STATISTICA, anno LIII, n., 3 INFORMAZIONE DI FISHER E MODELLI TRONCATI (*) Filippo Domma. INTRODUZIONE Negli ultimi anni divesi autoi hanno posto l attenzione sull intepetazione e l utilità dell infomazione di Fishe, i( ), cica il paameto incognito. In paticolae, Efon e Johnstone (99) dimostano la elazione esistente ta la suddetta infomazione e la hazad function. Pak (996) popone una scomposizione dell infomazione di Fishe al fine di semplificae i calcoli nel caso di statistiche d odine. Getsbakh e Kagan (999) espimono i( ) nella seguente elazione ( ) i( ) = i c ( a; ) + [ F( a; )] ia ( ) dove i (c) ( a; ) è l infomazione di Fishe contenuta in una ossevazione censuata a desta in a, F( a; ) è la funzione di ipatizione valutata in a e ia( ) è l infomazione nel caso di modello toncato a sinista in a. Zheng e Gastwith () analizzano detta infomazione nel caso di censua casuale. Di un ceto inteesse semba essee l intepetazione della quantità i ( ) in temini di elasticità della veosimiglianza fonita da Assunção (996). Nel pesente lavoo si studia il compotamento dell infomazione di Fishe elativa a funzioni di densità toncate a desta e/o a sinista in punti noti e costanti. Nel secondo paagafo si evidenzia la elazione esistente ta l infomazione di Fishe nei modelli toncati [ i ( ) ] e l analoga infomazione nei modelli nontoncati [ i( ) ]. Dalla suddetta elazione, in geneale, si evince che non è possibile stabilie se l infomazione di Fishe aumenta (o diminuisce) in conseguenza di una toncatua della funzione di densità in esame. Nel tezo paagafo, ponendo l attenzione alle sole famiglie esponenziali mono-paametiche, si individuano alcune condizioni che, se soddisfatte, consentono di stabilie qual è l effetto di una toncatua della densità sull infomazione di Fishe. Vengono sviluppati, inolte, alcuni esempi pe evidenziae il compotamento della suddetta infomazione al vaiae dei punti di toncatua. (*) Lavoo svolto nell ambito del pogetto di iceca Modelli di duata: sviluppi metodologici ed applicazioni a fenomeni economico-sociali (PRIN, esp. unità locale F. Domma).
68 F. Domma. L INFORMAZIONE DI FISHER NEI MODELLI TRONCATI Sia una vaiabile casuale (v.c.) definita su R con funzione di ipatizione e di densità, ispettivamente, date da F ( x; ) e f ( x; ), con Θ R. Supponiamo che siano vee le consuete condizioni di egolaità elative alla funzione di densità (si veda, ad esempio, Lehmann (983), pag. 45) ed ln ( ; ) indichiamo con ( ; ) f S = S = la funzione scoe e con i( ) = E [ S ] = s f ( x; ) dx l infomazione di Fishe cica contenuta nella R singola ossevazione x. La funzione di densità del modello toncato a sinista ed a desta nei punti, ispettivamente, e, noti e costanti, è f ( x; ) pe x f ( x; ) = G(, ; ) () pe x < oppue x > [si veda, ad esempio, Cohen (99), pag. 6] dove G(, ; ) = F ( ; ) F ( ; ), con F ( t; ) = f ( x; ) dx. t Si può veificae che la funzione scoe elativa al modello toncato a desta ed a ln G(, ; ) sinista, S ( ; ) = S ( ; ), come nel caso non toncato, ha aspettativa pai a zeo. Al fine di evidenziae la elazione esistente ta le infomazioni di Fishe i( ) e i ( ), poniamo che siano vee le condizioni di egolaità in modo tale che f ( x; ) dx dx G(, ; ) ( x; ) = f =. In tale contesto, l infomazione di Fishe cica contenuta in una ossevazione x, elativa alla (), è dove i( ) i ( ) = K G(, ; ) () + ln G(, ; ) K = sx f ( x; ) dx + sx f ( x; ) dx + G(, ; ) (pe la deteminazione della () si invia in Appendice). Dalla () discendono i seguenti casi paticolai:
