Introduzione alla Ricerca Operativa

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1 Introduzione alla Ricerca Operativa Daniele Vigo D.E.I.S. - Università di Bologna dvigo@deis.unibo.it rev gennaio 2002 Ricerca Operativa? applicazione di metodi scientifici a problemi decisionali che si presentano in strutture organizzate complesse Matematica Informatica Ricerca Operativa (Operations Research) Scienza della Gestione (Management Sc.) Scienza delle Decisioni (Decision Sc.) Intro.2 1

2 Sistemi Organizzati insieme di elementi legati da forme di interazione Es. Reparto di produzione M1 M3 M2 M4 Elementi: macchine Interazione: flussi di materiale Intro.3 Problemi decisionali Scelta, tra diverse alternative, della configurazione relativa ad un insieme di decisioni che consente di ottenere dal sistema le prestazioni desiderate M1 M3 M2 M4 Decisioni: layout impianto tipo di macchine sequenza lavorazioni Prestazioni: max produttività, min costo, Intro.4 2

3 Problemi decisionali (2) Livello Strategico (Pianificazione/Planning) Definizione e valutazione delle alternative generalmente si opera in regime probabilistico Es. layout impianto, scelta delle macchine, Livello Operativo (Programmazione/Management) Definizione della prassi operativa nell ambito delle scelte strategiche fatte generalmente si opera in regime deterministico Scelte strategiche Scelte operative Intro.5 Origini della Ricerca Operativa Seconda Guerra Mondiale in Inghilterra Battaglia di Inghilterra: prevenzione degli attacchi di bombardieri tedeschi: radar (risorsa scarsa) raggio d azione, definizione... Dove localizzare i radar per massimizzare la probabilità di intercettazione? Come coordinare le operazioni (radar, radio, pattuglie aeree ) per facilitare l identificazione dei nemici e degli amici? Intro.6 3

4 Origini della Ricerca Operativa (2) Gruppi di lavoro misti (matematici, fisici, ingegneri, militari ) Research on military Operations messa a punto di metodi quantitativi di analisi metodologie di soluzione (algoritmi) notevole contributo nel miglioramento dell efficacia dell avvistamento radar numerose applicazioni in altri settori (logistica ) Intro.7 Evoluzione Dopo la guerra: diffusione della disciplina in Industria Pubblica amministrazione Università : Sviluppo di modelli ed algoritmi di R.O. programmazione lineare teoria dei grafi simulazione numerica : Diffusione degli elaboratori grande impulso alla R.O. teoria della complessità Intro.8 4

5 Sistemi e Modelli Modello: rappresentazione semplificata di un sistema reale, progettata per rispondere, mediante analisi sperimentali, a domande specifiche (risposta agli ingressi/decisioni). Ingressi (Decisioni/ Controlli) Modello Uscite (Prestazioni) Intro.9 Classificazione Modello Fisico: riproduzione in scala (similitudine o analogia) Modello Matematico: insieme di relazioni logico/matematiche che descrivono il comportamento del sistema Statico: sistema in equilibrio Dinamico: sistema in evoluzione (nel tempo) Analitico: descritto mediante equazioni/diseq. Numerico: descritto mediante algoritmi di calcolo Intro.10 5

6 Modelli matematici z = f(x 1,x 2, ) z valore delle prestazioni (v. dipendente) x 1,x 2, variabili decisionali (v. indipendenti) spesso (x 1,x 2, ) devono assumere valori entro un insieme specifico (regione ammissibile) Es. 1 s = v t Es. 2 z = max {f(x), x F} Intro.11 Modelli matematici (2) Modelli Prescrittivi: forma di f( ) nota valori delle x noti e controllabili dal decisore normalmente usati a livello Operativo per la determinazione dei valori di x che massimizzano z Modelli Descrittivi: forma di f( ) nota valori delle x non noti e/o non controllabili dal decisore normalmente usati a livello Strategico per la determinazione/stima dei valori di alcune x in funzione di altre Intro.12 6

7 Costruzione di un modello Sistema reale: Fabbriche Magazzini Clienti Intro.13 Modello schematico (astratto) t a1 C 1 d 1 c 1a M a m 1 F 1 c 1b C 2 d 2 M b C 3 d 3 m 2 F 2 M c C 4 d 4 C 5 d 5 Capacità Costi Costi Domanda Intro.14 7

