Sintesi di circuiti sequenziali

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1 Corso di Lezione 2 Sintesi di circuiti sequenziali Federico Pedersini Laboratorio di Dipartimento di nformatica Università degli Studi di Milano Riferimenti bibliografici: F. Fummi, M. Sami, C. Silvano, Progettazione Digitale, McGraw-Hill, capp. 6,7 L 2 1 Circuiti sequenziali! Circuiti combinatori = circuiti senza memoria " Gli output al tempo t dipendono unicamente dagli input al tempo t Uscita = f ( ngresso )! Per consentire ad un dispositivo di mantenere le informazioni, sono necessari circuiti con memoria " Esempio: distributore automatico! Deve ricordare quante e quali monete sono state inserite! Deve comportarsi tenendo conto non solo delle monete inserite attualmente (ingresso) ma anche di quelle inserite in precedenza (storia passata)! Circuiti sequenziali = circuiti con memoria (stato) " La memoria contiene lo stato del sistema Uscita = f ( ngresso, Stato ) L 2 2

2 Macchine sequenziali! Macchina combinatoria: U = f ( ) " senza memoria, uscita dipende solo dagli ingressi! Macchina sequenziale: X* = f ( X, ) U = g( X ) " 2 funzioni: uscita e stato prossimo " esiste la memoria: lo STATO U U X combinatoria sequenziale L 2 3 Macchine sequenziali! Elemento necessario di ogni macchina sequenziale è la retroazione " Uscita riportata in ingresso " Bistabile: (macchina sequenziale elem.): 2 porte NOR +retroazione macchina sequenziale rete combinatoria retroazione Macchina sequenziale sincrona mpiega bistabili sincroni Es: Flip-Flop tipo DT CLK D T U L 2 4

3 Latch & Bistabili! Elemento cardine dei circuiti sequenziali è lo stato " Lo stato riassume il funzionamento negli istanti precedenti e deve essere immagazzinato (memorizzato) " Necessità della memoria (bistabili! registri! memorie)! Elemento base della memoria è il bistabile " dispositivo in grado di mantenere indefinitamente il valore di input " l suo valore di uscita coincide con lo stato " Memoria: insieme di bistabili (bistabili! registri! memorie)! Tipologie di bistabile " Bistabili non temporizzati (asincroni) / temporizzati (sincroni). " Bistabili (sincroni) che commutano sul livello (latch) o sul fronte (flip-flop) L 2 5 Latch Set-Clear (Set-Reset) asincrono Latch SC! Funzionamento: " Set: C = 0, S! 1! 1 (~! 0) " Reset: S = 0, C! 1! 0 (~! 1) " Comportamenti anomali: " S = 1, C: 0!1 =~=0 (anomalia) L 2 6

4 Tabella delle transizioni! Tabella delle transizioni: * = f(,) = f(,s,c) " : valore dell uscita attuale: stato corrente " *: uscita al tempo successivo: stato prossimo * SC = 00 SC = 01 SC = 11 SC = X X 1 S C * X * = Clear / Reset SET X L 2 7 Latch SR sincrono LATCH S-R sincrono:! Latch SR + Porte AND tra il clock e gli ingressi. " Solo quando il clock è alto i cancelli (porte AND) fanno passare gli input! LATCH L 2 8

5 Sintesi della funzione logica T S R * X X X X Tabella delle transizioni: *= f(s,r,t,) T SR = 00 SR = 01 SR = 11 SR = X X X X 1 * = TSR + TSR + TSR + TSR + TSR + TSR + ( = +TSR + TSR) = = TR + TR + TR + TS = ( ) = T + T R + S clock alto! * = ~R + ~S clock basso! * = (status quo) L 2 9 Latch D sincrono! LATCH D sincrono: " Memorizza il valore presente all ingresso dati quando il clock è alto! Clock BASSO: if CLK = 1 then *=D else *= " L uscita rimane bloccata sull ultimo valore assunto! Clock ALTO: " L uscita insegue l ingresso D (con 3Δτ di ritardo) D-Latch L 2 10

