fatto vedere il legame che c è tra il modulo del momento torcente e l intensità di corrente che scorre attraverso il resistore, deduci se la potenza meccanica è integralmente trasformata in potenza elettrica P. iii. Determina il valore del momento torcente medio τ, assumendo B = 0,10 T, N = 200 spire, L = 25 cm, h = 12 cm, R = 15Ω ed ω = 300 rad s. iv. Rappresenta la situazione nel grafico P-t e interpreta fisicamente l area racchiusa tra l asse t e il grafico di P t ( ) in un generico intervallo di tempo. Risoluzione. [tratto da La fisica di tutti i giorni vol. 5 di C. Romeni, Esempio 30 pag. 1277] i. Spiega il fenomeno fisico che sta alla base del funzionamento del dispositivo e chiarisci perché a circuito aperto non c è momento torcente mentre a circuito chiuso sì. Il fenomeno fisico interessato è il fenomeno dell induzione elettromagnetica scoperto dal fisico britannico Sir M. Faraday nel 1832 (e, contemporaneamente negli Stati Uniti, da J. Henry). Considero un circuito chiuso, per esempio una spira, immerso in un campo magnetico. Se il flusso del campo magnetico attraverso la superficie del circuito varia nel tempo, sul circuito stesso si genera una fem, chiamata fem indotta. In formule: fem( t) = N Δφ B Δt Una variazione di flusso del campo magnetico attraverso una spira può avvenire variando il campo magnetico! B o variando l angolo ϑ che la normale alla superficie S (che immagino piana) forma con il vettore! B o variando le dimensioni della spira stessa. In effetti, φ B =! B ˆn S = B Scosϑ. Se il circuito rimane aperto allora non circola corrente. Ne consegue che non agirà nessuna forza sui lati dell avvolgimento, visto che un filo immerso in un campo magnetico subisce! una forza (magnetica) solo se percorso da corrente ( F = I!L B!, dove L! è un vettore di modulo L, con la stessa direzione del filo e verso quello della corrente indotta). Ne consegue che non potrà esserci nemmeno momento torcente poiché! τ =! r! F (dove r rappresenta il braccio della forza). Se il circuito è chiuso allora la fem indotta, spostando gli elettroni liberi presenti nel materiale, produce una corrente indotta. Tale corrente indotta, in accordo con la Legge di Faraday-Lenz, ha verso tale da generare un campo magnetico che si oppone alla variazione del 2 di 12

3 flusso che ha generato tale corrente. In formule, I( t)= N Δφ B. Ne consegue che sui lati R Δt della spira di lunghezza L agirà una coppia di forze il cui momento torcente complessivo sarà! τ = 2!h 2! F =! h! F, dove il braccio! h 2 ha modulo h 2, direzione perpendicolare al versore ˆn normale e all avvolgimento e verso che va dal centro dell avvolgimento verso l esterno. ii. Determina il momento torcente dell avvolgimento, in funzione dei parametri dati dal testo ( B, N, L, h, R ed ω ). Una volta fatto vedere il le-! game che c è tra il modulo del momento torcente e l intensità di corrente che scorre attraverso il resistore, deduci se la potenza meccanica è integralmente trasformata in potenza elettrica P. In riferimento alla figura e per quanto detto al punto precedente, determino direzione e verso del momento torcente. Determino il modulo del momento torcente: la forza che agisce su ogni lato di lunghezza L di ognuno degli N avvolgimenti è pari a F( t)= I( t)lb, dove I( t)= N Δφ B. La bobina R Δt ruota a velocità angolare costante ω = ϑ t, per cui in ogni singola spira il flusso varia nel tempo secondo la legge φ B = BLhcos ϑ( t) = BLhcos( ωt). Quindi, passando alla forma differenziale: I( t)= N Δφ B R Δt 1 dφ B R dt = N R BLh d cos( ωt) = NBLhω sin( ωt). (1) dt R Posso finalmente dedurre l espressione della forza totale agente su tutte le spire dell avvolgimento: F T ( t)= NF( t)= NI( t)lb = N 2 B 2 L 2 hω sin( ωt). R Infine il modulo del momento torcente sarà: τ( t)= F T ( t) h sin ϑ t ( ) τ( t)= ω NBLhsin ωt R ( ) 2, (2) ( )2 Ovvero τ( t)= τ 0 sin 2 ( ωt), dove τ 0 = ω NBLh R rappresenta il momento torcente massimo. 3 di 12

