Lezioni di Aritmetica Modulare
|
|
- Giuliana Bevilacqua
- 6 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Lezioni di Aritmetica Modulare Antonino Salibra Università Ca Foscari Venezia 31 Ottobre 2017 Nel seguito indicheremo con Z l insieme dei numeri interi. Scriveremo talvolta a b al posto di a divide b. Questo significa che esiste c Z tale che b = ac. Ricordiamo che ogni numero intero divide Massimo comun divisore Lemma 1.1. Dati due interi a e b con b 0, esiste un unica coppia di interi q (quoziente) ed r (resto) tali che a = bq + r con 0 r < b, dove b è il valore assoluto di b. Proof. Consideriamo l insieme A = {a bz : z Z}. Sia r il minimo elemento positivo di A. Allora esiste q Z tale che a = bq + r. Se fosse r > b, allora 0 < r b < r. Se b > 0, allora a = b(q + 1) + (r b), mentre se b < 0 allora a = b(q 1) + (r b ). In ogni caso, r non sarebbe il minimo elemento positivo di A. Contraddizione. Example 1.1. Se a = 17 e b = 3, allora 17 = ( 3)( 5) + 2. Se a = 17 e b = 3 allora 17 = ( 3) Se a 1,..., a n sono interi, allora a 1 Z + + a n Z denota l insieme di tutti gli interi che hanno la forma x 1 a x n a n per opportuni x 1,..., x n Z. Se a Z, allora az = {ka : k Z} è l insieme dei multipli di a. L insieme a 1 Z + + a n Z si chiama ideale generato da a 1,..., a n. Consideriamo due esempi: 2Z + 3Z = Z perché 1 = 3 2 e quindi un arbitrario intero x si scrive come 3x + 2( x), mentre lasciamo al lettore la verifica che l ideale 4Z + 10Z è l insieme dei numeri pari. Lemma a b 1,..., a b n sse b 1 Z + + b n Z az. 2. a = ±b sse bz = az. In particolare, abbiamo: b è un multiplo di a sse bz az e a divide b sse az bz Lemma 1.3. Siano a e b numeri interi non entrambi nulli. Allora az + bz = dz, dove d è il minimo intero positivo che appartiene all ideale az + bz. 1
2 Lezioni di Aritmetica Modulare 2 Proof. Da d az + bz si ricava d = xa + yb per opportuni x, y Z. Quindi ogni multiplo di d si scrive come kd = (kx)a + (ky)b, da cui si ha dz az + bz. Viceversa, proviamo che az+bz dz. Sia c az+bz, ossia c = za+tb per opportuni z, t. Dividendo c per d si ottiene c = dq + r per opportuni q ed r tali che 0 r < d. Sostituendo c = za + tb e d = xa + yb si ricava: za + tb = qxa + qyb + r. Quindi r = (z qx)a + (t qy)b az + bz. Siccome d è il minimo intero positivo in az + bz, si deduce r = 0 e quindi c = dq dz. Lemma 1.4. Siano a e b numeri interi. Allora esiste un unico numero d 0 che verifica le seguenti proprietà: (i) d a e d b; (ii) Se c a e c b, allora c d. Se a, b sono non entrambi nulli, allora dz = az + bz. Proof. Se a = 0 oppure b = 0, allora d = 0, perché 0 è l unico numero intero che ammette come divisori tutti i numeri interi. Se a, b sono non entrambi nulli, applichiamo il Lemma 1.3 per ottenere dz = az + bz. Allora, (i) segue da a, b az + bz = dz. (ii) Dall ipotesi c a e c b segue che a, b cz e quindi dz = az + bz cz. Ossia c divide d. Si noti che, se non utilizzassimo la teoria degli ideali, non sarebbe banale provare la proprietà (ii) del precedente lemma. Definition 1.1. Il massimo comun divisore (MCD) di a e b è il più grande divisore comune di a e b. Il massimo comun divisore di a e b coincide con l unico numero determinato dal Lemma 1.4. Verrà indicato con MCD(a, b) oppure con (a, b). Abbiamo (a, b) = ( a, b ), dove a e b sono il valore assoluto di a e b rispettivamente. Dal Lemma 1.4 segue che (0, 0) = 0. Due numeri interi a, b si dicono relativamente primi se (a, b) = 1. Un metodo efficiente di calcolo del massimo comun divisore è l algoritmo di Euclide. Lemma 1.5. Siano a e b interi con b 0 e sia a = bq + r con 0 r < b. Allora (a, b) = (b, r). Proof. Abbiamo per ipotesi che bz + rz az + bz, perché r = a bq az + bz. L altra inclusione az + bz bz + rz vale, perché a = bq + r. Allora, applicando il Lemma 1.4 si ottiene la conclusione: (b, r)z = bz + rz = az + bz = (a, b)z. Euclide(int a, int b) : int {int r; while (b 0) do //ripetere finché non riduciamo b a zero begin r := a%b //resto della divisione di a per b;
3 Lezioni di Aritmetica Modulare 3 a := b; b := r; end; return a; //quando b diventa 0, il risultato è a L algoritmo consiste in una serie di divisioni con resto: a = b q 1 + r 2 0 r 2 < b b = r 2 q 2 + r 3 0 r 3 < r 2 r 2 = r 3 q 3 + r 4 0 r 4 < r 3 r 3 = r 4 q 4 + r 5 0 r 5 < r 4... r t 2 = r t 1 q t 1 + r t 0 r t < r t 1 r t 1 = r t q t Allora r t = (a, b) (1) Dati due naturali a, b con a > b, allora c(a, b) è il numero di volte che calcoliamo la divisione con resto nell algoritmo di Euclide per ottenere (a, b). Per esempio, c(a, 1) = 1 per ogni a > 1. Example 1.2. (134, 36) = (36, 26) = (26, 10) = (10, 6) = (6, 4) = (4, 2) = (2, 0). In tal caso, c(134, 36) = 6. Example 1.3. La successione di Fibonacci è definita ricorsivamente come segue: F 0 = 1; F 1 = 1; F n = F n 1 + F n 2. I primi elementi della successione sono: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,.... Il centesimo numero di Fibonacci è F 100 = Se dividiamo F n+1 per F n otteniamo proprio la relazione F n+1 = F n + F n 1, cioé il quoto è 1 ed il resto è F n 1 < F n. F n+1 e F n sono relativamente primi: (F n+1, F n ) = (F n, F n 1 ) = (F n 1, F n 2 ) = = (F 2, F 1 ) = 1. n = c(f n+1, F n ) è il numero di volte che calcoliamo la divisione con resto. Per definizione log 2 (b) è uguale al numero reale x tale che 2 x = b. Lemma 1.6. Siano a > b interi positivi. Il numero di volte che iteriamo la divisione con resto nell algoritmo di Euclide è al più 2log 2 (b) + 1. Proof. Siano r 0 = a e r 1 = b e r 0 = r 1 q 1 + r 2 0 r 2 < r 1 r 1 = r 2 q 2 + r 3 0 r 3 < r 2 r 2 = r 3 q 3 + r 4 0 r 4 < r 3 r 3 = r 4 q 4 + r 5 0 r 5 < r 4... r t 2 = r t 1 q t 1 + r t 0 r t < r t 1 r t 1 = r t q t (2)
4 Lezioni di Aritmetica Modulare 4 Allora r i > 2r i+2, per ogni i 0. Infatti, (3) r i = r i+1 q i+1 + r i+2 0 r i+2 < r i+1 r i+1 + r i+2 r i > r i+1 da cui segue q i+1 1 > 2r i+2 r i+2 < r i+1 Iterando il procedimento si ottiene: b = r 1 > 2r 3 > 2 2 r 5 > > 2 k r 2k+1. Se 2 k > b segue che r 2k+1 < 1, ossia r 2k+1 = 0. In termini dell algoritmo di Euclide (2) si ha r t+1 = 0, così abbiamo t + 1 2k + 1, da cui t 2k. Inoltre vi sono esattamente t divisioni effettuate in (2), così l algoritmo di Euclide termina in al più 2k iterazioni. Consideriamo il più piccolo k tale che 2 k b > 2 k 1. Allora si ha: numero di iterazioni 2k = 2(k 1) + 2 < 2log 2 (b) + 2. Lemma 1.7. Siano a, b numeri interi non entrambi nulli. Allora esistono interi x e y tali che ax + by = (a, b). Proof. Dal Lemma 1.3 segue az + bz = (a, b)z, dove (a, b) è il massimo comun divisore di a, b. Osservazione: Siano a, b interi non entrambi nulli. Allora l equazione lineare ax + by = 0 rappresenta la retta dei vettori (x, y) che sono ortogonali al vettore (a, b). Il Lemma 1.3 afferma che la retta ax + by = c parallela alla retta ax + by = 0 passa attraverso dei punti che hanno coordinate intere sse c è un multiplo di (a, b). Theorem 1.1. (Proprietà di Bézout) Siano a, b, c numeri interi e sia d = (a, b) il massimo comun divisore di a, b. Allora l equazione lineare ax + by = c ha soluzioni intere sse d c. Proof. Dal Lemma 1.3 si ha az + bz = dz. Quindi c az + bz sse c dz. Example 1.4. Trovare una soluzione intera dell equazione 240x + 36y = 12. Possiamo dividere tutti i coefficienti per 12 ed ottenere 20x + 3y = 1. Siccome 20 e 3 sono relativamente primi (cioé (20, 3) = 1) allora le soluzioni intere di 20x + 3y = 1 esistono. Si vede facilmente che x = 1 e y = 7 è una soluzione di 20x + 3y = 1. La stessa soluzione risolve 240x + 36y = 12. Example 1.5. Trovare una soluzione intera dell equazione 120x + 81y = 12. Dividendo per 3 si ottiene 40x + 27y = 4. Siccome 40 e 27 sono relativamente primi (cioé (40, 27) = 1) allora le soluzioni intere di 40x + 27y = 1 esistono. Applichiamo l algoritmo di Euclide per il calcolo del massimo comun divisore: 40 = e 27 = Quindi 1 = = 27 (40 27) 2 = = ( 2) Quindi una soluzione intera dell equazione 40x + 27y = 4 è: x = 8, y = 12. Le stesse soluzioni funzionano per l equazione lineare 120x + 81y = 12. Example 1.6. Non esistono soluzioni intere dell equazione 6x + 2y = 5, perché 2 = (6, 2) non divide 5.
