Funzioni a 2 variabili

Funzioni a 2 variabili z = f(x, y) Relazione che associa ad ogni coppia di valori x,y (variabili indipendenti) uno ed un solo valore di z (variabile dipendente). Esempi: z = x 2y + 4 z = x 2 y 2 2x z = x 2x y z = x 2 2y + 1 z = ln(x + y) razionale, intera, 1 grado razionale, intera, 2 grado razionale, fratta, 2 grado irrazionale, intera, 1 grado logaritmica STUDI 1) Dominio 2) Rappresentazione grafica per curve di livello 3) Ricerca di estremi relativi, assoluti, etc. 1) Dominio D = {(x, y) R 2 /.. } Fratta z = k f(x,y) f(x, y) 0 Irrazionale (n pari) n z = f(x, y) f(x, y) 0 Logaritmica z = ln[f(x, y)] f(x, y) > 0 Esempi: z = x 2 2y + 1 D = {(x, y) R 2 / x 2 2y + 1 0} PARABOLA y = ax 2 + bx + c asse di simmetria verticale V b 2a ; ax v 2 + bx v + c a = verso della concavità a > 0 a < 0 b = posizione asse simmetria b = 0 c = intersezione asse ordinate ax 2 + bx + c = 0 Eventuali intersezione asse x 1

y = 1 2 x2 + 1 2 Effettuare la seguente operazione per verificare dove la parabola è calcolabile. x 2 2y + 1 0 in (0;0) 1 0 VERO Quindi la parabola è calcolabile esternamente. *verificare in un punto in cui la funzione non passa 4 z = x + 2y D = {(x, y) R 2 / x + 2y 0} y = 1 2 x x + 2y 0 in (0;1) 2 0 VERO *verificare in un punto in cui la funzione non passa z = ln(x 2 + y) D = {(x, y) R 2 / x 2 + y > 0} y = x 2 x 2 + y > 0 in (0;1) 1 > 0 VERO *verificare in un punto in cui la funzione non passa 2

z = 4x 6y x 2 y 2 D = {(x, y) R 2 / 4x 6y x 2 y 2 0} CIRCONFERENZA x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 forma algebrica (x x c ) 2 + (y y c ) 2 = r 2 forma canonica C a 2 ; b 2 r = x C 2 + y C 2 c x 2 + y 2 4x + 6y = 0 x 2 + y 2 4x + 6y 0 in (1;0) -3 0 FALSO La circonferenza è calcolabile esternamente. *verificare in un punto in cui la funzione non passa z = ln (xy 2) D = {(x, y) R 2 / xy 2 > 0} IPERBOLE EQUILATERA RIFERITA AI PROPRI ASINTOTI y = k x 3

IPERBOLE x 2 y2 a2 b 2 = 1 y = ± b a x y = ± a b x y = 2 x xy 2 > 0 in (0;0) -2 > 0 FALSO *verificare in un punto in cui la funzione non passa z = x2 + y 2 2x x + y D = {(x, y) R 2 / x 2 + y 2 2x 0 x + y 0} x 2 + y 2 2x = 0 y = x x 2 + y 2 2x 0 in (1;0) -1 0 FALSO *verificare in un punto in cui la funzione non passa C(1; 0) z = x 2 + y 2 + 4x 4y + 4 ln (y + x 2 2) 4

D = {(x, y) R 2 / x 2 + y 2 + 4x 4y + 4 0 y + x 2 2 > 0} x 2 + y 2 + 4x 4y + 4 = 0 y = x 2 + 2 x 2 + y 2 + 4x 4y + 4 0 in (0;0) 4 0 VERO y + x 2 2 > 0 in (0;0) -2 > 0 FALSO *verificare in un punto in cui la funzione non passa C( 2; 2) V(0; 2) y 2 + x z = 2x 2 + y 2 8 D = {(x, y) R 2 / y 2 + x 0 y + x 2 2 0 2x 2 + y 2 8 > 0} PARABOLA x = ay 2 + by + c asse di simmetria orizzontale V ay v 2 + by v + c; b 2a a = verso della concavità a > 0 a < 0 b = posizione asse simmetria b = 0 ELLISSI CON CENTRO IN O x 2 a 2 + y2 = 1 b2 a 2 x 2 + b 2 y 2 = c 2 x = 0 y = ± y = 0 x = ± 5