Infomazione di Fishe e modelli toncati 69 c. Infomazione di Fishe pe il modello toncato a desta nel punto i( ) lim i ( ) = + F ( ; ) - + s f x dx i F ( ; ) + = ln F ( ; ) x ( ; ) ( ) (3) c. Infomazione di Fishe pe il modello toncato a sinista nel punto i( ) lim i( ) = + + - F ( ; ) ln{ F ( ; )} s x f ( x; ) dx + = i ( ) F ( ; ) (4) c3. Pe e +, si ha i ( ) = i( ). Da una semplice analisi delle elazioni (), (3) e (4) si evince che non è possibile stabilie se l infomazione di Fishe ottenuta sotto le divese ipotesi di toncatua [ i ( ), i ( ) e i ( ) ] sia maggioe, minoe oppue uguale a i ( ). Tuttavia tali elazioni consentono di studiae l ammontae di infomazione contenuta in una ossevazione cica, al vaiae dei punti di toncatua ed. Evidenziato che la deivata pima della funzione scoe nei modelli toncati è data da: ' S ( ; ) ' ln G(, ; ) ( ; ) = = x ( ; ), S S e icodando che l infomazione di Fishe, in condizioni egolai di stima, può essee scitta come segue ' ( ) E [ ] ' ( ; ) i = S = s f x dx, analogamente a R quanto fatto in pecedenza, si può veificae che: i dove i( ) ( ) = + K (5) G(, ; ) s + x ln (, ; ) ( ; ) s x K f x dx f ( x; ) dx G = + + G(, ; )
7 F. Domma Si ossevi che la (5) è solo un modo diveso di espimee la (), infatti tenuto conto che e ln G(, ; ) G(, ; ) ln G(, ; ) = G(, ; ) s ' x f x ( x; ) = ( s ) x, f ( x; ) x dopo qualche passaggio algebico si veifica che ~ K = K. Esempio. (Esponenziale negativa). Sia data la v.c. con funzione di densità e ipatizione, ispettivamente date da x f ( x; ) = e x >, > F ( x; ) = e. x E noto che pe detta v.c. la funzione scoe e l infomazione di Fishe sono, ispettivamente, s = x e i( ) =. Pe ciò che segue è utile deteminae, pe < τ <, i seguenti momenti incompleti: τ x τ E τ [ ] = xe dx = e τ + (6) τ x τ τ = = τ + + E [ ] τ x e dx e. (7) Al fine di deteminae i ( ) utilizzando la (), calcoliamo le seguenti quantità: x x x x x ( ; ) s f x dx = e dx x e dx + x e dx = = F ( ; ) E [ ] + E [ ], ponendo τ = nella (6) e nella (7), dopo qualche passaggio, si ottiene: s x f x ( x; ) dx e = + ; inolte, si ha:
Infomazione di Fishe e modelli toncati 7 + + x x x x x x s f ( x; ) dx = s f ( x; ) dx s f ( x; ) dx = F ( ; ) = + = + ed, infine, abbiamo che E ( ) E [ ] e ; lng(, ; ) e e = e e. Tenendo conto delle elazioni appena descitte, dopo qualche passaggio, si ha: i ( ) = ( + ) e ( ). ( e e ) Da quest ultima si evidenzia che, pe e con ipotizzato costante, si ottiene l infomazione di Fishe di una esponenziale negativa toncata in, cioè e i( ) =. Inolte, se + ed è tenuto costante, è immediato ( e ) veificae che i ( ) = = i( ), ovveo una toncatua a sinista della funzione di densità di una vaiabile casuale esponenziale negativa non influenza l infomazione di Fishe, tale isultato è noto come lack-of-memoy popety dell infomazione di Fishe (Getsbakh e Kagan, 999). Risulta inteessante valutae il compotamento di i ( ) al vaiae dei punti di toncatua. A tal fine, è sufficiente studiae la funzione ( + ) ( + ) e ( ) e ( ) B(, ; ) = = ( e e ) ( e e ) pe <, al vaiae di ed. Posto che sia fissato, si ha: ( + ) e ( ) lim B( ;, ) = lim = + + ( ) e e ( + ) e ( ) lim B( ;, ) = lim =. + + ( e e ) Inolte, pe <, la deivata pima di B(, ; ) ispetto ad, dopo qualche passaggio, isulta essee uguale a +
