Longevity risk: Susanna Levantesi. Facoltà di Ingegneria dell informazione, Informatica e Statistica Università Sapienza

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1 Longevity risk: identificazione e misurazione Susanna Levantesi Facoltà di Ingegneria dell informazione, Informatica e Statistica Università Sapienza susanna.levantesi@uniroma1.it Roma, 24 marzo 2015

2 Agenda Trend demografici Il longevity risk Identificazione e classificazione del longevity risk Misurazione del rischio tramite modelli di proiezione della mortalità Modelli deterministici Modelli stocastici Slide 2

3 Trend demografici e longevity risk Trend Demografici Cambiamento strutturale della popolazione Invecchiamento della popolazione Aumento del peso degli anziani sulla popolazione Aumento speranza di vita Diminuzione natalità Longevity risk Aumento progressivo della speranza di vita Incremento del numero degli esposti al rischio di sopravvivenza Incertezza Slide 3

4 Piramidi delle età Fonte: ISTAT Maschi Femmine Maschi Femmine Maschi Femmine Maschi Femmine Slide 4

5 Piramidi delle età La piramide delle età (o della popolazione) fornisce una rappresentazione grafica che descrive la distribuzione per età di una popolazione Dall evoluzione temporale delle piramidi per età si evidenzia: Una riduzione della base della piramide a causa di un forte decremento del tasso di natalità; Uno spostamento verso l alto del peso delle classi di età centrali; Un allargamento del vertice della piramide, attribuibile ad un significativo allungamento della speranza di vita alla nascita. Slide 5

6 L evoluzione delle classi di età della popolazione Maschi Femmine Fonte: ISTAT Fonte: ISTAT Slide 6

7 L esperienza di mortalità nell ultimo secolo Negli ultimi decenni l evoluzione della mortalità ha comportato una consistente diminuzione dei decessi alle età adulte ed anziane aumento della vita media Conseguente impatto sulla forma della curva dei sopravviventi Rettangolarizzazione della curva dovuta ad una concentrazione dei decessi intorno alla moda ad età avanzate Curva dei decessi: spostamento del punto di Lexis (moda) verso le età estreme espansione della funzione di sopravvivenza Slide 7

8 L esperienza di mortalità nell ultimo secolo Rettangolarizzazione Espansione Utilizzo di un approccio dinamico allo studio della mortalità: mortalità come funzione sia dell età che dell anno di calendario Slide 8

9 Evoluzione della curva di sopravvivenza Sopravviventi alle varie età, anni , maschi sopravviventi Tavole SIM età Fonte: ISTAT Slide 9

10 Evoluzione della curva dei decessi Decessi alle varie età, anni , maschi 5000 decessi età Fonte: ISTAT Slide 10

11 Speranza di vita a 65 anni Previsioni popolazione, ISTAT (scenario basso, centrale, alto) Femmine 22,4 22,1 21,7 Maschi 18,6 18,3 17,9 23,4 22,7 22,0 19,5 18,8 18,1 27,9 27,4 26,9 26,4 26,0 25,8 25,7 25,3 25,1 24,8 24,3 24,4 24,1 23,9 23,8 23,6 23,3 23,2 24,1 22,9 22,6 23,6 22,3 23,1 22,5 22,2 21,9 21,8 21,4 21,1 21,0 20,4 20,5 20,2 19,9 20,0 19,7 19,4 19,4 19,0 18,7 18,4 Sc. basso Sc. centrale Sc. alto Sc. basso Sc. centrale Sc. alto Slide 11

12 Longevity risk: definizione Il longevity risk è un rischio caratteristico di enti (compagnie di assicurazione / enti di previdenza) che erogano prestazioni in caso di vita (ed in particolare rendite) ad un soggetto assicurato / iscritto Può essere definito a livello individuale o aggregato (cfr. Stallard, 2006) Longevity risk (aggregato): rischio che i percettori di rendita vivano in media più a lungo di quanto previsto nelle basi tecniche Si manifesta laddove la mortalità osservata è sistematicamente inferiore a quella osservata E la conseguenza dell incertezza insita nel fenomeno della mortalità e della sua rappresentazione tramite un modello di proiezione Slide 12

13 Longevity risk: definizione e caratteristiche Rischio sistematico derivante dall incertezza presente nella rappresentazione del fenomeno attraverso una determinata proiezione Rischio non pooling (non diversificabile) interviene nella stessa direzione per tutta la collettività assicurata Slide 13

