Il vertice, nella geometria piana è: il punto di incontro di due lati di

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1 GEOMETRIA PIANA

2 IL VERTICE Il vertice, nella geometria piana è: il punto di incontro di due lati di un poligono (triangolo, quadrilatero, ecc). il punto di incontro di due semirette, che formano un angolo (vertice dell'angolo);

3 L ANGOLO Prendiamo DUE SEMIRETTE a e b che abbiano la stessa STESSA ORIGINEO, che non siano appartenenti alla stessa retta e che giacciano su uno STESSO PIANO. Possiamo notare che le due semirette dividono il piano in due parti (colorate con tonalità diverse). Ognuna di queste due parti, nelle quali risulta diviso il piano, prende il nome di ANGOLO. Quindi possiamo dire che l'angolo è la PARTE DI PIANO LIMITATA da DUE SEMIRETTE aventi la STESSA ORIGINE. Le due SEMIRETTE a ebrappresentano i due LATI dell'angolo. Le due SEMIRETTE a ebrappresentano i due LATI dell'angolo. L'ORIGINE delle due SEMIRETTE, O, è il VERTICE dell'angolo. La PARTE DI PIANO contenute nell'angolo è detta AMPIEZZA DELL'ANGOLO. Per indicare l'angolo che abbiamo disegnato si indica: prima la letteraache indica una semiretta; poi la letteraoche indica il vertice. Il vertice viene contraddistinto da un accento circonflesso Ô; poi la lettera b che indica l'altra semiretta. Il nostro angolo si scriverà: aôb.

4 ANGOLO PIATTO GIRO - NULLO Disegniamo un angolo i cui lati siano due semirette opposte. L'angolo così formato: aôb prende il nome di ANGOLO PIATTO. L angolo piatto non è né un ANGOLO CONCAVO, né un ANGOLO CONVESSO. L'ANGOLO PIATTO misura 180. Ora disegniamo un angolo i cui lati coincidono: (si legge la linea a coincide con la linea b) L'angolo così formato: aôb prende il nome di ANGOLO GIRO. L'ANGOLO GIRO misura 360. Quindi possiamo dire che l'angolo GIRO è DOPPIO dell'angolo PIATTO o anche che l'angolo PIATTO è la META' dell'angolo GIRO Notiamo che l angolo giro è un angolo concavo. Infatti, esso contiene i prolungamenti dei suoi lati. L angolo convesso in questo caso è l'angolo NULLO che non contiene i prolungamenti dei suoi lati: L'ANGOLO NULLO misura 0.

5 ANGOLI CONSECUTIVI ADIACENTI Abbiamo disegnato due angoli: l'angolo aôb; l'angolo bôc. Osserviamo che i due angoli hanno lo stesso vertice O e che uno dei lati (il lato b) è comune ad entrambi gli angoli, mentre gli altri due lati (a e c) si trovano dalla parte opposta rispetto al lato comune (b). I due ANGOLI si dicono CONSECUTIVI. Anche in questo caso abbiamo disegnato due angoli: l'angolo dôe; l'angolo eôf. Osserviamo che i due angoli hanno lo stesso vertice O, che uno dei lati (il lato e) è comune ad entrambi gli angoli, mentre gli altri due lati (d e f) si trovano dalla parte opposta rispetto al lato comune (e). Quindi anche questi due ANGOLI sono CONSECUTIVI. Però notiamo anche che i due lati non comuni (d e f) APPARTENGONO AD UNA STESSA RETTA. In questo caso i due ANGOLI si dicono ADIACENTI.

6 ANGOLI CONCAVI CONVESSI Le due semiretteaebformano due angoli, uno evidenziato con il colore ARANCIO e l'altro con il colore MARRONE. Ora ci concentriamo su quest'ultimo angolo, quello indicato nella figura in MARRONE. Disegniamo i prolungamenti dei lati dell'angolo, ovvero i PROLUNGAMENTI diaebe chiamiamo tali prolungamenti a' eb. Osserviamo che le semirettea' eb' sono contenute nell'angolo disegnato. Per questa ragione tale angolo si dice CONCAVO. Quindi possiamo affermare che: Un angolo si dice CONCAVO quando contiene i prolungamenti dei suoi lati. In caso contrario si dice CONVESSO.