4 La potenza meccanica è integralmente trasformata in potenza elettrica (dissipata dal resistore) visto che gli attriti sono trascurabili per ipotesi. Si osserva anche che 2 τ( t)= R NBLhω sin( ωt) ω R (1) con la relazione (2)). Il secondo membro rappresenta chiaramente la potenza dissipata dal resistore, mentre il primo rappresenta la potenza meccanica generata (in effetti ω τ( t) rad s N m = N m s = J s = W ). τ( t)= R ω I 2 ( t) ω τ( t)= RI 2 ( t) (basta confrontare la relazione Poiché iii. Determina il valore del momento torcente medio τ, assumendo B = 0,10 T, N = 200 spire, L = 25 cm, h = 12 cm, R = 15Ω ed ω = 300 rad s. τ( t)= τ 0 sin 2 ( ωt), il valore medio del momento torcente sarà ( )2 τ = τ 0 2 = ω NBLh = 3,6 N m (basta fare un analogia con la potenza media dissipata in un 2R circuito a CA puramente resistivo). iv. Rappresenta la situazione nel grafico P-t e interpreta fisicamente l area racchiusa tra l asse t e il grafico di P t in un generico intervallo di tempo. L espressione analitica della funzione potenza è P( t)= ωτ 0 sin 2 ( ωt) P( t)= 2, sin 2 ( 3, t), ovvero una funzione di periodo π ( 3, )= 1, s. Il suo grafico è il seguente: ( ) L area evidenziata in rosso è quella da considerare: essa rappresenta il prodotto tra una potenza e un tempo, ovvero l energia erogata dall alternatore in un periodo. 4 di 12

5 2. In medicina viene utilizzata una sorgente luminosa puntiforme di 120 W per produrre una radiazione luminosa isotropa non polarizzata per analizzare l occhio umano. Un fascio luce incide perpendicolarmente sulla pupilla (di diametro pari a 5,0 mm ) di un paziente con intensità media pari a 24 mw cm 2. i. Determina a quale distanza si trova la sorgente rispetto alla pupilla. Sai che per l occhio umano c è un intensità limite sopra la quale si possono creare danni permanenti alla retina. Consulti le tabelle in rete e trovi che a intensità superiori ai 10mW cm 2 l occhio umano non riesce a tollerare l energia irradiata; l intensità utilizzata è quindi troppo elevata. Ci sono tanti modi per diminuire l intensità luminosa; decidi di utilizzare un filtro polarizzatore verticale a copertura della sorgente e, non essendo questo sufficiente, fai utilizzare delle lenti polarizzate al paziente. ii. iii. iv. Determina i possibili angoli ϑ per i quali l intensità luminosa media I è tollerabile per l occhio umano. Rappresenta la situazione nel grafico I - ϑ e interpreta fisicamente il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di I ϑ ( ). Determina i valori del campo elettrico efficace E eff e del campo magnetico efficace B eff della radiazione luminosa prima che attraversi le lenti polarizzate. Determina infine le componenti di!! E eff e B eff dopo le lenti polarizzate, assumendo che la radiazione si propaghi lungo l asse positivo delle y e il valore dell angolo è relativo alla massima intensità tollerabile. [inventato] Risoluzione. DATI P = 120 W d = 5, m I = 24mW cm 2 = W 10 4 m = 2, W m 2 I MAX = 1, W m 2 RICHIESTE i. Determina a quale distanza si trova la sorgente rispetto alla pupilla. Poiché l intensità irradiata è uguale in tutti i punti del fronte d onda (che suppongo sferico visto che la sorgente è puntiforme), ottengo che I = P 4πr 2 r = 1 2 P πi = 2, m = 20 cm 5 di 12