x = y 2 2) Rappresentazione grafica per curve di livello Procedimento 1 2x 2 + y 2 = 8 x = 0 y = ± 8 y = 0 x = ±2 1) Assegna a z valori costanti a piacere 2) Rappresenta ogni funzione ottenuta nel piano z = x + 2y + 3 z = 3 z = 3 3 = x + 2y + 3 y = 1 2 x y 2 + x 0 in (0;1) 1 0 VERO 2x 2 + y 2 8 > 0 in (0;3) 1 > 0 VERO *verificare in un punto in cui la funzione non passa Sezioni orizzontali della superficie ottenute in varie altezze e riportate nel piano cartesiano z = 0 0 = x + 2y + 3 y = 1 2 x 3 2 z = 2 2 = x + 2y + 3 y = 1 2 x 5 2 6

Procedimento 2 1) Scrivi l equazione della generica curva di livello z = x + 2y + 3 y = 1 z 3 x + 2 2 2) Disegnane una a piacere 3) Ricerca di estremi relativi, assoluti, etc. Derivate di funzioni a 2 variabili Derivate parziali prime z = f(x, y) Rispetto ad una variabile considerando l altra costante zz x La y viene considerata costante zz x La x viene considerata costante Derivate seconde zzz xx zzz xx zzz xx = zzz xx MISTE: devono essere uguali CALCOLO DI DERIVATA y k x x n x 1 x ln x e x sin x cos x tan x yz 0 1 nx n 1 1 2 x 1 x 1 x e x cos x sin x 1 cos 2 x 7

TEOREMI PER IL CALCOLO DELLA DERIVATA 1) y = kf(x) y = kfz(x) 2) y = f(x) ± g(x) y = f (x) ± gz(x) 3) y = f(x) g(x) y = f (x) g(x) + f(x) gz(x) 4) y = f(x) g(x) y = f (x) g(x) f(x) g (x) [g(x)] 2 Esempi: z = 3xy + x 2 zz x = 3y + 2x zzz xx = 2 zzz xx = 3 Sono uguali zz y = 3x zzz yy = 0 zzz yy = 3 CALCOLO DI DERIVATA DI FUNZIONI COMPOSTE y = f[g(x)] yz = f [g(x)] gz(x) y f[(x)] n f(x) 1 f(x) e f(x) tan f(x) yz n[f(x)] n 1 fz(x) 1 2 f(x) fz(x) 1 [f(x)] 2 fz(x) e f(x) fz(x) 1 cos 2 f(x) fz(x) y a f(x) ln[f(x)] log a f(x) sin x cos x yz a f(x) ln a fz(x) 1 f(x) fz(x) 1 f(x) log a e fz(x) cos f(x)fz(x) sin f(x)fz(x) 8

Estremi (minimi/massimi) di funzioni a 2 variabili ESTREMI DI UNA FUNZIONE A UNA VARIABILE x1 = massimo relativo x2 = minimo relativo Estremi assoluti in [a,b] a = minimo assoluto x1 = massimo assoluto 1) ESTREMI RELATIVI punti più alti (massimi) o punti più bassi (minimi) di una funzione relativamente ad un intorno circolare del punto; 2) ESTREMI VINCOLATI punti più alti (massimi) o punti più bassi (minimi) di una funzione dove le variabili indipendenti sono soggette ad un vincolo d uguaglianza; 3) ESTREMI ASSOLUTI punti più alti (massimi) o punti più bassi (minimi) di una funzione fra quelli appartenenti ad una regione del piano O(x,y) detto campo di scelta; tale campo di scelta risulta da un sistema di disequazioni in 2 variabili. Estremi relativi Procedimenti di calcolo Metodo grafico, solo se si è capaci di rappresentare le curve di livello; Metodo algebrico, sempre attraverso le derivate. Metodo grafico Esempi: 1) z = 10x x 2 y 2 2) z = x + 2y 1 9

