Esercizi svolti di Matematica Finanziaria Esercizio I. Si consideri un obbligazione al 6%, con cedole trimestrali, vita a scadenza di anno, rendimento del 3, 7%. Calcolare il prezzo di tale obbligazione, la duration di Macaulay, e dire approssimativamente senza calcolarlo qual è il prezzo dell obbligazione se il rendimento aumenta dello 0, %. Calcoliamo i fattori di sconto necessari: v 0, k = λ k, k =,..., m. n n In questo caso abbiamo: n = numero di cedole in un anno, m = periodi di pagamento rimasti, λ = 3, 7% rendimento. Per cui i fattori di sconto che ci interessano sono: v 0, = = 0, 99 v 0, = v 0, 3 = v0, = Per cui il prezzo dell obbligazione è: P =, 5 v 0,, 5 v e la duration di Macaulay è: D =, 5 v 0,, 5 v 0, = 0, 98 3 = 0, 973 = 0, 96. 0,, 5 v 0, 3 0, 5 v0, = 0, 8 3, 5 v 0, 3 0, 5 v0, P = 0, 978 anni. La variazione del prezzo ΔP è legata alla variazione del rendimento Δλ nel seguente modo ΔP P D M Δλ, dove D M è la duration modificata D M = D = 0, 969 anni. λ n Per cui se il rendimento aumenta dello 0, %, cioè Δλ = 0, 00, allora la variazione di prezzo è approssimata da ΔP P D M Δλ = 0, 8 0, 969 0, 00 = 0, 98 per cui il nuovo prezzo approssimativamente è P ΔP 0, 8 0, 98 = 0, 05. Esercizio II. Per un prestito di 50.000 eè previsto un rimborso in 5 anni, con rate annuali immediate posticipate, a quota capitale costante e quota interesse calcolata sui tassi EURIBOR osservati sul mercato, con un tetto massimo del,%. Si osservino sul mercato i seguenti tassi EURIBOR annui: i0, = 3, %, i, =, 6%, i, 3 =, 5%, i3, = 3, 58%, i, 5 = 3, 9%.
Scrivere il piano di ammortamento a posteriori, cioè dopo che si sono osservati i tassi sul mercato per il rimborso di tale prestito. Per ogni periodo k, indichiamo con C k = la quota capitale, con I k la quota interessi, con R k la rata, con M k il debito resido, ottenendo: anni C k I k R k M k 0 0 0 0 50.000 0.000.700.700 0.000 0.000.680.680 30.000 3 0.000.60.60 0.000 0.000 76 0.76 0.000 5 0.000 390 0.390 0 dove abbiamo usato: I = 0, 03 50.000 =.700 I = 0, 0 0.000 =.680 I 3 = 0, 0 30.000 =.60 I = 8 0.000 = 76. I 5 = 0, 039 0.000 = 390. Esercizio III. Vendiamo un contratto FRA relativo al periodo forward [, ] espresso in anni, sul capitale di 80.000 ead un tasso FRA = 3, %. E acquistiamo un contratto FRA relativo allo stesso periodo forward, sul capitale di 50.000 ead un tasso FRA = 3, 9%. Dopo anni si osserva un tasso spot annuo i, = 3, 6%. Dire in che data avviene il pagamento e se globalmente come somma delle due compravendite paghiamo o riceviamo cioè se perdiamo o guadagnamo e quanto. Per il contratto FRA che vendiamo, in riceviamo 80.000 0, 03 0, 036 = 60, ovvero paghiamo 60e. Per il contratto FRA che acquistiamo, in paghiamo 50.000 0, 039 0, 036 = 300. Per cui al tempo in tutto paghiamo 60 300 = 90e. Esercizio IV. Comperiamo,6 PUT sul sottostante S con strike K = 70 e maturity T = anni, e vendiamo,5 CALL sul sottostante S con strike K = 80 e maturity T = 3 anni. Descrivere il flusso monetario generato dal nostro portafoglio nei seguenti casi: a. Tra anni si osserva S = 65 e tra 3 anni si osserva S3 = 8. b. Tra anni si osserva S = 80 e tra 3 anni si osserva S3 = 90. Dire che cos è un opzione PUT dare solamente la definizione, in modo conciso, senza scrivere la formula. Caso a: P = K S = 70 65 = 5, C = S 3 K = 8 80 =, {.6 P,.5 C} {, 3} = {8, 5} {, 3}.