8 Modello Matematico Variabili decisionali: x flussi tra fabbriche e magazzini y flussi tra magazzini e negozi t a1 C 1 d 1 c 1a M a C 2 d 2 m 1 F 1 c 1b M b C 3 d 3 m 2 F 2 M c C 4 d 4 C 5 d 5 Capacità Costi Costi Domanda Intro.15 Modello matematico (2) (obiettivo) min c 1a x 1a + c 1b x 1b + t a1 y a1 + t a2 y a2 + (vincoli di produzione) x 1a + x 1b + m 1 x 2a + x 2b + m 2 (vincoli sulla domanda) y a1 + y b1 + d 1 t a1 C 1 d 1 c 1a M a y a2 + y b2 + d 2 c 1b C 2 d 2 m 1 F 1 m 2 F 2 M b M c C 3 C 4 d 3 d 4 (vincoli di bilanciamento dei flussi) C 5 d 5 Intro.16 8

9 Modelli e realtà Proprietà di un modello: astrazione sintesi (solo le caratteristiche rilevanti) Un modello può migliorare il grado di comprensione della realtà: individuazione delle componenti importanti relazioni di causa effetto Può migliorare le decisioni Intro.17 I sette ponti di Königsberg Problema di Eulero ( ) Pregel È possibile effettuare una passeggiata, ritornando al punto di partenza, dopo aver attraversato tutti i p onti una sola volta? Intro.18 9

10 Modello del problema dei ponti Rappresentazione astratta del problema: nascita della Teoria dei Grafi Grafo equivalente alla mappa: A Pregel B C D Intro.19 Soluzione del problema Esiste un percorso chiuso che attraversa tutti gli archi del grafo una ed una sola volta? (Circuito Euleriano) Cond. necessaria e sufficiente A (Eulero, 1736): Il circuito esiste se e solo se in ogni nodo ha un numero pari di B C lati incidenti D Il problema di Königsberg non ha soluzione!! Intro.20 10

11 Metodologia della R.O. Dimensionamento ottimale di una filiale di banca: n. di sportelli per tipologia di servizio n. di impiegati per tipo layout Obiettivi: a) contenimento dei costi (n. di sportelli) b)buon livello di servizio (tempi di servizio) obiettivi a) e b) in contrasto tra loro! formulazione vaga Intro.21 I. Formulazione del Problema (1) Definizione degli obiettivi e dei vincoli: i) minimizzare il costo totale (n. di sportelli) con tempo medio di attesa non superi i K minuti non più del p% dei clienti aspetti oltre K minuti a) obiettivo, b) vincolo ii)minimizzare il tempo di attesa con costo annuo non superiore a Q milioni (n. sportelli) b) obiettivo, a) vincolo Intro.22 11

12 I. Formulazione del Problema (2) Raccolta di informazioni e dati sul sistema: a) tasso di arrivo dei clienti (λ) il ritmo varia nel corso della giornata? b) n. di clienti serviti in un ora da uno sportello (µ ) il ritmo varia nel corso della giornata? c) scelta dello sportello dipende dal n. di clienti in coda? (es. coda più corta) se una coda si accorcia, i clienti si spostano? meglio code separate o una unica? Indagini statistiche o analogie rispetto ad altri sistemi Intro.23 II. Definizione del modello (1) Scelta del paradigma di rappresentazione del problema, in base a: natura del sistema (statico, dinamico, ) obiettivo/i e vincoli tipo e qualita dei dati disponibili Es. Dati λ, µ, s (n. di sportelli), calcolare: W P = tempo medio di attesa in coda = probabilità che un cliente attenda più di K minuti Intro.24 12

13 II. Definizione del modello (2) Definizione del problema di ottimizzazione si esprimono obiettivo e vincoli mediante funzioni di: s, (variabili decisionali) λ, µ, (parametri) W, P, (prestazioni) min f (s, λ, µ, W, P, ) con s S, tale che:g 1 (s, λ, µ, W, P, ) a 1 g 2 (s, λ, µ, W, P, ) a 2 Intro.25 II. Definizione del modello (2) Modello Analitico se è possibile esprimere W, P, mediante funzioni di s,λ, µ, (casi semplici) Es. (teoria delle code) se s = 1 W = λ / µ (µ λ) Modello di Simulazione Numerica (normalmente) se non è possibile esprimere W, P, mediante funzioni di s,λ, µ, (sistema complesso, fenomeni di saturazione, code ) Programma che riproduce il funzionam. del sistema dati s,λ, µ si misurano W, P Intro.26 13

14 III. Verifica del modello Calibrazione dei parametri del modello: si determinano i valori dei parametri caratteristici in modo che il modello fornisca risposte (valori misurati) aderenti alla realtà Modello ~1000 esperimenti sul modello e confronto dei risultati con valori osservati nella realtà Eventuale revisione del modello Intro.27 IV. Determinazione delle soluzioni Mediante un algoritmo si generano soluzioni alternative (Es. diversi s) e si sceglie la migliore (miglior compromesso) Es. obiettivo: min W, P e costi (prop. ad s) s W P % % % Intro.28 14