7 F. Domma ( ) B e e ( e e ) ( ) ( ) '(, ; + ) { [ ( )] [ ( )]} 3 + = + ( ) ( ) la quale è stettamente maggioe di zeo peché e >, + ( ) > >. Si deduce, di conseguenza, che al vaiae del punto di toncatua, i ( ) i( ) =. In paticolae, da quanto suesposto si può die che tanto più il punto di toncatua si sposta veso il punto, tanto più piccola saà l infomazione di Fishe i ( ). Conseguenza immediata di tale isultato è il seguente: se lo stimatoe di massima veosimiglianza di esiste e se sono soddisfatte le condizioni che gaantiscono la nomalità asintotica, alloa detto stimatoe pesenta una vaianza asintotica che aumenta all aumentae della quota della coda desta toncata. Posto che sia fissato, si ha ( + ) e ( ) e lim B( ;, ) = lim = + + ( ) ( ) e e e ( + ) e ( ) lim B( ;, ) = lim = - - ( ) e e. Inolte, la deivata pima ispetto ad della funzione B(, ; ) è data da ( ) B e e ( e e ) ( ) ( ) '( ;, + ) { [ ( )] [ ( )]} 3 + = + la quale è sempe negativa (, ). Quindi, la funzione B( ;, ) isulta essee decescente ispetto ad. Di conseguenza, anche i ( ) è una funzione decescente in e, inolte, all aumentae di, e i( ) > i ( ) = i ( ) ( e ). In definitiva, con ifeimento ad una v.c. esponenziale negativa, si può concludee affemando che una toncatua a sinista iduce l infomazione di Fishe se vi è una contempoanea toncatua a desta. L esempio appena descitto semba suggeie che se la funzione di densità appatiene alla famiglia esponenziale mono-paametica, alloa è possibile affemae che i ( ) < i( ). In ealtà, nel possimo paagafo si veifica che non è possibile dimostae tale congettua, ma si evidenziano alcune condizioni che consentono
Infomazione di Fishe e modelli toncati 73 di valutae se l infomazione di Fishe aumenta o diminuisce in conseguenza di una toncatua della funzione di densità. 3. LE FAMIGLIE ESPONENZIALI MONO-PARAMETRICHE Inteessanti esemplificazioni si ottengono ipotizzando che la funzione di densità consideata appatenga alla famiglia esponenziale (mono-paametica) la quale, come è noto, pesenta la seguente foma c( ) d ( x ) a( ) + b( x ) f ( x; ) = e (8) dove c(.) e a(.) sono funzioni eali del paameto, mente d(.) e b(.) sono funzioni della v.c. con suppoto indipendente da [si veda, ad esempio, Landenna e Maasini (99), pag. 3]. E altesì noto che pe il modello (8) sono valide le condizioni di egolaità. Si veifica facilmente che l infomazione di Fishe elativa alla (8) è: i( ) = c "( )E[ d( )] + a "( ) dove con c "( ) e a "( ) sono state indicate le deivate seconde di c( ) e di a( ) a '( ) ispetto a. Dalle popietà della funzione scoe si dimosta che E[ d( )] = c '( ) e, quindi, l infomazione i( ) diventa (Cox e Hinkley (974), pag. ): a '( ) a "( ) a '( ) i( ) = c "( ) + = c '( ). (9) c '( ) c "( ) c '( ) E noto, inolte, che dalla definizione