Caso b: P = K S = 70 80 = 0, C = S 3 K = 90 80 = 0, {.6 P,.5 C} {, 3} = {0, 5} {, 3}. Una PUT su un sottostante S, con maturity T e strike K, è un opzione che dà al detentore il diritto e non l obbligo di vendere, al tempo T, un unità del sottostante al prezzo K. Se in T il valore del sottostante è minore dello strike, allora il detentore ha convenienza a eserciare l opzione cioè a vendere, altrimenti no. 3
Esercizio V. Si consideri un obbligazione al, 8%, con cedole trimestrali, vita a scadenza di anno, rendimento del 3, 5%. Calcolare il prezzo di tale obbligazione, la duration di Macaulay, e dire approssimativamente senza calcolarlo qual è il prezzo dell obbligazione se il rendimento aumenta dello 0, %. Calcoliamo i fattori di sconto necessari: v 0, k = λ k, k =,..., m. n n In questo caso abbiamo: n = numero di cedole in un anno, m = periodi di pagamento rimasti, λ = 3, 7% rendimento. Per cui i fattori di sconto che ci interessano sono: v 0, = v 0, = v 0, 3 = v0, = Per cui il prezzo dell obbligazione è: P =, v 0,, v e la duration di Macaulay è: D =, v 0,, v 0, = 0, 99 = 0, 983 3 = 0, 97 = 0, 966. 0,, v 0, 3 0, v0, = 0, 7 3, v 0, 3 0, v0, P = 0, 98 anni. La variazione del prezzo ΔP è legata alla variazione del rendimento Δλ nel seguente modo ΔP P D M Δλ, dove D M è la duration modificata D M = D = 0, 97 anni. λ n Per cui se il rendimento aumenta dello 0, %, cioè Δλ = 0, 00, allora la variazione di prezzo è approssimata da ΔP P D M Δλ = 0, 7 0, 97 0, 00 = 0, 97 per cui il nuovo prezzo approssimativamente è P ΔP 0, 7 0, 97 = 0, 075. Esercizio VI. Per un prestito di 75.000 eè previsto un rimborso in 5 anni, con rate annuali immediate posticipate, a quota capitale costante e quota interesse calcolata sui tassi EURIBOR osservati sul mercato, con un tetto massimo del,%. Si osservino sul mercato i seguenti tassi EURIBOR annui: i0, = 3, %, i, =, 5%, i, 3 =, 7%, i3, = 3, 56%, i, 5 = 3, 8%.
Scrivere il piano di ammortamento a posteriori, cioè dopo che si sono osservati i tassi sul mercato per il rimborso di tale prestito. Per ogni periodo k, indichiamo con C k = la quota capitale, con I k la quota interessi, con R k la rata, con M k il debito resido, ottenendo: anni C k I k R k M k 0 0 0 0 75.000 5.000.00 7.00 60.000 5.000.60 7.60 5.000 3 5.000.85 6.85 30.000 5.000.068 6.068 5.000 5 5.000 570 5.570 0 dove abbiamo usato: I = 0, 03 75.000 =.00 I = 0, 0 60.000 =.60 I 3 = 0, 0 5.000 =.85 I = 6 30.000 =.068. I 5 = 0, 038 5.000 = 570. Esercizio VII. Vendiamo un contratto FRA relativo al periodo forward [3, 6] espresso in anni, sul capitale di 70.000 ead un tasso FRA3 6 = 3, 3%. E acquistiamo un contratto FRA relativo allo stesso periodo forward, sul capitale di 65.000 ead un tasso FRA3 6 = 3, 8%. Dopo 3 anni si osserva un tasso spot annuo i3, 6 = 3, 5%. Dire in che data avviene il pagamento e se globalmente come somma delle due compravendite paghiamo o riceviamo cioè se perdiamo o guadagnamo e quanto. Per il contratto FRA che vendiamo, in 6 riceviamo 70.000 0, 033 3 = 0, ovvero paghiamo 0e. Per il contratto FRA che acquistiamo, in 6 paghiamo 65.000 0, 038 3 = 585. Per cui al tempo 6 in tutto paghiamo 0 585 = 005e. Esercizio VIII. Comperiamo. PUT sul sottostante S con strike K = 68 e maturity T = anni, e vendiamo.7 CALL sul sottostante S con strike K = 8 e maturity T = 3 anni. Descrivere il flusso monetario generato dal nostro portafoglio nei seguenti casi: a. Tra anni si osserva S = 65 e tra 3 anni si osserva S 3 = 8. b. Tra anni si osserva S = 80 e tra 3 anni si osserva S 3 = 90. Dire che cos è un opzione PUT dare solamente la definizione, in modo conciso, senza scrivere la formula. Caso a: P = K S = 68 65 = 3, C = S 3 K = 8 8 =, {. P,.7 C} {, 3} = {.,.7} {, 3}. 5
Caso b: P = K S = 68 80 = 0, C = S 3 K = 90 8 = 9, {. P,.7 C} {, 3} = {0,.3} {, 3}. Una PUT su un sottostante S, con maturity T e strike K, è un opzione che dà al detentore il diritto e non l obbligo di vendere, al tempo T, un unità del sottostante al prezzo K. Se in T il valore del sottostante è minore dello strike, allora il detentore ha convenienza a eserciare l opzione cioè a vendere, altrimenti no. 6