7 ANGOLI COMPLEMENTARI, SUPPLEMENTARI, ESPLEMENTARI Consideriamo due angoli, l'angolo Alfa e l'angolo Beta. Come possiamo osservare la SOMMA dei due angoli dati è un ANGOLO RETTO. I due angoli Alfa e Beta si dicono, in questo caso, ANGOLI COMPLEMENTARI. Consideriamo ora i seguenti angoli. Come possiamo osservare la SOMMA dei due angoli è un ANGOLO PIATTO. I due angoli Alfa e Beta si dicono, in questo caso, ANGOLI SUPPLEMENTARI. Infine consideriamo i seguenti angoli. Come possiamo osservare la SOMMA dei due angoli è un ANGOLO GIRO. I due angoli Alfa e Beta si dicono, per questa ragione, ANGOLI ESPLEMENTARI.

8 Poiché l'angolo RETTO è la metà di un ANGOLO PIATTO e quest'ultimo è, a sua volta, la metà dell'angolo GIRO, è evidente che l'angolo RETTO è la QUARTA PARTEdell'ANGOLO GIRO. Un angolo MINORE dell'angolo RETTO si dice ANGOLO ACUTO Un angolo MAGGIORE dell'angolo RETTO si dice ANGOLO OTTUSO

9 BISETTRICE DI UN ANGOLO la BISETTRICE DI UN ANGOLO è la SEMIRETTA che ha per ORIGINE il VERTICE dell'angolo e che divide l'angolo in DUE PARTI UGUALI.

10 IL POLIGONO In geometria un poligono è una figura geometrica piana delimitata da una linea spezzata chiusa. I segmenti che compongono la spezzata chiusa si dicono lati del poligono e i punti in comune a due lati consecutivi si dicono vertici del poligono.

11 Una prima classificazione di un POLIGONO riguarda il suo numero di lati 3 Triangolo 4 Quadrilatero 5 Pentagono 6 Esagono 7 Ettagono 8 Ottagono 9 Ennagono 10 Decagono 11 Endecagono 12 Dodecagono 13 Tridecagono 14 Tetradecagono 15 Pentadecagono 16 Esadecagono 17 Eptadecagono 18 Ottadecagono 19 Ennadecagono 20 Icosagono 21 Endeicosagono 22 Doicosagono 23 Triaicosagono 24 Tetraicosagono 25 Pentaicosagono 26 Esaicosagono 30 Triacontagono 50 Pentacontagono gono Chiliagono Miriagono gono

12 POLIGONO SEMPLICE - COMPLESSO Un poligono è: semplice se i lati del poligono non si intersecano. complesso (o intrecciato) se non è semplice.

13 POLIGONO CONVESSO - CONCAVO Disegniamo due POLIGONI: il poligono ABCDE e il poligono FGHIL. Entrambi i poligono disegnati hanno 5 lati, quindi entrambi sono dei PENTAGONI. Eppure è molto evidente che i due poligoni sono profondamente diversi l'uno dall'altro. Esaminiamo il primo poligono ABCDE: Come possiamo notare, disegnando i PROLUNGAMENTI di tutti i LATI del poligono, essi sono TUTTI ESTERNI al poligono stesso. In questo caso il POLIGONO si dice CONVESSO. Ora esaminiamo il secondo poligono FGHIL: Come possiamo notare, disegnando i PROLUNGAMENTI di tutti i LATI del poligono, alcuni sono ESTERNI al poligono stesso, mentre altri sono INTERNI. In questo caso il POLIGONO si dice CONCAVO. Ricapitolando: 1. se il PROLUNGAMENTO di TUTTI i LATI sono ESTERNI al poligono, esso si dice CONVESSO (ogni angolo interno è minore o uguale a un angolo piatto); 2. se il PROLUNGAMENTO di QUALCHE LATO è INTERNO al poligono, esso si dice CONCAVO (anche un solo angolo interno è maggiore di 180 ). Quando non è diversamente indicato si fa riferimento a poligoni convessi.

