Uiversità di Roma La Sapieza Corso di Elaborazioe di Dati e Segali Biomedici Facoltà di Igegeria Trasformata discreta di Fourier Igegeria Cliica A.A. 7-8 Fracesco Ifariato, PhD Laboratorio di Bioigegeria della Riabilitazioe IRCCS Sa Raffaele Pisaa www.saraffaele.it fracesco.ifariato@uiroma.it www.ifariato.it
Campioameto el tempo e ella frequeza U segale tempo cotiuo di durata fiita ha TdF co bada ifiita, la quasi totalità della desità spettrale di eergia spesso è cofiata i ua bada limitata Segali a bada limitata hao durata ifiita la quasi totalità della loro eergia è cofiata i u itervallo temporale fiito Si cosideri il segale (t) di durata fiita T ( t < T ) Co TdF (f) di bada fiita B (-B<f<B) Campioado il segale (t) co itervallo di campioameto T</B si ottiee la sequeza (T), trasformado secodo Fourier si ottiee:
Campioameto el tempo e ella frequeza ) ( ) ( T m f T e f m ft j π ~ Dato che il segale ha durata fiita T, la sequeza avrà T /T, campioi. Posso riscrivere la trasformata così: ft j e f π ) ( ~
Campioameto el tempo e ella frequeza Se campioo ~ ( f ) i frequeza co itervallo di campioameto pari a /T /T otteiamo: ~ ~ ( f ) f T e j π è periodica di campioi e può essere defiita da di campioi (ad esempio compresi tra e -)
Campioameto el tempo e ella frequeza e j π La sequeza prede il ome di Trasformata discreta di Fourier DFT (Discrete Fourier Trasform) B: ella formula o compare T La relazioe che permette di calcolare gli campioi di partedo dagli campioi di prede il ome di Trasformata discreta di Fourier iversa IDFT (Iverse Discrete Fourier Trasform). e j π
Campioameto el tempo e ella frequeza Tramite la DFT, ua sequeza co u umero fiito di campioi el domiio del tempo viee associata a ua sequeza co lo stesso umero di campioi el domiio della frequeza. La sequeza è periodica di campioi e cotiee tutta l iformazioe di (f) trasformata di Fourier cotiua della
Formato della DFT e FFT Tramite la defiizioe di DFT, si possoo ricavare i legami tra,, (f) e (Φ): e j π ( f ) f ( Φ T Φ ) Se è pari, allora la massima frequeza ormalizzata (yquist)φ/ si avrà i corrispodeza del campioe / della DFT Se, ad esempio, 8 allora la frequeza di yquist corrispoderà al quarto campioe. Ioltre, occorre sottolieare che per la DFT e FFT il periodo va da Φ a Φ -/ e oφ-/ eφ/
La rappresetazioe circolare Poiché la sequeza di durata fiita può essere vista come u periodo della sequeza periodica e aalogamete si dica di e, è utile rappresetare sia che co i loro campioi disposti su ua circofereza, i modo che l ultimo campioe - preceda il campioe, cioè il primo.
La rappresetazioe circolare Questa schematizzazioe rede chiaro il cocetto di ritardo circolare della sequeza di durata fiita: ritardare la sequeza, ad esempio, di u campioe fa sì che i campioi da a - si spostio ad occupare le posizioi da a - e che il campioe i - si sposti i
Proprietà della DFT ello spazio dei vettori a compoeti complesse si possoo itrodurre alcue importati operazioi: Prodotto: (f g)() f() g(), Traslazioe circolare: (Shift a f)() f( a ), Covoluzioe circolare: (f g)() f ( ) g ( Co <s> resto della divisioe itera di s co ) Queste operazioi hao forti aalogie co le operazioi su fuzioi a variabile complessa, è aturale quidi che la DFT goda di proprietà simili a quelle della trasformata cotiua.
