Ingresso sinusoidale e Risposta in frequenza

Ingresso sinusoidale e Risposta in frequenza Fondamenti di Automatica Prof. Silvia Strada Corso di Studi in Ingegneria Gestionale (Cognomi H PO)

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Sistemi LTI e risposta in uscita ad ingresso sinusoidale ω Ys () = Gs () s + ω u(t) G(s) Ingresso sinusoidale y(t) ω u( t) = sin( ωt), t U() s = s + ω yt () = L Y() s = y() t + y() t [ ] primo termine: tende a per t se G(s) asintoticamente stabile; in tale si chiama transitorio secondo termine: risposta sinusoidale di regime

Esempio Gs ( ) = ut ( ) = sin( t) + s Ys () = Gs () Ys () = Gs () = s + 4 s + 4 a bs + c /5 /5s /5 /5 s = + = = + = s+ s + 4 s+ s + 4 s+ 5 s + 4 5 s + 4 t yt ( ) = e cos( t) + sin( t), t 5 5 5 5 /5 A=, B= R= α = atan = atan() 5 5 5 /5 y () t y () t t 5 yt ( ) = e + sin(t atan()), t 5 5 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 3

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Gs () = + s s = j G( j) = + j 5 G( j) = = = = G( j) = = + j = atan + j + j 5 5 + j ut ( ) = sin( t) ω ω = rad /s f = Hz π pulsazione G(s) frequenza ( ) ( ) t y( t) = e + G( j) sin( t+ G( j)), t 5 y () t cambia l ampiezza y () t stessa frequenza spesso ω verrà chiamata frequenza! risposta sinusoidale di regime cambia la fase 4

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Conclusione generale Teorema della risposta in frequenza. Se un sistema LTI è asintoticamente stabile, la risposta in uscita ad una sinusoide in ingresso è anch essa sinusoidale asintoticamente, con la stessa frequenza dell ingresso, mentre ampiezza e fase sono determinate da G(jω). G( jω) è il fattore di amplificazione/attenuazione dell ampiezza G ( jω ) dà invece lo shift di fase tra u(t) e y (t) = ampiezza y ( t) ampiezza ut ( ) 5

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Risposta in frequenza G(s) valutata per s=jω, cioè ( ) = [ Gs] G j ω () s = j ω si chiama risposta in frequenza del sistema. poiché ( ω) = ( ω) G j G j si considererà solo ω. 6

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Esempio funzione di trasferimento ingresso Gs () = + s ut () = cos() t risposta sinusoidale di regime, y (t) ampiezza G( j) = fase G( j) = 45 7

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Amplificazione/Attenuazione Ad esempio, assumendo il sistema asintoticamente stabile G( jω) GRANDE per ω grande significa ampiezza della risposta sinusoidale di regime y (t) GRANDE per sinusoide in ingresso con ω grande G () = significa ampiezza della risposta di regime ad un ingresso costante (sinusoide con ω=!) il doppio dell ingresso G ( jω ) PICCOLO per ω grande significa ampiezza della risposta sinusoidale di regime PICCOLA per sinusoide in ingresso con ω grande 8

Misurare la risposta in frequenza per ω = ω, ω,..., ωn applica una sinusoide a frequenza ω, con ampiezza U e fase ϕ u attendi che la risposta in uscita abbia concluso il transitorio e sia andata a regime misura l ampiezza e la fase della sinusoide di uscita a regime calcola i rapporti tra ampiezze di uscita di regime e dell ingresso e le differenze di fase questi sono i valori del modulo e della fase della risposta in frequenza sperimentale alle N frequenze ω i. N può essere da poche decine (per misure manuali) a migliaia 9 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Dominio del tempo e dominio della frequenza Una spiegazione intuitiva E facile capire il senso di dipendenza dal tempo lo avete sempre visto nella maggior parte delle equazioni fisiche che legano grandezze che appunto variano nel tempo xt () = vt distanza percorsa=velocità tempo x= f() t

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Prendiamo ora un sistema massa-molla -kx(t) forza di richiamo della molla k M x= x(t) spostamento della massa M Mxt () = kxt () Mxt () + kxt () =, x() = la soluzione è una sinusoide xt ( ) = Asin( ωt+ ϕ) con frequenza naturale ω ampiezza A, fase ϕ

xt ( ) = Asin( ωt+ ϕ) questa è la descrizione del moto nel dominio del tempo Ma una descrizione alternativa nel dominio della frequenza è immediata poiché questo è un esempio di sinusoide pura : ampiezza A fase ϕ Rappresentazione grafica di una sinusoide nel dominio della frequenza un solo picco di ampiezza- il resto dello spettro di ampiezza è un solo picco di fase il resto dello spettro di fase è f=ω/π frequenza (Hz) f=ω/π frequenza (Hz) Spesso si considera solo lo spettro di ampiezza anche se nei sistemi di controllo automatico sarà importante anche lo spettro di fase