5 Lezioni di Aritmetica Modulare Massimo comun divisore e matrici Ricordiamo che il minimo comune multiplo di due numeri interi a e b è il più piccolo naturale k tale che a k e b k. È denotato da mcm(a, b). Sia a > b > 0. Consideriamo il sistema lineare [ ] [ ] [ ] 1 0 x a = (4) 0 1 y b [ ] a Esso ammette banalmente come unica soluzione il vettore. Sappiamo anche che ogni b sistema lineare, che si ottiene dal sistema (4) applicando alla matrice completa [ ] 1 0 a A = 0 1 b le regole del metodo di eliminazione di Gauss (scambio di due righe; sostituzione di una riga con la somma della riga stessa [ ] con un altra moltiplicata per uno scalare r) ammette a come unica soluzione il vettore. b Se a = bq + r con 0 r < b, si sottrae alla prima riga q volte la seconda riga e poi si scambiano la prima e la seconda riga: [ ] [ ] [ ] [ ] 1 0 a 1 q a bq 1 q r 0 1 b = 0 1 b 0 1 b 0 1 b 1 q r Siccome b > r, si procede in maniera simile fino a quando nella terza colonna della matrice non appare uno 0 in posizione A 23. Alla fine otterremo una matrice [ c d ] n e f 0 per cui il sistema lineare [ c d e f [ ] a ha come unica soluzione il vettore. b [ ] [ ] c d a = e f b ] [ x y ] = [ ] n 0 [ ] ca + db = ea + fb [ ] n 0
6 Lezioni di Aritmetica Modulare 6 L algoritmo è il seguente. Matrice(nat a, nat b) {matrix [ A; nat] q, z} 1 0 a A := ; 0 1 b while (A 23 0) do //ripetere finché non riduciamo A 23 a zero begin q := A 13 A 23 //quoto della divisione A 13 = A 23 q + r con resto 0 r < A 23 ; for i := 1 to 3 do A 1i := A 1i qa 2i ; //Sottrai q volte la riga 2 dalla riga 1 di A ; for i := 1 to 3 do z := A 1i ; A 1i := A 2i ; A 2i := z; Scambia le righe 1 e 2 della matrice A; end; return A 13 = A 11 a + A 2 b; // A 23 = 0 implica (a, b) = A 13 = A 11 a + A 12 b return A 21 a = A 22 b; // A 23 = 0 implica mcm(a, b) = A 21 a = A 22 b Example 1.7. Calcoliamo il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo di 53 e 71 con il metodo matriciale: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Quindi, [ ] [ ] da cui = [ ] = [ ] 1 0 (71, 53) = 1 = ; mcm(71, 53) = Example 1.8. (134, 36) = (26, 36) = (26, 10) = (6, 10) = (6, 4) = (2, 4) = (2, 0) perché [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Quindi, [ ] [ ] da cui = [ ] = (134, 36) = 2 = ; mcm(134, 36) = = = Example 1.9. Calcoliamo il massimo comun divisore di numeri di Fibonacci consecutivi (si veda esempio 1.3). Poniamo F 2 = 1 e F 1 = 0. [ ] [ ] [ ] [ ] 1 0 Fn 0 1 Fn Fn Fn F n F n F n F n 4 [ ] 2 0
7 Lezioni di Aritmetica Modulare 7 [ ] [ ] [ ] 2 3 Fn Fn Fn F n F n F n 7 Si noti che i numeri 2, 3, 5, 8, 13,... che compaiono nella matrice sono numeri di Fibonacci. In altri termini, [ ] [ ] [ ] [ ] F 2 F 1 F n F 1 F 0 F n 1 F0 F 1 F n 2 F1 F 2 F n 3 F 1 F 0 F n 1 F 0 F 1 F n 2 F 1 F 2 F n 3 F 2 F 3 F n 4 [ ] [ ] [ ] F2 F 3 F n 4 F3 F 4 F n 5 F4 F 5 F n 6... F 3 F 4 F n 5 F 4 F 5 F n 6 F 5 F 6 F n 7 Si noti che ad ogni passo abbiamo F 2i F n F 2i+1 F n 1 = F n (2i+2) ; F 2i 1 F n F 2i F n 1 = F n (2i+1) Se n è pari e 2i + 2 = n si ha Se n è dispari e 2i + 1 = n si ha 1 = F 0 = F n 2 F n F 2 n 1. F 2 n 1 F n 2 F n = 1 = (F n, F n 1 ); F n 1 F n F n F n 1 = F 1 = 0; mcm(f n, F n 1 ) = F n 1 F n L algoritmo di Euclide ed i numeri di Fibonacci sono collegati come segue. Siano r 0 = a > r 1 = b due numeri interi positivi arbitrari. Allora, r 0 = r 1 q 1 + r 2, 0 r 2 < r 1. Da r 1 = r 2 q 2 + r 3, 0 r 3 < r 2. e da q 2 > 0 si ottiene Similmente, Da q 3 > 0 si ottiene e quindi In generale abbiamo b = r 1 > r 2 + r 3 > 2r 3 r 2 = r 3 q 3 + r 4, 0 r 4 < r 3. r 2 > r 3 + r 4 > 2r 4 b = r 1 > r 2 + r 3 > 2r 3 + r 4 = F 2 r 3 + F 1 r 4 > 3r 4 = F 3 r 4. dove F n è l ennesimo numero di Fibonacci. b = r 1 > F n 1 r n + F n 2 r n+1 > F n r n+1,
8 Lezioni di Aritmetica Modulare 8 Figure 1. Aritmetica dell orologio 2. L aritmetica dell orologio L aritmetica modulare (o aritmetica dell orologio) è stata introdotta da Gauss ad inizio ottocento. Consideriamo un orologio con n > 0 tacche che corrispondono ad i numeri da 0 a n 1 (Si veda la figura per il caso n = 9). Indichiamo con Z n = {0, 1,..., n 1}. Scorriamo l orologio in senso orario partendo da 0. Una mossa +1 consiste nello spostarsi in senso orario dalla tacca in cui ci troviamo alla tacca successiva. La mossa +1 corrisponde all operazione di aggiungere 1. Quando arriviamo al numero n 1 ed eseguiamo una ulteriore mossa +1, scopriamo che (n 1) + 1 = 0 anziché (n 1) + 1 = n. Quindi, contrariamente ai numeri naturali, il numero 0 è il successore del numero n 1 e la funzione determinata dalle mosse +1 definisce una funzione bigettiva dall insieme Z n nell insieme Z n. Viceversa, scorriamo l orologio in senso antiorario partendo da 0. Una mossa 1 consiste nello spostarsi in senso antiorario dalla tacca in cui ci troviamo alla tacca precedente. La mossa 1 corrisponde a sottrarre 1. Quindi 0 1 = n 1 anziché essere indefinito come avviene nell aritmetica dei numeri naturali. La funzione determinata dalle mosse 1 definisce una funzione bigettiva dall insieme Z n nell insieme Z n. Essa è la funzione inversa della funzione determinata dalle mosse +1. Come possiamo rappresentare un intero a nell orologio? Adottiamo due strategie diverse se a è positivo oppure negativo. Se a è positivo, eseguiamo esattamente un numero di mosse +1 pari ad a volte partendo da 0. La tacca in cui ci troviamo rappresenta il numero intero positivo a nell orologio. Se a è negativo, eseguiamo esattamente un numero di mosse 1 pari a a volte partendo da 0. La tacca in cui ci troviamo rappresenta il
9 Lezioni di Aritmetica Modulare 9 numero intero negativo a nell orologio. In entrambi i casi la tacca del numero a rappresenta il numero mod n (a) che è il resto della divisione di a per n. Esso è un numero naturale compreso tra 0 e n 1. Notazione: Talvolta scriviamo a mod n al posto di mod n (a). Definiamo la somma + n (modulo n) ed il prodotto n (modulo n) sui numeri interi come segue: a + n b = mod n (a + b); a n b = mod n (ab). Il risultato della somma e del prodotto è sempre un valore compreso tra 0 e n 1, quindi rappresentabile nell orologio. Lemma 2.1. L insieme Z n = {0, 1,..., n 1} è chiuso rispetto alle operazioni di somma + n e prodotto n. Per semplificare i conti, utilizziamo la seguente proposizione Proposition 2.1. Valgono le seguenti uguaglianze (a, b Z): 1. mod n (a + b) = mod n (mod n (a) + mod n (b)); 2. mod n (ab) = mod n (mod n (a) mod n (b)). Example 2.1. Sia n = 9. Allora mod 9 (95 37) = mod 9 (mod 9 (95)+mod 9 (37)) = mod 9 (5 2) = mod 9 (10) = 1. Se non avessimo utilizzato la proposizione avremmo dovuto calcolare mod 9 (3515), che è più difficile specialmente se n è grande. Se ci restringiamo ad i numeri compresi tra 0 e n 1, possiamo anche definire la somma + n come segue (0 a, b < n): a se b = 0 a + n b = a + 1 se b = 1 (a + n (b 1)) + 1 se b 0, 1. Example = ( ) + 1 = (( ) + 1) + 1 = ((7 + 1) + 1) + 1 = (8 + 1) + 1 = = 1. Possiamo definire il prodotto n sui numeri tra 0 e n 1 utilizzando la somma modulare + n : 0 se b = 0 a n b = a se b = 1 (a n (b 1)) + n a se b 0, 1. Example = (7 9 2) = ((7 9 1) + 9 7) = ( ) = = 3. Nella parte finale abbiamo applicato la definizione della somma + 9 per arrivare al risultato finale 3. L aritmetica dell orologio è correlata alla teoria delle congruenze che introduciamo nella prossima sezione.