3) z = x + 2y 1 4) z = ln(x + 2y 1) 5) z = x 2 2x y 1) x 2 + y 2 10x + z = 0 C(5; 0) r = 25 z 25 z 0 z 25 Massimo relativo in C(5;0) z = 25 2) y = 1 1+z x + 2 2 Non ci sono minimi o massimi 3) z = x + 2y 1 z 2 = x + 2y 1 z 0 D = {(x, y) R 2 x + 2y 1 0} 10

Tutti i punti della retta z=0 sono minimi relativi 4) z = ln(x + 2y 1) D = {(x, y) R 2 x + 2y 1 0} z > 0 Non esiste una retta più bassa rispetto un altra. Non ci sono estremi 5) z = x 2 2x y y = x 2 2x V(1; 1) cdl y = x 2 2x z Non ci sono estremi 11

Metodo algebrico 1) Calcolo delle derivate parziali prime 2) Calcolo i punti critici (potenziali estremi relativi) risolvendo il sistema con le derivate prime uguali a zero 3) Calcolo le derivate seconde 4) Calcolo Hessiano determinante della matrice del 2 ordine formata dalla z H(x, y) = zzz xx zzz xy = zzz zzz yx zzz xx zzz yy zzz xy zzz yx yy 5) Classificazione dei punti critici H(x,y): > 0 ; se zzz xx >0 minimo relativo <0 massimo relativo < 0 Punto di sella = 0? Esempio z = x 2 y 2 + 2xy 2y + 3 1 z x = 2x + 2y = 0 x = y x = z y = 2 2y + 2x 2 = 0 2y = 1 y = 1 2 H(x, y) = 2 2 2 2 = 2( 2) 22 = 8 A 1 2 ; 1 2 H(x, y) < 0 Punto di sella Estremi vincolati z = f(x, y) s. a. g(x, y) = 0 Procedimenti risolutivi 1) Grafico, solo se si è in grado di rappresentare sia le curve di livello che il vincolo 2) Algebrico a. Per sostituzione, solo se nel vincolo si riesce ad esplicitare una variabile b. Generico 1) Metodo grafico 1) Rappresentazione Funzione (curve di livello) Vincolo 2) Ricerca fra tutte le curve di livello che toccano il vincolo le situazioni estreme. 3) Calcolare i punti estremi con il metodo geometrico opportuno 12

Curve di livello Circonferenze Rette (fascio improprio) Rette (fascio proprio) Parabole Rette (fascio improprio) Ellissi/Iperboli Retta (fascio improprio) Vincolo Retta Circonferenza Circonferenza Retta Parabola Retta Ellisse/Iperbole CIRCONFERENZE RETTA z = x 2 + y 2 3 s. a. x + y 2 = 0 C(0; 0) r = z + 3 z + 3 0 z 3 Equazione raggio 1) Passa per il centro 2) Perpendicolare alla retta tangente Fascio proprio di rette y y c = m(x x c ) OA = y 0 = 1(x 0) y = x y = x y = 1 x + y 2 = 0 x + x 2 = 0 x = 1 RETTE (fascio improprio) CIRCONFERENZA z = 2y + x 3 s. a. x 2 + 6x + 2 = 4y y 2 x 2 + y 2 + 6x 4y + 2 = 0 C( 3; 2) r = 11 y = 1 3 z x + 2 2 13

r = y 2 = 2(x + 3) y = 2x + 8 y = 2x + 8 x 2 + y 2 + 6x 4y + 2 = 0 y = 2x + 8 x 2 + (2x + 8) 2 + 6x 4(2x + 8) + 2 = 0 5x 2 + 3x + 34 = 0 15 ± 55 x 1,2 = 5 15 55 x 1 = 5 x 2 = 15 + 55 5 y = y = 10 2 55 5 10 + 2 55 5 minimo massimo RETTE (fascio proprio) CIRCONFERENZA 8(x + 10) z = s. a. x 2 + y 2 2 = 0 3y x 10 D = {(x, y) R 2 3y x 10 0} 1. 14