14 Identificazione del rischio: rischio individuale e aggregato Il longevity risk aggregato ha carattere di rischio sistematico Il longevity risk individuale è un rischio di fluttuazioni casuali: deriva dagli scostamenti aleatori tra i tassi di mortalità attesi e quelli osservati che non derivano da scostamenti sistematici, ma sono insiti nella natura stocastica della mortalità; Si può ridurre aumentando la dimensione del portafoglio: al crescere dei rischi esposti frequenze teoriche e osservate convergono. Fluttuazioni casuali Deviazioni sistematiche Slide 14

15 Longevity risk: conseguenze Influenza fortemente enti previdenziali, casse di previdenza, fondi pensione e prodotti assicurativi di rendita Estensione del periodo di pagamento della rendita e conseguente incremento della passività attuariali E presente nella fase di accumulo nei fondi a prestazione definita E presente nella fase di decumulo (erogazione della rendita) nei fondi a contribuzione definita In passato le proiezioni della mortalità hanno sottostimato la tendenza all aumento della longevità della popolazione Necessità di adottare tavole proiettate di mortalità per il calcolo dei valori attuariali delle rendite Da tavole di mortalità statiche basate su un solo anno di calendario a tavole dinamiche che incorporano la proiezione della mortalità Slide 15

16 Impatto del longevity risk sul valore delle rendite Principali conseguenze sui soggetti erogatori di rendita: Estensione del periodo di pagamento della rendita Incremento della passività attuariali per effetto della diminuzione delle probabilità di morte Valore attuariale rendita vitalizia a 65 anni - Maschi Valore attuariale rendita vitalizia a 65 anni - Femmine 16,5 16, % 19,5 19, % 15,5 18,5 15,0-5.0% 18,0-3.6% 14,5 17,5 14,0 17,0 13,5 Q(0.5%) Scenario Mediana Scenario Q(99.5%) Scenario Alto Centrale Basso 16,5 Q(0.5%) Scenario Mediana Scenario Q(99.5%) Scenario Alto Centrale Basso Elaborazione dell autore Slide 16

17 Impatto del longevity risk sul valore della riserva Tasso atteso di riserva in t = [1,40] Generazione nata nel 1942 (65 anni nel 2007) Probabilità di sopravvivenza calcolate con il modello Lee-Carter Maschi Femmine 18,0 16,0 14,0 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 Scenario Alto Scenario Centrale Scenario Basso 20,0 18,0 16,0 14,0 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 Scenario Alto Scenario Centrale Scenario Basso 2,0 2,0 0, , Tempo t Tempo t Elaborazione dell autore Slide 17

18 Rappresentare il longevity risk Trend decrescenti della mortalità impongono l adozione di tavole proiettate di mortalità per calcolare i valori attuariali delle rendite Utilizzo di proiezioni stocastiche per quantificare esplicitamente l incertezza della mortalità proiettata Necessità di formulare differenti ipotesi sull evoluzione della mortalità scelta di un insieme di significativi scenari di mortalità (tavole di mortalità) Due diversi approcci nella costruzione di scenari futuri: deterministico (singolo scenario) stocastico (multi - scenario) Slide 18

19 La tavola di mortalità : numero atteso di individui viventi all età x in una data popolazione (inizialmente costituita da individui di età 0) Tavola di mortalità: sequenza decrescente di Se i dati derivano da osservazioni longitudinali del numero di individui viventi alle età 1,2,, ω, si ha una tavola di generazione (o coorte): richiede l osservazione di ω+1 anni Se i dati forniscono i tassi di mortalità alle varie età osservate su un anno specifico, si ha una tavola di periodo (basata su una coorte fittizia o sintetica): Per si ha la sequenza: Numero atteso di decessi tra le età x e x+1: Deve valere la condizione: Slide 19

20 Tavole di mortalità e probabilità di morte Dalla tavola di mortalità sono direttamente ricavabili le probabilità di morte/sopravvivenza: Probabilità di morte annuali: Probabilità di sopravvivenza annuali: Probabilità di sopravvivenza pluriennali: Mortality odds: Probabilità di morte in funzione degli odds: Slide 20