di infomazione di Fishe si può calcolae la vaianza della funzione d(). Infatti, si ha: ln f ( x; ) a '( ) i( ) = E = [ c '( )] E d( ) = [ c '( )] V[ d( )] c '( ) e sostituendo in quest ultima la (9), si ottiene c "( ) a '( ) a "( ) V[ d( )] = +. [ c '( )] c '( ) c "( ) La densità descitta dalla (8) toncata a sinista e a desta nei punti, ispettivamente, ed, noti e costanti, appatiene ancoa alla famiglia esponenziale [Bandoff-Nielsen e Cox (994), pag. 78-79] e può essee espessa nel seguente modo
74 F. Domma f c( ) d ( x ) A( ;, ) + b( x ) e < x < + pe - ( x; ) = () altove dove A( ;, ) = a( ) + ln G(, ; ). In tale situazione, l aspettativa della funzione d() è data da '( ;, ) ln (, ; ) E [ ( )] A E[ ( )] G d d = = + c '( ) c '( ) e, da quest ultima, icaviamo agevolmente l infomazione di Fishe elativa al modello (), cioè i ( ) = c "( )E [ d( )] + A"( ;, ) = c "( ) ln G(, ; ) ln G(, ; ) = i( ) - +. () c '( ) Esempio. Consideiamo una v.c. Beta di paameti e, con funzione di ipatizione F( x; ) = ( x ) e funzione di densità espessa in foma esponenziale data da ln( x ) + ln( ) ln( x ) f ( x; ) = e pe > e x (,) con c()=, a()=-ln(), d(x)=ln(-x) e b(x)=-ln(-x). Ossevato che c "( ) =, dalla (9) è immediato calcolae l infomazione di Fishe contenuta in una ossevazione cica il paameto, cioè a '( ) i( ) = c "( ) a "( ) c '( ) + =. La funzione di densità toncata a sinista e a desta nei punti, ispettivamente, ed, con < < <, è data da ln( x ) + ln( ) ln( x ) e pe < x < f ( x; ) = G(, ; ) () altove dove G(, ; ) ( ) = ( ). Pe il calcolo dell infomazione di Fishe si ossevi che c "( ) = e, quindi, la () si semplifica nella seguente i ln G(, ; ) ( ) = i( ) +.
Infomazione di Fishe e modelli toncati 75 Si veifica, inolte, che ln G(, ; ) ( ) ( ) [ ln( ) ln( )] = [ G(, ; )]. In definitiva, l infomazione di Fishe cica il paameto contenuta in una ossevazione, elativa al modello () isulta essee: i ( ) ( ) [ ln( ) ln( )] ( ) = [ G(, ; )]. + Si può ossevae che pe ed ipotizzato costante, si ottiene l infomazione di Fishe di una v.c. Beta toncata a desta in, cioè i ( ) [ ln( )] ( ) = [ ( ) ]. Pe ottenee l infomazione elativa al modello toncato a sinista, bisogna suppoe costante e valutae lim i ( ). Consideato che lim ( ) [ ln(- )] =, si ha: lim i ( ) i( ) = =. Quest ultima elazione ci infoma che una toncatua a sinista della densità in esame non l infomazione di Fishe. Esempio 3. (Dagum con λ= e δ=δ ). Il modello di Dagum (977, 98) a te paameti, utilizzato pe la descizione ed intepetazione della distibuzione del eddito, pesenta la seguente funzione di densità δ δ β f ( x; β, λ, δ ) = βλδ x ( + λx ) con x> e β>, δ> e λ>, e funzione di ipatizione pai a F( x; β, λ, δ ) = ( + λx δ ) β. Ai fini del pesente lavoo, studieemo il caso paticolae in cui λ= e δ=δ costante nota; tale densità espessa in foma esponenziale isulta essee f x = + x + + + x + + x ( ;, ) exp{ ln( δ δ β δ β ) ln( β ) ln( δ ) [( δ )ln( ) ln( )]} In quest ultima, si iconoscono le seguenti funzioni c(β)=β, d ( x ) = ln(+ x ), b( x ) = ln( δ ) [( δ + )ln( x ) + ln( + x δ )] e a(β)=-ln(β). Poiché c (β)= dalla (9) si ha: i( β ) =. β δ