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Ora che abbiamo capito cos è una pura sinusoide nel dominio della frequenza, come si rappresenta una funzione del tempo più complessa? Prendiamo ad esempio due sinusoidi e le sommiamo: sin( t), f = /π Hz sin(3 t), f = 3 / π Hz.5 sovrapposizione delle due sinusoidi.5.8.6.5.5 -.5.4 +. -. =.5 -.5 -.4 - - -.6 -.5 -.5 -.8 - - 5 5 - -.5 5 5 5 5 In frequenza, si rappresentano distinte ampiezze associate alle diverse frequenze: f=/π f=3/π Rappresentazione grafica di una sinusoide (solo ampiezza) nel dominio della frequenza picchi di ampiezza- il resto dello spettro di ampiezza è frequenza (Hz) 3

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza.5.5.5 -.5 - -.5 - -.5 5 5 Tempo Rappresentazioni equivalenti della stessa cosa Frequenza 4

Segnale lento nel dominio del tempo > contenuto prevalente in bassa frequenza Signal 5-5.5.5.5 3 3.5 4 Time (s) 6 Amplitude spectrum 4 5 5 frequency (Hz) Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 5

Segnale veloce nel dominio del tempo > contenuto prevalente in alta frequenza Signal 5-5.5.5.5 3 3.5 4 Time (s) 4 Amplitude spectrum 3 5 5 frequency (Hz) Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 6

.8.6.4. -. -.4 -.6 -.8 -..4.6.8...4.6.8. La generalizzazione di Fourier Il matematico francese Jean Baptiste Joseph Fourier, nel 87, dimostrò che presa una funzione periodica di periodo T [es. sawwave con T=. s. f=/t=5 Hz)] Tempo trasforma dal tempo in frequenza Serie di Fourier Fourier ha scoperto che la funzione nel tempo può essere rappresentata come una somma di infinite sinusoidi a frequenze crescenti A A ma non ogni frequenza è possibile ogni sinusoide ha frequenza MULTIPLA intera della frequenza più bassa, detta armonica o frequenza fondamentale, f Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza ampiezza A 3 A 4... f=/τ armonica o fondamentale f 3f 4f 3 4 armonica armonica armonica frequenza (Hz)

Square wave come somma di sinusoidi Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza armonica o fondamentale 3 armonica 5 armonica t = :.:; y = sin(t); plot(t,y); = sin(t) + sin(3*t)/3; plot(t,y); y.8.8 y = sin(t) + sin(3*t)/3 + sin(5*t)/5 + sin(7*t)/7 + sin(9*t)/9;plot(t,y); 7 armonica 9 armonica.8.6.6.6.4.4.4... -. -. -. -.4 -.4 -.4 -.6 -.6 -.6 -.8 -.8 -.8-4 6 8 - - 4 6 8 4 6 8 sommando sempre più sinusoidi (o armoniche) a frequenze multiple della fondamentale f=/π=/t, si genera la funzione periodica onda quadra

.8.6.4. -. -.4 -.6 -.8-4 6 8 4 6 8 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Un altra generalizzazione di Fourier se facciamo crescere il periodo T allora l armonica fondamentale f=/t decresce e tutte le frequenze multiple di f diventeranno più ravvicinate T T T T

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza se T in pratica la funzione da periodica diventa non-periodica e f = / T e OGNI FREQUENZA SULL ASSE DIVENTA possibile, cioè multipla della fondamentale Lo spettro di ampiezza diventa continuo da sommatoria di sinusoidi discrete (serie di Fourier) a integrale continuo di Fourier

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza La Trasformata di Fourier permette di rappresentare, nel dominio della frequenza, una qualsiasi funzione del tempo come una somma di infinite sinusoidi, ognuna delle quali ha una sua ampiezza, frequenza e fase Le infinite sinusoidi hanno ampiezza e fase rappresentate in modo continuo dall integrale detto Trasformata di Fourier + jωt = ( f ( t)) = f ( t e dt F( jω ) F )