10 Lezioni di Aritmetica Modulare Congruenze Le tacche numerate dell orologio della sezione precedente sono i rappresentanti delle n classi di equivalenza di una relazione di equivalenza n definita sugli interi. Nella prossima definizione definiamo la relazione n. Definition 3.1. Sia n > 0. Diciamo che a, b Z sono congruenti modulo n, e scriviamo se mod n (a) = mod n (b). a b (mod n) oppure a n b, Quindi abbiamo a n b se il resto della divisione di a per n è uguale al resto della divisione di b per n. Lemma 3.1. Sia n > 0 e siano a e b numeri interi. Allora, a n b sse n divide b a. Proof. Supponiamo che a n b. Allora, dividendo a e b per n, si ha: a = q 1 n + r e b = q 2 n + r con 0 r < n. Ne segue che b a è divisibile per n: b a = n(q 2 q 1 ). Per la direzione opposta, supponiamo che b a = nt per un opportuno t Z. Dividiamo sia a che b per n: a = q 1 n + r 1 e b = q 2 n + r 2 con 0 r 1, r 2 < n. Allora, b a = n(q 2 q 1 ) + (r 2 r 1 ) = nt, da cui segue r 2 r 1 = n(t + q 1 q 2 ). Ma r 2 r 1 < n. Quindi l unica possibilità è che r 1 = r 2. Lemma 3.2. La relazione n è una relazione di equivalenza su Z che è compatibile rispetto alle operazioni di addizione, moltiplicazione e esponenziazione di interi: (i) a n b c n d a + c n b + d. (ii) a n b c n d ac n bd. (iii) a n b a k n b k. Proof. Sia mod n (a) = mod n (b) e mod n (c) = mod n (d). (i) Sia Dalla Proposizione 2.1(1) e dall ipotesi si ha: mod n (a + c) = mod n (mod n (a) + mod n (c)) = mod n (mod n (b) + mod n (d)) = mod n (b + d). (ii) La prova è simile a quella del punto (i). (iii) La prova è per induzione su k utilizzando (ii). La relazione n partiziona Z in n classi di equivalenza. Se a è un intero scriveremo [a] n per la classe di equivalenza di a modulo l equivalenza n. Ecco la partizione determinata da n : [0] n = {kn : k Z}; [1] n = {1 + kn : k Z};... [n 1] n = {(n 1) + kn : k Z}. Scegliamo come rappresentanti delle classi di equivalenza i numeri 0, 1, 2,..., n 1. Questi numeri corrispondono alle tacche di un orologio che segna le ore da 0 sino ad n 1 (si veda la figura con n = 4). Le operazioni di somma + n e prodotto n, definite nella sezione precedente, agiscono sulle classi di equivalenza modulo n tramite i loro rappresentanti.
11 Lezioni di Aritmetica Modulare 11 Figure 2. Aritmetica dell orologio modulo 4 Proposition 3.1. L insieme Z n = {0, 1, 2,..., n 1} con le operazioni di somma + n e prodotto n modulo n (come definite nella sezione precedente nel caso n = 9) costituisce un anello commutativo con unità. (Z n, + n, 0) è un gruppo commutativo rispetto alla somma: Proprietà associativa: (x + n y) + n z = x + n (y + n z); Proprietà commutativa: x + n y = y + n x; Elemento neutro: x + n 0 = x = 0 + n x; Opposto: x + n ( x) = 0 = ( x) + n x. (Z n, n, 1) è un monoide commutativo rispetto al prodotto: Proprietà associativa: (x n y) n z = x n (y n z); Proprietà commutativa: x n y = y n x; Elemento neutro: x n 1 = x = 1 n x; Il prodotto distribuisce rispetto alla somma: x n (y + n z) = (x n y) + n (x n z). Nei prossimi due lemmi studiamo proprietà di cancellazione e periodicità delle potenze. Lemma 3.3. Proprietà di cancellazione: ac n bc (c, n) = 1 a n b.
12 Lezioni di Aritmetica Modulare 12 Proof. Dal Lemma 1.7 e dall ipotesi (c, n) = 1 esistono interi x e y tali che cx + ny = 1. Siccome cx = n( y) + 1, allora cx n 1. Dal Lemma 3.2(ii) si ricava acx n a e bcx n b. Dall ipotesi ac n bc segue che acx n bcx. Quindi a n b. Lemma 3.4. Sia n > 0 ed a un intero. La sequenze di potenze modulo n a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a mod n (a 1 ) mod n (a 2 ) mod n (a 3 ) mod n (a 4 ) mod n (a 5 ) mod n (a 6 )... è periodica a partire da un certo punto in poi: esistono k e p n tali che a k n a k+rp per ogni r 0. Example 3.1. Calcoliamo le potenze del 3 modulo 7: Il periodo è 6. Per esempio Infatti 3 8 = Example 3.2. Calcoliamo le potenze del 2 modulo 8: Il periodo è 1 a partire da Concludiamo la sezione con una serie di esempi che provano l utilità della Proposizione 2.1 e dell aritmetica modulare. Example 3.3. Vogliamo calcolare qual è il resto della divisione di per 5. Siccome 10 è divisibile per 5, si ha che = Example 3.4. Vogliamo calcolare qual è il resto della divisione di per 7. Siccome 10 è 3 modulo 7, si ha che = = 5 Example 3.5. Vogliamo determinare mod 5 ( ). Piuttosto che eseguire prima la moltiplicazione e poi il calcolo del resto della divisione per 5, calcoliamo direttamente il resto della divisione di per 5 ed il resto della divisione di per 5. Si ha: mod 5 (95758) = 3 e mod 5 (37988) = 3. Quindi mod 5 ( ) = 4. Example 3.6. Calcoliamo modulo 7. Siccome 3 3 = , allora = = (3 3 ) ( 1) 42 2 = 2.