15 V. Presentazione dei risultati Modello e risultati vengono sottoposti ai decisori: verifica delle ipotesi sul modello esame dell obiettivo e delle soluzioni se insoddisfacente: revisione del modello e nuove soluzioni Implementazione della soluzione Monitoraggio del sistema nel tempo Intro.29 Metodologia della R.O. I. Formulazione II. Modello III. Verifica V. Presentazione IV. Soluzione Realizzazione Intro.30 15

16 Applicazioni della R.O. Problemi decisionali Scelta di investimenti Localizzazione sul territorio (impianti, servizi ) Dimensionamento (impianti, personale ) Attivazione di rotte aeree (linee di autobus) Attribuzione di compiti al personale Intro.31 Applicazioni della R.O. (2) Problemi Gestionali organizzazione della produzione sequenziamento di lavori pianificazione dei lavori instradamento di veicoli turnazione del personale controllo del traffico aereo caricamento di containers, pallets taglio ed impaccamento di oggetti Intro.32 16

17 Ottimizzazione della Produzione 2 prodotti: Sedia in Legno (SL) Sedia in Alluminio (SA) 3 reparti: Lavorazione parti in Legno (RL) Lavorazione parti in Alluminio (RA) Lavorazione parti in Tessuto (RT) RL RA RT Intro.33 Ottimizzazione della Produzione (2) Tempi di Produzione (min. per pezzo) Ricavo netto (Lire per pezzo) Disponibilità reparti (min. per periodo) RL RA RT R L R A R T SL SA Ricavo D Intro.34 17

18 Ottimizzazione della Produzione (3) Supponendo di poter vendere tutta la produzione quante sedie di ciascun tipo devono essere prodotte per massimizzare il ricavo? Variabili decisionali: x 1 = n. di sedie di legno prodotte in un periodo x 2 = n. di sedie di alluminio prodotte in un periodo x 1 ed x 2 possono essere frazionarie Intro.35 Modello LP Tempo disponibile (min. per reparto per periodo): RL = 40, RA = 120, RT = 180; RL) 40 RA) 120 RT) 180 Intro.36 18

19 Modello LP (2) Consumo tempo per unità di prodotto: Reparto SL SA R L 10 RL) 10 x 1 40 RA) 120 RT) 180 Intro.37 Modello LP (3) Consumo tempo per unità di prodotto: Reparto SL SA RA 20 RL) 10 x 1 40 RA) 20 x RT) 180 Intro.38 19

20 Modello LP (3) Consumo tempo per unità di prodotto: Reparto SL SA R T RL) 10 x 1 40 RA) 20 x RT) 20 x x Intro.39 Modello LP (4) Profitto per unità di prodotto: SL SA max z = 3000 x x 2 RL) 10 x 1 40 RA) 20 x RT) 20 x x Intro.40 20

21 Modello LP (4) vincoli di non negatività delle variabili max z = 3000 x x 2 RL) 10 x 1 40 RA) 20 x RT) 20 x x x 1, x 2 0 Intro.41 Modello matematico (PL) coefficienti interi e piccoli in valore assoluto: max 3 x x 2 RL) x 1 4 RA) 2 x 2 12 RT) 3 x x 2 18 x 1, x 2 0 Intro.42 21

22 Regione ammissibile max z = 3x 1 +5x 2 s.t. x 1 4 2x x 1 +2x 2 18 x 1, x 2 0 x 2 (0,6) (2,6) (4,6) Vertici: intersezione di vincoli o di iperpiani di supporto (4,3) (6,0) (0,0) (4,0) x 1 Intro.43 Soluzione Grafica (1) Si disegnano le rette z=c T x = costante (perpendicolari al gradiente) si cerca l intersezione tra F e la retta con z massimo (minimo) max z = 3x 1 + 5x 2 = (3,5) x 2 (0,6) (2,6) Sol. ottima z = 36 (4,3) z = 25 z = 20 (0,0) (4,0) x z = 15 1 Intro.44 22

23 Soluzione Grafica (2) L intersezione ottima avviene sempre in corrispondenza di almeno un vertice di F vero solo per LP x 2 x 2 x 1 x 1 ϕ non lineare vincoli non lineari Intro.45 Assegnazione di incarichi n persone ed n incarichi a ij = tempo/costo ass. incarico j alla pers. i Determinare l assegnamento delle persone agli incarichi di costo complessivo minimo Es. n= 2 lavoro pers Costo = Intro.46 23

