DIETRO LE QUINTE DELLA MATEMATICA TEKNOTRE Anno Accademico 2016-2017 Lezione n. 11 (21-4-2017) PERUCCO Pieraldo
Pensieri in libertà Non abbiamo alcun uso pratico per una misura del che vada oltre i quindici o venti decimali. Perché dunque i matematici continuano a dedicare la loro vita alla ricerca di altre cifre e ai modi per calcolarle? Cerchi e quadrati, circonferenze e perimetri: possiamo relazionarli? Qual è la forma perfetta per la Natura? I quadrati sono figli dei cerchi I cerchi evocano l infinito, i quadrati il finito
: un semplice numero? Nel tentare di capire la relazione tra quadrati e cerchi ci siamo imbattuti in un rompicapo che ha travalicato l ambito strettamente matematico ha unito aritmetica e geometria, trigonometria e analisi e determinato relazioni matematiche inimmaginabili nei settori più disparati e distanti dall ambito matematico. Probabilmente nessun simbolo in matematica ha evocato tanto mistero e romanticismo, e ha suscitato tanti errori e interesse umano quanto il numero pi greco ( ). William L. Schaaf 3, 141 592 653 589 793 238 462 643 383 279
Interrogativi Il rapporto della circonferenza al diametro è costante per ogni cerchio? Misurare la circonferenza e determinare il diametro o viceversa? A quale precisione ci dobbiamo spingere? Le diverse esigenze degli agrimensori, degli ingegneri, dei fisici e dei matematici Perché è valsa la pena di indagare
La sfida, gli insegnamenti La ricerca di è radicata profondamente nello spirito umano, nel desiderio di esplorazione e nel nostro desiderio insopprimibile di mettere alla prova i nostri limiti. La storia di ci offre preziosi insegnamenti sui limiti della nostra comprensione, segnando chiaramente il confine fra finito e infinito. non è solo il rapporto del cerchio al diametro, ma ricorre anche in fisica, statistica, ingegneria, architettura, biologia, astronomia,
La natura del Se noi comprendessimo meglio questo numero capiremmo in modo più approfondito la matematica e la fisica del nostro universo. Il fascino di questo numero, che ha conquistato un posto centrale negli annali della matematica, è stato sancito anche dall interesse dei massimi scienziati di tutti i tempi nel tentativo di rappresentarlo La soluzione dell antico problema della «quadratura del cerchio» passa per la comprensione della natura di.
Storia Antica dal 2000 al 500 a.c. La cordicella avvolta attorno alla periferia era 3 volte... e qualcosa il diametro In Babilonia, l area del cerchio valeva A = c 2 /12, dove c indica la circonferenza. Questo equivale ad usare per il valore 3 Gli antichi egizi assegnavano a un valore approssimato per eccesso. Per loro l area del cerchio era A=(8/9 d) 2. In questo caso assume il valore 256/81 (circa 3,1605). (Dal Papiro Rhind dello scriba egizio Ahmes - 1650 a.c.)
I GRECI: dal 500 a.c. al 200 d.c. (1) I cerchi stanno fra loro come i quadrati dei loro diametri. Euclide, Elementi, XII, proprietà 2. Il metodo di Esaustione calcola le aree di due poligoni, uno inscritto nel cerchio e l altro ad esso circoscritto. L area del cerchio doveva essere compresa fra le aree dei due poligoni. E la prima volta che si determina un risultato usando limiti inferiori e superiori.
I GRECI: dal 500 a.c. al 200 d.c. (2) Archimede si pone il problema della rettificazione della circonferenza π è maggiore di 3 ma minore di 4 raddoppia ogni volta il numero dei poligoni inscritti e circoscritti sino a giungere a 96 lati La circonferenza è uguale al triplo del diametro più una certa porzione del diametro stesso che è più piccola dei 10/70 del diametro e più grande dei 10/71 del diametro stesso 3 10 3 10 71 70
Dal 1600 al 1900 : dalla pazienza Si continua con la moltiplicazioni dei lati del poligono inscritto. Viète esprime usando un prodotto infinito Ludolph van Ceulen : i suoi poligoni avevano più di 32 miliardi di lati ciascuno. Arriva alla precisione di 35 decimali.
Dal 1600 al 1900 : all intelligenza Snell e Huygens : aumenta l efficienza, si riduce il numero dei lati e si raggiunge la precisione fino alla nona cifra decimale Wallis : prodotti infiniti (semplificato rispetto a Viète) Gregory e le serie di arcotangenti arctg x = x (x 3 /3) + (x 5 /5) (x 7 /7) + (x 9 /9) (x 11 /11) +
NEWTON, SHARP, EULERO, Trovare equazioni che convergono rapidamente su π Newton L angolo giro vale 2 radianti Sharp
EULERO Stirling 2 n lim! n n n e n n 355/113 = 3,1415929
La quadratura del cerchio La quadratura del cerchio, anche nel linguaggio comune, è diventato sinonimo di un progetto condannato al fallimento. In matematica, quadrare il cerchio significa costruire, con tecniche geometriche o numeriche, un quadrato che abbia esattamente la stessa area di un cerchio. L area del cerchio è pi greco volte l area del quadrato costruito sul suo raggio.
E un problema che ha soluzione? La quadratrice di Ippìa di Elide che quadra il cerchio con un numero infinito di passi. Solo nel 500 il problema fu accantonato e nell 800 dimostrato come irrisolvibile
La trascendenza di Trascendente (significa che non può essere ottenuto come soluzione di un equazione algebrica a coefficienti razionali). Lindemann dimostra che è un numero trascendente (e che pertanto, non è possibile la quadratura del cerchio solo con riga e compasso) Dimostrazione : dalla trascendenza (già dimostrata da Hermite) del numero e, Lindemann afferma che, se è un numero algebrico non nullo, allora e è trascendente Partendo dalla famosa formula di Eulero e i + 1 = 0, visto che i è algebrico (i 2 = -1), se ne deduce che i non è algebrico. non può essere un numero algebrico, e perciò è trascendente.
CONCLUSIONI Il calcolo di è praticamente l unico argomento della parte più antica della matematica che presenti ancora un serio interesse per la ricerca matematica moderna. Sono occorsi quasi due millenni per passare da una a tre cifre esatte di. E pochi decenni per andare oltre il centinaio di cifre. Ormai non ci sono più limiti; il solo limite è imposto dall illimitatezza di questo numero affascinante. Non basterà invece il tempo passato e futuro dell umanità per trovare tutte le altre cifre. E da ricordare che con sole dieci cifre decimali si trova la misura della circonferenza della Terra con un errore inferiore al centimetro.