13 Lezioni di Aritmetica Modulare Teoremi di Fermat e di Wilson Pierre de Fermat, uno dei matematici più importanti dell ultimo millennio, è nato il 17 agosto 1601 a Beaumont-de-Lomagne (Francia) ed è morto il 12 gennaio 1665 a Castres. Era magistrato di professione e si occupava di matematica nel tempo libero. Presentiamo qui di seguito uno dei suoi risultati più importanti. Theorem 4.1. (Piccolo Teorema di Fermat) Se p è un numero primo e p non divide a, allora a p 1 p 1. Proof. Consideriamo i seguenti multipli positivi di a: a, 2a, 3a,..., (p 1)a. Nessuno di questi numeri è congruente ad un altro modulo p: se na p ma allora dal Lemma 3.3 potremmo cancellare a ed ottenere m p n, che è impossibile in quanto 1 n, m p 1. Quindi i numeri a, 2a, 3a,..., (p 1)a modulo p corrispondono in un qualche ordine ai numeri 1, 2, 3,..., p 1. Si ha quindi: da cui a 2a 3a (p 1)a p (p 1) a p 1 (p 1)! p (p 1)! Cancellando (p 1)!, che non è divisibile per p, da entrambi i membri otteniamo la conclusione 1. Corollary 4.1. Se p è primo, allora a p p a. Example 4.1. Vogliamo calcolare modulo 13. Applicando il Piccolo Teorema di Fermat sappiamo che Quindi = = (5 12 ) = 5 8 = (5 2 ) 4 13 ( 1) 4 = 1 Theorem 4.2. Se p e q sono primi distinti tali che a p q a e a q p a, allora a pq pq a. Proof. Dal Corollario 4.1 si ha (a p ) q q a p e (a q ) p p a q. Per ipotesi a p q a e a q p a, quindi a pq q a e a pq p a. In conclusione p a pq a e q a pq a e quindi pq a pq a. 1 Un altra prova del Piccolo Teorema di Fermat si ottiene per induzione su a come segue. La base dell induzione a = 1 è ovvia. Supponiamo vero il teorema per a e dimostriamolo per a + 1: Siccome (a + 1) p = p! i!(p i)! p 0 per ogni 1 i p 1 si ha: perché per ipotesi di induzione a p p a. p p! ( i!(p i)! )ai i=0 (a + 1) p p a p + 1 p a + 1.
14 Lezioni di Aritmetica Modulare 14 Example 4.2. Consideriamo p = 11 e q = 31 numeri primi. Allora 2 11 = = = 2. Per il Piccolo Teorema di Fermat si ha anche: 2 31 = 2(2 10 ) = 2. Applicando il teorema precedente si ha che si può anche scrivere Theorem 4.3. Se p è un numero primo, allora (Z p, + p, 0, p, 1) è un campo numerico. Proof. Dalla Proposizione 3.1 dobbiamo soltanto provare che ogni elemento a Z p ha un inverso. La conclusione segue dal Piccolo Teorema di Fermat perché Quindi a p 2 è l inverso di a. aa p 2 p 1. Theorem 4.4. (Teorema di Wilson) Se p è primo, allora (p 1)! p 1. Proof. Supponiamo p > 3 primo. Sia 1 a p 1. Consideriamo la congruenza lineare ax p 1. Siccome a e p sono relativamente primi, questa congruenza ammette un unica soluzione modulo p. Quindi esiste un unico a con 1 a p 1 tale che aa p 1. Dal fatto che p è primo segue che a = a soltanto per a = 1 e a = p 1. Infatti la congruenza quadratica a 2 p 1 si scrive a 2 1 = (a 1)(a + 1) p 0. Si ricava a = 1 oppure p a + 1 da cui a = p 1. Da tutto questo segue che 2 3 (p 2) p 1 che si scrive anche Quindi (p 2)! p 1. (p 1)! = (p 1) (p 2)! p p 1 p 1. Chiudiamo questa sezione con una applicazione del Teorema di Wilson allo studio delle congruenze quadratiche. Theorem 4.5. Sia p un numero primo dispari. La congruenza quadratica x 2 p 1 ammette una soluzione modulo p sse p 4 1.
15 Lezioni di Aritmetica Modulare 15 Proof. () Supponiamo che esista a tale che a 2 p 1. Ricordiamo che p 1 è un numero pari. Dal Piccolo Teorema di Fermat abbiamo: 1 p a p 1 = (a 2 ) p 1 2 p ( 1) p 1 2. Ne segue che p 1 è pari e quindi p 1 è divisibile per 4. In altri termini, p ( ) Supponiamo che p 4 1. Dal Teorema di Wilson abbiamo (p 1)! p 1. Siccome p 1 è pari, allora possiamo dividere i numeri da 1 a p 1 in due parti equinumeriche: 2 i numeri da 1 a p 1 2 2,..., p+1 2 p p 1 p+1, ed i numeri da a p 1. Abbiamo che p 1 2 p 1, p 2 p. Quindi 2 1 p (p 1)! p ( p 1 p 1 )!( 1) 2 p 1 2 ( 2 )! = (p 1 2!)2. 5. Teorema di Eulero Leonhard Euler, noto in Italia come Eulero, è stato il più importante matematico del diciottesimo secolo. Eulero è nato il 15 aprile 1707 a Basilea in Svizzera ed è morto il 18 settembre 1783 a San Pietroburgo in Russia. Si definisca la seguente funzione di Eulero: φ(n) = numero di interi positivi n che sono relativamente primi con n. Example 5.1. Se n è primo, φ(n) = n 1. Ecco altri esempi: φ(8) = 4 e φ(14) = 6. Lemma 5.1. n è primo sse φ(n) = n 1. Proof. Se φ(n) = n 1 allora tutti i numeri da 1 a n 1 sono primi con n. Quindi, n è primo. Lemma 5.2. Se p è primo, allora φ(p k ) = p k p k 1 = p k (1 1 p ). Proof. Si ha: (a, p k ) = 1 sse p a. Vi sono p k 1 interi tra 1 e p k che sono divisibili per p: p, 2p, 3p,..., (p k 1 )p. Quindi l insieme {1, 2,..., p k } contiene p k p k 1 interi relativamente primi con p. Per esempio, φ(9) = φ(3 2 ) = = 6. Lemma 5.3. Se a e b sono relativamente primi, allora φ(ab) = φ(a)φ(b). Proposition 5.1. Sia n > 0. L insieme degli interi relativamente primi con n è chiuso rispetto all operazione di moltiplicazione (modulo n) e costituisce un gruppo moltiplicativo. Proof. Sia (a, n) = 1 e (b, n) = 1. Allora si vede facilmente che (ab, n) = 1. Dal Lemma 1.7 esistono interi x, y tali che ax + ny = 1. Ne segue che ax n 1 ed x è l inverso di a.
16 Lezioni di Aritmetica Modulare 16 Theorem 5.1. (Teorema di Eulero) Se n è un intero positivo e (a, n) = 1, allora a φ(n) n 1. Proof. Siano b 1, b 2,..., b φ(n) i numeri minori di n che sono relativamente primi con n. Allora ab 1, ab 2,..., ab φ(n) sono congruenti a b 1, b 2,..., b φ(n) in qualche ordine. Ne segue che (ab 1 ) (ab 2 ) (ab φ(n) ) = a φ(n) (b 1 b 2 b φ(n) ) n b 1 b 2 b φ(n) Siccome ogni b i è primo con n possiamo dividere per b 1 b 2 b φ(n) ed ottenere la conclusione. Example 5.2. φ(100) = φ( ) = φ(2 2 )φ(5 2 ) = 100(1 1)(1 1 ) = 40. Dal teorema 2 5 di Eulero si ricava Quindi, per esempio, = = (3 40 ) Infine, 3 16 = (81) ( 19) 4 = (361) Equazioni modulari Theorem 6.1. La congruenza lineare ax n b ha una soluzione sse (a, n) b. Proof. ax n b sse n (ax b) sse q(ax b = nq) sse q(ax nq = b). Dal Teorema 1.1 di Bézout otteniamo che ax n b sse (a, n) b. Example 6.1. Vogliamo trovare, se esiste, una soluzione all equazione modulare 124x Siccome , l equazione si riduce a 53x Calcoliamo il massimo comun divisore di 53 e 71 con il metodo matriciale: [ ] [ ] [ ] [ [ ] Theorem 6.2. (Teorema cinese del resto) Siano n 1,..., n k interi positivi a due a due relativamente primi (i.e., (n i, n j ) = 1 per i j). Allora il sistema di congruenze lineari x a 1 (mod n 1 ) x a 2 (mod n 2 ) x a k (mod n k ) ha una soluzione simultanea che è unica modulo n 1... n k. Diamo due differenti dimostrazioni del teorema. Proof. Per ogni 1 i k si definisca b i = n 1... n i 1 n i+1... n k. ]
17 Lezioni di Aritmetica Modulare 17 Si ha (b i, n i ) = 1. Allora la congruenza lineare b i x i ni 1 ha soluzione. Si noti che b i nj 0 per j i. Allora il numero x = a 1 b 1 x 1 + a 2 b 2 x a k b k x k risolve il sistema di congruenze lineari. Per esempio, x n1 a 1 b 1 x 1 perché b 2, b 3,..., b k n1 0. Inoltre, da b 1 x 1 n1 1 si ottiene la conclusione x n1 a 1. Lo stesso discorso vale per gli altri n i. Supponiamo che oltre ad x vi sia un altra soluzione y. Allora si ricava facilmente che x ni y per ogni 1 i k. Quindi, n 1... n k divide x y (si ricordi che (n i, n j ) = 1 per i j). Si conclude x y mod n 1... n k. Diamo un altra prova del Teorema Cinese del resto utilizzando il Teorema di Eulero. Proof. Per ogni 1 i k si definisca b i = n 1... n i 1 n i+1... n k. Allora risolve il problema. 7. Congruenze quadratiche 8. Applicazione alla Crittografia x = a 1 (b φ(n 1) 1 ) + a 2 (b φ(n 2) 2 ) + + a k (b φ(n k) k ) Questa sezione è essenzialmente la Sezione 4.6 del libro Bellissima-Montagna, Matematica per l Informatica, Carrocci Editore, Vogliamo inviare un messaggio privato ad un nostro interlocutore. Come prima cosa codifichiamo il messaggio con un numero M tramite una codifica elementare. Supponiamo di avere un alfabeto di n caratteri α 1, α 2,..., α n. Associamo a ciascun carattere un numero in progressione evitando i numeri che nella rappresentazione in base 10 contengono degli zeri. Per ogni i, sia c i il numero che codifica il carattere α i. Allora una stringa α i1... α ik si codifica con il numero (in base 10) c i c ik. La cifra 0 è un separatore. Un messaggio scritto con la codifica elementare può essere facilmente decodificato purché il nostro interlocutore conosca l associazione carattere-numero. Questa associazione deve essere inviata al nostro interlocutore per mail e può quindi finire nelle mani di un intruso. Per evitare il problema, criptiamo il messaggio. Concordiamo con ciascuno dei nostri interlocutori una n-upla di numeri a 1,..., a n a due a due relativamente primi. Tali numeri sono conosciuti soltanto allo scrivente ed agli interlocutori. Metodo 1 basa to sul Teorema Cinese del Resto: Sia A = a 1... a n. Possiamo supporre che la codifica elementare M del nostro messaggio sia < A, altrimenti spezziamo il messaggio in più parti. Inviamo al nostro interlocutore non il numero M, ma i numeri b 1 a1 M, b 2 a2 M,..., b n an M. Chi riceve i numeri b 1,..., b n può ricostruire M dal teorema Cinese del resto perché conosce a 1,..., a n. Un eventuale intruso (che non conosce a 1,..., a n ) non potrebbe. Il metodo ha il problema di comunicare i numeri segreti a 1,..., a n ai nostri interlocutori. Metodo 2 : Questo metodo è stato inventato nel 1977 da Ron Rivest, Adi Shamir e Leon Adleman ed è indicato con la sigla RSA.