6 ii. Determina i possibili angoli ϑ per i quali l intensità luminosa media I è tollerabile per l occhio umano. La situazione è rappresentata nella figura che segue, dove il filtro analizzatore rappresenta le lenti polarizzate degli occhiali. La luce, inizialmente di intensità I = 2, W m 2, viene ridotta della metà dal filtro polarizzatore: I P = I 2 = 1, W m 2 > I MAX. Poiché ancora il valore dell intensità supera quello massimo tollerabile dall occhio umano, si utilizza un filtro analizzatore per ridurre l intensità a I A = 1, cos 2 ϑ W m 2 (Legge di Malus). L angolo ϑ assume valori compresi tra i 90 e i 90, con verso positivo di rotazione che impongo essere antiorario visto da un osservatore posto nel rilevatore (occhio umano). Devo imporre che I A I MAX 1, cos 2 ϑ 1, cos 2 ϑ 0,83 0,91 cosϑ 0,91 90 ϑ ϑ ϑ 90 o, in radianti, π 2 ϑ 2π 15 2π 15 ϑ π 2. iii. Rappresenta la situazione nel grafico I - ϑ e interpreta fisicamente il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di I ϑ. È richiesto di rappresentare la funzione I ( ϑ)= 1, cos 2 ϑ in un grafico I ϑ, chiaramente nei limiti posti dal problema, ovvero per ϑ π 2 ;π 2 : ( ) 6 di 12

7 Il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione è di che rappresenta dϑ la variazione infinitesima dell intensità al variare dell angolo del filtro analizzatore, ovvero l intensità all istante ϑ. iv. Determina i valori del campo elettrico efficace e del campo magnetico efficace B eff B eff della radiazione luminosa prima che attraversi le lenti polarizzate. Determina!! infine le componenti di E eff e dopo le lenti polarizzate, assumendo che la radiazione si propaghi lungo l asse positivo delle y e il valore dell angolo è relativo alla massima intensità tollerabile. Prima del filtro analizzatore la luce polarizzata è verticale, che assumo tale direzione come asse z (con verso positivo verso l alto). Ne consegue che! E eff = E eff ẑ e, per la regola della mano destra, B! eff = B eff ˆx. Ora, poiché I P = uc = ε 0 E 2 eff c, si ha E eff = I P ( ε 0 c) = 2, V m ; poiché I P = uc = 1 B 2 µ eff c, si ha B eff = µ 0 I P c = 7, T. 0 E eff Quindi! E eff = 0,21ẑ kv m e! B eff = 0,71ˆx µt. Dopo il filtro analizzatore abbiamo due situazioni distinte: ϑ = 2π 15 : o o ϑ = 2π 15 :! E eff = E x eff ˆx + E z eff ẑ, con E eff = I MAX ( ε 0 c) = 1, V m. Quindi E x eff = = E eff sin ϑ = 7, V m e E z eff = E eff cosϑ = 1, V m. Ovvero! E eff = 77 ˆx +170ẑ V m.!! B eff = B x eff ˆx + B z eff ẑ. Poiché E eff = B! eff c!! con c = 3, ŷ m s, ottengo 7, ˆx +1, ẑ = ( B x eff ˆx + B z eff ẑ) 3, ŷ = B z eff ˆx B x eff ẑ. Confrontando il primo e l ultimo membro trovo che B z eff = 7, B z eff = 2, T e B x eff = 1, B x eff = 5, T. Ovvero B! eff = ( 5,7 ˆx + 2,6ẑ) 10 7 T. o Rispetto al caso precedente cambia solamente il verso della componente x, quindi E! eff = 77 ˆx +170ẑ V m. o Rispetto al caso precedente cambia solamente il verso della componente z, quindi B! eff = ( 5,7 ˆx 2,6ẑ) 10 7 T. 7 di 12