14 SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN POLIGONO Generalizzando, se indichiamo con n il numero di lati di un poligono (e dunque anche il numero di angoli) la SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI è pari a: S I = (n-2) x 180

15 DIAGONALE DI UN POLIGONO Consideriamo il POLIGONO ABCDE. Ora prendiamo il VERTICEBe scegliamo un altro VERTICE del poligono, uno qualsiasi, purché NON CONSECUTIVO. Ricordiamo che due vertici si dicono consecutivi quando APPARTENGONO AD UNO STESSO LATO. Quindi, nel nostro esempio, possiamo scegliere qualsiasi altro vertice ad eccezione diaec. Scegliamo, ad esempio, il vertice E: Quindi disegniamo il SEGMENTO che unisce i PUNTIBedE. Quella che abbiamo disegnato si chiama DIAGONALE del poligono. Ovviamente possiamo fare la stessa cosa con ciascun vertice e i suoi vertici non consecutivi. Abbiamo così disegnato tutte le diagonali del nostro poligono. Generalizzando possiamo affermare che si dice DIAGONALE di un poligono, ogni SEGMENTO che UNISCE DUE dei suoi VERTICI NON CONSECUTIVI.

16 POLIGONO TRIANGOLO: NUMERO DIAGONALI NESSUNA DIAGONALE QUADRILATERO: DUE DIAGONALI PENTAGONO: CINQUE DIAGONALI ESAGONO: NOVE DIAGONALI OTTAGONO: VENTI DIAGONALI

17 I TRIANGOLI (LATI) I TRIANGOLI possono essere classificati secondo i LATI e secondo gli ANGOLI. Secondo i LATI i triangoli possono essere classificati in: TRIANGOLO EQUILATERO Il triangolo con tutti e TRE LATI CONGRUENTI, cioè aventi la stessa lunghezza, si dice EQUILATERO. TRIANGOLO ISOSCELE Il triangolo con DUE LATI CONGRUENTI, cioè aventi la stessa lunghezza, si dice ISOSCELE. TRIANGOLO SCALENO Il triangolo che ha TRE LATI DISUGUALI, cioè aventi tutti diversa lunghezza, si dice SCALENO.

18 TRIANGOLI (ANGOLI) Secondo gli ANGOLI i triangoli possono essere classificati in: TRIANGOLO RETTANGOLO Il triangolo che ha un ANGOLO RETTO si dice TRIANGOLO RETTANGOLO. TRIANGOLO ACUTANGOLO Il triangolo con tutti e TRE gli ANGOLI ACUTI si dice TRIANGOLO ACUTANGOLO. TRIANGOLO OTTUSANGOLO Il triangolo che ha un ANGOLO OTTUSO si dice TRIANGOLO OTTUSANGOLO.

19 CARATTERISTICHE DEI TRIANGOLI Essendo il TRIANGOLO un POLIGONO valgono, per esso, tutte le caratteristiche proprie dei poligoni. Come sappiamo in un qualsiasi POLIGONO, OGNI LATO è sempre MINORE rispetto alla SOMMA di TUTTI GLI ALTRI LATI. Per i TRIANGOLI, essendo i lati solamente tre, potremo dire che OGNI LATO è sempre MINORE della SOMMA DEGLI ALTRI DUE. Inoltre OGNI LATO è sempre MAGGIORE della DIFFERENZA DEGLI ALTRI DUE. Il TRIANGOLO è un POLIGONO che NON HA DIAGONALI. Essendo la DIAGONALE di un poligono, ogni SEGMENTO che UNISCE DUE dei suoi VERTICI NON CONSECUTIVI è evidente che nel triangolo non possiamo disegnarne. La SOMMA degli ANGOLI ESTERNI del TRIANGOLO misura 360. La SOMMA degli ANGOLI INTERNI del TRIANGOLO misura 180.

20 ELEMENTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO Gli ELEMENTI DEL TRIANGOLO sono i LATI e gli ANGOLI. Oltre ad essi, esistono anche altri elementi del triangolo, che prendono il nome di ELEMENTI NOTEVOLI. Gli ELEMENTI NOTEVOLI di un triangolo sono: 1. le ALTEZZE; 2. le MEDIANE; 3. le BISETTRICI; 4. gli ASSI dei tre lati.