18 Lezioni di Aritmetica Modulare 18 Ogni utente dispone di una chiave pubblica nota a tutti e una chiave privata. L utente U si procura quattro numeri distinti p, q, n, e molto grandi tali che p, q, e sono numeri primi, n = p q ed inoltre e è relativamente primo con p 1 e q 1 (per esempio, e potrebbe essere un altro numero primo molto grande). I numeri p e q costituiscono la chiave privata nota solo all utente U, mentre i numeri n ed e costituiscono la chiave pubblica, utilizzata per inviare messaggi ad U. In linea di principio, chi riuscisse a scomporre in fattori primi n potrebbe decodificare il messaggio, ma non esistono algoritmi efficienti per la scomposizione in fattori primi. Il signor X vuole inviare un messaggio in codice ad U senza che nessuno lo possa decodificare. Il signor X considera la codifica elementare M del messaggio. Si può supporre che M < n, altrimenti si spezza il messaggio in tante parti e si spediscono separatamente. Possiamo supporre che M sia primo con n. Se no, si può renderlo primo con n aggiungendo un simbolo speciale in fondo. Il signor X cerca nella pagina web di U la chiave pubblica di U, ossia n ed e. Il signor X calcola mod n (M e ). Per calcolare questo numero si applicano le tecniche che abbiamo imparato nelle sezioni precedenti. Il numero N < n tale che N n M e costituisce il messaggio criptato che il signor X invia per al signor U. SOLO U può decodificare N per ottenere M, quindi non è importante se qualcuno intercetta N. Come U decodifica N: U calcola la funzione di Eulero φ(n) = φ(pq) = (p 1)(q 1). Poi l utente U risolve la congruenza modulare ex φ(n) 1. Tale congruenza modulare ammette soluzione perché e è relativamente primo con φ(n) = (p 1)(q 1). Indichiamo con x 0 una soluzione di tale equazione modulare. Dopo U calcola mod n (N x 0 ). Tale numero è la codifica elementare M del messaggio criptato. Infatti N x 0 n (M e ) x 0 n M ex 0. Ora essendo ex 0 φ(n) 1, esiste un numero k tale che ex 0 = 1 + kφ(n). Allora N x 0 n (M e ) x 0 n M ex 0 n M 1+kφ(n) = M(M kφ(n) ) = M(M φ(n) ) k n M per il Teorema di Eulero. Un eventuale intruso per trovare M dovrebbe conoscere φ(n) = (p 1)(q 1), che è impossibile da calcolare se non si conosce la scomposizione in fattori primi di n. Difficilissima da calcolare.
Lezioni di Aritmetica Modulare
Lezioni di Aritmetica Modulare Antonino Salibra Università Ca Foscari Venezia 2 Novembre 2016 Nel seguito scriveremo talvolta a b al posto di a divide b. Ricordiamo che, dati due interi a e b con b 0,
Dettaglinota 1. Aritmetica sui numeri interi.
nota 1. Aritmetica sui numeri interi. Numeri interi. Numeri primi. L algoritmo di Euclide per il calcolo del mcd. Equazioni diofantee di primo grado. Congruenze. Il Teorema Cinese del Resto. 1 0. Numeri
Dettaglinota 1. Aritmetica sui numeri interi.
nota 1. Aritmetica sui numeri interi. Numeri interi. Numeri primi. L algoritmo di Euclide per il calcolo del mcd. Equazioni diofantee di primo grado. Congruenze. Il Teorema Cinese del Resto. 1 0. Numeri
DettagliPiccolo teorema di Fermat
Piccolo teorema di Fermat Proposizione Siano x, y Z, p N, p primo. Allora (x + y) p x p + y p (mod p). Piccolo teorema di Fermat Proposizione Siano x, y Z, p N, p primo. Allora (x + y) p x p + y p (mod
DettagliIntroduciamo ora un altro campo, formato da un numero finito di elementi; il campo delle classi resto modulo n, con n numero primo.
Capitolo 3 Il campo Z n 31 Introduzione Introduciamo ora un altro campo, formato da un numero finito di elementi; il campo delle classi resto modulo n, con n numero primo 32 Le classi resto Definizione
Dettagli4 0 = 4 2 = 4 4 = 4 6 = 0.
Elementi di Algebra e Logica 2008. Esercizi 4. Gruppi, anelli e campi. 1. Determinare la tabella additiva e la tabella moltiplicativa di Z 6. (a) Verificare dalla tabella moltiplicativa di Z 6 che esistono
Dettaglim = a k n k + + a 1 n + a 0 Tale scrittura si chiama rappresentazione del numero m in base n e si indica
G. Pareschi COMPLEMENTI ED ESEMPI SUI NUMERI INTERI. 1. Divisione con resto di numeri interi 1.1. Divisione con resto. Per evitare fraintendimenti nel caso in cui il numero a del Teorema 0.4 sia negativo,
Dettagli3/10/ Divisibilità e massimo comun divisore
MCD in N e Polinomi 3/10/2013 1 Divisibilità e massimo comun divisore 1.1 Divisibilità in N In questa sezione introdurremo il concetto di divisibilità e di massimo comun divisore di due numeri naturali
DettagliElementi di Algebra e di Matematica Discreta Numeri interi, divisibilità, numerazione in base n
Elementi di Algebra e di Matematica Discreta Numeri interi, divisibilità, numerazione in base n Cristina Turrini UNIMI - 2016/2017 Cristina Turrini (UNIMI - 2016/2017) Elementi di Algebra e di Matematica
Dettagli1 Relazione di congruenza in Z
1 Relazione di congruenza in Z Diamo ora un esempio importante di relazione di equivalenza: la relazione di congruenza modn in Z. Definizione 1 Sia X = Z, a,b Z ed n un intero n > 1. Si dice a congruo
DettagliNOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n
NOTE DI ALGEBRA LINEARE 2- MM 9 NOVEMBRE 2 Combinazioni lineari e generatori Sia K un campo e V uno spazio vettoriale su K Siano v,, v n vettori in V Definizione Un vettore v V si dice combinazione lineare
DettagliALGEBRA I: SOLUZIONI QUINTA ESERCITAZIONE 9 maggio 2011
ALGEBRA I: SOLUZIONI QUINTA ESERCITAZIONE 9 maggio 2011 Esercizio 1. Usando l algoritmo euclideo delle divisioni successive, calcolare massimo comune divisore e identità di Bézout per le seguenti coppie
DettagliDal messaggio a sequenze di numeri
Dal messaggio a sequenze di numeri Le classi resto modulo n := Z n Due numeri interi a, b, si dicono congrui modulo n (con n intero >1) se divisi per n hanno lo stesso resto: a=bmodn a= kn+b a-b = kn con
DettagliCrittografia Aritmetica modulare
Crittografia Aritmetica modulare Ottavio G. Rizzo Ottavio.Rizzo@mat.unimi.it Università di Milano Progetto lauree scientifiche p.1/16 Massimo comun divisore Definizione. Dati a, b N, il massimo comun divisore
DettagliTEORIA DEI NUMERI. 1. Numeri naturali, interi relativi e principi d induzione
TEORIA DEI NUMERI. Numeri naturali, interi relativi e principi d induzione Le proprietà dell insieme N = {0,, 2, } dei numeri naturali possono essere dedotte dai seguenti assiomi di Peano:. C è un applicazione
DettagliElementi di Algebra e di Matematica Discreta Strutture algebriche: anelli
Elementi di Algebra e di Matematica Discreta Strutture algebriche: anelli Cristina Turrini UNIMI - 2016/2017 Cristina Turrini (UNIMI - 2016/2017) Elementi di Algebra e di Matematica Discreta 1 / 29 index
DettagliA.A CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 5.