6 La struttura del latch D CLK D CLK D _ CLK basso CLK alto 2!"!" L 2 11 Tabella delle transizioni! Dalla tabella delle transizioni * = f(t,,d) calcolo la corrispondente funzione logica: Tabella delle transizioni T D * = T + TD Funzione logica: * = TD + TD + TD + TD Clock T alto:! * = D (input) Clock T basso! * = (status quo) = L 2 12

7 Latch: Bistabili level-sensitive! latch sono dispositivi trasparenti: " Per tutto il tempo in cui il clock è attivo (alto), il valore di D viene riportato in uscita: = D : uscita collegata all ingresso! A noi interessa memorizzare l informazione in un determinato istante if CLK = 1 then *=D else *= L 2 13 Bistabili edge sensitive : i Flip-Flop! Dispositivi attivi sul fronte del clock (edge sensitive): " il loro stato (uscita) può commutare solo in corrispondenza del fronte di salita o di discesa del clock. Bistabile tipo DT Configurazione Master-Slave D D master Master master = D slave Slave slave master CLK Flip-Flop tipo DT L 2 14

8 Flip-flop: struttura master slave! FLP (clock ALTO): L ingresso D viene memorizzato nel latch MASTER " L ingresso è aperto, ma l uscita è bloccata! FLOP (clock BASSO): l uscita stabile del latch MASTER viene propagato al latch SLAVE " L ingresso è bloccato, l uscita è stabile. CLK m = D s D m D m = D s D m CLK L 2 15 Funzionamento: FLP CLK = 1 m = D s D m D D m Flip m = D s CLK m m CLK D D CLK t L 2 16

9 Funzionamento: FLOP CLK = 0 m = D s D m D D m m = D s CLK Flop CLK m m CLK t L 2 17 Registri Registro a N bit: N Flip-flop tipo DT SCRTTURA: " L impulso di CLK memorizza i dati sugli ingressi D LETTURA: " dati memorizzati sono presenti sulle uscite Registro a scorrimento (shift register) L impulso di CLK fa scorrere i dati di una posizione lungo il registro = D 2 2 = D 1 1 = D 0 0 = U CLK L 2 18

10 Circuiti sincroni e asincroni! Architettura sincrona: le fasi di elaborazione e propagazione dei segnali sono scandite da un orologio comune a tutto il circuito (clock) " l Clock regola l attività dei cancelli " l circuito ha il tempo di stabilizzarsi (transitori critici) fino al successivo impulso di Clock! Architettura asincrona: l elaborazione e propagazione dei segnali avviene in modo incontrollato, secondo le velocità di reazione dei circuiti " Non ci sono cancelli " Non devo mai aspettare l impulso di clock massima velocità! Progettazione sincrona " il controllo dei transitori/cammini critici è limitato alla parte di circuito tra due cancelli (porte di sincronizzazione)! Progettazione asincrona " Devo progettare il circuito in modo che nessun transitorio/cammino critico causi problemi analisi di tutti i transitori critici possibili L 2 19 Struttura di un circuito sincrono D flip-flop T Logica combinatoria D flip-flop T Out Cancello! Circuito combinatorio! Cancello! Sincronizzazione: la logica combinatoria deve terminare la propria commutazione in tempo utile L 2 20

11 Sincronizzazione mediante flip-flop! cancelli devono disaccoppiare i diversi sottosistemi logici " raccogliere i segnali, senza farli passare, e rilanciarli ad un determinato istante " Cancello doppio: ingresso e uscita " Mai aperti contemporaneamente! Cancelli = registri costituiti da gruppi di flip-flop L 2 21 Macchina a Stati Finiti! Una Macchina a Stati Finiti (MSF) è definita dalla quintupla: < X,, Y, f( ), g( ) > X: insieme degli stati (in numero finito). : alfabeto di ingresso: l insieme dei simboli che si possono presentare in ingresso. Con n ingressi, avremo 2 n possibili configurazioni. Y: alfabeto di uscita: l insieme dei simboli che si possono generare in uscita. Con m uscite, avremo 2 m possibili configurazioni. f( ): funzione stato prossimo: X* = f( X, ) Definisce l evoluzione della macchina nel tempo, in modo deterministico g( ): funzione di uscita: Y= g( X ) (macchina di Moore) Y= g( X, ) (macchina di Mealy) " Per il buon funzionamento della macchina è previsto uno stato iniziale, al quale la macchina può essere portata mediante un comando di reset. L 2 22

