BOLLETTINO UNIONE MATEMATICA ITALIANA

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1 BOLLETTINO UNIONE MATEMATICA ITALIANA Sezione A La Matematica nella Società e nella Cultura Aleandro Groli Problemi di cavalcamento per diequazioni variazionali ellittiche di tipo emilineare e quailineare Bollettino dell Unione Matematica Italiana, Serie 8, ol. 3-A La Matematica nella Società e nella Cultura (2000), n.1s, p Unione Matematica Italiana < L utilizzo e la tampa di queto documento digitale è conentito liberamente per motivi di ricerca e tudio. Non è conentito l utilizzo dello teo per motivi commerciali. Tutte le copie di queto documento devono riportare queto avvertimento. Articolo digitalizzato nel quadro del programma bdim (Biblioteca Digitale Italiana di Matematica) SIMAI & UMI

2 Bollettino dell Unione Matematica Italiana, Unione Matematica Italiana, 2000.

3 Bollettino U. M. I. La Matematica nella Società e nella Cultura Serie III, ol. III-A, Supplemento ad Aprile 2000, Problemi di cavalcamento per diequazioni variazionali ellittiche di tipo emilineare e quailineare. ALESSANDRO GROLI La tei verte ullo tudio della eitenza e molteplicità di oluzioni per diequazioni variazionali allorché fra l otacolo ed il comportamento a 1Q della nonlinearità i realizza una ituazione di tipo «jumping». Nel cao emilineare e enza otacolo in cui il «jumping» riguarda il comportamento della nonlinearità da 2Q a 1Q e coinvolge il primo autovalore, i tratta di un problema molto tudiato che prende le moe da un ormai claico lavoro di Ambroetti e Prodi [1] e i viluppa fino ai giorni notri paando per il contributo di molti autori. In particolare negli anni 80 i ono avuti dei miglioramenti ignificativi con i lavori di Hofer e Solimini che hanno dimotrato degli ulteriori riultati di molteplicità con tecniche del grado e/o teoria di More. Lo copo principale è quello di riottenere e migliorare tali riultati di molteplicità, allorché da una equazione i paa ad una diequazione variazionale. L apetto più ignificativo è che in tale nuovo conteto le tecniche di teoria del grado o di teoria di More embrano difficilmente adattabili. In effetti l approccio eguito è aai divero e i rifà piuttoto ad una tecnica recentemente introdotta da Marino e Saccon per tudiare oprattutto il «jumping» per equazioni allorché vengono «altati» alcuni autovalori ucceivi al primo. Nel primo capitolo, dedicato al cao emilineare, vengono preentati i riultati ottenuti in collaborazione con i profeori Antonio Marino e Claudio Saccon in [4]. Si tratta di tudiare diequazioni variazionali emilineari della forma (P). / (DuD(v2u)2g(x, u)(v2u)1h(v2u) ) dxf0 uk c, (v in K c dove R N è un dominio limitato, g : 3RKR è una funzione di Carathéodory, c : K]2Q, 1Q] una funzione miurabile (l «otacolo») e hl 2 (). L ipotei che caratterizza il problema è la eguente: g(x, ) ( g, a) lim 4a per q.o. x in. K1Q Più preciamente i vuole timare il numero di oluzioni di (P) al variare del parametro a. Tutti i riultati noti motrano che la riolubilità e la molteplicità delle oluzioni del problema (P) dipendono dalla poizione che a occupa ripetto

4 98 ALESSANDRO GROLI agli autovalori l i di 2D in W0 1, 2 () (denotiamo con e i le autofunzioni corripondenti). Appare naturale invetigare le proprietà di (P) quando h4h 0 1te 1, dove h 0 L 2 (), tr ed e 1 è la prima autofunzione (e 1 D0). Denotato con (P t ) il problema (P) con h4h 0 1te 1 : (P t ). / (DuD(v2u)2g(x, u)(v2u)1 (h 0 1te 1 )(v2u) ) dxf0 (vk c, uk c, in accordo con la natura aintotica dell ipotei (g, a), i è tudiato il problema (P t ) per t c 0. Il problema ha una natura variazionale oia introdotto il funzionale f t coì definito f t (u) 4 1 NDuN dx2 2 G(x, u) dx1u(h 0 1te 1 ) dx uk c, 2 dove G(x, ) 4g(x, ) d, le oluzioni di (P t ) ono i punti «inferiormente critici» di f t ul vincolo K c. 0 Sotto opportune ipotei di crecita della nonlinearità g i è ottenuto un primo riultato. TEOREMA 1.1. Supponiamo che adl 2 e che valga (g, a). Allora eite t in R tale che per ogni tf t il problema (P t ) ha almeno 4 oluzioni. Queto teorema etende un riultato di Marino e Paaeo nel quale veniva dimotrata l eitenza di almeno 4 oluzioni nel cao in cui la funzione g foe lineare. La tecnica uata coniteva nel coniderare un problema auiliario vincolato. Un tale approccio non embra tuttavia applicabile in modo diretto quando la g non è lineare. Per queto motivo è tata utilizzata una tecnica del tutto divera recentemente introdotta da Marino e Saccon. La preenza dell otacolo rende inoltre il funzionale poco regolare: per queto è tato neceario utilizzare la teoria dell analii ottodifferenziale delle funzioni f-convee viluppata da De Giorgi, Marino, Degiovanni, Scolozzi e Toque. Il principale riultato del primo capitolo è il eguente: TEOREMA 1.2. Sia l k Dl 2. Allora eite D0 tale che per ogni a in ]l k, l k 1], e vale ( g, a) eite t in R tale che per ogni tf t, il problema (P t ) ha ameno 6 oluzioni. Per ottenere i due riultati i ono utilizzati, come detto, alcuni teoremi variazionali, chiamati da Marino e Saccon -teoremi. Dapprima i è verificato che, nel cao in cui g ia lineare, vi ono le condizioni per poter applicare tali teoremi e