z(3y x 10) = 8(x + 10) 8(x + 10) = 0 P 3y x 10 = 0 x = 10 3y + 10 10 = 0 x = 10 y = 0 DISTANZA PUNTO-RETTA Punto P(x P ; y P ) Retta ax + by + c = 0 ax + by + c d = a 2 + b 2 2. y 0 = m(x + 10) y = mx + m10 mx y + m10 = 0 m 0 1 0 + 10m 2 = m 2 + 1 m = ± 1 7 2 = 100m2 m 2 + 1 2m 2 + 2 = 100m 2 98m 2 = 2 A. y = 1 10 x 7 7 B. y = 1 10 x + 7 7 Sistema tra fascio passante per m e retta passante per il centro C y = 1 10 x 7x = 1 10 x x = 1 A 7 7 7 7 5 y = 7x y = 7x y = 7 5 y = 1 10 x + 7x = 1 10 x + x = 1 B 7 7 7 7 5 y = 7x y = 7x y = 7 5 A 1 5 ; 7 5 B 1 5 ; 7 5 massimo minimo PARABOLE RETTA z = 3x 2 6x + y s. a. y + 2x = 3 15

y = 3x 2 + 6x + z Derivata prima della generica curva di livello y = 6x + 6 Si impone uguale al coefficiente angolare del vincolo y = 6x + 6 = 2 x = 4 3 Si sostituisce nella parabola y = 1 3 RETTE PARABOLA z = 2y x + 6 s. a. x 2 4x y = 0 y = 1 6 + z x 2 2 Derivata prima del vincolo y = 2x 4 Si impone uguale al coefficiente angolare della generica curva di livello y = 2x 4 = 1 2 x = 9 4 16

Si sostituisce nella parabola y = 63 16 RETTE ELLISSE z = x + y 1 s. a. 4x 2 + y 2 = 4 RETTE IPERBOLE z = 2y x s. a. x 2 y 2 = 2 Non ammette soluzioni perché una retta parallela, con questo coefficiente angolare, taglierà sempre l iperbole. Se il fascio di rette fosse z = y 2x, ci sarebbero soluzioni 2a) Metodo algebrico per sostituzione 1) Esplicita una variabile nel vincolo 2) Sostituisci la variabile nella funzione 3) Calcolo di estremi relativi con una variabile 17

Esempi: 1. z = x 2 + y 2 3 s. a. x + y 2 = 0 y = x + 2 z = x 2 + ( x + 2) 2 3 z = 2x 2 4x + 1 z = 4x 4 x = 1 y = 1 + 2 y = 1 z = 1 --- Minimo 2. z = x 3 + 3y 2 4 s. a. x + y 2 = 0 y = x + 2 z = x 3 + 3( x + 2) 2 4 z = x 3 + 3x 2 12x + 8 z = 3x 2 + 6x 12 x 1 = 1 + 5 x 2 = 1 5 y 1 = 3 5 y 2 = 3 + 5 z 1 = 22 10 5 z 2 = 22 + 10 5 --- Minimo --- Massimo 2b) Metodo algebrico generico 1) Costruire la funzione di Lagrange F(x, y, Λ) = f(x, y) + Λg(x, y) 2) Calcolare le derivate prime F x, F x, F Λ 3) Calcolare i punti critici 18