21 1 - ALTEZZE DI UN TRIANGOLO Disegniamo il TRIANGOLO ABC: Ora disegniamo il segmento AH che parte dal verticeae interseca, perpendicolarmente, il lato oppostobc: Il segmentoah si dice ALTEZZA del triangolo relativa al latobc. Il puntoh si chiama PIEDE dell'altezza, mentre il latobc è la BASE del triangolo. Quindi possiamo dire che l'altezza di un triangolo rispetto ad un suo lato, che in questo caso prende il nome di BASE, è la DISTANZA di questo LATO dal VERTICE OPPOSTO. Ricordiamo che la DISTANZA di un PUNTO da una RETTA è la LUNGHEZZA DEL SEGMENTO DI PERPENDICOLARE condotta da quel punto alla retta. Poiché il triangolo ha TRE LATI, ognuno di essi può essere considerato come BASE del triangolo. Di conseguenza, per ogni triangolo, possiamo disegnare TRE ALTEZZE, ognuna delle quali unisce perpendicolarmente un lato con il suo vertice opposto:

22 RETTE PERPENDICOLARI Nel piano due rette si dicono perpendicolari, o equivalentemente ortogonali, se si incontrano formando angoli uguali (che si dicono retti).

23 2 - MEDIANE DI UN TRIANGOLO Disegniamo un qualsiasi triangolo ABC: Ora disegniamo il PUNTO MEDIO del lato BC e lo chiamiamo P: Ora congiungiamo il verticeacon il punto mediopdel lato opposto: Quella che abbiamo disegnato prende il nome di MEDIANA e più esattamente essa è la MEDIANA del triangoloabc relativa al lato BC. Possiamo allora dire che una MEDIANA di un triangolo è il SEGMENTO che UNISCE un VERTICE al PUNTO MEDIO DEL LATO OPPOSTO. Poiché il triangolo ha tre lati e tre angoli, noi possiamo costruire tre mediane per ogni triangolo: ognuna di esse unisce un vertice con il punto medio del lato opposto. Notiamo che le tre mediane passano tutte per uno stesso punto detto BARICENTRO che nell'immagine sopra abbiamo indicato con la letterao.

24 3 - BISETTRICI DI UN TRIANGOLO Dallo studio degli ANGOLI abbiamo appreso che si chiama BISETTRICE DI UN ANGOLO la SEMIRETTA che ha per ORIGINE il VERTICE dell'angolo e che divide l'angolo in DUE PARTI UGUALI. Ora disegniamo il triangolo ABC: Quindi disegniamo un segmento che partendo dell'angoloaraggiunga il lato oppostobc, dividendo l'angolo A in due parti aventi la stessa ampiezza: Il segmentoah che abbiamo disegnato prende il nome di BISETTRICE di VERTICEAdel triangolo. Quindi possiamo dire che la BISETTRICE di un triangolo RELATIVA AD UN VERTICE è il SEGMENTO che UNISCE il VERTICE al LATO OPPOSTO DIVIDENDO a META' l'angolo. Ora disegniamo anche la bisettrice del triangolo relativa al verticeb e la bisettrice del triangolo relativa al vertice C: Come possiamo osservare le TRE BISETTRICI si INCONTRANO in un punto detto INCENTRO che nel nostro disegno abbiamo evidenziato con la lettera O.

25 4 - ASSI DI UN TRIANGOLO Disegniamo un qualsiasi triangolo ABC. Ora disegniamo il punto medio del latobc e lo chiamiamop. Ora disegniamo la RETTAp(minuscolo) PERPENDICOLARE abc e PASSANTE per il PUNTOP. La RETTA p che abbiamo disegnato si chiama ASSE del LATOBC. Ora disegniamo anche il punto medio del latoab (R) e il punto medio del latoac (Q) e disegniamo, rispettivamente, la retta perpendicolare adab passante perrche chiamiamore la retta perpendicolare ad AC passante per Q che chiamiamo q. Abbiamo così disegnato gli ASSI dei TRE LATI DEL TRIANGOLO. Quindi possiamo dire che l'asse di un TRIANGOLO relativo ad un lato è la RETTA ad ESSO PERPENDICOLARE passante per il PUNTO MEDIO del lato considerato. Come possiamo notare gli assi del triangolo passano tutti per UNO STESSO PUNTO che chiamiamo CIRCOCENTRO DEL TRIANGOLO e che abbiamo indicato con la lettera O:

26 PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO Nel triangolo ci sono dei punti detti PUNTI NOTEVOLI. Essi sono dei PUNTI nei quali si INTERSECANO gli ELEMENTI NOTEVOLI di un triangolo. I PUNTI NOTEVOLI di un triangolo sono: 1. l'ortocentro; 2. il BARICENTRO; 3. l'incentro; 4. il CIRCOCENTRO.

