I triangoli e i criteri di congruenza Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. ntonio Manca da materiali offerti dalla rete. ontributi di: tlas editore, matematicamente, Prof.ssa. nnamaria Iuppa, Prof. ordelli. 1
I triangoli e i criteri di congruenza PREREQUISITI onoscere i segmenti e gli angoli. onoscere i concetti di rette parallele e di rette perpendicolari. onoscere il concetto di punto medio e di asse di un segmento. onoscere il concetto di bisettrice di un angolo. OIETTIVI onoscere il concetto di triangolo. Saper individuare gli elementi di un triangolo onoscere le proprietà che li riguardano. Saper classificare i triangoli in base ai lati e in base agli angoli. onoscere i concetti di altezza, mediana, bisettrice e asse di un triangolo. onoscere e saper individuare i punti notevoli di un triangolo. onoscere e comprendere le proprietà dei triangoli isosceli, equilateri e rettangoli. onoscere e saper applicare i criteri di congruenza dei triangoli. 2
lassificazione Triangolo r ettangolo Punti notevoli Triangolo isoscele riteri di congruenza dei triangoli Esercizi Triangolo equilatero 3
Proprietà fondamentali In ogni triangolo un lato è sempre minore della somma degli altri due; Il triangolo è un poligono che ha tre lati e tre angoli; La somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180 ; Ogni angolo interno e il suo esterno sono adiacenti e supplementari. 4
FIGURE ONGRUENTI Due triangoli sono congruenti se esiste un movimento rigido con il quale essi possono essere sovrapposti in modo da coincidere. Questo movimento farà coincidere i vertici, i lati e gli angoli del primo triangolo con i vertici, i lati e gli angoli corrispondenti del secondo triangolo. 5
lassificazione dei triangoli rispetto agli angoli Triangolo acutangolo Triangolo rettangolo Triangolo ottusangolo Ha tutti gli angoli acuti Ha un angolo retto e due acuti Ha un angolo ottuso e due acuti 6
lassificazione dei triangoli rispetto ai lati Triangolo equilatero Triangolo isoscele Triangolo scaleno Ha tre lati e tre angoli congruenti Ha due lati e due angoli congruenti Ha tutti i lati e tutti gli angoli non congruenti 7
Punti notevoli del triangolo In un triangolo qualsiasi si definisce altezza il segmento di perpendicolare condotto da un vertice alla retta del lato opposto. In un triangolo vi sono tre altezze che passano per uno stesso punto detto ortocentro del triangolo. O H 8
Punti notevoli del triangolo Si definisce mediana di un triangolo relativa ad un lato il segmento che congiunge il punto medio di quel lato con il vertice opposto. In un triangolo vi sono tre mediane che passano per uno stesso punto detto baricentro del triangolo. G 9
Punti notevoli del triangolo Si definisce bisettrice di un triangolo il segmento, contenuto nella semiretta bisettrice di quell angolo, che ha un estremo nel vertice dell angolo e l altro estremo il lato opposto. In un triangolo vi sono tre bisettrici che passano per uno stesso punto detto incentro del triangolo. I 10
Punti notevoli del triangolo L asse è la retta perpendicolare al lato e passante per il suo punto medio. Ogni triangolo ha tre assi che si incontrano in un punto detto circocentro. 11
Triangolo Isoscele ngolo al vertice Lato obliquo ase ngoli alla base 12
Triangolo isoscele Proprietà: In un triangolo isoscele il punto comune ai lati congruenti si dice vertice del triangolo isoscele; L angolo compreso fra i lati congruenti si dice angolo al vertice; Il lato opposto al vertice si chiama base; Gli angoli adiacenti alla base si dicono angoli alla base. 13
Triangolo isoscele Proprietà: Gli angoli alla base sono congruenti; Due lati congruenti si dice isoscele; L altezza relativa alla base divide quest ultima in due parti uguali; ltezza, mediana, bisettrice e asse relativi alla base coincidono in un unico segmento; Incentro, ortocentro, baricentro e circocentro sono punti appartenenti a questo unico segmento. 14
Triangolo equilatero 60 60 60 15