76 F. Domma L infomazione di Fishe elativa al modello toncato a sinista ed a desta nei punti noti e costanti, ed, dalla () è data da i ( β ) = i( β ) + ln G(, ; β ) β dove G(, ; β ) = ( + δ ) β ( + δ ) β. Si può veificae che, dopo qualche passaggio algebico, si ottiene + + + + = δ β δ β β [( + ) ( + ) ] δ β δ β δ δ ln G(, ; β ) ( ) ( ) {ln( ) ln( )} e, quindi, è vea la seguente diseguaglianza i ( β ) < i( β ). Posto che sia costan- + te, pe, utilizzando la egola di de l Hopital, otteniamo l infomazione di Fishe elativa al modello toncato a desta in, cioè lim i ( β ) i ( ) β + = = ; β poiché coincide con i( β ), si può concludee che una toncatua a desta del modello di Dagum, con λ= e δ=δ, non influenza l infomazione di Fishe (lack-ofmemoy popety fo ight tuncation). Tale isultato è stato ottenuto da Domma (997), anche pe alta via. D alta pate, se ipotizziamo costante, pe + otteniamo l infomazione di Fishe elativa al modello toncato a sinista i( β ) = β δ β δ ( ) [ ln( )] + + + δ β [ ( ) ], dalla quale discende che i ( β ) < i( β ). 3.. Alcuni ilevanti casi paticolai In questa sezione, con ifeimento alla famiglia esponenziale, si dimosta, innanzitutto, che la diffeenza ta i( ) ed i ( ) è minoe di una quantità positiva e, quindi, non è possibile, in geneale, stabilie se una toncatua poduce un incemento nella infomazione di Fishe. Successivamente, ponendo l attenzione su alcuni ilevanti casi paticolai, si stabiliscono le condizioni sotto le quali una toncatua della famiglia esponenziale conduce ad un incemento (decemento) di detta infomazione. Analogamente a quanto fatto in pecedenza, deteminiamo la vaianza della funzione d() sotto il modello (). Da semplici calcoli si ottiene i ( ) V [ d( )] = e tenendo conto della (9) e della (), dopo qualche passaggio, si peviene alla seguente [ c '( )] espessione:
Infomazione di Fishe e modelli toncati 77 ln G(, ; ) c "( ) ln G(, ; ) V [ d( )] = a"( ) a '( ) + + [ c '( )] c '( ) Da semplici opeazioni algebiche sulla (), è possibile evidenziae che il segno della diffeenza ta i( ) ed i ( ) dipende dalla diffeenza ta V[ d( )] e V [ d( )], cioè i( ) i ( ) = [ c '( )] { V[ d( )] V [ d( )]}. (3) Quanto segue dimosta che la diffeenza ta le due vaianze pesenti nella (3) è sempe minoe di una quantità positiva. Posto pe semplicità µ = E[ d( )], + I = [ d( x ) µ ] f ( x; ) dx, = [ ( ) µ ] ( ; ) e µ = E [ d( )] I d x f x dx segue che la vaianza di d() può essee espessa nella seguente foma: + V[ d( )] = [ d( x ) µ ] f ( x; ) dx = = I + I + {[ d( x ) µ ] + [ µ µ ]} f ( x; ) dx e ossevato che d( x ) f ( x; ) dx = µ G(, ; ), dopo alcuni passaggi, si ha: µ µ µ. V[ d( )] = I + I + [ ] G(, ; ) + [ d( x ) ] f ( x; ) dx Inolte, poiché G(, ; ) (,) vale la seguente disuguaglianza: G(, ; ) [ d ( x ) µ ] f ( x ; ) dx < [ d ( x ) µ ] f ( x ; ) dx = V [ d ( )] da cui, si può concludee, in definitiva, che V[ d( )] V [ d( )] < I + I + [ µ µ ] G(, ; ). (4) Dato che il membo di desta della (4) è una quantità positiva non possiamo stabilie il segno della diffeenza ta V[d()] e V [ d( )] e, di conseguenza, il segno ta i( ) ed i ( ). Tuttavia, vi sono ilevanti casi paticolai in cui è possibile, sotto oppotune condizioni, stabilie il segno della diffeenza ta le vaianze in esame.