A.A. 2015-2016. CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 5. Esercizio 5.1. Determinare le ultime tre cifre di n = 13 1625. (Suggerimento. Sfruttare il Teorema di Eulero-Fermat)
DettagliRiassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria.
Capitolo 2 Campi 2.1 Introduzione Studiamo ora i campi. Essi sono una generalizzazione dell insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Nel secondo paragrafo ricordiamo
DettagliSistemi lineari. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara
Sistemi lineari Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)
Dettagli= < < < < < Matematica 1
NUMERI NATURALI N I numeri naturali sono: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,... L insieme dei numeri naturali è indicato con la lettera. Si ha cioè: N= 0,1,2,3,4,5,6,7,.... L insieme dei naturali privato
DettagliM.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA STRUTTURE ALGEBRICHE
M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA STRUTTURE ALGEBRICHE Operazioni in un insieme Sia A un insieme non vuoto; una funzione f : A A A si dice operazione binaria (o semplicemente
Dettaglinota 2. Gruppi, anelli, campi. Gruppi. Anelli. Campi. Applicazioni: il test di primalità di Miller-Rabin.
nota 2. Gruppi, anelli, campi. Gruppi. Anelli. Campi. Applicazioni: il test di primalità di Miller-Rabin. 1 1. Gruppi. In questo paragrafo introduciamo i gruppi. Diamo diversi esempi importanti di gruppi
DettagliNUMERI PRIMI E TEORMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA Definizione 1. Sia p Z, p ±1. Si dice che p è primo se
NUMERI PRIMI E TEORMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA Definizione 1. Sia p Z, p ±1. Si dice che p è primo se ( a, b Z) (p ab = (p a p b). Teorema 1. Sia p Z, p ±1. Allora p è primo se e solo se ( a, b Z)
DettagliLo stesso procedimento ci permette di trovare due interi x, y tali che M.C.D. = ax + by. Ma quando esistono x, y soluzioni dell equazione diofantea
1. Massimo comun divisore tra due interi; soluzione di alcune equazioni diofantee Definizione Siano a, b Z non entrambi nulli; si dice che d Z è un Massimo Comun Divisore tra a e b se sono verificate le
DettagliGiovanna Carnovale. October 18, Divisibilità e massimo comun divisore
MCD in N e Polinomi Giovanna Carnovale October 18, 2011 1 Divisibilità e massimo comun divisore 1.1 Divisibilità in N In questa sezione introdurremo il concetto di divisibilità e di massimo comun divisore
DettagliLEZIONE 3. a + b + 2c + e = 1 b + d + g = 0 3b + f + 3g = 2. a b c d e f g
LEZIONE 3 3.. Matrici fortemente ridotte per righe. Nella precedente lezione abbiamo introdotto la nozione di soluzione di un sistema di equazioni lineari. In questa lezione ci poniamo il problema di descrivere
DettagliLezione 3 - Teoria dei Numeri
Lezione 3 - Teoria dei Numeri Problema 1 Trovare il più piccolo multiplo di 15 formato dalle sole cifre 0 e 8 (in base 10). Il numero cercato dev'essere divisibile per 3 e per 5 quindi l'ultima cifra deve
DettagliMonomi L insieme dei monomi
Monomi 10 10.1 L insieme dei monomi Definizione 10.1. Un espressione letterale in cui numeri e lettere sono legati dalla sola moltiplicazione si chiama monomio. Esempio 10.1. L espressione nelle due variabili
DettagliLEZIONE 2. ( ) a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, ove a j, b R sono fissati.
LEZIONE 2 2 Sistemi di equazioni lineari Definizione 2 Un equazione lineare nelle n incognite x, x 2,, x n a coefficienti reali, è un equazione della forma (2 a x + a 2 x 2 + + a n x n = b, ove a j, b
DettagliIntroduzione alla TEORIA DEI NUMERI
Renato Migliorato Introduzione alla teoria dei numeri Introduzione alla TEORIA DEI NUMERI Avvertenza: questo è l inizio di un testo pensato come supporto al corso di Matematiche Complementari I ed ancora
DettagliProgramma di Algebra 1
Programma di Algebra 1 A. A. 2015/2016 Docenti: Alberto Canonaco e Gian Pietro Pirola Richiami su relazioni di equivalenza: definizione, classe di equivalenza di un elemento, insieme quoziente e proiezione
DettagliCongruenze. Alberto Abbondandolo Forte dei Marmi, 17 Novembre 2006
Congruenze Alberto Abbondandolo Forte dei Marmi, 17 Novembre 2006 1 Il resto nella divisione tra interi Consideriamo i numeri naturali 0, 1, 2, 3,... ed effettuiamone la divisione per 3, indicando il resto:
DettagliDue numeri naturali non nulli a, b tali che MCD(a,b) = 1 si dicono coprimi o relativamente primi.
MASSIMO COMUNE DIVISORE E ALGORITMO DI EUCLIDE L algoritmo di Euclide permette di calcolare il massimo comun divisore tra due numeri, anche se questi sono molto grandi, senza aver bisogno di fattorizzarli
DettagliAppunti su Z n. Alessandro Ghigi. 2 febbraio Operazioni 1. 2 Gruppi 4. 4 Permutazioni 12. Riferimenti bibliografici 19
Appunti su Z n Alessandro Ghigi 2 febbraio 2006 Indice 1 Operazioni 1 2 Gruppi 4 3 La somma su Z n 9 4 Permutazioni 12 5 Il prodotto su Z n 13 Riferimenti bibliografici 19 1 Operazioni Definizione 1 Una
DettagliMatematica Discreta e Algebra Lineare (per Informatica)
Matematica Discreta e Algebra Lineare (per Informatica) Docente: Alessandro Berarducci Anno accademico 2016-2017, versione 14 Marzo 2017 Tipiche domande d esame La seguente lista di domande non intende
DettagliFrazioni algebriche. Osserviamo che un espressione di questo tipo si ottiene talvolta quando ci si propone di ottenere il quoziente di due monomi.
Frazioni algebriche 14 14.1 Definizione di frazione algebrica Diamo la seguente definizione: Definizione 14.1. Si definisce frazione algebrica un espressione del tipo A B polinomi. dove A e B sono Osserviamo
DettagliTemi di Aritmetica Modulare
Temi di Aritmetica Modulare Incontri Olimpici 013 SALVATORE DAMANTINO I.S.I.S. MALIGNANI 000 - CERVIGNANO DEL FRIULI (UD) 15 Ottobre 013 1 Relazione di congruenza modulo un intero Definizione 1.1. Sia
DettagliIL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA: DIMOSTRAZIONE VELOCE.
IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA: DIMOSTRAZIONE VELOCE. PH. ELLIA Indice Introduzione 1 1. Divisori di un numero. 1 2. Il Teorema Fondamentale dell Aritmetica. 2 3. L insieme dei numeri primi è
DettagliESERCITAZIONE N.8. Il calcolatore ad orologio di Gauss. L aritmetica dell orologio di Gauss. Operazioni e calcoli in Z n
Il calcolatore ad orologio di Gauss ESERCITAZIONE N.8 18 novembre L aritmetica dell orologio di Gauss Operazioni e calcoli in Z n 1, 1, -11, sono tra loro equivalenti ( modulo 12 ) Rosalba Barattero Sono
Dettagli623 = , 413 = , 210 = , 203 =
Elementi di Algebra e Logica 2008. 3. Aritmetica dei numeri interi. 1. Determinare tutti i numeri primi 100 p 120. Sol. :) :) :) 2. (i) Dimostrare che se n 2 non è primo, allora esiste un primo p che divide
DettagliParte Seconda. Prova di selezione culturale
Parte Seconda Prova di selezione culturale TEORIA DEGLI INSIEMI MATEMATICA ARITMETICA Insieme = gruppo di elementi di cui si può stabilire inequivocabilmente almeno una caratteristica in comune. Esempi:
DettagliX Settimana = 0 R. = 0 R x, x R. + (x 0 R. ) x 0 R = = x 0 R
X Settimana 1 Elementi basilari della teoria degli anelli (I parte) Un anello (R, +, ) è un insieme non vuoto R dotato di due operazioni (binarie), denotate per semplicità con i simboli + e + : R R R,
DettagliProva scritta di Algebra 9 settembre x 5 mod 7 11x 1 mod 13 x 3 mod 9
Prova scritta di Algebra 9 settembre 2016 1. Si risolva il seguente sistema di congruenze lineari x 5 mod 7 11x 1 mod 13 x 3 mod 9 Si determini la sua minima soluzione positiva. 2. In S 9 sia α = (4, 9)(9,
DettagliGeometria BIAR Esercizi 2
Geometria BIAR 0- Esercizi Esercizio. a Si consideri il generico vettore v b R c (a) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v a (b) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v kb (c) Si
DettagliMATEMATICA DI BASE 1
MATEMATICA DI BASE 1 Francesco Oliveri Dipartimento di Matematica, Università di Messina 30 Agosto 2010 MATEMATICA DI BASE MODULO 1 Insiemi Logica Numeri Insiemi Intuitivamente, con il termine insieme
Dettaglimisura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x
4. Geometria di R 3. Questo paragrafo è molto simile al paragrafo : tratta infatti delle proprietà geometriche elementari dello spazio R 3. Per assegnare delle coordinate nello spazio, fissiamo innanzitutto
DettagliFattorizzazione di interi e crittografia
Fattorizzazione di interi e crittografia Anna Barbieri Università degli Studi di Udine Corso di Laurea in Matematica (Fattorizzazione e crittografia) 14 Maggio 2012 1 / 46 Il teorema fondamentale dell
Dettagli3. Classi resto modulo un intero
3 Classi resto modulo un intero In questo paragrafo studieremo la struttura algebrica dell insieme quoziente Z /, dove n è n la relazione di congruenza modulo n, introdotta nella Def 4 del Cap 3 Ma prima
DettagliRELAZIONI, FUNZIONI, INSIEMI NUMERICI. 1. Relazioni. Siano X e Y due insiemi non vuoti. Si definisce il prodotto cartesiano
RELAZIONI, FUNZIONI, INSIEMI NUMERICI C. FRANCHI 1. Relazioni Siano X e Y due insiemi non vuoti. Si definisce il prodotto cartesiano X Y := {(x, y) x X, y Y } dove con (x, y) si intende la coppia ordinata
DettagliII Esonero di Matematica Discreta - a.a. 06/07. Versione B
II Esonero di Matematica Discreta - a.a. 06/07 1. Nell anello dei numeri interi Z: Versione B a. Determinare la scrittura posizionale in base 9 del numero che in base 10 si scrive) 5293 e la scrittura
DettagliEquivalentemente, le colonne di A sono linearmente indipendenti se e solo se
Lezioni di Algebra Lineare. Versione novembre 2008 VI. Il determinante Il determinante det A di una matrice A, reale e quadrata, è un numero reale associato ad A. Dunque det è una funzione dall insieme
DettagliMoltiplicazione. Divisione. Multipli e divisori
Addizione Sottrazione Potenze Moltiplicazione Divisione Multipli e divisori LE QUATTRO OPERAZIONI Una operazione aritmetica è quel procedimento che fa corrispondere ad una coppia ordinata di numeri (termini
Dettaglix 1 Fig.1 Il punto P = P =
Geometria di R 2 In questo paragrafo discutiamo le proprietà geometriche elementari del piano Per avere a disposizione delle coordinate nel piano, fissiamo un punto, che chiamiamo l origine Scegliamo poi
DettagliLEZIONE 8. k e w = wx ı + w y j + w z. k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero
LEZINE 8 8.1. Prodotto scalare. Dati i vettori geometrici v = v x ı + v y j + v z k e w = wx ı + j + k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero v, w = ( v x v y v z ) w x = v x + v y + v z.
DettagliAppunti su Indipendenza Lineare di Vettori
Appunti su Indipendenza Lineare di Vettori Claudia Fassino a.a. Queste dispense, relative a una parte del corso di Matematica Computazionale (Laurea in Informatica), rappresentano solo un aiuto per lo
DettagliPOLINOMI. (p+q)(x) = p(x)+q(x) (p q)(x) = p(x) q(x) x K
POLINOMI 1. Funzioni polinomiali e polinomi Sono noti campi infiniti (es. il campo dei complessi C, quello dei reali R, quello dei razionali Q) e campi finiti (es. Z p la classe dei resti modp con p numero
DettagliCONGRUENZE. proprietà delle congruenze: la congruenza è una relazione di equivalenza inoltre: Criteri di divisibilità
CONGRUENZE I) Definizione: due numeri naturali a e b si dicono congrui modulo un numero naturale p se hanno lo stesso resto nella divisione intera per p. Si scrive a b mod p oppure a b (p) proprietà delle
Dettagli1 Multipli e sottomultipli. Divisibilità
Multipli e sottomultipli. Divisibilità LA TEORIA Se la divisione fra due numeri naturali è propria (cioè il resto è uguale a 0) i due numeri si dicono divisibili. Per esempio, nella divisione 8 : diciamo
DettagliUn polinomio è un espressione algebrica data dalla somma di più monomi.
1 I polinomi 1.1 Terminologia sui polinomi Un polinomio è un espressione algebrica data dalla somma di più monomi. I termini di un polinomio sono i monomi che compaiono come addendi nel polinomio. Il termine
DettagliEsercizi di Algebra 2, C.S. in Matematica, a.a
26 Esercizi di Algebra 2, C.S. in Matematica, a.a.2008-09. Parte V. Anelli Nota. Salvo contrario avviso il termine anello sta per anello commutativo con identità. Es. 154. Provare che per ogni intero n
DettagliAppunti di matematica per le Scienze Sociali Parte 1
Appunti di matematica per le Scienze Sociali Parte 1 1 Equazioni 1.1 Definizioni preliminari 1.1.1 Monomi Si definisce monomio ogni prodotto indicato di fattori qualsiasi, cioè uguali o diseguali, numerici
DettagliRegistro Lezioni di Algebra lineare del 15 e 16 novembre 2016.
Registro Lezioni di Algebra lineare del 15 e 16 novembre 2016 Di seguito si riporta il riassunto degli argomenti svolti; i riferimenti sono a parti del Cap8 Elementi di geometria e algebra lineare Par5
DettagliLezione 4. Problemi trattabili e soluzioni sempre più efficienti. Gianluca Rossi
Lezione 4 Problemi trattabili e soluzioni sempre più efficienti Gianluca Rossi Trattabile o intrattabile? Consideriamo ora il problema, ben noto a tutti gli studenti a partire dalla scuola media, di calcolare
DettagliPrecorso di Matematica
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE FACOLTA DI ARCHITETTURA Precorso di Matematica Anna Scaramuzza Anno Accademico 2005-2006 4-10 Ottobre 2005 INDICE 1. ALGEBRA................................. 3 1.1 Equazioni
DettagliAnno 1. Divisione fra polinomi
Anno 1 Divisione fra polinomi 1 Introduzione In questa lezione impareremo a eseguire la divisione fra polinomi. In questo modo completiamo il quadro delle 4 operazioni con i polinomi. Al termine di questa
DettagliScomposizione di un numero primo come somma di due quadrati
Scomposizione di un numero primo come somma di due quadrati M. Alessandra De Angelis Relatore : Prof. Andrea Loi Università degli studi di Cagliari Corso di laurea triennale in Matematica 31 Marzo 2015
DettagliALGEBRA 1 Secondo esonero 15 Giugno 2011 soluzioni
ALGEBRA 1 Secondo esonero 15 Giugno 2011 soluzioni (1) Verificare che l anello quoziente Z 5 [x]/(x 3 2) possiede divisori dello zero, e determinare tutti i suoi ideali non banali. Soluzione: Il polinomio
DettagliPrimo modulo: Aritmetica
Primo modulo: Aritmetica Obiettivi 1. ordinamento e confronto di numeri;. riconoscere la rappresentazione di un numero in base diversa dalla base 10; 3. conoscere differenza tra numeri razionali e irrazionali;
DettagliCAPITOLO 6. Polinomi. (f(0), f(1),..., f(n),... ).
CAPITOLO 6 Polinomi I polinomi compaiono già nella scuola media; tuttavia il modo in cui sono presentati è spesso lacunoso. Cercheremo in questo capitolo di fondare la teoria dei polinomi su basi più solide.
DettagliScomposizione in fattori di un polinomio. Prof. Walter Pugliese
Scomposizione in fattori di un polinomio Prof. Walter Pugliese La scomposizione in fattori dei polinomi Scomporre in fattori un polinomio significa scriverlo sotto forma di prodotto di polinomi di grado
DettagliAritmetica modulare, numeri primi e crittografia
Università di Pavia 14 Giugno 2016 Numeri primi Definizione Un intero n > 1 è un numero primo se non esistono due interi a, b > 1 tali che n = ab. Sono dunque numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,
DettagliApplicazioni eliminazione di Gauss
Applicazioni eliminazione di Gauss. Premessa Nel seguito supporremo sempre di applicare il metodo di eliminazione di Gauss allo scopo di trasformare la matrice del sistema Ax = b in una matrice triangolare
DettagliLEZIONE 15. (15.1.2) p(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n = a h x n h.
