Esame di Teoria dei Segnali A Ing. Informatica, Elettronica e Telecomunicaioni 6 febbraio 7 Eserciio C un vecchio mao di carte (che dovrebbe avere 5 carte), da cui forse manca il tre di cuori. Essendo in dubbio sulla presena di tale carta, stimiamo che la probabilità che essa sia effettivamente presente sia /. Abbiamo a disposiione anche un nuovo mao di carte, che di sicuro non contiene il tre di cuori, cioè contiene le altre 5 carte. A questo punto, prima estraiamo 5 carte dal mao originale, poi 5 carte dal nuovo mao, e le rimettiamo nei due mai in modo invertito. Cominciamo poi a sfogliare le carte del vecchio mao (dopo avere effettuato lo scambio di cui sopra e rimescolato) ed alla 7-ma carta non abbiamo ancora trovato il tre di cuori. Qual è, a questo punto, la probabilità che il tre di cuori non sia nel vecchio mao? Sia definito il seguente evento: 3C {il 3C è presente nel vecchio mao}. Sappiamo che P(3C ) / (probabilità a priori). Dopo lo scambio di carte fra il vecchio mao ed il nuovo mao, calcoliamo la probabilità del seguente evento: 3C {il 3C è presente nel mao di partena dopo lo scambio}. In base al teorema della probabilità totale, possiamo scrivere: È facile concludere che P(3C) P(3C 3C )P(3C ) + P(3C 3C )P(3C ). () P(3C 3C ) in quanto, in assena del tre di cuori dal mao originario, non potrà essere presente dopo lo scambio. Inoltre, P(3C 3C ) 5 5 5 5 47 48 47 5 in quanto, nel caso il tre di cuori sia presente nel mao originale, la probabilità che rimanga dopo lo scambio coincide con la probabilità di non estrarlo a caso in 5 tentativi sena reinserimento. Da () si ottiene quindi: P(3C) P(3C 3C )P(3C ) 47 5 47 4.45. Dopo lo scambio ed il rimescolamento, definiamo il seguente evento: E {7 carte estratte sena il 3C}. L eserciio richiede di calcolare P(3C E) P(3C E). Applicando la regola di Bayes si può scrivere: P(3C E) P(E 3C)P(3C) P(E 3C)P(3C) + P(E 3C)P(3C) dove 3C è l evento complentare di 3C. Ovviamente P(E 3C) (condiionatamente al fatto che il 3C non c è, la probabilità di non trovarlo nelle prime 7 carte è ). Rimane da calcolare la seguente: P(E 3C) P {Estraendo una carta 7 volte di fila, non esce il 3C}.
L esperimento di estraione alla base del calcolo di P(E 3C) non è un esperimento di prove ripetute, nel senso che i sottoesperimenti (singole estraioni) non sono indipendenti. Tenendo conto che, condiionatamente all evento 3C il mao di carte ha 5 carte, si può scrivere: P(E 3C) P {non esce 3C alla 7-ma estraione non è uscito alle prime 6} P {non esce 3C alla 6-ma estraione non è uscito alle prime 5}. Si ottiene quindi: P {non esce 3C alla -da estraione non è uscito alla -ma} P {non è uscito alla -ma} 5 7 5 6 5 7 5 6 5 5 5 5 34 35 35 36 5 5 5 5 34 5.65. P(3C E) P(3C E) P(E 3C)P(3C) P(E 3C)P(3C) + P(E 3C)P(3C).65.45.45 +.65.55.64. Eserciio Si assuma che una variabile casuale X abbia la seguente funione densità di probabilità: { c x x se x f X (x) altrove dove c è una costante di normaliaione. Si consideri la trasformaione g(x) x. Determinare la funione densità di probabilità della variabile casuale Y g(x) e tracciarne il grafico. Imponendo che [ / ( ) ( f X (x)dx c x x dx + x x ) ] dx () / è immediato trovare che c 8. La funione densità di probabilità della variabile aleatoria X è mostrata in Figura. Si tratta, ovviamente, di una variabile casuale continua. 4 f X (x) 3.5 3.5.5.5 -.5.5.5 Figura : Funione densità di probabilità della variabile aleatoria X nell Eserciio. La funione g(x) che caratteria la trasformaione da X a Y è mostrata in Figura. Ovviamente, per y < l equaione y g(x) non ha soluione, e quindi f Y (y). d Rimane da investigare cosa succede per y > (il caso y non è rilevante perchè X è una variabile aleatoria continua). Notiamo preliminarmente che in questo caso l equaione y g(x) presenta sempre