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza La Trasformata di Fourier Trasformata di Fourier + jωt = ( f ( t)) = f ( t e dt F( jω ) F ) è un formidabile strumento per capire: il contenuto in frequenza dei segnali il comportamento di un sistema dinamico LTI dalla sua risposta in frequenza

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza la risposta del sistema LTI massa-molla è una sinusoide e per massa-molla con anche smorzatore è sempre una sinusoide ma moltiplicata per un esponenziale la soluzione contiene sì una sinusoide pura ma anche un esponenziale con esponente reale: σt xt ( ) = e sin( ωt+ ϕ) sinusoide *esponenziale decrescente=sinusoide smorzata spring

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Relazione tra Trasformate di Laplace e di Fourier σt xt ( ) = e sin( ωt+ ϕ) ma nella funzione vi sono σ e ω che sono parte reale ed immaginaria di s, variabile complessa che avevamo introdotto con la Trasformata di Laplace [ ] st F() s = L f(t) = f () t e dt s = σ + jω la Trasformata di Fourier (che permette la scomposizione di una funzione in infinite sinusoidi NON smorzate!) si può ottenere valutando la Trasformata di Laplace per s=jω [σ=]: [ ] jωt F( jω) = F f(t) = f () t e dt F [ f(t) ] = L[ f(t) ] s = jω

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Risposta a ingresso con Trasformata di Fourier: risposta in frequenza Se si applica ad un sistema LTI asintoticamente stabile G(s) l'ingresso u(t), trasformabile con Fourier, l'uscita y(t), a regime stazionario, è tale per cui Y( jω) = G( jω) U( jω) Trasf. Fourier uscita Trasf. Fourier ingresso Risposta in frequenza equazione che andrà risolta per ampiezza e per fase: Y( jω) = G( jω) U( jω) Y( jω) = G( jω) + U( jω)

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Risposta a ingresso con Trasformata di Fourier: risposta in frequenza Vi è una nuova interpretazione della risposta in frequenza: per sistemi asintoticamente stabili, G(jω) rappresenta il rapporto tra gli spettri di ampiezza dell'uscita di regime e dell'ingresso per tutti i valori di ω per cui non sia nullo lo spettro di ampiezza dell'ingresso U(jω).

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Esempio: Circuito RC Y() s = G() s U() s = U() s + s G( jω) = G( jω) = ut () = vt () + ω + jω R= Ω C = F G( jω) = atan( ω) 7

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Rappresentazioni grafiche della risposta in frequenza Abbiamo visto dei grafici di modulo e fase della risposta in frequenza. Essa può essere rappresentata graficamente in vari modi: grafici: Re(G(jω)) e Im(G(jω)) in fz di ω grafico: G(jω)= G(jω) e G(jω) in fz di ω Diagramma polare grafici: G(jω) e G(jω) in fz di ω Diagrammi di Bode I grafici più comuni sono certamente i Diagrammi di Bode

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Diagrammi di Bode Sono grafici: asse ascisse= frequenza ω asse ordinate=modulo della r.i.f. asse ascisse=frequenza ω asse ordinate=fase della r.i.f.

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Diagrammi di Bode asse della frequenza ω scala logaritmica per ω le distanze orizzontali tra due frequenze sull asse sono rapporti tra le due frequenze rapporto : la distanza è chiamata DECADE modulo G(jω) espresso in, cioè i valori in ordinata sono *log G(jω) le distanze verticali sono quindi in ; rapporto : è + pendenze del grafico sono date in /decade fase G(jω) i valori sono in gradi e sono identici valori che differiscono di 36 il grafico della fase però sarà unwrapped, cioè useremo anche multipli di 36 per traccare grafici continui

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Diagrammi di Bode I diagrammi di Bode vengono pertanto tracciati entrambi in un grafico semilogaritmico modulo frequenza fase gradi

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza G Tracciamento dei diagrammi di Bode approssimati o asintotici ( jω) Risposta in frequenza espressa nella forma fattorizzata con le costanti di tempo = µ jω g i i + T jω + τ jω G i i G ( ω) G j = µ j ( + Tjω) i i g ω τi ω i ( + j ) guadagno poli o zeri in s= poli o zeri, reali e complessi ( j ) = log µ g log jω + log+ jωti ω log+ g ( jω) = µ ( jω) + ( + jωt ) ( jωτ ) i i + i i i i jωτ i Grazie ai logaritmi e alla fase dei numeri complessi, tutti i prodotti/rapporti diventano somme/differenze. Questo consente trovare il grafico di ciascun termine della fdt e poi sommare Da questi, si potranno tracciare i diagrammi di Bode di qualunque fdt razionale

