( ) p x t x t x t (, ;, ;...;, ) Utilizzando il concetto di probabilità condizionata possiamo scrivere la funzione di densità di probabilità come:

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1 GENERLITÀ SUI PROESSI STOSTII I Pocessi Socasici Pediamo X() come u ocesso socasico eale ovveo ua vaiabile casuale eale che evolvoo co deemiae leggi el emo. Da u uo di visa maemaico esso è comleamee defiio se si cooscoo ue le fuzioi desià di obabilià cogiua defiie i modo che ( ; ;...; ) ( ) ; ;...; d d... d aesei la obabilià che il ocesso assuma u valoe a k e k +d k al emo k e ogi k da a. Uilizzado il coceo di obabilià codizioaa ossiamo scivee la fuzioe di desià di obabilià come: ( ; ;...; ) ( ;...; )... ( ) ( ) Dove co (......) si è idicao la fuzioe di desià di obabilià codizioaa subodiaa all avveasi delle codizioi che si ovao a desa della sbaea veicale. Valgoo iole le elazioi fodameali deivai dalla defiizioe di fuzioe desià di obabilià: ( ) d I geeale sommado su ui gli evei muuamee esclusivi di u io i ua obabilià cogiua si elimia quella vaiabile: ( ; ; ;...; ) ( ; ; ;...; ; ) d Ricodiamo oa le defiizioi di media auocoelazioe (R) e auocovaiaza () di ua vaiabile socasica.

2 Dao il valo medio di (): η R ( ) E[ ( ) ] ( ) ( ) E[ ( ) ( )] ( ; ) ( ) E{ [ ( ) η( )] [ ( ) η( )]} [ ( ) η( )] [ ( ) η( )] ( ; ) d d d d d Dove co E[ ] si iede la media di isieme ovveo la media faa su u isieme di ealizzazioi divese dello sesso ocesso socasico Si ha: ( ) R( ) η( ) η( ) Ioduciamo oa il coefficiee di auocoelazioe: ρ ( ) ( ) ( ) dove () è la vaiaza ovveo il aicolae valoe della fuzioe di auocovaiaza defiio come: ( ) ( ) E ( ( ) η( ) ) [ ] Teedo coo della defiizioe di obabilià codizioaa si oiee: [ ( ) ( )] ( ) 0 ( 0) ( ) E d Sazioaieà U ocesso socasico si dice sazioaio i seso seo quado le sue caaeisiche saisiche o cambiao se si sosa l oigie dei emi vale cioè la seguee elazioe e qualuque : ( ; ;... ) ( + ε; + ε;...; + ε )

3 se quesa elazioe vale solo e ogi i k si dice che è sazioaio al k-esimo odie. Da quesa defiizioe segue che deve essee e quidi ( ) ( + ε ) e ogi ε ( ) ( ). alogamee ( ; ) ( + ε ; + ε ) e qualuque ε imlica ( ; ) ( ; τ ) co τ U ocesso si dice sazioaio i seso amio se: E R [ ( ) ] ( ) R( τ ) E[ ( + τ ) ( ) ] η cosae co τ cioe R diede solo dalla diffeeza a e e o dal emo assoluo. La fuzioe di auocoelazioe R() quaifica il icodo che il ocesso all isae +τ ha di quello che è successo all isae. Si uò dimosae che la sazioaieà i seso seo imlica la sazioaieà i seso amio. Egodicià U ocesso sazioaio si dice egodico se ue le oieà saisiche ossoo essee deemiae da u uica ealizzazioe del ocesso. I ale aole le medie di isieme ossoo essee sosiuie da medie emoali: T E[ ( ) ] ( ) d T η e T T

4 Pocesso di Rumoe iaco Si defiiscoo ocessi di umoe biaco i ocessi socasici caaeizzai dalle seguei oieà: E [ ( ) ] ( ) 0 cosae τ 0 essedo - ( τ ) 0 La fuzioe di desià di obabilià è Gaussiaa co media ulla e vaiaza cosae. Il fao che la covaiaza sia ulla sigifica che o c è coelazioe e emi diffeei. I siesi i u ocesso di umoe biaco i valoi di vaiabili casuali misuae ad u emo soo comleamee scoelai da quelli misuai ad u emo co cioè o vi è memoia del assao. Pocesso di Makov osideiamo u geeico ocesso socasico ed esimiamo la sua fuzioe di desià di obabilià i fuzioe della obabilià codizioaa ( ;...; ) > >... Se la geeica obabilià codizioaa uò essee esessa solo i fuzioe di alloa il ocesso si dice di Makov. ( ;...; ) ( ) Sosazialmee i queso io di ocessi la saisica del assao o iflueza quella del fuuo fissaa la codizioe del esee ( ). 4