78 F. Domma L analisi che segue ha come obiettivo quello di individuae, se esistono, le condizioni tali pe cui una toncatua a desta della famiglia esponenziale conduce ad un incemento nell infomazione di Fishe. Supponiamo, dunque, che e consideiamo la seguente funzione ξ ( ; ) = V[ d( )] V [ d( )] (5) f ( x; ) dove V[ d( )] = [d(x) - µ ] dx, con µ = E [ d( )]. F( ; ) Ricodando la (3), l obiettivo suddetto è aggiunto una volta individuati, se e- sistono, i valoi di tali che la funzione espessa dalla (5) isulta essee negativa. A tal fine, si ossevi che lim ξ( ; ) = e che ξ f F( ; ) + ( ; ) ( ; ) { [ ( )] [ ( ) ] = V d d µ }. Se lim f ( x; ) = ε >, lim d( ) = e se il coefficiente di vaiazione di d(), + + indicato con CV [ d( )], è maggioe di uno, alloa ξ( ; ) lim = εµ { CV[ d( )] } >. + Quest ultima ci infoma che esiste un intevallo del tipo ( R, + ) tale pe cui la (5) è cescente. Inolte, consideato che lim ξ( ; ) = possiamo concludee + dicendo che esiste un punto R tale che (R, + ), ξ( ; ) < e, quindi, dalla (3) discende che i( ) < i ( ). Risultati analoghi si ottengono se consideiamo la sola toncatua a sinista della famiglia esponenziale. In tal caso, la funzione da consideae è la seguente ξ( ; ) = V[ d( )] V [ d( )] + f ( x; ) dove V[ d( )] = [d(x) - µ ] dx F ( ; ) Si veifica facilmente che lim ξ( ; ) = e che ξ( ; ) f ( ; ) = {[ d( ) µ ] V[ d( )]}. F( ; ), con µ = E [ d( )]. e se CV [ d( )], è maggioe di uno, alloa Se lim f ( x; ) = η >, lim d( x ) =
Infomazione di Fishe e modelli toncati 79 ξ( ; ) lim = ηµ { CV[ d( )] } < da quest ultima possiamo affemae che esiste un L tale che (, L ), ξ ( ; ) < e, quindi, i( ) < i ( ). Si fa ossevae che quanto appena esposto appesenta una genealizzazione del lavoo di Mullooly (988). Pe illustae tale situazione, si considei la densità della v.c. gamma di paameti λ e k, quest ultimo pe ipotesi noto e minoe di ; detta densità espessa in foma esponenziale isulta essee data da f ( x; λ, k ) = exp{ λx + k ln( λ) + ( k )ln( x ) ln Γ( k )} con d(x)=x, c(λ)=-λ, a( λ) = k ln( λ) e b( x ) = ( k )ln( x ) ln Γ( k ), dove k Γ( k ) è la funzione gamma valutata in k. E noto, inolte, che E( ) = e λ k V ( ) =. Dato che c (λ)=, dalla (9) l infomazione di Fishe è uguale a: λ k i( λ) = a "( λ) = V ( ) =. Si evidenzia che, elativamente ad una toncatua a λ sinista di tale modello, le condizioni viste in pecedenza sono soddisfatte. Infatti, il coefficiente di vaiazione dato da CV( ) ( k ) = è maggioe di peché pe ipotesi k <, lim f ( x; λ, k ) = + e lim d( x ) =. Di conseguenza, esiste un L x o + x o tale che (, L ) si ha un incemento nell infomazione di Fishe. Al fine di sottolineae le conclusioni, ipotiamo alcuni valoi numeici elativi alle infomazioni di Fishe. La densità della v.c. gamma toncata a sinista nel punto noto e costante isulta essee f ( x; λ, k ) f ( x; λ, k ) = F( ; λ, k ) + pe < x < + dove F( ; λ, k ) è la funzione di ipatizione della v.c. gamma valutata in. Da quanto detto in pecedenza, poiché [ c '( λ )] =, l infomazione di Fishe elativa al modello toncato a sinista, è data da i( λ ) = V ( ). E evidente che, in tal caso, la diffeenza ta le infomazioni di Fishe coincide esattamente con la diffeenza ta le vaianze di nei due modelli. Al fine di deteminae V ( ), calcoliamo il momento di odine j λ j j + k y E( ) y e dy j λ Γ( k ) j E [ ] = = F( ; λ, k ) Γ( k + j ) γ ( k + j; λ) j Γ k γ k λ [ ( ) ( ; )]