21 Tavole di mortalità proiettate Una tavola di mortalità proiettata è ottenuta sulla base di procedure statistiche di stima dei tassi di mortalità osservati anno di calendario Profilo della mortalità età Passato Anno base proiezione Futuro P e r i o d o Slide 21

22 Approccio deterministico Consente ai soggetti che erogano le rendite di valutare esclusivamente il rischio di fluttuazioni casuali della mortalità intorno ai valori attesi Scelta di scenari medi (riduzione media della mortalità) e di scenari estremi (riduzione molto elevata o molto bassa della mortalità) Scenario testing: analisi di sensitività delle principali variabili attuariali in funzione dei trend futuri di mortalità Slide 22

23 Approccio stocastico Assegnazione di una distribuzione di probabilità sull insieme di scenari ritenuti possibili Consente ai soggetti che erogano le rendite di valutare sia le fluttuazioni casuali che le deviazioni sistematiche della mortalità Insieme discreto di scenari Insieme continuo di scenari Slide 23 Longevity risk during the decumulation phase and strategies to manage it

24 Approccio stocastico Per modellizzare e misurare il longevity risk necessario un modello stocastico di proiezione della mortalità quantifica esplicitamente l incertezza della proiezione Risultati della proiezione con un modello stocastico: stime puntuali dei tassi futuri di mortalità intervalli di confidenza Slide 24

25 Misurazione del longevity risk I modelli di proiezione della mortalità Modelli deterministici basati su leggi di mortalità Permettono di ben rappresentare le principali caratteristiche di uno scenario di mortalità Ad esempio: Gompertz, Makeham, Weibull, Heligman-Pollard Modelli estrapolativi Deterministici Stocastici Slide 25

26 Modelli estrapolativi Modelli estrapolativi deterministici Interpolazione dei trend di mortalità osservati in passato Ipotesi: i trend osservati si ripeteranno in futuro estrapolazione dei trend La natura stocastica della mortalità non viene considerata Un database con molti anni di calendario può presentare trend di mortalità più o meno forti in base al periodo che si considera attenzione alla scelta del periodo di riferimento per la proiezione Fonte: Pitacco - Denuit - Haberman - Olivieri A. (2009) Modelling Longevity Dynamics for Pensions and Annuity Business. Slide 26

27 Modelli estrapolativi Modelli estrapolativi stocastici I tassi di mortalità osservati sono estrazioni di variabili casuali che rappresentano la mortalità passata I tassi di mortalità proiettati sono stime di variabili casuali che rappresentano la mortalità futura Si definiscono un insieme di ipotesi circa la mortalità e un legame tra osservazioni e proiezioni Slide 27

28 Il modello Lee Carter (1992) I tassi centrali di mortalità hanno una forma log-bilineare: dove: descrive il comportamento della mortalità al variare dell età Decessi Esposti al rischio descrive per ogni età come la mortalità reagisce al variare di indice della variazione della mortalità nel tempo termine di errore errori indipendenti ed identicamente distribuiti con distribuzione N(0, ) Parametri individuati attraverso i vincoli: e I parametri stimati sono poi modellizzati e proiettati come una serie temporale stocastica utilizzando i modelli ARIMA. Slide 28

29 Estensione del modello Lee Carter Brouhns et al. (2002) Il modello LC assume implicitamente che gli errori casuali siano omoschedastici (medesima varianza rispetto all età) ipotesi poco realistica per età elevate, dove è presente una maggiore variabilità della mortalità a causa dell esiguo numero di decessi Proposta di Brouhns et al. (2002): tassi centrali di mortalità modellizzati tramite il modello Lee-Carter: con decessi distribuiti come una Poisson: Rispetto al Lee-Carter originario: introduzione di una variazione casuale del numero di decessi di tipo Poisson al posto del termine di errore additivo. Ipotesi realistica per età elevate. Slide 29

30 Osservazioni sul modello Lee-Carter Il modello ha bisogno dei vincoli sui parametri beta e kappa per poter essere calibrato, altrimenti pone problemi di identificabilità dei parametri La normalizzazione dei parametri ottenuta attraverso i vincoli su beta e kappa, comportano che il parametro alpha sia pari alla media del logaritmo dei tassi centrali di mortalità nel tempo Il parametro beta potrebbe essere negativo per alcune età, indicando che la mortalità per quelle età tende ad aumentare, mentre diminuisce ad età differenti Slide 30