Proprietà della DFT Liearità La DFT della combiazioe lieare è la combiazioe lieare delle DFT { a + by } DFT a + by Simmetria La DFT di u segale reale gode della simmetria complessa coiugata ~ ~ Re Im { } { } Re { } Im{ } co pari dispari
Proprietà della DFT Valori iiziali Direttamete dalla defiizioe di DFT si ha: Traslazioe circolare Traslazioe circolare La DFT della sequeza ritardata circolarmete di m campioi y -m ~ m j m j j m e e e e e Y m j j / / / / ) ( / π π π π π + ~ Se il ritardo è uguale a periodo (m) allora Y
Proprietà della DFT Covoluzioe circolare Siao e y due sequeze di campioi allora z che ha come DFT Z Y è j m j m j e Y e Y e m z / / / π π π m m m y y Y e m m j m / ) ( π ~ La z è la covoluzioe circolare di e y Il risultato della covoluzioe circolare è equivalete alla ripetizioe periodica a passo della covoluzioe lieare tra e y che rappresetao u periodo dei segali e y ~ ~
Proprietà della DFT Modulazioe Siao e y due sequeze di campioi allora Z che ha come IDFT z y è j p j p j e y e e y p Z / / / π π π p p p Y Y e y p p j p / ) ( π ~ La DFT Z è la covoluzioe circolare di e Y diviso
Proprietà della DFT Relazioe di Parseval Siao e Y le DFT di due sequeze di campioi allora è ota la DFT della z y data dalla covoluzioe circolare di e Y divisa per : p p Y Z p ~ p p p Per la proprietà del valore iiziale p p y Y Z p ~
Proprietà della DFT Relazioe di Parseval Ioltre si può scrivere: E Se poiamo y elle precedeti relazioi: * * Y y E Cioè. L eergia della sequeza può essere calcolata sommado i quadrati della sua DFT diviso, dividedo ulteriormete per si ottiee P Ovvero la poteza della sequeza può essere calcolata sommado i quadrati della sua DFT e dividedo per
Esempio ~ Si preda la sequeza di campioi Acos( π /) La DFT di u periodo di ~ avrà la seguete formula: 99 Acos(π /) ep( jπ /) A ( δ + δ 99 ) Utilizzado la relazioe di Parseval per il calcolo della poteza otteiamo: A P ( ) A
Proprietà della DFT Autocorrelazioe circolare di ua sequeza Dalla relazioe Si può ricavare: * * Y y m j e / * * π ~ Questa formula defiisce l autocorrelazioe circolare di ua sequeza e r m r r + ~ [ ] m j m e R / π Dalla formula si evice che la DFT dell autocorrelazioe circolare di è pari a
Proprietà della DFT Cross-correlazioe circolare di sequeze La cross-correlazioe circolare è defiita come: R y [ m] ~ y * r r+ m r Dalla relazioe y * Y * Si ottiee la seguete forma: R y [ m] Y * e jπm /
Applicazioi Traslazioe di u umero o itero di campioi (iterpolazioe) Traslare di u umero o itero di campioi ua sequeza defiita da (umero itero) campioi o ha seso! Aspettate u mometo La sequeza, i realtà è geerata campioado u segale tempocotiuo (t). Quello che stiamo facedo è descrivere la sequeza: Data la sequeza ( t τ ) ( t t T t T τ y ) ( t) t T
Applicazioi Traslazioe di u umero o itero di campioi (iterpolazioe) Applicado la FT, avremo: Y ( f ) ( f )ep jπfτ Y ( Φ) ( Φ)ep { } τ jπφ T PoedoΦ/ si ottiee la relazioe tra le due DFT. < f T T < Φ Attezioe però perché τ/t o è itero e quidi l espoeziale complesso o è periodico di periodoφ. La formula sarà quidi valida ella bada / < Φ / e poi adrà ripetuta periodicamete a passoφ. La moltiplicazioe per l espoeziale complesso adrà suddivisa.
Applicazioi Traslazioe di u umero o itero di campioi (iterpolazioe) T j T j Y τ π τ π ep ep + per per La sequeza traslata y si trova applicado la IDFT alla Y Durate il calcolo o è stato mai richiesto il passaggio dal domiio discreto al cotiuo. Questo semplifica l elaborazioe del segale.