12 State Transition Table (STT) - Macchina di MOORE! STT: State Transition Table (Tabella delle transizioni di stato) " Per ogni coppia: <stato attuale, ingresso> definisco uscita y e stato prossimo x* (x i X, i j )! y(x i ) ; x*( x i, i j ) " Esempio: M stati (log2m bit di stato), N ingressi (log2m bit d ingresso): i 1 i 2 i N Y x 1 x*(x 1, i 1 ) x*(x 1, i 2 ) x*(x 1, i N ) y(x 1 ) x 2 x*(x 2, i 1 ) x*(x 2, i 2 ) x*(x 2, i N ) y(x 2 ) x M x*(x M, i 1 ) x*(x M, i 2 ) x*(x M, i N ) y(x M ) L 2 23 State Transition Table (STT) - Macchina di MEALY! STT: State Transition Table (Tabella delle transizioni di stato) " Per ogni coppia: <stato attuale, ingresso> definisco uscita y e stato prossimo x* (x i X, i j )! y(x i ) ; x*( x i, i j ) " Esempio: M stati (log2m bit di stato), N ingressi (log2m bit d ingresso): i 1 /Y i 2 /Y i N /Y x 1 x*(x 1, i 1 )/y 11 x*(x 1, i 2 )/y 12 x*(x 1, i N )/y 1N x 2 x*(x 2, i 1 )/y 21 x*(x 2, i 2 )/y 22 x*(x 2, i N )/y 2N x M x*(x M, i 1 )/y M1 x*(x M, i 2 )/y M2 x*(x M, i N )/y MN L 2 24

13 Macchina di MOORE: State Transition Graph (STG)! STG: State Transition Graph (Diagramma degli Stati o Grafo delle transizioni) " Ad ogni nodo è associato uno stato: x i X... ed un valore della funzione d uscita: y i Y, y i =g(x i ) " Un arco orientato da uno stato x i ad uno stato x j, contrassegnato da un simbolo (di ingresso) i K, rappresenta una transizione che si verifica quando la macchina, essendo nello stato x i, riceve come ingresso i K i K x X x J X x y = g(x ) J = f(x,i K ) y J = g(x J ) L 2 25 Macchina di MEALY: State Transition Graph (STG)! STG: State Transition Graph (Diagramma degli Stati o Grafo delle transizioni) " Ad ogni nodo è associato uno stato: x i X... ed un valore della funzione d uscita: y i Y, y i =g(x i ) " Un arco orientato da uno stato x i ad uno stato x j, contrassegnato da un simbolo (di ingresso) i K, rappresenta una transizione che si verifica quando la macchina, essendo nello stato x i, riceve come ingresso i K y J = g(x,i K ) i K x X x * J = f(x,i K ) x J X L 2 26

14 La macchina sequenziale di Huffman - sincrona i o i 1 i M x 1 " x* 1 y o y 1 y N ngressi x K x* K Uscite Stato Stato prossimo L 2 27 Progetto con macchina di Moore Esempio: controllore di un semaforo auto NS sì / no SEMAFORO:! ncrocio tra 2 strade: nord-sud (NS) ed est-ovest (EO) controllate da un semaforo " per semplicità consideriamo solamente rosso e verde! l semaforo può commutare ogni 30 secondi " Macchina sincrona, clock con frequenza =? auto EO sì / no! E presente un sensore in grado di leggere, per ogni direttrice, se esiste almeno un auto in attesa, oppure un auto che si accinga ad attraversare (condizioni trattate allo stesso modo).! l semaforo deve cambiare colore, da rosso a verde, quando esiste un auto in attesa sulla sua direttrice.! Se ci sono auto in attesa sulle entrambe le direttrici il semaforo deve cambiare colore (al termine del tempo di commutazione) L 2 28