8 F. Domma dove con b a y γ ( a, b) = y e dy si è indicata la funzione gamma incompleta [si veda, ad esempio, Gadshteyn e Ryzhik (98), pag. 94]. A titolo d esempio, nella tavola, pe λ=., si ipotano alcuni valoi numeici di V() e ( ), da cui emege chiaamente che V ( ) > V( ) e, quindi, dalla (3) i( λ ) < i ( λ ). V TAVOLA Confonto ta le vaianze V() e V () di una v.c. Gamma al vaiae del punto di toncatua, pe λ=. e pe alcuni valoi di k. K V() V().5.3.83333.5673.5.347.5735.7.486.649368.3.83333.65.5.347.674.7.486.6969 5.3.83333 7.5368.5.347 7.748.7.486 7.8957 In conclusione del pesente lavoo ipotiamo alcuni inteessanti isultati elativi alla v.c. Nomale toncata. Esempio 4. (Nomale, con σ = σ noto). Data una v.c. nomale di media µ R incognita e vaianza nota, con funzioni di densità φ ( x; µ ), funzione di ipatizione Φ ( x ; µ ) e infomazione di Fishe cica µ contenuta in una ossevazione pai a i ( µ ) =. σ La funzione di densità toncata a sinista in e a desta in, isulta essee: φ ( x; µ ) - < x < + φ ( x; µ ) = Φ( ; µ ) Φ( ; µ ). (6) altove Da quanto suesposto, l infomazione di Fishe cica µ contenuta in una ossevazione, può essee deteminata utilizzando la seguente: i ( ) = [ c '( )] V [ d( )]. Dato che nel caso in esame d()=, possiamo utilizzae alcuni isultati noti in letteatua cica i momenti di una nomale toncata. In paticolae, si dimosta (Johnson e Kotz, 97, pag. 83) che
Infomazione di Fishe e modelli toncati 8 σ V ( ) = σ {( µ ) φ ( ; µ ) + Φ( ; µ ) - Φ( ; µ ) + [ φ ( ; µ ) φ ( ; µ )] ( - µ ) φ ( ; µ ) + σ Φ( ; µ ) - Φ( ; µ ). Utilizzando quest ultima e la (3) si ottiene: i ( µ ) φ ( ; µ ) + ( µ ) φ ( ; µ ) φ ( ; µ ) φ ( ; µ ) ( µ ) = i( µ ) + σ [ Φ( ; µ ) Φ( ; µ )] Φ( ; µ ) Φ( ; µ ) Se <µ< si evidenzia che l infomazione di Fishe elativa al modello descitto dalla (6) è minoe dell infomazione di Fishe di una v.c. N ( µ, σ ) in quanto gli elementi all inteno della paentesi gaffa sono tutti positivi. Una fomulazione paticolae i ( µ ) si ottiene ipotizzando simmetia ispetto alla media µ dei punti di toncatua. In tale contesto, se ( µ ) = ( µ ), dato che φ ( ; µ ) = φ ( ; µ ) e Φ( ; µ ) = Φ( ; µ ), si ha ( µ ) φ ( ; µ ) φ ( ; µ ) i ( µ ) = i( µ ) +. σ [ Φ( ; µ )] Φ( ; µ ) In fine, se consideiamo una nomale toncata a desta in, l infomazione di Fishe diventa: ( µ ) φ( ; µ ) φ( ; µ ) i( µ ) = i( µ ) +. σ Φ( ; µ ) Φ( ; µ ) Posto = µ, si ha: iµ ( µ ) = i( µ ) = (.36338) i( µ ), π cioè l infomazione di Fishe del modello nomale toncato a desta in µ isulta essee cica un tezo della analoga infomazione elativa al modello non-toncato. Evidentemente, cose del tutto analoghe succedono se consideiamo la densità nomale toncata a sinista. 4. CONCLUSIONI In questo lavoo abbiamo studiato la elazione esistente ta l infomazione di Fishe elativa ad una geneica funzione di densità e quella elativa ad una densità toncata a sinista e/o a desta in punti noti e costanti. Da tale elazione non si
8 F. Domma può stabilie se l infomazione aumenta o diminuisce in conseguenza della toncatua della funzione di densità. Nell ambito delle famiglie esponenziali mono-paametiche, sono state ottenute ilevanti semplificazioni di detta elazione. In paticolae, si è evidenziato che il segno della diffeenza ta le suddette infomazioni di Fishe, dipende dalla diffeenza ta le vaianze, V[d()] e V [ d( )], della statistica sufficiente e completa d() associata alle famiglie esponenziali. Sulla base di quest ultimo isultato sono state deteminate alcune condizioni che, se soddisfatte, consentono di stabilie il segno della diffeenza ta le suddette infomazioni di Fishe. Quest ultimo aspetto è oggetto di ulteioi appofondimenti. APPENDICE Si ipotano i passaggi essenziali pe la deteminazione dell infomazione di Fishe elativa alla densità toncata a sinista e a desta. i( ) = E { S } = s f ( x; ) dx = s f ( x; ) dx + G(, ; ) { } lng(, ; ) lng(, ; ) + f ( x; ) dx s f ( x; ) dx = + + = s f ( x; ) dx s f ( x; ) dx s f ( x; ) dx + G(, ; ) +{ } lng(, ; ) [ G(, ; )] G(, ; ) f ( x; ) dx = + i( ) = s f ( x; ) dx + s f ( x; ) dx + G(, ; ) G(, ; ) + { lng(, ; ) } { G(, ; )} [ G(, ; ] + lng(, ; ) = i( ) s f ( x; ) dx + s f ( x; ) dx G(, ; ) In modo analogo è possibile icavae la (5). = { } Univesità degli Studi della Calabia Dipatimento di Economia e Statistica FILIPPO DOMMA