4) Calcolare Hessiano orlato 5) Classificazione dei punti H > 0 --- massimo H < 0 --- minimo H = 0 ---? F x = 0 F x = 0 F Λ = 0 0 g x g x g x g x f xx f xx f xx f xx 0 g x g x g x f xx f xx Esempio: z = x 2 + y 2 s. a. x 2 + y 2 4x 2y 15 = 0 F(x, y, Λ) = x 2 + y 2 + Λ(x 2 + y 2 4x 2y 15) F x = 2x + 2xΛ 4Λ F x = 2y + 2yΛ 2Λ F Λ = x 2 + y 2 4x 2y 15 = 0 0 2x + 4 2y 2 0 2x + 4 H = 2x + 4 2 + 2Λ 0 2x + 4 2 + 2Λ = ( 2 + 2Λ)[(2y 2) 2 + (2x 4) 2 ] 2y 2 0 2 + 2Λ 2y 2 0 x y Λ H A 2 1 1 2 - Minimo B 6 3 3 2 + Massimo g 1 (x, y) > 0 Estremi assoluti z = f(x, y) s. a. g 2 (x, y) 0. Procedimenti risolutivi 1) Determinare il campo di scelta 2a) Graficamente, se possibile rappresentare le curve di livello 2b) Algebricamente 19

2a) Graficamente Esempio: z = x 2 + y 2 4x 4y s. a. x 0 y 1 x + y 2 2x + y 3 x 2 + y 2 4x 4y z = 0 C(2; 2) r = 8 + z z 8 x = 0 A y = 1 z = 5 --- massimo y = x + 2 y = x + 2 y = 1 C y = 2x + 3 x + 2 = 2x + 3 x = 1 z = 6 --- minimo 2b) Algebricamente 1) Determinare il campo di scelta 2) Ricerca degli estremi: a. All interno del campo di scelta (estremi relativi) b. Nei pressi del campo di scelta c. Nelle frontiere del campo di scelta 3) Confrontare i valori di z calcolati in tutti i punti possibili (a,b,c,d,e, etc.), e successiva individuazione delle soluzioni Esempio: z = x 2 + 2y 2 6x 8y s. a. 2x + y 16 0 y 8 x 0 20

z x = z y = 2x 6 = 0 4y 8 = 0 x = 3 y = 2 z A = 0 + 128 64 = 64 z B = 16 + 128 24 64 = 56 z C = 64 + 0 48 0 = 16 z O = 0 AB y = 8 0 x 4 z = x 2 + 128 6x 64 z x = 2x 6 x = 3 BC y = 2x + 16 4 x 8 z = x 2 + 2( 2x 2 + 16) 2 6x 8( 2x + 16) z x = 2x + 4( 2x + 16)( 2) 6 8( 2) 18x 118 = 0 x = 59 9 OC y = 0 0 x 8 z = x 2 6x z x = 2x 6 x = 3 AO x = 0 0 x 8 z = 2y 2 8y z x = 4y 8 y = 2 x y z D 3 2-17 Minimo A 0 8 64 Massimo B 4 8 56 C 8 0 16 O 0 0 0 21

E 3 8 55 F 59 9 26 9 2.7 G 3 0-9 H 0 2-8 22

Ricerca operativa Fornisce strumenti matematici di supporto alle attività decisionali in cui occorre gestire e coordinare attività e risorse al fine di massimizzare o minimizzare una funzione obiettivo. Le fasi di un problema di ricerca operativa FORMULAZIONE DEL PROBLEMA RACCOLTA DELLE INFORMAZIONI COSTRUZIONE DEL MODELLO MATEMATICO SOLUZIONE MODELLO VERIFICA ACCETTABILE? NO SI ATTUAZIONE Classificazione dei problemi di scelta secondo gli effetti: Effetti legati al tempo Immediati; Differiti. Effetti legati alla casualità Certi; Aleatori. 1. Problemi di scelta ad effetti certi ed immediati a. Problemi con più variabili d azione i. Programmazione lineare ii. Problemi di 2 grado b. Problemi di massimo o minimo i. Razionale intera di 1 grado ii. Razionale intera di 2 grado iii. Razionale somma iv. Definite a tratti v. Problema delle scorte vi. Confronto fra alternative 23