15 SEMAFORO: Stato, ngresso, Uscita STATO " Semaforo NS VERDE, semaforo EO ROSSO " Semaforo NS ROSSO, semaforo EO VERDE 1 bit di STATO (1 flip-flop) NGRESS " Auto NS presente / non presente! AutoNS=1/0 " Auto EO presente / non presente! AutoEO = 1/0 4 configurazioni di NGRESSO 2 bit USCTE: = STATO " LuceEO verde (LuceNS rossa) " LuceNS verde (LuceEO rossa) 2 configurazioni d uscita 1 bit auto NS sì / no auto EO sì / no L 2 29 STG State Transition Graph! Funzione stato prossimo: VerdeNS* = VerdeNS ~autoeo + VerdeEO autons VerdeEO* = VerdeEO ~autons + VerdeNS autoeo! Funzione uscita: Y = X AutoNS = 0 AutoEO = 1 AutoEO = 0 VerdeEO VerdeNS LuceVerde EO AutoNS = 1 LuceVerde NS L 2 30

16 STT State Transition Table! È una rappresentazione equivalente allo STG X ~autoeo ~autons ~autoeo autons autoeo ~autons autoeo autons Uscita VerdeNS VerdeNS VerdeNS VerdeEO VerdeEO Luce VerdeNS VerdeEO VerdeEO VerdeNS VerdeEO VerdeNS Luce VerdeEO Funzione stato prossimo: X* = f(x, ) Funzione uscita: Y = g(x) L 2 31 STT del semaforo: CODFCA binaria! Stato: " (VerdeNS/RossoEO, RossoNS/VerdeEO) (0, 1)! ngresso: " 2 Variabili: AutoNS, AutoEO 1 = presente, 0 = assente " 4 Configurazioni: (00, 01, 10, 11)! Uscita: " (Luce_VerdeNS, Luce_VerdeEO) (0, 1) X Uscita Y L 2 32

17 Sintesi della MSF del semaforo! Mediante la STT codificata in binario, posso esprimere X* e Y come somma di prodotti: " cerco i mintermini: X* = X X 0 + X X 0 11 = = X 0 + X 1 Y = X X Y L 2 33 MSF del semaforo: sintesi del circuito X* = X X 0 + X X 0 11 = = X 0 + X 1 i 0 i 1 2 reti combinatorie: X* = f (X,) Y = g (X ) Y Y = X rete combinatoria Y X X* D T Clock i 0 i 1 X X* T CLK = 30 sec L 2 34

18 Esercizi: sintesi di macchine sequenziali! Contatore modulo 4 di impulsi " Si sintetizzi una macchina a stati finiti (di Moore) che realizza un contatore modulo 4 così strutturato:! L ingresso è costituito da una linea di 1 bit che viene osservata ogni millisecondo.! L uscita è costituita da 4 linee, che rappresentano i 4 valori assumibili dal contatore: ciascuna uscita va a 1 solo quando il contatore contiene il valore da essa rappresentato.! l contatore incrementa il proprio valore in corrispondenza di ogni fronte di salita dell ingresso. " = { 0, 1 } " Y = { 1000 (0), 0100 (1), 0010 (2), 0001 (3) } " X = { 0, 1, 2, 3 } (è un contatore...) L 2 35 Esercizi: sintesi di macchine sequenziali! Tastiera a combinazione " Si sintetizzi una macchina a stati finiti che gestisce una tastiera a combinazione segreta. La macchina genera un segnale di apertura soltanto soltanto quando si premono in sequenza i tasti: 1,2,3. (suggerimento: si consideri una sola linea d ingresso per tutti i tasti diversi da 1,2,3) " Semplificazione: non considero il tempo... " = { nessun tasto, 1, 2, 3, altri tasti } " Y = { 0, 1 (apertura) } L 2 36

19 Esercizio: sintesi di macchine sequenziali! Riconoscitore sequenza " Progettare e sintetizzare una macchina che accetti in ingresso un carattere binario (0 o 1) e sia caratterizzata da tre uscite, di cui:! la prima si porta a 1 quando gli ultimi 3 bit della sequenza in ingresso siano stati: 110,! la seconda si porta a 1 quand essi abbiano assunto il valore: 011,! la terza si porta a 1 quand essi abbiano assunto il valore: 111. L 2 37 Macchina a Stati Finiti! Una Macchina a Stati Finiti (MSF) è definita dalla quintupla: < X,, Y, f( ), g( ) > X: insieme degli stati (in numero finito). : alfabeto di ingresso: l insieme dei simboli che si possono presentare in ingresso. Con n ingressi, avremo 2 n possibili configurazioni. Y: alfabeto di uscita: l insieme dei simboli che si possono generare in uscita. Con m uscite, avremo 2 m possibili configurazioni. f( ): funzione stato prossimo: X* = f( X, ) Definisce l evoluzione della macchina nel tempo, in modo deterministico g( ): funzione di uscita: Y= g( X ) (macchina di Moore) Y= g( X, ) (macchina di Mealy) " Per il buon funzionamento della macchina è previsto uno stato iniziale, al quale la macchina può essere portata mediante un comando di reset. L 2 38