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Guadagno e poli/zeri in s= il guadagno ha modulo costante, una retta orizzontale a il guadagno ha fase costante µ = 8 µ > µ < µ = log µ, una retta orizzontale jω g ha modulo decrescente/crescente, retta con pendenza -g /decade jω g ha fase costante g ( jω) = g ( jω) = g 9 g > 9, 8,... g < + 9, + 8,... jω g il modulo taglia l asse a in ω= per qualsiasi valore di g, retta orizzontale

- - - - Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Esempio G j = Gs () = G( jω) = s jω G jω jω Diagramma di Bode - Modulo ( ω) log log ( ) = ( ) ( ) jω.5 Diagramma di Bode - Modulo 4 3 9.5 9 Diagramma di Bode - Fase -79-79.5-8 gradi -8.5 - -8 + Diagramma di Bode - Modulo - - Diagramma di Bode - Fase -69-69.5 - - -7-3 gradi -4-7.5-89 Diagramma di Bode - Fase -7 - -89.5-9 gradi -9.5-9

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Polo reale = = + τs + τ jω ( ) G( jω ) G s polo p=-/τ stabile se τ> instabile se τ< modulo sempre descrescente al crescere di ω G( jω) = log ωτ = + + ωτ fase decrescente al crescere di ω se il polo è stabile, crescente se instabile τ > atan( ωτ ) G( jω) = ( + jωτ ) = atan ( ωτ ) = τ < atan( ωτ)

- - - - Esempi - Diagramma di Bode - Modulo -4-6 Gs () = + s G( jω) = + jω -8 - - -4 - -4 Diagramma di Bode - Fase gradi -6-8 - Diagramma di Bode - Modulo -5 Gs () = s G( jω) = jω - -5-8 Diagramma di Bode - Fase 6 gradi 4 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Polo reale diagrammi asintotici modulo: per ω più piccola del modulo del polo semiretta orizzontale a - per ω più grande del modulo del polo semiretta decrescente con -/decade = + ωτ >> G( jω) log ω << log = τ ω logωτ semiretta pendenza / decade logωτ = logω log τ passante per ω = τ fase: per ω più piccola del modulo del polo semiretta orizzontale a - per ω più grande del modulo del polo semiretta a ±9 atan ( ωτ ) ω << τ atan( + ) = 9 per τ > ω >> τ atan( ) = + 9 per τ < τ

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Diagramma di Bode - Modulo Esempi - - -3 Gs () = + s G( jω) = + jω gradi -4-5 - -4-6 -8 - - Diagramma di Bode - Fase - - - Diagramma di Bode - Modulo - Gs () = s G( jω) = jω - -3-4 -5 8 - - Diagramma di Bode - Fase 6 gradi 4 - -

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Zero reale ( ) ( ω) G s = + Ts G j = + Tjω zero z=-/t I diagrammi del modulo e della fase (sia reali che asintotici) per uno zero sono gli stessi che per i poli ma ribaltati rispetto all asse ω

Esempi 3 Diagramma di Bode - Modulo Gs ( ) = +.s - Diagramma di Bode - Fase 8 G( jω) = +. jω gradi 6 4 - Diagramma di Bode - Modulo 3 Gs ( ) =.s - G( jω) =. jω Diagramma di Bode - Fase -5 gradi - - Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Poli complessi coniugati = = + ξ / ω s+ s / ω + ξ / ω jω+ jω / ω ( ) G( jω ) G s ( ) n n n n poli stabili se ξ> instabili se ξ< I diagrammi reali di modulo e fase sono funzioni complicate di ω! i diagrammi asintotici modulo: per ω più piccola di ω n è semiretta orizzontale a - per ω più grande di ω n è semiretta decrescente con -4/decade fase: per ω più piccola di ω n è semiretta orizzontale a - per ω più grande di ω n è semiretta a ±8

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Diagramma di Bode - Modulo Esempi - -4 Gs () = +.s +.s [ ω =, ξ =.] n -6-8 - Diagramma di Bode - Fase 3-5 G( jω) = +. jω +. ( jω) gradi - -5 - - 3 Diagramma di Bode - Modulo Gs () =.s +.s [ ω =, ξ =.] n - -4-6 -8-3 Diagramma di Bode - Fase G( jω) =. jω +. ( jω) gradi 5 5-3