31 Il modello Cairns-Blake-Dowd-1 Analisi empiriche sui dati di mortalità suggeriscono che il logaritmo naturale degli odds,, assume una forma lineare rispetto all età x per un periodo temporale di t anni Cairns et. Al. (2006) hanno quindi proposto il seguente modello che include 2 fattori temporali: Ovvero: La funzione può anche essere scritta come: logit q x ( t) Dove k1 e k2 sono due processi stocastici che costituiscono una serie temporale bivariata e governano la proiezione dei tassi di mortalità. Slide 31

32 Il modello Cairns-Blake-Dowd-1 Non pone problemi di identificazione dei parametri (no vincoli) In genere k1 decresce nel tempo così come nel modello Lee- Carter, mostrando come i tassi di mortalità diminuiscono nel tempo per tutte le età Se durante il periodo di osservazione dei dati gli incrementi di mortalità sono più elevati alle età giovanili rispetto alle età anziane, allora k2 aumenta nel tempo Rispetto al modello di Lee-Carter il modello Cairns-Blake- Dowd-1 (CBD-1) mostra cambiamenti dei tassi di mortalità non perfettamente correlati con le età. Slide 32

33 Proiezione della mortalità e serie temporali Step 1: calibrazione del modello parametrico (Lee-Carter, CBD, ecc.) sulla matrice di dati di mortalità per età e anno di calendario Step 2 (per i parametri funzione del tempo): utilizzo di un modello per le serie temporali di tipo ARIMA (p,d,q) per modellizzare e proiettare i parametri ARIMA: autoregressive integrated moving average (modello autoregressivo a media mobile integrato) p = ordine autoregressivo d = ordine di differenziazione q = ordine della media mobile Approccio simulativo che permette di rilevare gli errori generati dalla serie temporale Approccio che permette il calcolo di intervalli di confidenza Slide 33

34 Proiezione della mortalità e serie temporali I modelli ARIMA (p,d,q) Esempi di modelli ARIMA per il parametro temporale k : arima (0,1,0): (Random walk with drift) arima (1,1,0): arima (1,1,1): drift (deriva) del processo errori del processo con Slide 34

35 Modello Lee-Carter: proiezione di k t Se né il coefficiente di autocorrelazione né quello di autocorrelazione parziale dell indice kt sono significativamente diversi da 0: è appropriato utilizzare un ARIMA (0,1,0) = random walk with drift Dinamica del parametro temporale: Stima dei parametri del processo ARIMA: errori i.i.d secondo una N(0, ) Drift (deriva del processo) Varianza del processo Proiezione del parametro kt : Slide 35

36 Modello CBD-1 : proiezione di k t [1] e k t [2] Dinamica dei parametri k1 e k2 : Matrice di varianze e covarianze: Stima del drift del processo ARIMA: Drift (deriva del processo): Slide 36

37 Effetto coorte In alcuni Paesi si osservano tassi di mortalità che sembrano influenzati non solo da età e anno di calendario, ma anche dall anno di nascita della coorte. Per evidenziare questo effetto si possono analizzare i tassi di incremento annuo della mortalità Fonte: Cairns et al. (2007). A quantitative comparison of stochastic mortality models using data from England & Wales and the United States. North American Actuarial Journal 13: Slide 37

38 Il modello di Renshaw-Haberman (2006) Il logaritmo della forza di mortalità (o del tasso centrale di mortalità) è modellizzato come: Rappresenta una versione age-period-cohort (APC) del modello Lee-Carter :parametro che rappresenta l effetto coorte (t-x=anno di nascita) : descrive per ogni età come la mortalità reagisce al variare dell effetto coorte : descrive per ogni età come la mortalità reagisce al variare del parametro temporale Parametri individuati attraverso i vincoli: Slide 38

39 I modelli di Cairns-Blake-Dowd (2007) Cairns et. al. (2007) hanno proposto due varianti del modello CBD-1 che includono l effetto coorte CBD-2: CBD-3: parametro che rappresenta l effetto coorte Questi modelli pongono problemi di identificazione dei parametri. Per ovviare a tale problema i parametri sono trasformati utilizzando fattori di trasformazione che li rendono individuabili. Slide 39