24 Assegnazione di incarichi (2) n = 3 lavoro pers soluzioni Costo = 120 N. soluzioni = n (n-1) (n-2) = n! se n = 20 n! 2.4 * enumerazione su PC 486/33 ( 1 Mflop/sec.): 4.6M anni! Intro.47 Variabili decisionali x ij = 1 se la persona i esegue l incarico j { 0 altrimenti lavoro pers variabili Matrice di permutazione: un solo 1 riga e colonna Intro.48 24

25 Modello matematico (PLI) Funzione obiettivo (min. costo) min c x Σi=1,nΣj=1,n ij ij Un solo lavoro per persona: variabili Σj=1,n x = 1 (i = 1,, n) ij Una sola persona per lavoro: Σi=1,n x = 1 (j = 1,, n) ij x ij {0, 1} (i,j = 1,, n) Intro.49 Turnazione del personale personale richiesto per giorno della settimana: Lu Ma Me Gi Ve Sa Do ogni persona lavora 5 giorni consecutivi i 2 giorni successivi sono di riposo minimizzare il numero di persone necessarie altri vincoli possibili in problemi reali: turni diversi preferenze Intro.50 25

26 Modello matematico (PLI) x 1 : numero di persone che iniziano il turno Lun x 2 : numero di persone che iniziano il turno Mar min x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 Lu: x 1 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 17 Ma: x 1 + x 2 + x 5 + x 6 + x 7 13 Me: x 1 + x 2 + x 3 + x 6 + x 7 15 Gi: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 7 19 Ve: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 14 Sa: + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 16 Do: + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 11 x 7 0 INTERE x 1 Intro.51 Localizzazione infrastrutture apertura centri CUP in una città divisa in 6 zone 1 sito per quartiere tempi di trasferimento tra i quartieri (in minuti): Intro.52 26

27 Localizzazione infrastrutture (2) massimo tempo di trasferimento 15 minuti Intro.53 Modello matematico (PLI) x i : 1 se si attiva il sito nel quartiere i, 0 altrimenti min x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 1: x 1 + x 2 1 2: x 1 + x 2 + x 6 1 3: + x 3 + x 4 1 4: + x 3 + x 4 + x 5 1 5: + x 4 + x 5 + x 6 1 6: + x 2 + x 5 + x 6 1 x 6 0 INTERE x 1 Intro.54 27

28 Sequenziamento di lavorazioni n lavorazioni p j = tempo di processamento lavorazione j no preemption = una volta iniziata la lavorazione non può essere interrotta m macchine identiche una sola lavorazione alla volta per ogni macchina assegnare le lavorazioni alle macchine in modo tale che il tempo totale di processamento sia minimo Intro.55 Sequenziamento di lavorazioni (2) n = 5, m = 2, p j = {90, 50, 30, 40, 20} J 2 J 4 J 3 m 2 J 1 J 5 m t Intro.56 28

29 x ij = Variabili decisionali 1 se la macchina i esegue lavorazione j { 0 altrimenti lavorazioni macch z = massimo tempo di lavorazione (makespan) Intro.57 Modello matematico (PL mista) Funzione obiettivo (min. makespan) min z definizione makespan: Σ p j=1,n j x ij z (i = 1,, m) Ogni lavorazione su una sola macchina: Σ i=1,m x ij = 1 (j = 1,, n) x ij {0, 1} (i, j = 1,, n) z 0 Intro.58 29

30 Commesso viaggiatore n luoghi da visitare d ij distanza tra i luoghi i e j Determinare un percorso chiuso che visiti una ed una sola volta tutti i luoghi ed abbia lunghezza complessiva minima soluzione = permutazione di {1, 2,, n} Es. n = n. di soluzioni = n. di permutazioni = n! Intro.59 Grafo: Modello di teoria dei grafi Intro.60 30

31 Altre applicazioni (1) Perforazione circuiti stampati: nodi: fori da eseguire distanza: tempo di spostamento utensile Sequenza di plotting di segmenti: nodi: segmenti da disegnare distanza: tempo di spostamento tra la fine di un segmento e l inizio di un altro Sequenza di taglio di lastre: nodi: tagli da eseguire distanza: tempo di spostamento tra la fine di un taglio e l inizio di un altro Intro.61 Altre applicazioni (2) Sequenziamento dei movimenti per una pista: nodi: movimenti (decollo, atterraggio) dei diversi aerei distanza: tempo che deve intercorrere tra due movimenti es. att. aereo piccolo dopo att. aereo grande: 5 miglia att. aereo piccolo dopo att. aereo piccolo: 3 miglia Intro.62 31