.4 g(x)..8 y.6.4. -. - -.5.5.5 x Figura : Funione di trasformaione g(x) nell eserciio. soluioni {x, x } simmetriche rispetto ad /, e più precisamente x y ed x x + y. Per il teorema fondamentale, concludiamo: f Y (y) f X(x ) g (x ) + f ( ) ( ) X(x ) g (x ) f X y + f X + y dove si è usato il fatto che g (x ) g (x ). A questo punto, distinguiamo due sottocasi. Se y > /, si ha che x < ed x >, quindi f X (x ) f X (x ) e f Y (y). Se < y < /, si ottiene: Per concludere, si ha: ( ) ( ) f Y (y) 8 y y + 8 + y y 8y. f Y (y) { 8y se < x < altrove. La funione densità di probabilità della variabile aleatoria Y è mostrata in Figura 3. 5 f Y (y) 4 3 -....3.4.5.6.7 y Figura 3: Funione densità di probabilità della variabile aleatoria Y nell eserciio. Eserciio 3 Siano date due variabili aleatorie X ed Y indipendenti con X uniformemente distribuita in [, ] ed Y con la seguente PDF: { c(y y ) se < y < f Y (y) altrove. 3
Dopo aver determinato c, si trovi l espressione della PDF di Z X Y e se ne tracci il grafico. Imponendo la condiione di normaliaione della PDF di Y, cioè f Y (y)dy è immediato ottenere che c 6. Poniamo a questo punto W Y. Ovviamente, si avrà f W (w) A questo punto, siccome Z X + W, si conclude che f Z () (f X f W )() ( c(y y ))dy c ) c 3 6 { 6(w + w ) se < w < altrove. f X (u)f W ( u)du cioè la PDF di Z si ottiene facendo la convoluione fra la PDF di X e la PDF di W. In Figura 4 è mostrata la generica situaione delle due funioni che compaiono ad argomento dell integrale di convoluione per il valore di indicato. A questo punto, a seconda del valore di è possibile valutare f Z (). f X (u) f W ( u) + u Figura 4: Valutaione grafica dell integrale di convoluione per la determinaione della PDF di Z nell eserciio. Per < o >, si ha che f Z (), in quanto f X (u) ed f X ( u) non sono mai contemporaneamente non nulle. Per < <, f Z () + 6 t u 6 f X (u)f W ( u)du + [ u + ( u) ] du ( t + t ) du [ ] t 6 + t3 3 3 3 ( + ) ( ). 4
Per < <, f Z () 6 t u 6 f X (u)f W ( u)du [ u + ( u) ] du ( t + t ) du [ ] t 6 + t3 3 ( ) ( + ). Riassumendo, si ottiene: ( + ) ( ) se < < f Z () ( ) ( + ) se < < altrove. Il grafico della PDF di Z è mostrato in Figura 5..4. f Y (y).8.6.4. - -.5 - -.5.5.5 y Figura 5: Funione densità di probabilità della variabile aleatoria Z nell eserciio 3. Eserciio 4 Si supponga di tirare una moneta: a testa si associa un punteggio uguale a ed a croce si associa un punteggio pari a. Si continua a tirare la moneta, sommando i punteggi corrispondenti, fino a che il punteggio totale è uguale a. Definendo N come il numero di lanci, determinare il valor medio di N. (Suggerimento: si usi il fatto che n n(n )pn /( p) 3, con < p <.) Ovviamente, N può assumere valori in {, 3, 4,...}. In generale, denotando con p / la probabilità di testa, si ha: P(N n) P { testa nei primi n lanci, testa all n-mo lancio} [( ] n )p( p) n p ( ) ( ) n n ( ) n (n ). Il valore medio cercato è quindi: ( ) n E[N] n P(N n) n(n ). (3) n 5 n
Come da suggerimento, è noto che i pi ( p). Derivando entrambi i membri rispetto a p, si ottiene np n n ( p) e derivando un ulteriore volta: n(n )p n ( p) 3. n Utiliando l ultima espressione trovata in (3), si ottiene: E[N] n(n ) n ( ) n ( ) n n(n ) ( ) 4 3 4. ( ) n 6