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Zeri complessi coniugati I diagrammi del modulo e della fase (sia reali che asintotici) per una coppia di zeri complessi coniugati sono gli stessi che per i poli ma ribaltati rispetto all asse ω

Diagramma di Bode - Modulo 3 Esempi Gs ( ) = +.7s+.5s [ ω =, ξ =.7] n - - Diagramma di Bode - Fase 5 ( ) G( jω) = +.7 jω+.5 jω gradi 5 - Diagramma di Bode - Modulo 3 Gs ( ) =.7s+.5s [ ω =, ξ =.7] n - - ( ) G( jω) =.7 jω+.5 jω Diagramma di Bode - Fase -5 - gradi -5 - - Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza

Poli complessi coniugati Il diagramma reale è influenzato pesantemente dallo smorzamento ξ Il diag. asintotico è affidabile per valori dello smorzamento.5 ξ ξ= asintoto verticale e tutto rimane identico per ξ < Digrammi reali vs. asintotico ω =. ω n ω = ω ω = ω n n per ξ.7 c è un massimo nel diagramma reale del modulo, detto picco di risonanza ed è circa in corrispondenza di ω n Per ξ= asintoto verticale per ω=ω n. Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza ω Per zeri il simmetrico!

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Risonanza Se un sistema che presenta risonanza intorno ad una certa frequenza ha in ingresso una sinusoide con frequenza vicina a quella di risonanza, l uscita sarà una sinusoide con medesima frequenza ma ampiezza molto più elevata!

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Poli complessi coniugati Anche il diagramma reale della fase dipenderà dallo smorzamento ξ ξ = non c è errore per ξ= 9 ω = ω n Per zeri il simmetrico!

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Regole per il tracciamento all at once del diagramma asintotico di Bode del modulo pendenza iniziale -g il tratto iniziale o il suo prolungamento, passa per ω=, µ cambi di pendenza in corrispondenza di poli e zeri: polo cambio di pendenza di - ω db / decade poli cc cambio di pendenza di - ω 4db / decade zero cambio di pendenza di + + db / decade ω zeri cc cambio di pendenza di + + 4db / decade ω

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 49 Esempio G( s) = g T = = τ = n Singolarità zero ( s ) s( s + )( s + 8s + 5) Caratteristiche ω ω = 5 = µ = ω 5 n = 5 = rad / s ξ = ω n ω polo G( s) = 8 5 = ξ =.8 5 = rad / s ( s) 8 s( + s)( + s + 5 ω = 5 rad / s n s ) 5

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 5 Esempio G ( jω) diagramma asintotico. 5 - ω -7.95-3 pendenza iniziale e passa per ω = e ordinata log µ = log 5 = 7.95 ω = cambi di pendenza opposti ± non cambia pendenza! ω = 5 cambio di pendenza di

Esempio G ( jω) Diagramma di Bode - Modulo -7.95 - Il diagramma reale lo tracceremo qualitativamente a partire da quello asintotico considerando anche lo smorzamento (essendo ξ=.8 non c è picco di risonanza) - -4-6 -8-3 - - - 5 pulsazione Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 5

Regole per il tracciamento all at once del diagramma asintotico di Bode della fase Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza valore iniziale ( µ - g 9 ) cambi di valore in corrispondenza di poli e zeri: Stabili Instabili POLI -9 +9 ZERI +9-9 N.B. Diagramma asintotico della fase è costante a tratti!!

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica - Risposta in frequenza 53 Esempio -5-3 -35-4 Diagramma di Bode - Fase ( s) Gs () = 8 s 5 5 Caratteristiche 5 s ( + s )( + s+ ) g = µ = ωzero = = rad / s ωpolo = = rad / s ωn = 5 rad / s, ξ =.8 5-45 gradi -5-55 -6-65 -7 - - 3 per ω < : per ω = : per ω = 5: µ g 9 = 8 9 = 7 ( 9 ) 8 = 8 pulsazione

Esempio -5 Diagramma di Bode - Fase -3 Il diagramma reale si traccia qualitativamente, a partire da quello asintotico, gradi considerando anche lo smorzamento dei poli cc, soprattutto se è basso. -35-4 -45-5 -55-6 -65 - - 3 pulsazione Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 54

Diagrammi di Bode asintotici: tabella riassuntiva Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza modulo fase Polo reale stabile τ> -/decade -9 Polo reale instabile τ< -/decade +9 Zero reale stabile T> +/decade +9 Zero reale instabile T< +/decade -9 Coppia poli c.c. stabili ξ> -4/decade -8 Coppia poli c.c. instabili ξ< -4/decade +8 Coppia zeri c.c. stabili ξ > +4/decade +8 Coppia zeri c.c. instabili ξ < +4/decade -8