2. Problemi di scelta ad effetti certi e differiti a. Operazioni finanziarie b. Investimenti industriali 3. Problemi di scelta ad effetti aleatori e immediati a. Variabili casuali semplici 4. Problemi di scelta ad effetti aleatori e differiti a. Operazioni finanziarie 1.a.i. Programmazione lineare 1) Lettura del testo; 2) Sistesi schematica; 3) Costruzione del modello matematico : rappresentazione di una realtà (economica) fatta utilizzando oggetti matematici (variabili, funzioni, equazioni, disequazioni); 4) Risoluzione del problema Il modello matematico si compone di tre parti: 1) Variabili (d azione) agendo su quelle variabili posso raggiungere l obiettivo; Definizione Unità di misura Tipologia di variabile Continua qualsiasi valore Discreta particolari valori (generalmente numeri interi) 2) Funzione obiettivo Guadagno (massimo) Costo (minimo) 3) Vincoli Tecnici Segno x 0 y 0 Esempio: Un fornaio decide di diversificare la produzione tra pane comune e pane biologico. Per la produzione di 1kg di pane comune servono 5 minuti di lavoro macchina e 3 minuti di lavoro manuale. Per la produzione di 1kg di pane biologico servono 2 minuti di lavoro macchina e 8 minuti di lavoro manuale. La disponibilità giornaliera è 3ore di macchina e 6ore di manodopera. Per accontentare la clientela la produzione di pane comune deve essere almeno 10kg. Sapendo che il guadagno è di /kg 1,10 per il pane comune e di /kg 1,20 per il pane biologico, calcolare la combinazione di massimo profitto. Comune x Biologico y Disponibilità max gg Tempo 5min 2min 3ore 24

macchina Tempo manuale 3min 8min 6ore Guadagno al kg 1,10 1,20 Variabili x 1kg di pane comune y 1kg di pane biologico Funzione G = 1, 1x + 1, 2y Vincoli 5x + 2y 180 3x + 8y 360 x 10 x 0 y 0 C y = 3 x + 45 y = 3 630 x + 45 y = 8 8 17 5x + 2y = 180 5x 3 360 x + 90 = 180 x = 4 17 z = 67, 84 --- Massimo Programmazione lineare in 3 variabili Il procedimento è equivalente a quello di un problema di programmazione lineare in 2 variabili; inoltre c è da ricavare una variabile nel vincolo di uguaglianza e sostituirla in tutti gli altri vincoli e nella funzione. 25

3x 1 2x 2 + x 3 = 1 z = 50x 1 + 80x 2 + 60x 3 s. a. 0. 15x 1 + 0. 3x 2 + 0. 25x 3 0. 2 0. 6x 1 + 0. 2x 2 + 0. 4x 3 0. 5 x 1 0 x 2 0 x 3 0 z = 130x 1 + 200x 2 + 60 0. 6x 1 + 0. 8x 2 0. 05 0. 6x 1 + x 2 0. 1 3x 1 + 2x 2 1 x 1 0 x 2 0 x 2 = 0. 6x 1 + 0. 1 x 2 = 0. 6x 1 + 0. 1 x 2 = 0. 5 B x 2 = 3 2 x 1 1 2 0. 9x 1 = 0. 6 x 1 = 0. 67 z = 73. 3 1.a.ii. Problemi di secondo grado 1) Costruzione del modello matematico; 2) Risoluzione del problema Esempio 1 Concorrenza perfetta (prezzi costanti) A B Prezzi 3 2 26

C(x, y) = 40 + 0. 05x + 0. 1y + 0. 00002x 2 + 0. 001y 2 R(x, y) = 3x + 2y x --- quantità del bene A; continua y --- quantità del bene B; continua Funzione obiettivo G(x, y) = R(x, y) C(x, y) = 3x + 2y (40 + 0. 05x + 0. 1y + 0. 00002x 2 + 0. 001y 2 ) = 0. 00002x 2 0. 001y 2 + 2. 95x + 1. 9y 40 s. a x, y 0 P x 2. 95 0. 00004x P y 1. 9 0. 002y x = 73750 y = 950 0. 00004 H = 0 = 0. 00004 0. 002 > 0 max 0 0. 002 P(73750, 950) = 109643. 75 Esempio 2 Monopolio (prezzi che variano al variare della quantità) A B Prezzi 3 2 C(x, y) = 40 + 0. 05x + 0. 1y + 0. 00002x 2 + 0. 001y 2 R(x, y) = 3x + 2y x --- quantità del bene A; continua y --- quantità del bene B; continua Funzione obiettivo G(x, y) = R(x, y) C(x, y) = 3x + 2y (40 + 0. 05x + 0. 1y + 0. 00002x 2 + 0. 001y 2 ) = 0. 00002x 2 0. 001y 2 + 2. 95x + 1. 9y 40 s. a x, y 0 P x 2. 95 0. 00004x P y 1. 9 0. 002y x = 73750 y = 950 0. 00004 H = 0 = 0. 00004 0. 002 > 0 max 0 0. 002 27

