1 Congruenza diretta e inversa

1 Congruenza diretta e inversa PROPRIETÀ. La congruenza tra due figure piane mantiene inalterata la lunghezza dei segmenti e l ampiezza degli angoli; ciò che cambia è la posizione delle figure nel piano. DEFINIZIONE. Si chiamano movimenti rigidi quelle trasformazioni geometriche che mantengono inalterate forma ed estensione. Possiamo distinguerli in: Movimenti rigidi diretti: sono quelli che si compiono nel piano in cui si trovano le figure da sovrapporre. In questo caso tali figure sono direttamente congruenti. A B Movimenti rigidi inversi: sono quelli che si compiono uscendo dal piano in cui si trovano le figure da sovrapporre. In questo caso tali figure sono inversamente congruenti. Area 2 - Capitolo 1 - PAG. 158 1

2 La traslazione Consideriamo il triangolo rettangolo ABC e spostiamolo nel piano in modo tale che i segmenti che uniscono A con A, B con B e C con C siano paralleli tra loro e tali da avere: la stessa lunghezza, che prende il nome di modulo; la stessa direzione, quella della retta a cui appartengono; lo stesso verso di percorrenza, in questo caso da sinistra verso destra, come indicato dalla freccia. DEFINIZIONE. La traslazione è un movimento isometrico diretto del piano determinato da un vettore che fissa modulo, direzione e verso di spostamento. PROPRIETÀ. La traslazione è una trasformazione geometrica che conserva la misura delle lunghezze e l ampiezza degli angoli; due figure ottenute mediante una traslazione sono direttamente congruenti. Area 2 - Capitolo 1 - PAG. 159 2

3 La rotazione La rotazione è un movimento rigido che permette di ruotare una figura attorno a un punto, detto centro di rotazione, di un angolo con ampiezza assegnata. La rotazione può essere oraria o antioraria. DEFINIZIONE. La rotazione è un movimento isometrico diretto del piano determinato da un centro di rotazione e da un angolo orientato che definisce l ampiezza e il verso del movimento nel piano. PROPRIETÀ. La rotazione è una trasformazione geometrica che conserva la misura delle lunghezze e l ampiezza degli angoli; due figure ottenute mediante una rotazione sono direttamente congruenti. Area 2 - Capitolo 1 - PAG. 161 3

4 La simmetria assiale DEFINIZIONE. La simmetria assiale di asse a è un movimento isometrico del piano ed è tale da associare ad ogni punto del piano un punto simmetrico rispetto alla retta a. PROPRIETÀ. La simmetria assiale è una trasformazione geometrica che conserva la misura delle lunghezze e l ampiezza degli angoli; due figure ottenute tramite una simmetria assiale sono inversamente congruenti. DEFINIZIONE. Tutti i punti della figura che appartengono contemporaneamente anche all asse si chiamano punti uniti. PROPRIETÀ. Una figura possiede un asse di simmetria se esiste una retta tale che è possibile associare a ciascun punto della figura un altro punto anch esso appartenente alla figura. Area 2 - Capitolo 1 - PAG. 163 4

5 La simmetria centrale DEFINIZIONE. La simmetria centrale di centro O è un movimento isometrico diretto del piano ed è tale da associare ad ogni punto del piano un punto simmetrico rispetto al centro O. PROPRIETÀ. Due punti qualunque A e A si corrispondono in una simmetria centrale di centro O se O è il punto medio del segmento AA. PROPRIETÀ. La simmetria centrale è una trasformazione geometrica che conserva le misure delle lunghezze e l ampiezza degli angoli; due figure ottenute tramite una simmetria centrale sono direttamente congruenti. PROPRIETÀ. Una figura possiede un centro di simmetria se esiste un punto tale che è possibile associare a ciascun punto della figura un altro punto anch esso appartenente alla figura. Area 2 - Capitolo 1 - PAG. 164 5

6 La simmetria e i poligoni Bisettrice di un angolo La bisettrice dell angolo è l asse di simmetria dell angolo. Tutti i punti della bisettrice r e il vertice V sono punti uniti. Triangolo isoscele In un triangolo isoscele la bisettrice, l altezza, l asse e la mediana, rispetto alla base, coincidono nello stesso segmento. La retta r che contiene tale segmento rappresenta l asse di simmetria del triangolo. Tutti i punti notevoli del triangolo e gli altri punti del segmento CH sono punti uniti. Area 2 - Capitolo 1 - PAG. 167 6

6 La simmetria e i poligoni Triangolo equilatero In un triangolo equilatero la bisettrice, l altezza, la mediana e l asse di ciascun lato coincidono nello stesso segmento. Le rette r 1, r 2, r 3, che contengono tali segmenti sono tre assi di simmetria del triangolo equilatero. Parallelogrammo Il punto O d incontro delle due diagonali è il centro di simmetria del parallelogrammo. In generale il parallelogrammo non ha assi di simmetria. Area 2 - Capitolo 1 - PAG. 167 7

6 La simmetria e i poligoni Rettangolo Le due rette r 1 e r 2, perpendicolari nei punti medi della base e dell altezza, sono assi di simmetria. Il punto O, intersezione delle rette r 1 e r 2, rappresenta il centro di simmetria del rettangolo. Quadrato Le quattro rette r 1, r 2, perpendicolari nei punti medi dei lati, e r 3 e r 4, contenenti le diagonali BD e AC, sono gli assi di simmetria del quadrato. Il punto O, comune alle quattro rette, è il centro di simmetria del quadrato. Area 2 - Capitolo 1 - PAG. 167 8

6 La simmetria e i poligoni Rombo Le due rette r 1 e r 2 contenenti le diagonali sono assi di simmetria del rombo. I punti del segmento AC sono punti uniti all asse r 2, i punti dell asse BD sono punti uniti dell asse r 1. Il punto O, intersezione delle due diagonali, è il centro di simmetria del rombo. Trapezio isoscele La retta r perpendicolare alle due basi e passante per il loro punto medio è l asse di simmetria del trapezio. Area 2 - Capitolo 1 - PAG. 168 9

6 La simmetria e i poligoni Poligoni regolari Le sei rette della figura a lato rappresentano altrettanti assi di simmetria. In generale, un poligono regolare ha tanti assi di simmetria quanti sono i suoi lati. Tutti i poligoni con un numero pari di lati hanno anche un centro di simmetria; quelli con un numero dispari di lati non possiedono centro di simmetria. Circonferenza e cerchio Qualunque retta passante per il centro della circonferenza rappresenta un asse di simmetria. La circonferenza e il cerchio possiedono quindi infiniti assi di simmetria. Il centro O della circonferenza è il centro di simmetria. Area 2 - Capitolo 1 - PAG. 168 10