27 PUNTI NOTEVOLI 1. ORTOCENTRO. Abbiamo appreso che un triangolo ha TRE ALTEZZE. Come possiamo notare le tre altezze si incontrano in un punto che chiamiamoo. Il puntooprende il nome di ORTOCENTRO. Quindi l'ortocentro è il PUNTO in cui si INCONTRANO le ALTEZZE di un triangolo. 2. BARICENTO. Abbiamo visto che le tre mediane di un triangolo passano tutte per uno stesso punto detto BARICENTRO e indicato, nel disegno sottostante, con la letterao. Quindi il BARICENTRO di un triangolo può essere definito come il PUNTO DI INTERSEZIONE delle tre MEDIANE del triangolo. 3. INCENTRO. Abbiamo parlato delle BISETTRICI di un triangolo e abbiamo appreso che si chiama BISETTRICE di un triangolo RELATIVA AD UN VERTICE il SEGMENTO che UNISCE il VERTICE al LATO OPPOSTO DIVIDENDO a META' l'angolo. LE TRE BISETTRICI di un triangolo si INCONTRANO in un punto detto INCENTRO. 4. CIRCOCENTRO. Abbiamo visto che l'asse di un TRIANGOLO relativo ad un lato è la RETTA ad ESSO PERPENDICOLARE passante per il PUNTO MEDIO del lato considerato. Inoltre abbiamo osservato che gli assi del triangolo si incontrano tutti in UNO STESSO PUNTO detto CIRCOCENTRO DEL TRIANGOLO che abbiamo indicato con la lettera O

28 AREA DEL TRIANGOLO Disegniamo su un foglio di carta un qualsiasi TRIANGOLO ABC. Partendo dal vertice C disegniamo la parallela al lato AB. Ora partendo dal vertice B disegniamo la parallela al lato AC. Indichiamo con la letteradil punto di intersezione tra le due rette appena disegnate. La figura che abbiamo ottenuto è quella di un PARALLELOGRAMMA. Ora analizziamo con attenzione il nostro parallelogramma: esso ha la STESSA BASE e la STESSA ALTEZZA del triangoloabc. Quindi possiamo dire che un TRIANGOLO è EQUIVALENTE alla META' di un PARALLELOGRAMMA che ha la STESSA BASE e la STESSA ALTEZZA. Di conseguenza, l'area del TRIANGOLO si ottiene MOLTIPLICANDO la misura della BASE per quella dell'altezza ad essa relativa e DIVIDENDO il prodotto ottenuto PER DUE. La formula, quindi, per calcolare l'area del triangolo è la seguente: A = (b xh)/2 dove A é l'area del triangolo bè la base hè l'altezza.

29 FORMULE INVERSE AREA TRIANGOLO L'AREA DEL TRIANGOLO è uguale alla META' del PRODOTTO della misura della base per la relativa ALTEZZA. In altre parole l'area del triangolo è data da: A = (b xh)/2 dove A = area del triangolo b = base h = altezza. Vediamo, ora, quali sono le formule inverse da applicare nel caso in cui conosciamo l'area e la base e dobbiamo trovare l'altezza oppure conosciamo l'area e l'altezza e dobbiamo trovare la base. Ecco le FORMULE INVERSE: b = (A x2)/ h h = (A x2)/ b.