P(73750, 950) = 109643. 75 1.b.i. Razionale intera di 1 grado L estremo assoluto cade nell estremo dell intervallo Esempio x = stoffa in metri Continua C(x) = 3000 + 4x R(x) = 5. 20x P(x) = R(x) C(x) P(x) = 1. 20x 3000 x 0 s. a x 15000 1.b.ii. Razionale intera di 2 grado L estremo assoluto coincide con il vertice della parabola (estremo relativo) o con l estremo dell intervallo Esempio x = un certo bene Discreta C(x) = 1000 + 2x x = 4800 800p p = 4800 800 x 800 28

G(x) = 4800 800 x x 1000 2x 800 G(x) = 0. 00125x 2 + 4x 1000 x 0 s. a x 2500 Gz(x) = 0. 0025x + 4 x = 1600 G(1600) = 2200 1.b.iii. Razionale somma L estremo assoluto coincide con l estremo relativo o con l estremo dell intervallo y = a x + bx a, b > 0 Esempio C(x) = 712. 5 + 600 + 0. 09x + 0. 0000525x 2 712. 5 + 600 + 0. 09x + 0. 0000525x2 C M (x) = x 1312. 50 C M (x) = + 0. 09 + 0. 0000525x x C 1312. 50 M (x) = + 0. 0000525 x x 12 = ±5000 29

Calcolo degli asintoti lim C M (x) = + x 0 lim C M(x) = + x + lim x lim x C M (x) = x 1312. 50 x 2 + 0. 045 x Asintoto verticale x = 0 Asintono orizzontale + 0. 00002625 = 0. 00002625 = m q = lim x C M (x) 0. 00002625x = 0. 045 1.b.iv. Definite a tratti Esempio Vengono calcolati gli estremi assoluti in ogni tratto e confrontati fra loro per individuare il massimo o minimo assoluto x = solvente chimico in hl Continua 6. 20 x 5000 Provvigioni 7. 40 5000 < x 8000 8. 00 x > 8000 C(x) = 8000 + (2 + 0. 0003x)x s. a. x 12000 Modello matematico 6. 20 (8000 + 2x + 0. 0003x 2 ) G(x) 7. 40 (8000 + 2x + 0. 0003x 2 ) 8. 00 (8000 + 2x + 0. 0003x 2 ) x 5000 5000 < x 8000 x > 8000 0. 0003x 2 + 4. 20x 8000 G(x) 0. 0003x 2 + 5. 40x 8000 0. 0003x 2 + 6. 00x 8000 x 5000 5000 < x 8000 8000 < x 12000 Procedimento algebrico 0 x 5000 G (x) = 0. 0006x + 4. 20 = 0 x = x max = 5000 G(5000) = 5500 4. 20 0. 0006 = 7000 5000 < x 8000 G (x) = 0. 0006x + 5. 40 = 0 x = 5. 40 0. 0006 = 9000 30

x max = 9000 G(9000) = 16000 8000 < x 12000 G (x) = 0. 0006x + 6. 00 = 0 x = x max = 10000 G(10000) = 22000 6. 00 0. 0006 = 10000 1.b.v. Problema delle scorte x = quantità di merce da ordinare e immagazzinare OBIETTIVO: minimizzare i costi complessivi delle gestione delle scorte COSTI: 1. Costo dell ordinazione C ORD Costo che si effettua ogni volta che si fa un ordine indipendentemente dalla quantità ordinata 2. Costo magazzinaggio C MAG Costo sostenuto per tenere la merce in magazzino, riferito a un certo acro di tempo 3. Costo merce C MER Costo sostenuto per l acquisto della merce. Generalmente è irrilevante FUNZIONE OBIETTIVO DI COSTO TOTALE C(x) Ipotesi semplificatrici 1. Tempo di consegna = 0 31