Triangolo equilatero Proprietà: Gli angoli sono tutti e tre uguali fra di loro e ciascuno misura 60 ; Tre lati congruenti; ltezze, mediane, bisettrici e assi coincidono in un unico segmento; I punti notevoli coincidono in un unico punto, detto centro del triangolo equilatero. 16
Triangolo rettangolo Ipotenusa ateto minore 90 ateto maggiore 17
Triangolo rettangolo Proprietà: Gli angoli acuti sono complementari; La mediana relativa all ipotenusa è la metà dell ipotenusa stessa; In un triangolo rettangolo con gli angoli acuti di 45 i due cateti sono uguali; In un triangolo rettangolo con un angolo acuto di 30 il cateto opposto a quest ultimo è la metà dell ipotenusa. 18
1 riterio di congruenza Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due lati e l angolo tra loro compreso, essi sono congruenti. OSSERVZIONE: ad angoli congruenti stanno opposti lati congruenti, e viceversa, a lati congruenti sono opposti angoli congruenti. 19
1 riterio di congruenza I criteri di congruenza Primo criterio di congruenza. Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due lati e l angolo fra essi compreso. astano queste 3 relazioni (2 lati ed un angolo congruenti) per dimostrare che i due angoli sono uguali. 20
1 riterio di congruenza I criteri di congruenza Si parte dall angolo: Se con un movimento rigido sovrappongo i due angoli, anche le due semirette (lati dei triangoli) si sovrapporranno. La semiretta che contiene si sovrappone a quella che contiene. si sovrappone ad. Poiché è congruente ad ed a, coincide con, il vertice coincide con, è chiaro che il lato coincide e si sovrappone con coincide con. Quindi il triangolo coincide con il triangolo. 21
I criteri di congruenza 2 riterio di congruenza Secondo criterio di congruenza. Due triangoli sono congruenti se hanno un lato e gli angoli ad esso adiacenti ordinatamente congruenti. Trasporto il lato sopra il lato '' (posso farlo perché sono congruenti per ipotesi e potrei farlo in due modi diversi: o traslando il lato o ruotandolo; lo porto sopra senza ruotarlo) in modo che l'angolo vada sopra l'angolo ''' e l'angolo vada sopra '''; in questo modo i due triangoli hanno su '', su '' e su '' quindi sono sovrapposti e coincidono punto per punto come volevamo dimostrare 22
3 riterio di congruenza I criteri di congruenza Terzo criterio di congruenza. Due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati ordinatamente congruenti. Trasporto il triangolo da banda opposta rispetto al triangolo ''' in modo che il lato vada sopra il lato ''; allora il punto va in ''. onsidero il triangolo '''': esso ha due lati uguali (''=''') quindi ha anche due angoli uguali cioè ''H='''H (quelli indicati in verde). onsidero ora il triangolo '''': esso ha due lati uguali (''=''') quindi ha anche due angoli uguali cioè H''=H''' (quelli indicati in viola) onsidero ora i triangoli ''' ed '''' essi hanno: '' = ''' per ipotesi (ho fatto fare un movimento rigido a due lati uguali per ipotesi) '' = ''' sempre per ipotesi (come sopra) Gli angoli '''='''' sono uguali perché somme di angoli uguali (quelli colorati) Quindi i due triangoli sono uguali per il primo criterio come volevamo dimostrare H 23
Teorema diretto del triangolo isoscele In un triangolo isoscele, gli angoli alla base sono congruenti. IPOTESI: TESI: Si considera la bisettrice dell angolo al vertice E. onsideriamo i due triangoli E e E, essi hanno: E in comune per ipotesi E E per costruzione, poiché ho creato e tracciato la bisettrice I due triangoli sono congruenti per il 1 criterio dei congruenza, perché hanno 3 elementi congruenti, 2 lati ed un angolo. Il triangolo E E, quindi l angolo, E 24
Teorema inverso del triangolo isoscele Se un triangolo ha due angoli congruenti, allora è isoscele (rispetto al lato compreso tra gli angoli congruenti preso come base). IPOTESI: TESI: Dimostrazione: Procediamo per passi, realizzando una costruzione che ci permetta di confrontare coppie di triangoli congruenti. Prolunghiamo i lati e dalla parte di e di rispettivamente, e sui prolungamenti prendiamo due punti D ed E in maniera tale che risulti D E Osserviamo che i triangoli D e E risultano congruenti per il 1 criterio, avendo in comune il lato ed essendo D E per costruzione e D E perché adiacenti agli angoli e congruenti per ipotesi. Pertanto, tutti gli elementi dei due triangoli D e E sono ordinatamente congruenti, in particolare D E, D E, D E. D E 25