30 TEOREMA DI PITAGORA Disegniamo su un cartoncino, di spessore costante, un TRIANGOLO RETTANGOLO. Ora, sempre usando lo stesso cartoncino, costruiamo TRE QUADRATI che chiamiamo rispettivamente Q 1, Q 2, Q 3 aventi come LATI rispettivamente l'ipotenusa AB e i due cateti AC e CB. Ora ritagliamo i tre quadrati Q 1, Q 2, Q 3 e li PESIAMO su una bilancia di precisione. Noteremo che il peso complessivo dei due quadrati Q 2 e Q 3 è uguale al PESO del quadrato Q 1. Ma se il peso complessivo di Q 2 e Q 3 è uguale al peso del quadrato Q 1 evidentemente Q 2 e Q 3 insieme hanno la stessa ESTENSIONE di Q 1. Inoltre possiamo verificare che quanto detto è vero per qualsiasi triangolo rettangolo da noi disegnato. Possiamo allora affermare che in OGNI TRIANGOLO RETTANGOLO, il QUADRATO costruito sull'ipotenusa è EQUIVALENTE alla SOMMA dei QUADRATI costruiti sui DUE CATETI. Possiamo, allora enunciare il TEOREMA DI PITAGORA. Esso afferma che in ogni TRIANGOLO RETTANGOLO l'area DEL QUADRATO costruito sull'ipotenusa è UGUALE alla SOMMA delle AREE dei QUADRATI costruiti sui due CATETI. Possiamo allora affermare che la misura dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo si ottiene estraendo la RADICE QUADRATA della SOMMA dei QUADRATI delle misure dei DUE CATETI. essendo i 2 = c 12 + c 22.

31 FORMULA DI ERONE (Calcolare l area conoscendo i lati) Esiste la possibilità di calcolare l'area DEL TRIANGOLO conoscendo la misura dei suoi LATI. In questo caso si applica la seguente formula: dove A = area del triangolo P = perimetro del triangolo a,b,c= lati del triangolo. Questa formula è detta FORMULA di ERONE dal nome del matematico greco, vissuto nel I secolo a.c., che la scoprì come calcolare l'area del triangolo conoscendo la misura dei suoi lati. Tale formula ci dice che l'area di un TRIANGOLO si ottiene estraendo la RADICE QUADRATA del PRODOTTO del suo SEMIPERIMETRO (P/2) per le DIFFERENZE tra ilsemiperimetro e CIASCUNO dei suoi LATI.

32 IL CERCHIO Osserviamo l'immagine. Quella che abbiamo disegnata è una LINEA CURVA CHIUSA. Tale linea ha una particolarità: essa è formata da tutti punti del piano che hanno la stessa distanza da un punto interno alla linea che abbiamo chiamato con la lettera O. La linea che abbiamo disegnato prende il nome di CIRCONFERENZA. Possiamo dire, quindi, che la CIRCONFERENZA è una LINEA CURVA CHIUSA formata dall'insieme dei PUNTI del piano che sono tutti UGUALMENTE DISTANTI da un PUNTO O interno a tale piano. Il punto O è detto CENTRO della circonferenza. I SEGMENTI che UNISCONO il CENTRO con un QUALSIASI PUNTO DELLA CIRCONFERENZA prendono il nome di RAGGI. Indichiamo il raggio di una circonferenza con la lettera r. Quindi r = raggio della circonferenza. E' evidente che, data la definizione di circonferenza, i RAGGI sono tutti UGUALI tra loro. ATTENZIONE!!! Non confondiamo la circonferenza con il cerchio. La circonferenza è una linea, il cerchio è una superficie.

33 CORDE - DIAMETRO Chiamiamo CORDA un SEGMENTO che UNISCE DUE PUNTI QUALSIASI di una CIRCONFERENZA. Nell'immagine sopra abbiamo scelto due punti qualsiasi della circonferenza: il punto A e il punto B. Quindi abbiamo tracciato il segmento che unisce questi due punti: il segmento AB è una CORDA della CIRCONFERENZA. Ora disegniamo la cordamn tale che essa passi per il centroo. La corda che abbiamo disegnato prende il nome di DIAMETRO della CIRCONFERENZA. Quindi diciamo che il DIAMETRO è la CORDA che PASSA per il CENTRO. Essa viene indicata con unadminuscola. E' abbastanza evidente che il DIAMETRO è il DOPPIO del RAGGIO. Quindi d = 2r.