Esercizio Traslazioe di u umero o itero di campioi (iterpolazioe) Si cosideri co di 6 campioi (compresi tra -3 e 9)
Esercizio Traslazioe di u umero o itero di campioi (iterpolazioe) Poiché è reale e pari, sarà reale e pari
Esercizio Traslazioe di u umero o itero di campioi (iterpolazioe) La DFT Y della sequeza aticipata di mezzo campioe y sarà Y ep ep j j 6 6 π per 3 π per 3 59 Per trovare la y occorrerà calcolare la IDFT della Y
Esercizio Traslazioe di u umero o itero di campioi (iterpolazioe) La sequeza aticipata di mezzo campioe y sarà
Covoluzioe lieare co DFT Applicazioi Utilizzado la DFT è possibile otteere la covoluzioe lieare di due sequeze di durata fiita atitrasformado il prodotto delle trasformate discrete. Questa applicazioe è utilissima i quato riduce eormemete i tempi di calcolo. Se le sequeze soo lughe ed M allora occorrerà aggiugere alle sequeze tati quato basta per arrivare alla lughezza della covoluzioe lieare (M+-)
Covoluzioe lieare co DFT Esempio Siao (4) e h (M3), la loro covoluzioe sarà y (di 6 campioi) h y
Covoluzioe lieare co DFT Esempio Aggiugo u campioe ullo a e due a h per portarle a 5 campioi h
Covoluzioe lieare co DFT Esempio Se atitrasformo il prodotto delle DFT delle due sequeze ottego ua sequeza di 5 campioi, il risultato è diverso da quello atteso a causa della ricopertura di u campioe ella periodicizzazioe: y
Covoluzioe lieare co DFT Esempio Se atitrasformo il prodotto delle DFT delle due sequeze ottego ua sequeza di 5 campioi, il risultato è diverso da quello atteso a causa della ricopertura di u campioe ella periodicizzazioe: y
Covoluzioe lieare co DFT Esempio Aggiugo due campioi ulli a e tre a h per portarle a 6 campioi h
Covoluzioe lieare co DFT Esempio Se atitrasformo il prodotto delle DFT delle due sequeze ottego ua sequeza di 6 campioi, il risultato otteuto dalla covoluzioe circolare sarà uguale alla covoluzioe lieare y
Iterpolazioe i frequeza co zero-paddig el tempo Dalla defiizioe della DFT, il legame tra ua sequeza di lughezza fiita e la FT della stessa sequeza è dato da: ( f ) f T e j π Più è elevato T T, più i valori di frequeza f/t soo fitti. Vale il rapporto: f T T
Iterpolazioe i frequeza co zero-paddig el tempo Fissato T, itervallo di campioameto, la durata della sequeza può essere aumetata a piacere aggiugedo P campioi ulli a destra o a siistra di questa operazioe si chiama zero-paddig el tempo Se volessi dimezzare l itervallo di campioameto i f (iterpolare di u fattore ) dovrò aggiugere raddoppiare il umero di campioi e quidi dovrò aggiugere altri campioi (ulli) alla sequeza. f f T T
Iterpolazioe el tempo co zero-paddig i frequeza Operazioe duale della precedete, si basa sulla defiizioe della DFT di (t) di durata T campioato a passo t: ) ( ) ( t t T t t t Più è larga la bada bilatera di frequeze B occupata dalla DFT, tato più soo fitti i campioi di B t L itervallo di campioameto el tempo vale: t B T T o
Iterpolazioe el tempo co zero-paddig i frequeza Fissato l itervallo di campioameto i frequeza /T, la bada bilatera di frequeze B può essere aumetata a piacere aggiugedo P campioi ulli alla questa operazioe si chiama zero-paddig i frequeza Se volessi dimezzare l itervallo di campioameto i t (iterpolare di u fattore ) dovrò bordare co campioi ulli raddoppiado così la bada bilatera B. t T t B
Iterpolazioe i frequeza co zero-paddig el tempo B: durate l operazioe di zero-paddig, i campioi aggiuti a o devoo alterare il coteuto i frequeza. Se il segale è di tipo passabasso, i campioi ulli adrao iseriti a cavallo della frequeza di yquist (a cavallo del / campioe). Atitrasformado aggiuta dei P campioi si ottiee ua sequeza più luga (+P) che è uguale al segale (t) campioato co il uovo passo, a meo di u fattore moltiplicativo /(+P). Dovuto al fattore / i IDFT.
Iterpolazioe i frequeza co zero-paddig el tempo Esempio
Iterpolazioe i frequeza co zero-paddig el tempo Esempio
Iterpolazioe i frequeza co zero-paddig el tempo Esempio 4 campioi 4 campioi 4 8 Poiché /+P/ moltiplico per i campioi
Iterpolazioe i frequeza co zero-paddig el tempo Esempio