LEZIONE 15 15.1. Polinomi a coefficienti complessi e loro e loro radici. In questo paragrafo descriveremo alcune proprietà dei polinomi a coefficienti complessi e delle loro radici. Già nel precedente
DettagliESERCIZI IN PIÙ I NUMERI COMPLESSI
ESERCIZI IN PIÙ I NUMERI COMPLESSI L equazione x x 0 non ha soluzioni nell insieme dei numeri reali; infatti, applicando la formula ridotta, si ottiene x, 3. Interpretando come numero immaginario, cioè
DettagliL'enigma dei numeri primi
L'enigma dei numeri primi Bardonecchia 16-18 Dicembre 2016 Introduzione I numeri primi: sono un concetto semplice; ruolo fondamentale nella vita di tutti i giorni; stanno lasciando una lunga scia di congetture.
DettagliElementi di Algebra Lineare Matrici e Sistemi di Equazioni Lineari
Elementi di Algebra Lineare Matrici e Sistemi di Equazioni Lineari Antonio Lanteri e Cristina Turrini UNIMI - 2016/2017 Antonio Lanteri e Cristina Turrini (UNIMI - 2016/2017 Elementi di Algebra Lineare
DettagliDipendenza e indipendenza lineare
Dipendenza e indipendenza lineare Luciano Battaia Questi appunti () ad uso degli studenti del corso di Matematica (A-La) del corso di laurea in Commercio Estero dell Università Ca Foscari di Venezia campus
DettagliGeometria analitica: rette e piani
Geometria analitica: rette e piani Equazioni del piano Intersezioni di piani. Rette nello spazio Fasci di piani e rette Intersezioni fra piani e rette Piani e rette ortogonali Piani di forma parametrica
DettagliLezioni di Algebra Lineare. II. Aritmetica delle matrici e eliminazione di Gauss. versione ottobre 2008
versione ottobre 2008 Lezioni di Algebra Lineare II. Aritmetica delle matrici e eliminazione di Gauss Contenuto. 1. Somma di matrici e prodotto di una matrice per uno scalare 2. Prodotto di matrici righe
Dettagliz =[a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ] 10
Esercizio 1. Sia z =[a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ] 10 un numero intero (la notazione significa che le cifre con cui rappresento z in base 10 sono a 4,..., a 0 {0, 1,..., 9}, ecioè z = a 4 10 4 + a 3 10 3 + a 2
DettagliLEZIONE 11. s V : V V V (v 1, v 2 ) v 1 + v 2 = s V (v 1, v 2 ), p V : k V V. per cui valgono:
LEZIONE 11 11.1. Spazi vettoriali ed esempi. La nozione di spazio vettoriale generalizza quanto visto nelle lezioni precedenti: l insieme k m,n delle matrici m n a coefficienti in k = R, C, l insieme V
Dettagli7 2 =7 2=3,5. Casi particolari. Definizione. propria se < impropria se > e non è multiplo di b. apparente se è un multiplo di. Esempi.
NUMERI RAZIONALI Q Nell insieme dei numeri naturali e nell insieme dei numeri interi relativi non è sempre possibile effettuare l operazione di divisione. Infatti, eseguendo la divisione 7 2 si ottiene
DettagliUniversità del Piemonte Orientale
Compito di Algebra del 13 Gennaio 2009 1) Trovare l ordine di [11] 112 in Z 112. Si dica poi per quali valori di k si ha [11] k 112 [34] 112 = [31] 112. Soluzione. L ordine di [11] 112 è 12. k 12 8. 2)
DettagliMatematica per Analisi dei Dati,
Matematica per Analisi dei Dati, 230209 1 Spazio vettoriale R n Sia n un intero positivo fissato Lo spazio vettoriale R n e l insieme delle n ple ordinate di numeri reali, che rappresenteremo sempre come
DettagliDefinizione 1. Una matrice n m a coefficienti in K é una tabella del tipo. ... K m, detto vettore riga i-esimo, ed a im
APPUNTI ed ESERCIZI su matrici, rango e metodo di eliminazione di Gauss Corso di Laurea in Chimica, Facoltà di Scienze MM.FF.NN., UNICAL (Dott.ssa Galati C.) Rende, 23 Aprile 2010 Matrici, rango e metodo
DettagliLa codifica digitale
La codifica digitale Codifica digitale Il computer e il sistema binario Il computer elabora esclusivamente numeri. Ogni immagine, ogni suono, ogni informazione per essere compresa e rielaborata dal calcolatore
DettagliESERCIZIARIO DI MATEMATICA
Dipartimento di rete matematica ESERCIZIARIO DI MATEMATICA PER PREPARARSI ALLA SCUOLA SUPERIORE progetto Continuità SCUOLA SECONDARIA DI I GRADO Istituti comprensivi: Riva Riva Arco Dro Valle dei Laghi
DettagliLEZIONE i i 3
LEZIONE 5 51 Determinanti In questo lezione affronteremo da un punto di vista prettamente operativo la nozione di determinante, descrivendone le proprietà ed i metodi di calcolo, senza entrare nei dettagli
DettagliL insieme dei numeri razionali Q Prof. Walter Pugliese
L insieme dei numeri razionali Q Prof. Walter Pugliese Concetto di frazione Abbiamo visto che la divisione non è un operazione interna né in N né in Z. L esigenza di renderla sempre possibile ci porterà
DettagliConcentriamo la nostra attenzione sull insieme dei numeri razionali Q. In Q sono definite
Lezioni del 22 e 24 settembre. Numeri razionali. 1. Operazioni, ordinamento. Indichiamo con N, Z, Q gli insiemi dei numeri naturali, interi relativi, e razionali: N = {0, 1, 2,...} Z = {0, ±1, ±2,...}
DettagliCorso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE. Giovanni Villani
Corso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE Giovanni Villani Matrici Definizione 1 Si definisce matrice di tipo m n una funzione che associa
DettagliDIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA A.A. 2010/11 DOCENTE: ANDREA CARANTI
DIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA A.A. 2010/11 DOCENTE: ANDREA CARANTI Lezione 1. mercoledí 15 settembre 2010 (2 ore) Presentazione del corso. Esercizio: cosa succede a moltiplicare per 2, 3, 4,... il numero
DettagliCorso di Matematica e Statistica 3 Algebra delle matrici. Una tabella rettangolare: la matrice. Una tabella rettangolare: la matrice
Pordenone Corso di Matematica e Statistica 3 Algebra delle UNIVERSITAS STUDIORUM UTINENSIS Giorgio T. Bagni Facoltà di Scienze della Formazione Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Udine
Dettagli(f g)(x) = f(g(x)), (f (g h))(x) = f(g(h(x))) = ((f g) h)(x).
Trasformazioni geometriche di R In questo paragrafo studiamo alcune trasformazioni geometriche del piano R Per trasformazioni si intendono sempre delle applicazioni bigettive f : R R Le trasformazioni
DettagliLE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Definizione: un equazione è di secondo grado se, dopo aver applicato i principi di equivalenza, si può scrivere nella forma, detta normale: ax + bx + c 0!!!!!con!a 0 Le lettere
Dettaglii) la somma e il prodotto godano delle proprietà associativa, commutativa e distributiva;
1 Spazi vettoriali 11 Definizioni ed assiomi Definizione 11 Un campo è un insieme K dotato di una operazione somma K K K, (x, y) x + y e di una operazione prodotto K K K, (x, y) xy tali che i) la somma
Dettagli= elemento che compare nella seconda riga e quinta colonna = -4 In generale una matrice A di m righe e n colonne si denota con
Definizione di matrice Una matrice (di numeri reali) è una tabella di m x n numeri disposti su m righe e n colonne. I numeri che compaiono nella tabella si dicono elementi della matrice. La loro individuazione
DettagliLEZIONE Equazioni matriciali. Negli Esempi e si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = R m,n, B = (b i,h ) 1 i m
LEZIONE 4 41 Equazioni matriciali Negli Esempi 336 e 337 si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = B 2,, AX p = B p aventi la stessa matrice incompleta A Tale tipo di problema si presenta
DettagliSpazi affini e combinazioni affini.
Spazi affini e combinazioni affini. Morfismi affini. Giorgio Ottaviani Abstract Introduciamo il concetto di combinazione affine in uno spazio affine, e in base a questo, ne caratterizziamo i sottospazi.
DettagliCampi finiti: Introduzione
I CAMPI FINITI Campi finiti: Introduzione Ci occupiamo ora di campi finiti Rivestono un ruolo importante nella moderna crittografia AES, curva ellittica, IDEA, chiave pulica Avremo a che fare con operazioni
Dettagli