5 PROBLEMI DI SCAALCAMENTO ECC. 99 quindi dedurre l eitenza di almeno 4 e 6 oluzioni. Poi con un procedimento di «ricalamento» i è verificato che tali condizioni permangono quando dal cao lineare i paa a quello generale per t molto grande. Nel econdo capitolo è tato coniderato lo teo tipo di problema per un operatore più generale di tipo quailineare, oia (P t ).`/ ` m N! i, j41 a ij (x, u) D i ud j (v2u)1 1! N 2 i, j41 2g(x, u)(v2u) dxf a2tf 1, v2ub (v K A u, uk u, D a ij (x, u) D i ud j u(v2u)n dx dove td0, uh 1 0 (), K u 4]uH 1 0 (): ufu q.o.( e K A u4]vk u : (v2u) L Q ()(. Le funzioni a ij verficano certe ipotei tandard già preenti in lavori precedenti ([2, 3]). In particolare i uppone che lim a ij(x, ) 4A ij (x) NNK1Q e i denota con m i la ucceione degli autovalori dell operatore 2!D j (A ij D i u) con condizioni omogenee di Dirichlet e con f i la ucceione delle autofunzioni (eendo la prima autofunzione f 1 D0). Quando u f 2Q, oia non c è otacolo e la diequazione variazionale diventa una equazione, il problema è tato tudiato da A. Canino in [2]. In tale lavoro l eitenza di almeno 2 oluzioni è provata per t grandi, quando adm 1. Al contrario, non vi è in letteratura neun riultato ul problema con otacolo. Suppoto che la funzione g oddifi certe ipotei di crecita del tutto naturali, i ono dimotrati i eguenti riultati: TEOREMA 2.1. Supponiamo adm 1 e che valga ( g, a). Allora eite t R tale che per ogni tf t il problema (P t ) ha almeno 2 oluzioni. TEOREMA 2.2. Supponiamo adm 2 e che valga (g, a). Allora eite t R tale che per ogni tf t il problema (P t ) ha almeno 3 oluzioni. Come nel cao emilineare il problema ha una truttura variazionale: per ottenere una oluzione u, è ufficiente trovare un punto critico del funzionale f t : K u KR definito da f t (u) N! i, j41 a ij (x, u) D i ud j udx2 G(x, u) dx1tf 1 udx dove G(x, ) 4g(x, ) d. Tuttavia a caua delle ipotei più generali ulle funzio- 0

6 100 ALESSANDRO GROLI ni a ij il funzionale f t non è di clae C 1 né localmente lipchitziano né f-conveo né di clae C(p, q). Perciò è tata utilizzata una differente teoria di punti critici viluppata da Corvellec, Degiovanni e Marzocchi. Un apetto aai ignificativo è cotituito dalla verifica dei fatti più bailari, in particolare la condizione di Palai-Smale. Infatti, nel cao delle equazioni quailineari, la verifica di tale condizione richiede l uo di un certo numero di funzioni tet di tipo eponenziale (i veda, ad eempio, [2, 3]). Tali tet non riultano eere ammiibili nel cao delle diequazioni variazionali, per cui la tecnica dimotrativa ha richieto una reviione non banale. B I B L I O G R A F I A [1] AMBROSETTI A., PRODI G. On the inverion of ome differential mapping with ingularitie between Banach pace, Ann. Mat. Pura Appl., 93 (1972), [2] CANINO A. On a jumping problem for quailinear elliptic equation, Math. Z., 226 (1997), [3] CANINO A., DEGIOANNI M., Nonmooth critical point theory and quailinear elliptic equation, Topological Method in Differential Equation and Incluion (Montreal 1994) NATO ASI Serie, C-472 (1995), [4] GROLI A., MARINO A., SACCON C., ariational theorem of mixed type and aymptotically linear variational inequalitie, Topological Meth. Nonlinear Anal., 12 (1998), via Borellino n Catenedolo (BS); grolihpaley.dm.unipi.it Dottorato in Matematica (ede amminitrativa: Pia) - Ciclo X Direttori di ricerca: Prof. Antonio Marino e Prof. Claudio Saccon, Univerità di Pia