Teorema inverso del triangolo isoscele Se un triangolo ha due angoli congruenti, allora è isoscele (rispetto al lato compreso tra gli angoli congruenti preso come base). IPOTESI: TESI: Dimostrazione: Procediamo per passi, realizzando una costruzione che ci permetta di confrontare coppie di triangoli congruenti. Prolunghiamo i lati e dalla parte di e di rispettivamente, e sui prolungamenti prendiamo due punti D ed E in maniera tale che risulti D E Osserviamo che i triangoli D e E risultano congruenti per il 1 criterio, avendo in comune il lato ed essendo D E per costruzione e D E perché adiacenti agli angoli e congruenti per ipotesi. Pertanto, tutti gli elementi dei due triangoli D e E sono ordinatamente congruenti, in particolare D E, D E, D E. D E 26
Teorema inverso del triangolo isoscele Se un triangolo ha due angoli congruenti, allora è isoscele (rispetto al lato compreso tra gli angoli congruenti preso come base). IPOTESI: TESI: onfrontiamo ora i triangoli D e E, risultano congruenti per il 2 criterio poiché hanno D E, D E per quanto appena dimostrato e D E perché somma di angoli rispettivamente congruenti: D + D e E + E. Pertanto, i restanti elementi dei due triangoli risultano ordinatamente congruenti: D E In particolare, che è la tesi che volevamo dimostrare. Dai due teoremi precedenti seguono importanti proprietà. 27
orollari Un triangolo equilatero è anche equiangolo. Viceversa, se un triangolo è equiangolo, allora è equilatero. Un triangolo scaleno non ha angoli congruenti. Viceversa, se un triangolo non ha angoli congruenti, allora è scaleno. Dimostrazioni 1) Poiché un triangolo equilatero è isoscele rispetto a qualsiasi lato preso come base, la tesi segue dal teorema diretto del triangolo isoscele. 2) Possiamo confrontare gli angoli a due a due; risulteranno i lati congruenti a due a due in base al teorema inverso del triangolo isoscele. 3) Se per assurdo un triangolo scaleno avesse due angoli congruenti, allora risulterebbe isoscele, in base al teorema inverso del triangolo isoscele. 4) Se per assurdo un triangolo che non ha angoli congruenti non fosse scaleno, il che vuol dire che sarebbe isoscele, allora avrebbe angoli congruenti in contrasto con l ipotesi di assurdo. 28
Teorema dell'angolo esterno In ogni triangolo un angolo esterno è maggiore di ogni angolo interno non adiacente onsideriamo come angolo interno l'angolo e come angolo esterno l'angolo D Ipotesi D esterno Tesi D > Per dimostrare che un angolo è maggiore di un altro basta prenderne una parte e mostrare che la parte è uguale all'altro angolo, quindi dovremo costruire due triangoli, uno con l'angolo interno e l'altro con la parte dell'angolo esterno. onsidero il punto medio M del lato, Ora considero il N segmento M e riporto un segmento uguale sul M prolungamento di M oltre M, ottengo il segmento MN, congiungo N con e considero i triangoli M ed MN. Essi hanno per costruzione M = M e M = MN sempre per costruzione. Gli angoli M = NM perché opposti al vertice. Per il primo criterio di congruenza i due triangoli sono congruenti, in particolare M= MN ed essendo MN una parte dell'angolo D si avrà la tesi. M D 29 N D D
Problema n 1 alcola il perimetro di un triangolo isoscele avente il lato obliquo lungo 42,5 cm e la base 38 cm. Hp = 42,5 = 38 Th P =? P = 30
Risoluzione n 1 Per calcolare il perimetro di un triangolo isoscele è sufficiente avere la misura della base e di un lato obliquo dal momento che l altro sarà congruente. Pertanto avrai : P = ( + + ) = (42,5 + 42,5 + 38)cm = 123 cm 31
Problema n 2 In un triangolo isoscele l angolo al vertice misura 50. alcola la misura degli altri due angoli. Hp = 50 =? Th =? = = 32
Risoluzione n 2 Per calcolare gli angoli alla base di un triangolo isoscele è sufficiente ricordare che in un triangolo la somma degli angoli interni è sempre 180 pertanto avrai: = = (180 50 ) : 2 = 65 33