8 Questionario. Risolvi due dei quattro quesiti: 1. Considera una corrente alternata di forma triangolare, anziché sinusoidale, come rappresentato in Figura 2. Traccia il relativo grafico P-t, dove P rappresenta la potenza istantanea. Qual è il valore della potenza media, sapendo che attraversa un resistore del valore di 20 Ω? [C. Romeni, La fisica di tutti i giorni vol. 5, 69/1285] 1,5 i (A) 1,0 0,5 t (ms) ,5 1,0 1,5 Risoluzione. Figura 2. Poiché I( t) è lineare a tratti, P( t)= RI 2 ( t) sarà costituita da tratti parabolici. Precisamente: 0,2 t se 0 t < 5 ms I( t)= Quindi ( 1) k 0,2( t 10k) se 5+10k t < 5+10k ms k!\{ 0} P( t)= 0,8 t2 se 0 t < 5 ms 0,8 t 10k se 5+10k t < 5+10k ms k!\{ 0} dove la potenza è espressa in watt e il tempo in millisecondi. Il grafico è il seguente: 8 di 12

9 Per determinare il valore medio della potenza, osservo che l area tra l asse t e il grafico della funzione potenza (quello rosso in figura) è pari a 1 3 dell area del rettangolo di lati T = 10 ms e P 0 = 20 W (basta applicare il Teorema di Archimede al segmento parabolico in questione), quindi P = P 0 3 = 6,7 W. 2. Descrivi brevemente ma in modo esauriente gli esperimenti che ha affrontato Faraday per giungere alla legge sull induzione. Risolvi poi il seguente quesito. Due solenoidi A e B, vuoti al loro interno, sono collegati con un filo, come mostrato in Figura 3. magnete 1 magnete 2 N S solenoide A solenoide B Risoluzione. Figura 3. Due barre magnetizzate, 1 e 2, sono sospese appena sopra i due solenoidi. Se il polo nord del magnete 1 è lasciato cadere verso il solenoide A, simultaneamente il polo sud del magnete 2 sarà i. attratto verso il solenoide B da una forza magnetica. ii. respinto via dal solenoide B da una forza magnetica. iii. attratto verso il solenoide B da una forza elettrica. iv. respinto via dal solenoide B da una forza elettrica. v. non influenzato dalla presenza del solenoide B. Scegli l alternativa corretta, motivando esaurientemente la tua risposta. [OdF 1/ 03] Faraday compì svariati esperimenti per studiare il fenomeno dell induzione elettromagnetica. Tali esperimenti si possono grossomodo catalogare in tre tipologie distinte. Movimento di una spira da una zona dove non è presente un campo magnetico a una zona dove è presente un campo magnetico uniforme e costante perpendicolare alla spira e viceversa: Faraday si accorse che la spira era attraversata da una corrente solamente quando essa entrava o usciva da una zona all altra; se la spira, seppur in movimento, era completamente immersa nel campo magnetico o per nulla immersa, non si presentava nessuna corrente. Faraday dedusse che la corrente si for- 9 di 12