40 I criteri di scelta del modello di proiezione della mortalità Cairns et al. (2008) suggeriscono i criteri per scegliere tra i vari modelli di proiezione della mortalità: Tassi di mortalità positivi Modello coerente con i dati storici Dinamiche future a lungo termine del modello biologicamente ragionevoli Stime dei parametri robuste rispetto al periodo di dati e intervalli di età impiegati Previsioni del modello robuste rispetto al periodo di dati e intervalli di età impiegati Livelli di previsione dell incertezza e traiettorie centrali plausibili e coerenti con le tendenze storiche e la variabilità dei dati di mortalità Slide 40

41 I criteri di scelta del modello di proiezione della mortalità Modello semplice da attuare mediante metodi analitici o veloci algoritmi numerici Modello relativamente parsimonioso Modello utilizzabile per generare percorsi campione e calcolare intervalli di previsione Modello che consente di integrare l'incertezza del parametro nelle simulazioni Almeno per alcuni Paesi, modello che incorpora un effetto stocastico di coorte Slide 41

42 Scelta del periodo di calibrazione del modello La maggior parte degli studi attuariali basano la calibrazione dei modelli di proiezione della mortalità su statistiche relative al periodo 1950-ad oggi. Tale periodo rappresenta meglio l aspettativa per il futuro rispetto ad un periodo più lungo: ad oggi. La mortalità diminuisce per tutte le età in maniera più forte nel periodo rispetto al periodo La qualità dei dati di mortalità, in particolare per le età elevate, è discutibile nel periodo Le cause di morte sono differenti per i due periodi, prima e dopo il 1950 (prima le malattie infettive, dopo le malattie cardiocircolatorie e i tumori). Slide 42

43 Scelta del periodo di calibrazione ottimo: un esempio Booth et al. (2002) hanno proposto una procedura per individuare il periodo di calibrazione ottimo che identifichi il periodo più lungo per cui il parametro che indica la mortalità stimata, kt, sia lineare La scelta del periodo di calibrazione è basta sul rapporto tra: media delle devianze del fit ottenuta con il modello Lee Carter sul fit lineare complessivo. Tale rapporto è calcolato in base all anno di partenza e scegliendo il periodo di calibrazione per cui tale rapporto è minore rispetto ai periodi che iniziano in anni precedenti. Slide 43

44 Criteri quantitativi Diagnostica del modello in base ai residui Plot del residui del modello (solitamente standardizzati) Dinamica del modello in base ai parametri temporali Scelta del modello ARIMA (ACF, PACF) Stima dei parametri Diagnostica del modello in base ai residui Indicatori di bontà del fitting del modello Bayes Information Criterion (BIC) Akaike Information Criterion (AIC) Slide 44

45 Criteri quantitativi di scelta del modello: BIC e AIC Bayes Information Criterion (BIC): criterio obiettivo di scelta del modello basato sulla qualità statistica del fit ρ BIC = l( ˆ) ρ 0.5K ln( N) : insieme dei parametri da stimare con la funzione di verosimiglianza ρˆ : stima di massima verosimiglianza del vettore dei parametri l(ρˆ) : funzione di massima log-verosimiglianza dei parametri N : vettore del numero delle osservazioni K : numero effettivo dei parametri stimati Akaike Information Criterion (AIC): AIC = l(ρˆ ) K Slide 45

46 Modello Lee-Carter: applicazione alla popolazione italiana Popolazione italiana maschile di età negli anni di calendario Decessi Esposti al rischio Parametri stimati del modello Lee-Carter Slide 46

47 Residui del modello Lee-Carter Slide 47

48 Tassi centrali di mortalità storici modellizzati e probabilità di morte proiettate Slide 48

49 Proiezioni della mortalità q x annuali q x (t) per la coorte nata nel (65 anni nel 2008) tp x Slide 49

50 Misurare il longevity risk Individuazione di grandezze che rappresentino lo stato di salute o di sofferenza dei soggetti erogatori di rendite Funzione di perdita Scelta di un adeguata misura di rischio Varianza Coefficiente di variazione Quantili, VaR, TVaR Probabilità di rovina Definizione di un orizzonte temporale di analisi e delle modalità di indagine Annuale, pluriennale,. Alla scadenza, su tutto l intervallo temporale Slide 50