34 CIRCONFERENZA Disegniamo una circonferenza. Ora prendiamo un filo di ferro sottile e, partendo da un punto qualsiasi che chiameremoa, facciamolo aderire perfettamente alla circonferenza fino a raggiungere nuovamente il punto A. Se ora noi raddrizziamo il filo di ferro in modo da ottenere un segmento, che nell'immagine sottostante abbiamo indicato conlm, avremo quella che viene detta CIRCONFERENZA RETTIFICATA. La lunghezza del segmentolm non è altro che la lunghezza della circonferenza data. Ora confrontiamo la misura del diametroab con la lunghezza della circonferenza LM. Notiamo che la lunghezza della circonferenza è poco più del triplo della lunghezza del diametro. Per l'esattezza, se dividiamo la lunghezza della circonferenza per la lunghezza del diametro otteniamo come quoziente il numero3,14 approssimando il calcolo alla seconda cifra decimale. Possiamo ripetere la prova con qualsiasi circonferenza e arriveremo sempre allo stesso risultato.

35 PI GRECO π - CALCOLO CIRCONFERENZA Il valore esatto che otteniamo dividendo la lunghezza della circonferenza per il diametro è3, , cioè un numero non periodico con infinite cifre decimali che viene indicato con il simbolo π che si legge pi greco. Allora, indicando con C la lunghezza della circonferenza r la lunghezza del raggio 2r la lunghezza del diametro possiamo scrivere: C / 2r = 3,14 e quindi: C = 2r * 3,14 oppure C = r * 2π (doveπ = 3,14) In altre parole possiamo dire che la LUNGHEZZA di una CIRCONFERENZA è uguale al PRODOTTO della misura del suo RAGGIO per 2π. Dalla formula precedente possiamo ricavare la formula inversa, ovvero: r = C/ 2π. In altre parole possiamo dire che la MISURA del RAGGIO di una circonferenza si ottiene DIVIDENDO la lunghezza della CIRCONFERENZA per 2π.

36 ESEMPI CIRCONFERENZA Problema 1: Calcolare la lunghezza di una circonferenza che ha il raggio di cm 6. Per risolvere il problema è sufficiente applicare la formula: C = 2π xr dovecèla lunghezza della circonferenzar è la lunghezza del raggio che nel nostro caso misura cm 6π = 3,14. Quindi avremo: C = 2π xr = 2 x3,14 x6 = 37,68 cm. La lunghezza della circonferenza è pari a37,68 cm. Vediamo, ora, come applicare la formula inversa. Problema 2: Calcolare il raggio di una circonferenza che è lunga m 31,40. In questo caso è nota la misura della circonferenza e dobbiamo trovare la misura del raggio. Applichiamo la formula inversa e abbiamo: r = C/ 2π = 31,40/ (2 x3,14) = 31,40/ 6,28 = 5 m. Il raggio della nostra circonferenza è lungo 5 m. Problema 3: Quanti metri ha percorso un corridore se la ruota della sua bicicletta che ha il raggio di 30 cm ha fatto 500 giri? Cominciamo col dire che se la ruota della bici ha fatto 500 giri significa che il corridore ha percorso una distanza pari al numero di giri della ruota per la circonferenza della stessa. Ora noi non conosciamo la circonferenza della ruota, ma sappiamo la misura del raggio, quindi possiamo dire che C = 2π xr = 2 x3,14 x30 = 188,40 cm. Ora possiamo calcolare la lunghezza percorsa, ovvero: 188,40 x 500 = cm. Esprimiamo la misura trovata in metri sapendo che occorrono 100 cm per fare 1 metro: cm = 942 m. Il nostro corridore ha percorso 942 metri.

37 AREA DEL CERCHIO AREA del CERCHIO è uguale a A= (C xr)/ 2 Dove A = Area del cerchio C = Circonferenza r = raggio. Noi però sappiamo che la lunghezza della circonferenza si calcola nel modo seguente: C = 2π xr. Sostituendo questa formula in quella dell'area otteniamo A = (2π x r x r)/ 2. Se in questa formula semplifichiamo il 2 a numeratore e a denominatore e moltiplichiamo, a numeratore,rperr, avremo: A =πxr 2. Possiamo allora affermare che l'area del CERCHIO è data dal PRODOTTO tra il QUADRATO DEL RAGGIO per3,14. Da questa formula otteniamo anche la formula inversa che ci permette di calcolare il RAGGIO conoscendo l'area del cerchio, cioè r 2 = A/π ovvero

38 FORMULE PERIMETRO - AREA

39 FORMULE PERIMETRO - AREA