Calcolo vettoriale e cinematica del punto materiale

Calcolo vettoriale e cinematica del punto materiale

Grandee scalari e vettoriali In isica tutte le grandee si suddividono in quantità scalari, vettoriali, o ancora più complesse (es. matrici). Come conseguena di questa classificaione in ogni legge fisica del tipo: A = B A e B debbono essere sempre grandee omogenee: scalare = scalare oppure vettore = vettore Grandee scalari: per essere completamente definite hanno bisogno di un solo numero: temperatura, massa, lunghea sono grandee fisiche scalari Grandee vettoriali: per essere completamente definite hanno bisogno di più numeri; esempi sono la posiione nello spaio, lo spostamento, la velocità, l acceleraione, la fora

Grandee scalari e vettoriali Esempio: se vogliamo informare qualcuno su quanti siamo alti, basta dire: sono alto 180 cm, non serve aggiungere altro, poiché l altea è una grandea scalare. Se invece vogliamo informarlo sulla nostra posiione nello spaio un numero potrebbe non essere sufficiente, poiché la posiione in generale è un VETTORE una dimensione due dimensione tre dimensioni

Vettori Per definire una grandea vettoriale abbiamo bisogno dei vettori. Un vettore si indica mediante una freccia. Il vettore è definito da 3 proprietà: lunghea o modulo direione ovvero la retta su cui il vettore giace verso indicato dalla punta della freccia La freccetta sopra il simbolo v indica che si tratta di un vettore e non di uno scalare A volte nelle formule invece della freccetta si usa indicare il vettore scrivendo il simbolo in grassetto: in tal caso v indica il vettore, mentre v indica il suo modulo

Componenti del Vettore Un vettore può essere decomposto in componenti usando un sistema di riferimento, detto anche riferimento Cartesiano (dal grande matematico francese René Descartés) La Hae en Touraine 1569 Stoccolma 1650 In dimensioni un sistema di riferimento è rappresentato da due assi e ortogonali che si incrociano in un punto detto origine, In 3 dimensioni un sistema di riferimento è rappresentato da tre assi ortogonali,,,,,,, si dicono componenti o coordinate cartesiane del vettore

Somma dei vettori: metodo matematico G S G S G S Siano dati vettori = (,, ) e G = (G, G, G ). Calcolariamo il vettore somma dei due vettori; chiamiamolo S = (S, S, S ),, G G G G S La somma di e G è un vettore S le cui componenti sono la somma delle componenti corrispondenti di e G 4 G 4 6 6 S ESERCIZIO in D: dati e G, calcolare il vettore somma S = (4, ); G = (, 3) S = (6, 5) 1 3 5 0 1 3 5

Somma dei vettori: metodo grafico Metodo del parallelogramma: dati due vettori e G connessi in un punto, si disegna un parallelogramma di lati e G; il vettore S è dato dall asse diagonale del parallelogramma, ovvero dal segmento che parte dal punto in comune e termina nel vertice opposto G S G S G S Metodo punta-coda: si trasla G nello spaio in modo che l origine di G coincida con la punta di ; il vettore somma S connette l origine di con la punta di G S S G G G S

Differena di vettori D G G, G, G G G G D il vettore differena D è dato dall asse diagonale che connette le punte di e G Per verificare che ciò è vero, basta considerare il fatto che: G D Applichiamo il metodo punta-coda per sommare G + D: si vede immediatamente che G + D =

Modulo del vettore 3 Il modulo di un vettore è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti lungo gli assi. 4 Ad esempio, nel caso in figura si ha =, = 4, = 3 ; il modulo è dato da: 4 3 4 16 9 9 5.38 3 Nel caso bidimensionale a fianco = (6,3) 36 9 45 6.7 6

Operaioni vettoriali Prodotto di vettore per scalare a a a a a, a, a a a G G G Prodotto scalare tra vettori = (,, ) e G = (G, G, G ); si indica con un puntino tra i vettori G G G G Gcos G Molto utile per calcolare l angolo formato dai vettori

Operaioni vettoriali Eserciio: calcolare l angolo formato dai vettori: 5,1 G 0,5 Dalle componenti calcolo il prodotto scalare e i moduli dei due vettori: G G G 5 G G G 5 6 5.1 G 1 5 Per ricavare l angolo utilio la formula: G Gcos G 5 cos 0. G 5.15 196 o 0.196 78 cos 1

Cinematica del punto materiale La cinematica descrive il moto dei corpi nel tempo e nello spaio. Il corpo è descritto come un punto materiale sena dimensioni proprie, che si muove nello spaio. La posiione è sempre definita rispetto a un sistema di riferimento e anche il cambio di posiione (spostamento) è relativo al sistema di riferimento. Dal punto vista cinematico tutti i sistemi di riferimento sono ugualmente validi. Esempio: una persona siede in un treno ed una è ferma sul binario; se il sistema di riferimento è solidale col binario, la persona sul treno si muove; ma se il sistema di riferimento è solidale col treno, è la persona ferma sulla banchina a muoversi!!