20 Macchine sincrone Minimizzazione degli stati! Date 2 macchine sincrone: M 1 = <X 1, 1,Y 1,f 1,g 1 > M 2 = <X 2, 2,Y 2,f 2,g 2 >! M 1 e M 2 sono equivalenti sse:!x a " X 1, #x b " X 2 tale che: ponendo al tempo t=0: M 1 in x a e M 2 in x b ed applicando una qualsiasi sequenza di ingresso (t) a entrambe le macchine, $ Y 1 (t) = Y 2 (t),!t>0! Due stati sono equivalenti o indistinguibili x i ~ x j sse: " partendo da x i o da x j, per ogni sequenza d ingresso, le uscite sono uguali " Proprietà riflessiva, simmetrica, transitiva # partizione su X! Macchina M è minima sse: " x i,x j # X x i ~ x j se, cioè, non esistono stati equivalenti in M. " Si dimostra che la macchina minima M è unica L 2 39 Minimizzazione degli stati - Algoritmo di Paull-Unger! Algoritmo di Paull-Unger: " metodo operativo per l identificazione di stati equivalenti: " x i ~ x j se e solo se: MEALY: #i a $, f(x i,i a ) = f(x j,i a ); g(x i,i a ) = g(x j,i a ) MOORE: #i a $, f(x i,i a ) = f(x j,i a ); g(x i ) = g(x j ) " Definizione recursiva di equivalenza: si rimanda all equivalenza degli stati prossimi " Se: N= X # devo effettuare N 2 confronti (su tutti gli ingressi) " rifl. + simm. # mi bastano: N(N 1) / 2 confronti! Tabella delle implicazioni: " Tabella triangolare: N 1 righe, N 1 colonne " Ogni cella rappresenta una coppia di stati distinti: < x i, x j >, i! j " n ogni cella scrivo: ~ se: x i ~ x j (i due stati sono EUVALENT) X se: ( x i ~ x j ) (i due stati sono DSTNGUBL) (x A, x B ) se: x A ~ x B! x i ~ x j (distinguibilità/equivalenza VNCOLATA) L 2 40

21 Algoritmo di Paull-Unger Esempio: N= X =5 s2 X... sn 1 X ~ sn ~ (sa,sb) s1 s2 X... sn 1 Analisi ricorsiva della tabella delle implicazioni 1. Riempio la tabella 2. Analizzo recursivamente ogni caso di vincolo 3. Dopo un n. finito di passi, arrivo ad una delle seguenti 3 soluzioni: " tutte le coppie sono state dichiarate equivalenti o distinguibili " Circolarità di vincolo: xa~ xb! xi ~ xj!...! xa ~ xb # tutte le coppie incluse L 2 41 Algoritmo di Paull-Unger Esempio: FSM di Mealy a 5 stati STT originaria (5 stati) Step : Equivalenti: Condizionati: (C,E) (A,B) # (B,C) (A,D) # (A,E) (B,D) # (A,E) e (C,B) Step : Condizionati: (B,C)=X # (A,B)=X (A,E)=X, (B,C)=X # (B,D)=X $ ne basta uno distinguibile Risultato: Mmin = { A, B, (C,E), D } Step Step STT minima (4 stati) L 2 42

22 Esempio minimizzazione stati! Segnapunti Tennis " Si progetti una FSM che memorizzi il punteggio di un game di una partita di tennis. " 2 linee d ingresso: punto A, punto B " 2 linee d uscita: game A, game B (a livelli) " Determinare la macchina minima. L 2 43 Sintesi di macchine sequenziali asincrone " macchine in modo impulsivo " macchine in modo fondamentale L 2 44