2. Consumo della merce è uniforme nel tempo Diagramma a denti di sega Modello matematico x = Periodo di tempo: anno (generalmente) S fabbisogno annuo Funzione obiettivo C(x) = C ORD S x + C x + 0 MAG 2 Vincoli x > 0 SEGNO x CAPIENZA MAGAZZINO Esempio + C MER S C ORD S x + C MAG 2 x + C MER S S = 900 x = materia prima in q Continua C ORD = 300 C MAG = 8. 64 Funzione obiettivo 300 900 8. 64x C(x) = + = 27000 + 4. 32x x 2 x Vincoli x > 0 C (x) = 27000 x 2 + 4. 32 x = ± 27000 4. 32 = ±250 C(250) = 2160 x min = 250 32

1.b.vi. Confronto fra alternative Esempio 1 Confronto fra 2 offerte Alice ADSL: 1. FREE A consumo 2/h 2. FLAT 18 al mese Quale tariffa è più conveniente? Modello matematico x = ore di connessione al mese Continua Funzione obiettivo 1. C FREE (x) = 2x 2. C FLAT (x) = 18 s. a. x 0 Algebricamente 2x 18 x 9 0 x 9 FREE x > 9 FLAT Esempio 2 Confronto tra 4 offerte di Alice ADSL 1. FREE : 2/h 2. TIME : costo fisso 12.95/mese + 0.90/h 3. 20 ORE : 24.95/mese fino a 20ore + 1.50/h per ore eccedenti 4. FLAT : 36.95/mese Modello matematico 33

x = ore di connessione al mese Continua Funzione obiettivo C FREE (x) = 2x C TIME (x) = 12. 95 + 0. 90x 24. 95 x 20 C 20ORE (x) = 24. 95 + 1. 5(x 20) x > 20 C FLAT (x) = 36. 95 s. a. x 0 0 x x 1 FREE x 1 < x x 2 TIME x 2 < x x 3 20 ORE x > x 3 FLAT y = 2x x 1 y = 12. 95 + 0. 90x y = 12. 95 + 0. 90x x 2 y = 24. 95 y = 23. 54 x = 11. 77 y = 24. 95 x = 13. 33 y = 1. 50x 5. 05 x 3 y = 36. 95 y = 36. 95 x = 28. 00 34

2.a. Operazioni finanziarie Criteri di confronto 1) ATTUALIZZAZIONE soggettivo Confrontare tutti gli importi riportati al tempo 0 Valori attuali = saldo attualizzato. Si sceglie il più grande Utilizza un tasso di interesse M = C(1 + i k ) t k Capitalizzazione composta V = C(1 + i k ) t k Sconto composto 1 (1 + i) n V = R i Sconto di rendite i = tasso annuo i 2 = tasso semestrale i 3 = tasso quadrimestrale i 4 = tasso trimestrale i 6 = tasso bimestrale i 12 = tasso mensile CONVERSIONE TASSI DI INTERESSI 1 + i = (1 + i k ) k i = (1 + i k ) k 1 i k = (1 + i) 1 k 1 2) TASSO EFFETTIVO oggettivo V(i) = 0 Punto di incontro della funzione V(i) con l asse delle ascisse È quel tasso che rende finanziariemente equivalenti (uguali dopo averli riportati allo stesso tempo) tutti gli importi Investimento : si sceglie il tasso maggiore Finanziamento : si sceglie il tasso minore 35

Esempio Attualizzazione Dovendo investire 200 posso scegliere fra le seguenti possibilità Esempio Tasso effettivo 2.b. Investimenti industriali 36