Infomazione di Fishe e modelli toncati 83 RINGRAZIAMENTI L autoe desidea ingaziae i efeees pe i commenti e gli utili suggeimenti che hanno contibuito a miglioae il pesente lavoo. RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI R. ASSUNÇÃO (996), Likelihood Elasticity and Eo Bounds, The Ameican Statistician, vol. 5, n., pp. 65-67. O.E. BARNDORFF-NIELSEN e D.R. CO (994), Infeence and Asymptotics, Chapman & Hall, London. D.R. CO e D.V. HINKLEY (974), Theoetical Statistics, Chapman & Hall, London. C. DAGUM (977), A new model of pesonal income distibution: specification and estimation, Economie Appliquée,, 3, pp. 43-437. C. DAGUM (98), The geneation and distibution of income, the Loenz cuve and the Gini atio, Economie Appliquée, III,, pp. 37-367. F. DOMMA (997), Distibuzione asintotica degli stimatoi di massima veosimiglianza dei paameti del modello di Dagum toncato a desta, Dipatimento di Economia Politica UNICAL, Discussion pape seies, n. 3. B. EFRON e I.M. JOHNSTONE (99), Fishe s Infomation in tems of the hazad ate, The Annals of Statistics, vol. 8, n., pp. 38-6. I. S. GRADSHTEYN e I.M. RYZHIK (98), Table of integals, seies, and poducts, Academic Pess, Inc., New Yok. I. GERTSBAKH e A. KAGAN (999), Chaacteization of the Weibull distibution by popeties of the Fishe infomation unde type-i censoing, Statistics & Pobability Lettes, 4, pp. 99-5. N.L. JOHNSON e S. KOTZ (97), Continuous Univaiate Distibutions I, John Wiley & Sons., New Yok. G. LANDENNA e D. MARASINI (99), Teoia della stima puntuale, Cacucci Editoe, Bai. E.L. LEHMANN (983), Theoy of Point Estimation, John Wiley & Sons.,New Yok. J.P. MULLOOLY (988), The vaiance of left-tuncated continuous nonnegative distibutions, The Ameican Statistician, vol. 4, n. 3, pp. 8-. L. PACE e A. SALVAN (996), Teoia della Statistica. Metodi, modelli, appossimazioni asintotiche, CEDAM, Padova. S. PARK (996), Fishe Infomation in Ode Statistics, Jounal of the Ameican Statistical Association, Vol. 9, n. 433, pp. 385-39. G. ZHENG e J. L. GASTWIRTH (), On the Fishe infomation in andomly censoed data, Statistics & Pobability Lettes, 5, pp. 4-46. Infomazione di Fishe e modelli toncati RIASSUNTO In questo lavoo si studia il compotamento dell infomazione di Fishe elativa a funzioni di densità toncate a desta e/o a sinista in punti noti e costanti. Pe una geneica funzione di densità si veifica che non si può stabilie se l infomazione diminuisce, aumenta o esta invaiata in conseguenza di una toncatua del modello. D alta pate, estingendo l attenzione alle famiglie esponenziali mono-paametiche si individuano alcune condizioni che consentono di stabilie l effetto di una toncatua delle funzioni di densità sull infomazione di Fishe.
84 F. Domma Fishe infomation and tuncated models SUMMARY In this pape we study the behaviou of the Fishe infomation fo ight and/o left tuncated density functions, whee points of tuncation ae assumed to be known and constant. In the case of one-paamete exponential families, we pesent some equied to detemine the effect of a density function tuncation on the Fishe infomation.