5 5 licado la defiizioe di obabilià codizioaa si ha: ( ) ( ) ( ) ( ) ; d d che foisce la obabilià al emo > oa la obabilià codizioaa ( ). Pe la obabilià codizioaa si ha aalogamee: ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; d d alicado ifie la defiizioe di ocesso di Makov si ha: ( ) ( ) ( ) ( ) ; d d e quidi ( ) ( ) ( ) d chiamaa equazioe di hama-kolmogoov che lega le obabilià codizioae l ua all ala. Si uò deivae la foma diffeeziale dell'equazioe di hama-kolmogoov: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] + + )' ( ) ( )' ( ) ( ' ' ' y z W y z z W dz y y y dove () è chiamao emie di dif (deiva) () emie di diffusioe e W( y) defiisce i ocessi di salo. e W soo fuzioi caaeisiche del aicolae oblema che si vuole sudiae.

6 U ocesso di Makov si dice coiuo se e qualuque ε>0 si ha: lim 0 d ( + z ) 0 z > 0 uifomemee i z e. I aicolae si uò dimosae che l'equazioe di hama-kolmogoov defiisce u ocesso coiuo se e'ullo il emie W. (figua) U caso aicolae dell equazioe di hama-kolmogoov che defiisce u ocesso makoviao coiuo è l equazioe di Fokke-Plack oeua dalla ecedee oedo a zeo il emie discoiuo W: ( y ) ' [ ( ) ( y ' )] + [ ( ) ( y ' )] Usado la elazioe: ( ) ( ; y ' ) dy ( y ' ) ( y ' ) dy si uò mosae che l equazioe di Fokke Plack è valida ache e la geeica () co la codizioe iiziale ( ) ( ) ' ' e quidi ossiamo iscivee quesa equazioe come ( ) + [ ( ) ( )] ( ) ( ) [ ] L equazioe di Fokke-Plack uò essee uilizzaa e la soluzioe ad esemio del oblema del moo owiao. Ifai si uò dimosae che esise ua elazioe a ques ulima e l equazioe di Lagevi equazioe socasica diffeeziale lagagiaa che descive queso io di moo. L equazioe di Lagevi uò essee scia come: ( ) ( ) ε ( ) d a d + b d dove a() e b() soo fuzioi iiche del aicolae oblema i esame e ε() è u emie casuale aidamee vaiabile ale che: ε( ) ε( ' ) δ ( ' ) 6

7 cioè u ocesso di umoe biaco. ( ) ε 0 E ossibile dimosae che u feomeo di queso io è aeseabile come u ocesso Makoviao e coiuo quidi descivibile dal uo di visa saisico da ua fuzioe di desià di obabilià ( ). Esisoo delle elazioi che legao le fuzioi a() b() e () () oeibili a aie dalla fomula di Io iguadae la defiizioe del diffeeziale di ua fuzioe f(()) dove ovviamee () aesea u ocesso socasico Makoviao coiuo (Gadie 990). Quese elazioi soo: a b ( ) ( ) ( ) ( ) Quidi ossiamo scivee l equazioe di Fokke-Plack come: ( ) [ ] [ a( ) ( ) ] + b ( ) ( ) Daa la fuzioe desià di obabilià () ossiamo usae l equazioe di Fokke- Plack e icavae le quaià a() e b() che uilizzae ell equazioe di Lagevi emeoo di descivee ad esemio il moo owiao o il moo di ua aicella i u camo di velocià uboleo. Pocesso di Wiee Ua aicolae soluzioe dell'equazioe di Fokke-Plack el caso i cui si abbia ()0 e () è il ocesso di Wiee u ocesso socasico co media ulla e vaiaza oozioale a e cui: E[ ( ) ] 0 E[ ( ( ) η( ) ) ] E[ ( ) ] α 7

8 La disibuzioe di obabilià di queso ocesso è Gaussiaa: ( ) e πα α Pe emi odiai > > vale ache la seguee codizioe: E [( ( ) ( )) ( ( ) ( ))] 0 che sigifica che gli icemei i u ocesso di Wiee soo scoelai (idiedei). U ocesso di Wiee uò essee scio come: ( ) ( τ ) dτ 0 dove (τ) è u ocesso di umoe biaco. Da ciò segue che: d( ) ( ) d quidi gli icemei ifiiesimi di queso io di ocesso cosiuiscoo u ocesso di umoe biaco. Il ocesso di Wiee uò essee cosideao come caso limie coiuo di u ocesso disceo deo di adom walk. 8