51 Misurare il longevity risk: approccio deterministico Portafoglio composto da una coorte di contratti di rendita immediata a premio unico Valore attuale aleatorio al tempo 0 delle prestazioni j-mo assicurato Portafoglio di N 0 contratti Importo annuo della rendita Vita residua del j-mo assicurato all età iniziale x 0 Valore atteso e varianza : scenario di mortalità ipotizzato j-mo assicurato Portafoglio di N 0 contratti Slide 51

52 Misurare il longevity risk: approccio deterministico Coefficiente di variazione : scenario di mortalità ipotizzato Portafoglio di N 0 contratti La rischiosità del portafoglio diminuisce all aumentare del numero di contratti Slide 52

53 Misurare il longevity risk: approccio stocastico Valore atteso e varianza : insieme degli scenari di mortalità ipotizzati con probabilità ρ j-mo assicurato Portafoglio di N 0 contratti Fluttuazioni casuali intorno al valore atteso Deviazioni sistematiche dei valori osservati da quelli attesi Slide 53

54 Misurare il longevity risk: approccio stocastico Coefficiente di variazione Portafoglio di N 0 contratti Misura la parte del rischio di mortalità che non è rimovibile semplicemente aumentando la grandezza del portafoglio (parte sistematica del rischio) Slide 54

55 Misurare il longevity risk: approccio stocastico Il Value at Risk della riserva matematica α=99.5% Percentile della riserva matematica calcolata all epoca t (V t ) con un livello di confidenza pari a 99.5%=α Il Tail VaR (o Expected Shortfall) della riserva matematica Strumento utile per valutare la severità delle perdite che superino il VaR ad un fissato livello di confidenza α=99.5% Media dei valori dei VaR della riserva matematica all epoca t che risultano superiori ad un fissato livello di confidenza (99.5%) Slide 55

56 VaR e Tail VaR (o Expected Shortfall (ES)) L = generica distribuzione delle perdite Slide 56

57 Bibliografia Brouhns, N., Denuit, M. and Vermunt, J. K. (2002). A Poisson Log-Bilinear Approach to the Construc- tion of Projected Life Tables. Insurance: Mathematics and Economics 31: Cairns, A.J.G., Blake, D., Dowd, K., Coughlan, G.D., Epstein, D., Ong, A., Balevich, I. (2007). A quantitative comparison of stochastic mortality models using data from England & Wales and the United States. North American Actuarial Journal 13: Cairns, A. J. G., Blake, D., Dowd, K., (2008). Modelling and management of Mortality Risk: a review. Scandinavian Actuarial Journal 2-3: Cairns, A. J. G., Blake, D., Dowd, K., Coughlan, G. D., Epstein, D., Khalaf-Allah, M. (2011): Mortality density forecasts: An analysis of six stochastic mortality models, Insurance: Mathematics and Economics, 48, Coughlan et al. (2007). LifeMetrics: A toolkit for measuring and managing longevity and mortality risk. Technical Document. JP Morgan, London. Currie I. D., Durban, M. and Eilers, P. H. C. (2004) Smoothing and forecasting mortality rates Statistical Modelling, 4, Dowd, K., Cairns, A. J. G., Blake, D., Coughlan, G. D., Epstein, D., Khalaf-Allah, M. (2010): Evaluating the goodness of fit of stochastic mortality models, Insurance: Mathematics and Economics, 47: Slide 57

58 Bibliografia Dowd, K., Cairns, A. J. G., Blake, D., Coughlan, G. D., Epstein, D., Khalaf-Allah, M. (2010): Backtesting stochastic mortality models: An ex-post evaluation of multi-period-ahead density forecasts, North American Actuarial Journal, 14: HMD. (2010). Human Mortality Database, University of California, Berkeley (USA) and Max Planck Institute for Demographic Research, Rostock (Germany). Lee, R.D., Carter, L.R. (1992). Modelling and forecasting U.S. mortality. Journal of the American Sta- tistical Association 87: Olivieri A., Pitacco E. (2006) Life annuities and longevity dynamics. Working Paper n. 36, CERAP. Pitacco E., Denuit M., Haberman S., Olivieri A. (2009) Modelling Longevity Dynamics for Pensions and Annuity Business. Oxford University Press. Renshaw, A.E., Haberman, S. (2003). On the forecasting of mortality reduction factors. Insurance: Mathematics and Economics 32: Renshaw, A.E., Haberman, S. (2006). A cohort-based extension to the Lee-Carter model for mortality reduction factors. Insurance: Mathematics and Economics 38: Slide 58