Ritardo di tempo Ritardo di tempo u S y y( t) = u( t τ ) τ > sistema dinamico LTI Funzione di trasferimento τs [ u( t τ )] = e U ( ) Y ( s) = L s G( s) = e τs FdT non razionale G () = = y u Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 56

Ritardo di tempo G( s) = e τs G( jω) = e τjω G( jω) = G( jω) = ωτ 57 τ τ Diagramma di Bode del modulo ω Diagramma di Bode della fase non è una retta perchè ω è in scala logaritmica ω 57 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 57

Sistemi a fase o sfasamento minima/o G( s) + s = + s G( s) s = + s hanno diagramma di Bode del modulo identico ma diagramma della fase diverso! se però restringiamo l insieme delle funzioni di trasferimento a quelle che godono delle seguenti proprietà: il guadagno è positivo non ci sono poli nel semipiano destro aperto non ci sono zeri nel semipiano destro aperto non ci sono ritardi puri allora un diagramma del modulo è associato ad una e una sola funzione di trasferimento. Ne consegue che, dato il diagramma dei modulo, è possibile ricavare univocamente il diagramma della fase sistemi che godono di queste 4 proprietà si chiamano sistemi a fase minima. Perché?? Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 58

Sistemi a fase o sfasamento minima/o Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza I sistemi a fase minima si chiamano così perché, dato un diagramma del modulo, tra tutti i sistemi asintoticamente stabili la cui risposta in frequenza ha quel diagramma del modulo, quella a fase minima ha il massimo valore di fase ad ogni pulsazione Diagramma di Bode - Modulo fase minima + s G( s) = + s fase non minima s G ( s) = + s Diagramma di Bode - Modulo 5 5 5 5 - - 3 - - 3 Diagramma di Bode - Fase -5 - gradi Diagramma di Bode - Fase -5 gradi -5 - - - 3 - - - 59 3

Sistemi a fase o sfasamento minima/o In termini di diagrammi di Bode asintotici, il diagramma della fase parte da zero (guad. positivo), in corrispondenza di ogni zero, per i sistemi a fase minima, la pendenza normalizzata del diagramma del modulo aumenta di un unità, mentre il diagramma della fase aumenta di +9, mentre in corrispondenza di un polo, la pendenza normalizzata del diagramma del modulo diminuisce di un unità, mentre il diagramma della fase cambia di -9 allora il legame tra il diagramma del modulo e della fase asintotici è molto semplice, perché in ogni intervallo di pulsazioni compreso tra due singolarità della FdT (polo o zero) risulta: ( pendenza modulo) G( jω) = 9 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 6

Diagramma polare della risposta in frequenza Per ogni ω, la r.i.f. è un punto nel piano complesso e, come tale, esprimibile mediante numeri reali (modulo/fase o Re/Im) che variano con ω: G( jω) = G( jω) e j G( jω) = Re( G( jω)) + j Im( G( jω)) G( jω) diagrammi di Bode Bode Diagram diagramma polare Magnitude () - - -3-4 -5.5 -.5 -. G( jω) -6 -.5 Phase (deg) -45 -. -.5-9 ω - - Frequency (rad/s) -....3.4 il diagramma è punteggiato nei valori di ω 6 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Diagramma polare della risposta in frequenza E il grafico della risposta in frequenza G(jω) nel piano complesso al variare di ω. Modulo e fase sono mostrati insieme nel grafico. Im.5 -.5 Re( -. ( )) -.5 G jω G( jω) G( jω) Re( G( jω)) G( jω) Re -. -.5 -....3.4 6

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Costruzione del diagramma polare 63

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Convenzioni 64

3 4 5 6 7 8 9 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Tracciamento del diagramma polare () 5 Diagramma di Bode - Modulo 4 4 + 3 - - - 3 Diagramma di Bode - Fase - 5 - gradi -5-3 - - - 3-4 -5 G( s) = + s ( + s)( +.s) 65

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Tracciamento del diagramma polare () Diagramma di Bode - Modulo 3 - - - - 3 - Diagramma di Bode - Fase - - -3 gradi - -4-3 - - 3-5 -6-7 -8-4 - 4 6 8 G( s) = ( + s) 3 66