10 mava nel momento in cui c era una variazione della superficie esposta al campo magnetico. Rotazione di una spira immersa in un campo magnetico (costante e uniforme) con asse di rotazione non parallelo alle linee di campo: Faraday notò che al variare dell angolo che la normale alla superficie della spira forma con le linee di campo magnetico si generava su di essa una corrente. Movimento di un magnete nei pressi di una spira: Faraday si accorse che, pur mantenendo la spira immobile, variando il campo magnetico vicino alla spira stessa, su di essa si generava una corrente. Mettendo assieme questi tre risultati e notando che non c erano altri fattori che facessero generare una corrente sulla spira, Faraday dedusse che c è corrente quando c è una variazione del flusso del campo magnetico concatenato alla spira stessa. Se il magnete 1 si avvicina al solenoide A il flusso magnetico concatenato (assumendo come verso positivo quello in basso) aumenta; la variazione di flusso induce una fem (in accordo con la Legge di Faraday) che determina nel circuito un passaggio di corrente; per la Legge di Lenz il verso della corrente è tale da generare un campo magnetico diretto verso l alto. Per come è costruito il doppio avvolgimento, anche nel solenoide B il campo magnetico generato dalla corrente è rivolto verso l alto e appare quindi al magnete 2 come un polo Nord. Di conseguenza il polo Sud del magnete 2 sarà attratto verso il solenoide B da una forza di natura magnetica. Ne consegue che la risposta corretta è la i. 3. Vuoi alimentare con la tensione alternata di rete a 220 V una lampadina da 60 W che però funziona con un voltaggio massimo di 110 V. Non disponendo di un trasformatore si può utilizzare un induttanza di resistenza trascurabile da collegare alla lampadina. Sapendo che la frequenza di rete è 50 Hz: i. Collegherai l induttanza in serie o in parallelo alla lampadina? Giustifica la tua risposta. ii. Calcola il valore che deve avere l induttanza affinché la lampadina funzioni con la massima efficacia. Risoluzione. DATI V eff = 220V P = 60W V R = 110V ν = 50Hz [C. Romeni, La fisica di tutti i giorni vol. 5, 40/1279] i. La lampadina è un resistore di resistenza R. Se collegassi l induttanza in parallelo, la tensione ai capi dei due dispositivi sarebbe di 220 V, ovvero non ridurrei la tensione ai capi della lampadina. Necessariamente quindi collegherò l induttanza in serie. 10 di 12

11 ii. Devo quindi analizzare un classico circuito LR in regime alternato. La caduta di tensione ai capi della lampadina dev essere di 110 V. Ne consegue che la ddp ai capi dell induttanza sarà anch essa di 110 V. Ma V L = X L I eff, dove X L = ωl = 2πνL = 100πL e I eff = V eff Z, con Z = R 2 + ( ωl) 2. So anche che P = RI 2 2 eff P = RV eff Z 2. Considero il seguente sistema: V L = ( ωl)v eff Z P = RV 2 eff Z 2 V 2 L = ( ωl)2 2 V eff Z 2 P = RV 2 eff Z 2 V 2 L = ( ωl)2 2 V eff R 2 + ωl P = RV 2 eff R 2 + ( ωl) 2. Sostituendo i valori noti, il sistema diventa = πL R πL R 60 = R 2 + ( 100πL) 2 1= 4( 100πL )2 R πL 2420R 3 = R πL R2 = 3 100πL 3 100πL + 3R R = 0 R2 = 3 100πL R 2 605R = 0 Che ha come soluzioni L = 0 L = ± π R = 0 R = 605 ; l unica soluzione accettabile è L = 1,1H. 4. La potenza irradiata dal Sole è 3, W. La Terra orbita attorno al Sole a una distanza media di 1, km, con asse inclinato di 23 rispetto al piano dell orbita (Figura 4). Stima la potenza e la pressione solare sulla faccia di una persona che si trova a Padova (latitudine di circa 45 nord), motivando le eventuali ipotesi semplificative attuate. [inventato] di 12

12 Risoluzione. Ipotesi semplificative: Figura 4. considero la velocità della luce in aria pari a quella nel vuoto. considero la faccia della persona in oggetto come una superficie piana di dimensioni di S = cm 2 = 4, m 2. considero la persona sdraiata, così la normale alla superficie forma un angolo con la direzione di propagazione dell onda pari a ϑ = = 22. L intensità irradiata sulla faccia è I = P 4πr sin 2 ( 90 ϑ)= P ( 2 4πr 2 cos2 ϑ)= 1,2 kw m 2, quindi la potenza luminosa che colpisce la faccia considerata è P faccia = I S = 47 W. La pressione di radiazione è P r = F S = F cosϑ = I cosϑ = 4,3 Pa. S c NOTE: i. È ammesso l uso del calcolatore elettronico o di tavole numeriche; ii. Punteggio massimo 15 p.ti. Per la sufficienza è necessario raggiungere il punteggio di 10 p.ti. 12 di 12