23 Macchine sequenziali asincrone Esistono 2 categorie di FSM asincrone:! FSM asincrone in modo impulsivo " reagiscono ad impulsi in ingresso " Uscite: a livelli (FSM asincrone di Moore) a impulsi (FSM asincrone di Mealy) " Memoria: bistabili asincroni (Latch SC, FF Toggle) " Per la sintesi di queste FSM si può ancora utilizzare il formalismo delle FSM sincrone, con opportune modifiche.! FSM asincrone in modo fondamentale " Reagiscono ai livelli in ingresso " Uscite: a livelli " Memoria: retroazione sui circuiti (non necessariamente bistabili) " metodi di sintesi di queste FSM sono differenti e più complessi. L 2 45 FSM asincrone ad impulsi bistabili asincroni Bistabile SET-CLEAR asincrono:! Un impulso su SET porta lo stato a 1! Un impulso su CLEAR porta lo stato a 0 V(t) S C t L 2 46

24 Bistabile TOGGLE Bistabile TOGGLE! Realizzato mediante un flip-flop tipo D retroazionato! Ogni impulso in ingresso commuta lo stato del bistabile FF tipo T FF D-T Master: store 1 V(t) T Slave: out 1 # =0 t L 2 47 FSM asincrone modo impulsivo Procedura di sintesi FSM asincrone in modo impulsivo: 1. Definizione della macchina Uscite a stati # MOORE Uscite impulsive # MEALY 2. Costruzione STG, STT esattamente come nel caso di FSM sincrone 3. Codifica binaria STT NON codifico gli ingressi non sono valori stazionari, ma impulsi (eventi): i(t) 4. Scelta bistabile (SC, T) e sintesi della tabella delle eccitazioni Tabella delle eccitazioni: E SC/T = h( ingresso, stato ) (dipende dal tipo di bistabile adottato) 5. Sintesi circuitale (Rete Combinatoria): funzione delle eccitazioni, funzione uscita. L 2 48

25 Tabella delle eccitazioni! Tabella delle transizioni: definisce il valore di ingresso ai bistabili sincroni STT : x * ik = f ( x i,i k ), "x i # X, i k # FSM sincrone: transizione comandata dal clock. È sufficiente presentare lo stato prossimo agli ingressi dei bistabili. FSM asincrone: manca un comando esplicito di transizione. È necessario generare segnali agli ingressi dei bistabili, che li portino allo stato prossimo. # eccitazioni! Tabella delle eccitazioni: definisce il valore in ingresso ai bistabili asincroni (eccitazione) " Dipende dal tipo di bistabile:! TOGGLE: ET(Toggle) : t * ik = f x i,i k ( ), "x i # X, i k #! SET-CLEAR: ( ) = x i t * ik =1 sse x * ik = f x i,i k ( ) ;c ik = f C ( x i,i k ), "x i # X, i k # ( ) =1 (, x ik = 0) ( ) = 0 (, x ik =1) ET(SC) : s ik = f S x i,i k $ & s ik =1, c ik = 0 sse x * ik = f x i,i k % '& c ik =1, s ik = 0 sse x * ik = f x i,i k L 2 49 Esempio di sintesi FSM impulsiva Esempio: Progetto FSM asincrona, con ingressi impulsivi, uscite a livelli.! Macchina con 2 ingressi A,B ed un uscita Z a livelli. " Z è 1 quando gli ingressi si alternano " Z è 0 quando arrivano 2 ingressi uguali " Stato iniziale: AA " ingressi impulsivi, uscite a livelli # MOORE "... L 2 50

26 Esempio di sintesi FSM impulsiva Esempio: Progetto FSM asincrona, ingressi e uscite a impulsi! Macchina con 2 ingressi impulsivi A,B ed un uscita impulsiva Z. " Z produce un impulso a partire dal 2º impulso consecutivo su A " per ogni nuovo impulso sugli ingressi, Z ha un impulso... "... finché non si presentano due impulsi consecutivi su B " ingressi impulsivi, uscite a impulsi # MEALY... L 2 51 Esempio di sintesi FSM impulsiva Esempio: Contatore asincrono di impulsi, modulo 8! ngresso a impulsi;! Uscita (valore del contatore) a livelli; " Macchina di Moore... L 2 52