Lezione 4 Brillanza superficiale e intensità specifica, temperatura di brillanza e di antenna
Il fascio di antenna Un'antenna puntata in una certa direzione nel cielo riceve (o trasmette) radiazione anche da direzioni diverse dalla direzione di puntamento. La funzione che esprime la potenza ricevuta (o trasmessa) in funzione degli angoli si chiama fascio di antenna o beam pattern. Intensità relativa (decimale)
Fascio di antenna normalizzato in db Intensità relativa (decibel)
Angolo solido di antenna, FWHM L'angolo solido di antenna è l'integrale su del fascio di antenna normalizzato Il fascio principale, o main beam, è la porzione del fascio di antenna ove. Se il fascio è simmetrico l'angolo che definisce il fascio principale si indica con oppure con FWHM: full width at half maximum HPBW: half power beam width Relazione fra angolo solido e area efficace:
Sorgenti diffuse Intensità specifica Seguendo il ragionamento utilizzato per definire la densità spettrale di flusso per una sorgente puntiforme definiamo l'intensità specifica di una sorgente diffusa come l'energia che riceviamo da un punto (, ) nel cielo alla frequenza per unità di tempo, di superficie, di angolo solido e di banda. La potenza ricevuta da un'antenna dalla sorgente diffusa è pertanto dove A( ) rappresenta l'area efficace del telescopio alla frequenza e P n ( ) è il fascio di antenna
Sorgenti diffuse Brillanza superficiale Una quantità dalle stesse unità di misura è la cosiddetta brillanza superficiale, ovvero l'energia emessa da una superficie nella direzione (, ) alla frequenza per unità di tempo, di angolo solido, di frequenza (nella banda) e di superficie Si può dimostrare che trascurando effetti di assorbimento e l'effetto dell'espansione di Hubble si ha che
Dimostrazione d D da Consideriamo un telescopio di area A tel che osserva un'area da in una sorgente diffusa posta a distanza D A tel Calcoliamo la potenza ricevuta dal telescopio in una banda
Dimostrazione d D da Consideriamo un telescopio di area A tel che osserva un'area da in una sorgente diffusa posta a distanza D A tel Calcoliamo la potenza ricevuta dal telescopio in una banda
Dimostrazione d ' D da Ribaltiamo il problema e calcoliamo la potenza emessa dall'area da sulla sorgente verso il telescopio nella stessa banda A tel
Dimostrazione d ' D da Ribaltiamo il problema e calcoliamo la potenza emessa dall'area da sulla sorgente verso il telescopio nella stessa banda A tel
La radiazione di corpo nero (definizione) Un corpo nero è un oggetto che assorbe tutta la radiazione elettromagnetica incidente (e quindi non ne riflette). Per la conservazione dell'energia, tutta la radiazione assorbita viene re-irradiata con uno spettro che dipende dalla temperatura assoluta del corpo ed è indipendente dalle caratteristiche della radiazione assorbita. Qualunque corpo a temperatura T è sorgente di radiazione elettromagnetica dovuta al moto degli atomi che lo compongono. Se T è costante (equilibrio termodinamico) allora lo spettro della radiazione è di corpo nero.
La radiazione di corpo nero (formula e unità) La potenza per unità di superficie, unità di banda ed unità di angolo solido (ovvero la brillanza) di un corpo nero è data da: Le unità di misura sono, ovviamente, Per convertire B( ) in B( ) non basta semplicemente sostituire c nell'equazione. Dobbiamo invece uguagliare la potenza emessa in un intervallo di lunghezze d'onda con la potenza emessa in un intervallo di frequenze
La radiazione di corpo nero (rappresentazione in frequenza e lunghezza d'onda) Sostituendo e si ottiene Lo spettro della radiazione di corpo nero è parametrizzato unicamente in funzione della temperatura.
La radiazione di corpo nero
La radiazione di corpo nero (approssimazioni) A bassa frequenza, se h KT, si ha che: Da qui l'approssimazione di Rayleigh-Jeans della brillanza di un corpo nero:
La radiazione di corpo nero (approssimazioni) Ad alta frequenza, se h KT, si ha che: Da qui l'approssimazione di Wien della brillanza di un corpo nero:
La radiazione di corpo nero (approssimazioni) Approssimazione di Rayleigh-Jeans Approssimazione di Wien Valida al di sotto dei 5 GHz Valida oltre i 200 GHz
La radiazione di corpo nero (il massimo) Scriviamo lo spettro di corpo nero con Calcoliamo ora la derivata di B(x) e poniamola a zero per trovare il massimo
La radiazione di corpo nero (il massimo) Ponendo la derivata a zero si ha:
L'energia totale Se integriamo lo spettro di corpo nero su tutto l'intervallo di frequenze otteniamo è la costante di Stefan Boltzmann data da 1.80 x 10-8 W m -2 K -4.
Temperatura di brillanza (definizione) Consideriamo un emettitore di brillanza superficiale B e definiamo la seguente quantità che chiamiamo temperatura di brillanza Se l'emettitore è un corpo nero e la frequenza è abbastanza bassa (h << kt) allora la temperatura di brillanza corrisponde alla temperatura fisica dell'oggetto ed è indipendente dalla frequenza Se l'emettitore è un corpo nero e la frequenza è elevata allora la temperatura di brillanza dipende dalla frequenza Anche nei casi in cui l'emettitore non sia un corpo nero si ha che la temperatura di brillanza dipende dalla frequenza.
Temperatura di brillanza (relazione con temperatura termodinamica) Nel caso generale si ha che: In sostanza la relazione fra temperatura di brillanza e temperatura termodinamica nel caso generale è:
Temperatura di antenna Consideriamo un ricevitore accoppiato con un'antenna che osserva una sorgente di corpo nero ad una temperatura T Definiamo la temperatura di antenna, T A la convoluzione della temperatura di brillanza con il pattern di antenna, ovvero: Vediamo ora come la temperatura di antenna sia legata alla potenza ricevuta dal ricevitore. La potenza W ricevuta è data dalla convoluzione della brillanza con il pattern di antenna Il termine ½ dipende dal fatto che i ricevitori a microonde sono sensibili ad una polarizzazione
Temperatura di antenna Poiché la brillanza superficiale può essere scritta in funzione della temperatura di brillanza come: Si ha che la potenza ricevuta, W, è data da: Poiché abbiamo che la potenza ricevuta è data da
Temperatura di antenna Se assumiamo che la dipendenza di A e, T B e P n da sia debole, otteniamo che La temperatura di antenna di un ricevitore è una misura della potenza ricevuta da un ricevitore che osserva una sorgente a banda larga. Chiaramente il concetto non è applicabile al caso un cui il ricevitore rilevi un segnale monocromatico