Vettore spostamento La posiione è definita da un vettore. Il vettore spostamento è la differena di due vettori posiione; il vettore spostamento è particolarmente utile in cinematica poiché è indipendente dall origine del riferimento. Se cambia l origine i vettori posiione cambiano ma non lo spostamento.

Traiettoria e legge oraria del moto Consideriamo un piano (,) ed un moto bidimensionale. Il punto P indica ad esempio la posiione della nostra automobile sulla mappa. Indichiamo con P 1, P, P 3, P N i punti della traiettoria percorsa dall auto agli istanti t 1, t, t 3, t N. L insieme dei punti dello spaio occupati nel tempo da P è detto traiettoria Il moto del punto P nel piano si esprime mediante una funione: P ( t), ( t) Per conoscere completamente la traiettoria di P ad ogni istante t devo conoscere l evoluione nel tempo delle sue componenti,, ovvero devo conoscere la legge oraria del moto di P che significa?

0 1 3 4 Traiettoria e legge oraria del moto Esempio: costruire la traiettoria dei punti P relativi alla seguente tabella oraria del moto: P 3 P 0 (0,1) P P 1 (1,) P (,3) P 3 (3,4) P 0 P 1 0 1 3 4 è un moto rettilineo uniforme: rettilineo poiché percorre una linea retta; uniforme perché ogni secondo P percorre un segmento di uguale lunghea: ovvero la velocità di P è costante

Velocità in 1 dimensione Si consideri un moto unidimensionale, nel quale un punto P è in posiione = 0 a t = 0 e =5 m a t = s In un intervallo di tempo t = s il corpo ha effettuato uno spostamento =5 m Il segno positivo dello spostamento dice che è stato realiato nel verso concorde alla freccia. La direione è quella della retta Definiamo velocità all istante t=0 il rapporto tra lo spaio percorso ed il tempo impiegato 3 5m m 10 Km v.5.53600 9 t s s h Km h Si noti che in 1D velocità e spostamento sono quantità scalari

Velocità in 3 dimensioni In più dimensioni, o 3 (piano o spaio) lo spostamento è un vettore, e dunque anche la velocità è un vettore: v t, t, t s t In or 3 dimensioni la velocità è un vettore le cui componenti sono date dal rapporto tra le componenti dello spostamento e l intervallo di tempo in cui avviene lo spostamento Velocità e spostamento hanno stessa direione e verso v v v

Velocità in 3 dimensioni Eserciio: calcolo la velocità di un moto 3D t(s) X(m) Y(m) Z(m) 10 100 100 100 15 600 600 00 3 500m m 10 Km v 100 1003600 360 t 5s s h Km h v v v v 360 Km h v p v 100m m v 0 7 t 5s s Km h v v v v v 514 Km h v v v p 510 Km h

Velocità della luce Problema inverso: conosco la velocità e la distana percorsa e voglio calcolare il tempo impiegato. Caso semplice in 1D: luce che viaggia dal sole alla terra velocità della luce: distana Terra-Sole: v t t v Km 8 v c 300000 310 s 6 15010 Km m s 6 15010 Km t s 500s 5 310 Km

Velocità classica e relativistica Secondo la teoria della relatività di Einstein, la velocità della luce è la massima velocità ammessa dalle leggi della fisica; inoltre soltanto entità prive di massa (come ad esempio i neutrini) possono pareggiare la velocità della luce Le leggi della meccanica classica sono valide per velocità inferiori a circa 10 5 m/s = 100 Km/s. Al di sopra di questo limite bisogna applicare la relatività di Einstein. Nessun oggetto meccanico (un rao, una navicella spaiale) può minimamente avvicinare queste velocità, per cui la meccanica classica va benissimo. La relatività entra in gioco quando abbiamo a che fare con le onde elettromagnetiche, o particelle molto veloci come gli elettroni; per esempio i ricevitori satellitari gps usano onde elettromagnetiche, oppure negli acceleratori di particelle elementari

Velocità classica e relativistica Se un corpo viaggiasse a velocità vicine a quella della luce, succederebbero cose incredibili!! nel regime relativistico tutta una serie di principi validi per la meccanica classica non valgono più. A velocità relativistiche succede che: la massa di un corpo non è più costante: può tramutarsi in energia e viceversa (E=Mc ) tempo e lo spaio non sono più dimensioni indipendenti; esse sono interconnesse, ed esiste una sola entità in 4 dimensioni: lo spaiotempo; se ci si muove a velocità relativistiche le lunghee si contraggono e il tempo rallenta!! v t t 0 1 c Se un astronauta parte con una navicella che viaggia a v = 80 Km/s e dopo un tempo t 0 = 40 anni torna sulla terra, il tempo da lui trascorso sull astronave è t =14.36 anni; lui sarà ancora giovane, mentre il fratello gemello sarà molto invecchiato