9 Momei di ua disibuzioe di obabilià La descizioe saisica di ua geeica vaiabile s uò essee oeua aaveso la coosceza dei suoi momei o equivaleemee della sua fuzioe di desià di obabilià (s). Si ha e il momeo di odie : e e il momeo ceao di odie : s s s ( s ) s ds ( s s) ( s) ds Teoicamee uò adae fio all ifiio cioè eoicamee ossoo esisee ifiii momei della gadezza saisica s. i fii aici ci si fema ad uilizzae i imi e o quao momei. la media o momeo del imo odie s s s ( s ) s s ds la vaiaza o momeo ceao del secodo odie s s (o ) - s ( s s) ( s ) s ds - la skewess (o omalizzaa) momeo ceao del ezo odie s s s ( s s) ( s ) s ds - la kuosis (o omalizzaa) momeo ceao del quao odie s 4 s 4 s 4 4 ( s s) 4 ( s ) s ds (Nomalmee co skewess e kuosis si iedoo i momei omalizzai co ooue oeze si ) - 9

10 Disibuzioe di obabilià (PDF) bi-gaussiaa La disibuzioe e oeua a aie da ua combiazioe lieae ella vaiabile w di due disibuzioi Gaussiae: ( ) ( ) + ( ) P w z P w P w a Quese due disibuzioi Gaussiae soo caaeizzae dall avee valoe medio o ullo (w e w iseivamee) e i geeale divesi valoi di vaiaza ( ). I coefficiei e egoo coo del eso delle due gaussiae. Si oi che la disibuzioe bi-gaussiaa uò essee esaa semlicemee come u aificio maemaico e oe iodue valoi dei momei sueioi al secodo. La coisodeza fisica co la disibuzioe eale e assicuaa uicamee dalla coicideza dei valoi assui da ali momei. Possiamo scivee quesa PDF quidi come: ( ) P w z e w w π + e w w π Si devoo quidi deemiae w w e i modo ale che la P(wz) soddisfi le equazioi e la defiizioe degli momei della disibuzioe: w ( w z) dw w P ( w z) dw + w P ( w z) w P dw dove w soo i momei misuai delle PDF eali. I aicolae assumedo il valo medio ullo e i imi quao momei si oegoo le seguei elazioi: + w + w 0 ( ) ( ) w + + w + w 0

11 ( ) ( ) w + w + w + w w ( 6 ) ( 6 ) w + w + + w + w + w Risolvedo queso sisema si deemiao i valoi di w w oi ovviamee i 4 momei della PDF. ome si uò vedee il sisema è fomao da 5 equazioi i cui comaioo 6 icogie. Pe essee isolo uivocamee occoe fissae ua codizioe sulemeae che ci emea di legae ua delle icogie alle ale o ad ua ae delle ale. E da oae che la coosceza del quio momeo della disibuzioe emeeebbe di oeee ua soluzioe esaa seza dove icoee a essua codizioe sulemeae. Nella ealà eò uò essee difficile i moli casi avee sime aedibili del quio momeo. Pe ovviae a quesi oblemi soo sai oosi divesi schemi di chiusua del sisema a i quali ioiamo il seguee valido el caso i cui si cooscao o si uilizzio solo i imi momei. Luha ad ie (985) uilizzado solo le ime 4 equazioi del sisema ooseo come codizioi di chiusua le seguei elazioi: oeedo: w w w ( ) 8 ( ) w w + w 4 w w w w w w w w

12 PDF di Gam-halie Il secodo io di PDF si basa su uo sviluo i seie di deivae della fuzioe Gaussiaa sadadizzaa (dove si è effeuaa la sosiuzioe α( ) e π µ ): se si idica co D d abbiamo che d ( D) α( ) H ( ) α ( ) co H () oliomio di Hemie di gado. Sciviamo quidi la PDF come: P( ) H ( ) α( ) j 0 j dove molilicado e ( ) H e iegado da a - si oiee eedo coo delle codizioi di oogoalià a oliomi di Hemie: P( ) H ( ) d! Sosiuedo gli eslicii valoi di ( ) H e cosideado i momei della disibuzioe ifeii ad u valo medio ullo i coefficiei soo defiii come: j 0 0 ( µ ) µ ( µ 6 µ ) 4 4 dove co µ si soo idicai i vai momei della disibuzioe. Oeiamo ifie che la PDF ella foma sadadizzaa è uguale a:

13 ( ) α( ) [ ] P H + H + H + H + H + ( ) [ H + H + H + ] ( ) α α + H + ( ) H +... µ µ dove co la sadadizzazioe si è sosiuio a il valoe µ da cui deiva ( i quao ella foma sadadizzaa µ µ / ). I aicolai valoi di µ µ 4 così sadadizzai soo chiamai iseivamee Skewess e Kuosis. Quesa aicolae esessioe della PDF è chiamaa esasioe i seie di Gam halie io. I aicolae ossiamo iscivela cosideado solo momei fio al ezo odie come: dove w w e: e P( z) ( + H) π H µ 6 6 w ( w )