Tracciamento del diagramma polare (3) Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Diagramma di Bode - Modulo - -4-6 - - 3 Diagramma di Bode - Fase -5 - gradi -5 - - - 3 G( s) = s 67

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Tracciamento del diagramma polare (4) 68

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Tracciamento del diagramma polare (4) 69

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Tracciamento del diagramma polare (5) Ricorda: la r.i.f. non è definita per i valori di ω pari ai poli di G(s)! semicerchi nel semipiano destro! G G ( s) ( jω) = = s jω Im Quarto di cerchio di raggio infinitesimo ε e angolo che varia da a π/ s = εe jϑ, ϑ π, Re 7

Tracciamento del diagramma polare (5) G ( s) = s - ω -9 ω Im Fase costante a -9 e modulo che parte da Infinito e tende a zero Re 7 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza G Tracciamento del diagramma polare (5) ( jω) = jω s = ε jϑ ϑ = : + numero reale ε e π, ϑ, π π j π ϑ = : e + con fase - ε Im Per i valori intermedi di θ si ottengono i punti del quarto di cerchio con raggio infinito che congiunge i due estremi Re 7

Diagramma polare del ritardo di tempo G( s) = e τs G( jω) = e τjω G( jω) = G( jω) = ωτ Diagramma polare del ritardo puro: circonferenza di raggio unitario percorsa un numero infinito di volte in senso orario a partire dal semiasse reale positivo Im - Re Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 73

Diagramma polare di sistemi con ritardo u ( t) y( t) G r ( s) e τs Se ad esempio G r µ + sτ Risulta: G G ( s) = µ, τ > ( jω) = G ( jω) r ( jω) = G ( jω) r G 8 ωτ π sτ ( s) = G ( s) e il diagramma polare di G(jω) ha un andamento a spirale a partire da µ (il modulo tende a zero e la fase decresce indefinitamente). Perché?? r Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 74

Diagramma polare di sistemi con ritardo G r µ τ s ( s) = e µ, T, τ > + st Diagramma polare del sistema con ritardo: per valori crescenti di ω il grafico tende a zero con una spirale, perche il modulo diminuisce fino a zero e la fase continua a decrescere, sempre piu al crescere di ω >> g=tf(,[ ]).8 Nyquist Diagram Transfer function: ----- s + >> g.iodelay=.5 Imaginary Axis.6.4. -. Transfer function: exp(-.5*s) * ----- s + -.4 -.6 -.8 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 Real Axis Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 75

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Interpretazione dei sistemi dinamici come filtri as. stabile? attenuato/amplificato? sfasato? Il sistema con FdT G(s) può essere visto come un canale di trasmissione che trasforma le ampiezze/fasi di un segnale u(t) nelle ampiezze/fasi di un altro segnale y(t), cioè agisce come FILTRO r.i.f.. = y( t) AG( jω) sin( ωt + G( jω) ) u( t) Asin( ωt) t attenuazione/ amplificazione sfasamento 76

Filtro passa-tutto (all-pass filter) E il caso limite Gs () = Sistema non dinamico yt () = ut () G( jω) = ω G( jω) = FILTRO PASSA-TUTTO tutte le frequenze vengono passate inalterate, sia come ampiezza che come sfasamento 77 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza

Filtro passa-tutto (all-pass filter) Ma anche Gs () = ( s )( s 3) ( s+ )( s+ 3) è un filtro passa-tutto anche chiamato phase-filter perchè il modulo della risposta in frequenza è sempre ma invece la fase descresce! 78 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode Filtro passa-basso ideale (ideal low-pass filter) Sarebbe un sistema che ha un diagramma di Bode del modulo reale: G( jω) = ω ω G( jω) = ω ω G ( jω) ω ω passa tutte le frequenze inalterate fino ad una certa frequenza e poi blocca tutte le frequenze superiori ma non è fisicamente realizzabile! 79

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode Filtro passa-basso (low-pass filter) Approssimazione razionale del filtro ideale: passa tutte le frequenze inalterate fino ad una certa frequenza e poi attenua in maniera crescente le frequenze superiori Ad esempio, una fdt con n poli stabili coincidenti alla frequenza in cui si vuole iniziare ad attenuare Gs () = ( + sτ ) n G ( jω) Diagramma di Bode - Modulo -5 - -5 - -5 Gs () = ( + s) 5-5 -3-35 - pulsazione 3 ω 8