Velocità del suono Osservaione: un fulmine colpisce il suolo; da lontano mi accorgo che il rumore arriva alcuni secondi dopo il lampo Elaboraione: il suono è un entità fisica che viaggia nello spaio molto più lentamente della luce. Ipotiando che la luce si propaghi istantaneamente, calcoliamo la velocità del suono: ci poniamo a distana L=1 Km dal punto in cui cade il fulmine, e misuriamo il tempo t tra la vista del fulmine ed il suono: aspetteremo circa 3 secondi: L 1Km 3600 Km v 100 t 3s 3 h Km h

Velocità del suono Verifica sperimentale: la velocità del suono è una costante universale? NO!! Se ripetiamo la misura in condiioni di temperatura ed altitudine differente scopriremo che la velocità di propagaione cambia sensibilmente Nell'aria a T= 0 C v s = 1 191 km/h Nell aria a T= 0 C v s = 1 38 km/h Nell acqua a T= 0 C v s è circa 4 volte maggiore che in aria!! Al contrario della luce, il suono non è un entità fisica a sé stante, ma una proprietà del meo in cui si propaga, e dipende dalla densità e dalla temperatura del meo. Il suono è un onda di pressione longitudinale, che si propaga attraverso il moto degli atomi e delle molecole che compongono il meo di propagaione

Eserciio La maestra parla alla classe; la distana tra cattedra ed ultimi banchi è di 10 m; in classe c è una temperatura di 0 C; la velocità del suono in aria è di v s = 1 38 km/h. Quanto tempo impiega la voce della maestra a raggiungere l ultimo banco? v s L t t L v s La velocità è il rapporto tra spaio percorso e tempo impiegato; dunque, per le regole dell algebra, il tempo impiegato è uguale al rapporto tra spaio e velocità. 1h 3600s 1Km 3 10 m t 4 10m 10m3600s 3.610 s 310 3 6 Km 138 13810 m 1.3810 h s

Velocità uniforme e istantanea Se la velocità di un punto materiale rimane costante in modulo e direione, la velocità in ogni istante del moto coincide con la velocità media Se la velocità cambia istante per istante, dobbiamo distinguere velocità istantanea e velocità media. v s t s Lungo la traiettoria in figura la direione cambia istante per istante: non è un moto con velocità costante Se calcolassimo la velocità dividendo lo spostamento s tra punto iniiale e punto finale della traiettoria per il tempo t faremmo un errore grossolano quando la velocità non è costante dobbiamo ricorrere al concetto di velocità istantanea

Velocità istantanea Per calcolare la velocità istantanea, riduciamo l intervallo di tempo dt e il relativo spostamento ds a valori piccolissimi (infinitesimali), in modo tale che durante quell intervallino la velocità si possa considerare costante in modulo, direione e verso v( t) ds dt La velocità istantanea si può ancora definire come il rapporto tra spostamento e tempo impiegato, ma nel limite di piccolissimi intervalli di tempo La velocità istantanea (più semplicemente chiamiamola velocità) varia istante per istante in modulo, direione e verso; dunque la esprimiamo come un vettore dipendente dal tempo v(t)

Velocità media del tragitto v v( t ) v( t) v( t3) v( t4) N 1... La velocità media, indicata con <v> è il valor medio del modulo della velocità calcolato istante per istante durante il tragitto v ( t 4 ) v ( t 3 ) v v ( t ) ( t 1 ) Se misuriamo N volte la velocità durante il percorso, il valor medio è la somma dei valori misurati diviso il numero di misure

Acceleraione Se la velocità cambia in modulo, direione, o verso significa che il moto è accelerato; si definisce acceleraione (si indica con a) il rapporto tra la variaione di velocità ed il tempo Moto rettilineo uniforme:ad ogni istante di tempo la velocità è sempre costante, per cui la variaione della velocità è sempre nulla: Moto accelerato: la velocità varia liberamente nel tempo v( t1) v( t) v( t3) v( t4) v( t1) v( t) v( t3) v( t4) v v v v 0 a 0 0 a 0 t t v ( t 1 ) v ( t ) v ( t 3 ) v ( t 4 ) v ( t 4 ) v ( t 3 ) v v ( t ) ( t 1 )

Acceleraione uniforme e istantanea Come la velocità anche l acceleraione può essere uniforme, ovvero costante in modulo, direione e verso, oppure variabile. Acceleraione uniforme: moto uniformemente accelerato Acceleraione variabile: si ricorre al concetto di acceleraione istantanea. Moto uniformemente accelerato: ad ogni istante di tempo la velocità è sempre costante, per cui la variaione della velocità è sempre nulla: a( t1) a( t) a( t3) a( t4) a 0 Acceleraione variabile liberamente nel tempo a( t1) a( t) a( t3) a( t4) v( t) a( t) 0 t Esempio tipico: moto parabolico

Eserciio: velocità e acceleraione Eserciio: data la legge oraria di un treno in fase di partena, si calcoli la velocità e l acceleraione in funione del tempo a v t si misura in: m s t(s) X(m) 0 0 5 0 10 100 15 00 0 400 5 600 v(m/s) v(km/h) 0 0 4 14.4 16 57.6 0 7 40 144 40 144 a(m/s ) 0 0.8.4 0.8 4 0