Filtro passa-basso (low-pass filter) Nel filtro passa-basso ideale l intervallo B = [, ω ] si chiama BANDA PASSANTE Come si definisce la banda passante del filtro passa-basso reale? 3 B = [, ω] con ω: G( jω) 3 ω

Esempio Gs () = τ > + sτ 3 Il filtro passa-basso più semplice possibile è una G(s) con un solo polo G ( jω) Diagramma di Bode - Modulo - - -3-4 Gs () = + s Banda passante B = [, ] τ -5-6 -7 - ω = = τ pulsazione 3 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza ω 8

- - 3 3 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Banda passante e tempo di assestamento Gs () = τ > + sτ Diagramma di Bode - Modulo più τ è piccola minore è il tempo di assestamento dei transitori t a e più larga è la banda passante B - - Step Response -3-4 -5 Gs ( ) = B= [,] + s.9.8.7 Gs ( ) = t a.5 +.s -6.6-7 Diagramma di Bode - Modulo pulsazione Amplitude.5.4 Gs () = t a 5 + s -5.3 -. -5. - -5-3 -35-4 Gs ( ) = B= [,] +.s 3 4 5 6 7 8 9 Time (seconds) -45 pulsazione 83

- Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Esempio Gs () = ( + s) 3 PASSA-BASSO Banda passante B = [,.5] Diagramma di Bode - Modulo - -4-6 -8 - - Matlab -4 n=;d=[ 3 3 ];g=tf(n,d); [m,f]=bode(g,.) m=.985 [m,f]=bode(g,) m=9.859e-4 [m5,f5]=bode(g,.5) m5=.755 B=[,.5] perché /sqrt()=.5 > (-3) 84 pulsazione

Esempio Gs () = ( + s) 3 Banda passante B = [,.5] rad / s. B = [,.796]Hz Matlab >> n=;d=[ 3 3 ]; >> t=:.:; >> u=sin(.*t)+sin(*t)+sin(*t); >> y=lsim(g,u,t);plot(t,u,'b-',t,y,'r','linewidth',),grid Spettri di ampiezza 3 5 5-5 - -3 5 5 5 3 35 4-5 5 t Hz Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 85

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode Filtro passa-alto ideale (ideal high-pass filter) Le alte frequenze vengono passate inalterate mentre quelle sotto ad una certa frequenza vengono attenuate sempre di più man mano che la frequenza decresce Sarebbe un sistema che ha un diagramma di Bode del modulo reale: G ( j ω) = ω ω G ( j ω) = ω ω G ( jω) ω ω passa tutte le frequenze inalterate dopo una certa frequenza e blocca tutte le frequenze inferiori ma non è fisicamente realizzabile! 86

Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode Filtro passa-alto (high-pass filter) Approssimazione razionale del filtro passa-alto ideale Ad esempio, una fdt con n zeri in s= e n poli stabili coincidenti alla frequenza n in cui si vuole iniziare a passare le frequenze G ( jω) Diagramma di Bode - Modulo Gs () = ( sτ ) ( + sτ ) n - -4-6 +4 - -8 Gs () = 4 6s (+ s) 4 - -4 - - pulsazione ω 87

Filtro passa-alto (high-pass filter) Nel filtro passa-alto ideale l intervallo B = [ ω, ) si chiama BANDA PASSANTE Come si definisce la banda passante del filtro passa-alto reale? B = [ ω, ) con ω: G( jω) 3 G ( jω) Diagramma di Bode - Modulo 3 - -4 +4-6 -8 Gs () = 4 6s (+ s) 4 - - -4 - - ω pulsazione

- 7 6 5 4 3 5 5 5 3 35 4 45 5 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Esempio G( s) s = + s Banda passante B = [, ) PASSA-ALTO Matlab n=[ ];d=[ ];g=tf(n,d); t=:.:5;u=6+sin(*t); y=lsim(g,u,t); plot(t,u, b-,t,y, r, Linewidth,); grid Si vede che toglie la componente continua (a frequenza nulla) dall ingresso u y 89

Generalizzazione Anche questo viene considerato il diagramma di Bode del modulo di un filtro passa-basso (tutto riferito al guadagno che non è ) 4 Bode Diagram Anche questo viene considerato il diagramma di Bode del modulo di un filtro passa-alto (tutto riferito al valore del modulo per ω che non è ) 3 - Magnitude () - -3-4 -5-6 - - Frequency (rad/s)

Filtro passa-banda (band-pass filter) Diagramma di Bode - Modulo - - -3-4 -5-6 -7-8 -9 - - 3 pulsazione