Invarianze e leggi di conservazione: definizioni generali Teorema di Noether Invarianze e costanti del moto Traslazioni nello spazio Rotazioni nello spazio. Il momento angolare. Lo spin Il gruppo SU(2)
Invarianze e leggi di conservazione Quando una legge fisica non cambia aspetto per effetto di una certa operazione, si parla di simmetria nella natura. Simmetria =invarianza delle leggi fisiche rispetto ad una trasformazione. Il TEOREMA DI NOETHER afferma che ad ogni simmetria, quindi ad ogni invarianza delle leggi della fisica per effetto di una certa trasformazione corrisponde una certa quantità conservata. Quando non sono conosciute direttamente le leggi che regolano determinati processi, come solitamente accade nella fisica delle particelle elementari, la scoperta di quantità conservate ci permette di dedurre le invarianze delle leggi fisiche e quindi le caratteristiche delle interazioni. Vi sono due categorie di simmetria: 1) simmetrie dello spazio-tempo: nascono dal fatto che esistono diversi sistemi di riferimento spazio-tempo che sono equivalenti e nei quali le leggi assumono la stessa forma (es. traslazioni, rotazioni); 2) simmetrie interne (es. isospin, carica)
Traslazioni nello spazio Consideriamo una traslazione infinitesima delle coordinate spaziali: x x + dx che modifica la funzione d onda dello stato nel modo seguente: ψ ψ(x) ψ(x + dx) = ψ(x) + dx = ( 1 + dx ) ψ(x) = D( ψ(x) ) x x Ricordando che in meccanica quantistica: p = i x x i x p x l operatore D che genera una traslazione infinitesima sarà dato da: D( dx) = 1 + i dx = p x
Nel caso di traslazioni tridimensionali: r r + dr i ψ( r) D( dr) ψ(r) = (1 + dr p) ψ(r) una traslazione finita può essere ottenuta applicando successivamente n volte l operatore di traslazione infinitesima (gruppo di Lie): D( r) = i n lim( 1 + dr p) = dr 0 n e i r p La trasformazione generata da D è una operazione di simmetria perchè le leggi della fisica devono essere invarianti per traslazioni del sistema di riferimento. Questa invarianza riflette una proprietà di simmetria che è quella della omogeneità dello spazio.
Il fatto che la fisica sia la stessa indipendentemente dalla scelta dell'origine del sistema di riferimento, significa che l' hamiltoniana è invariante per traslazioni spaziali, cioè che l operatore hamiltoniano e il generatore della traslazione commutano tra loro: i = n= 0 n r p ( r p) [ H, D] 0 [ H, e ] = 0 [ H, ] = 0 [ H, p] = 0 n! Potremo allora dire che la quantità conservata in seguito all' invarianza per traslazioni spaziali è l IMPULSO. D è detta rappresentazione del gruppo di simmetria delle traslazioni, generate dall operatore p. S Poichè inoltre le tre componenti dell impulso soddisfano alle regole di commutazione seguenti: [p x, p y ] = [p y, p z ] = [p z, p x ] = 0 il gruppo delle traslazioni è detto ABELIANO ( o commutativo) (ciò significa che il sistema può effettuare prima una traslazione lungo x e poi una lungo y oppure il viceversa ottenendo lo stesso risultato).
Rotazioni nello spazio Consideriamo dapprima una rotazione finita degli assi del sistema di riferimento (O, x, y) di un angolo ϕ sul piano (x,y), che porta gli assi in (O' O, x,y ). La relazione tra le coordinate (x P, y P ) di un y y ϕ punto nel sistema (O, x, y) e quelle (x P, y P ) y P P(x,y) dello stesso punto nel sistema (O, x, y ) è: y P x x x P ϕ P x P = x P cos ϕ + y P sin ϕ (1) O O x P x y P y P = -x P sin ϕ + y P cos ϕ Per rotazioni infinitesime δϕ ~ 0: cos δϕ ~ 1 e sin δϕ ~ δϕ Le (1) diventano: x P x P = x P + δ ϕ y P y P y P = y P - δ ϕ x P
Dalla rotazione delle coordinate, la funzione d onda viene così modificata: ψ(x, y, z) = = ψ(x', y', z' ) = ψ(x, y, z) + ψ(x, y, z) + ψ(x, y, z) δϕ x δϕ ψ(x + δϕ y x = 1 + δϕ y x ψ(x, y, z) x y Ricordando che in meccanica quantistica: L = i ϕ = i y x x y x y, y y y y x δϕ x, z) = ψ(x, y, z) δϕ y ψ(x, y, z) = x y z L z l operatore D che genera una rotazione infinitesima intorno all asse z sarà: i D( δϕ ) = 1 δϕ L z i ψ(x, y, z) D( δϕ ) ψ(x, y, z) = (1 δϕ Lz ) ψ(x, y, z) = i x =
Una rotazione finita può essere ottenuta applicando successivamente n volte l operatore di rotazione infinitesima: D i i ϕ n ( ϕ ) = lim( 1 δϕ L δ 0 z ) = e ϕ n Una generica rotazione intorno ad un asse caratterizzato dal versore n sarà descritta dall operatore: L z D( θ) = e i θ n L La trasformazione generata da D è una operazione di simmetria perchè le leggi della fisica devono essere indipendenti dalla orientazione degli assi del sistema di riferimento. Questa invarianza riflette una proprietà di simmetria che è quella della isotropia dello spazio.
L invarianza della hamiltoniana per rotazioni spaziali significa che l operatore hamiltoniano e il generatore della rotazione commutano tra loro: i θ n L [ H, D] = 0 [ H, e ] = 0 [ H, L] = 0 Ne concludiamo che la quantità conservata in seguito alla invarianza per rotazioni spaziali è il MOMENTO ANGOLARE. La conservazione del momento angolare è, come detto prima, una conseguenza dell' isotropia dello spazio. D è detta rappresentazione del gruppo di simmetria delle rotazioni, generate dall operatore L. Le tre componenti del momento angolare soddisfano alle regole di commutazione seguenti: [ L i,l j ] = iε ijk L k il gruppo delle rotazioni non è abeliano perchè i generatori del gruppo non commutano fra loro (cioè l ordine con cui vengono eseguite due rotazioni non è indifferente).
Rotazioni Abbiamo già parlato del momento angolare intrinseco di cui sono dotate alcune particelle, che è chiamato spin. Se la particella è dotata di spin S ma anche di momento angolare orbitale L, è utile introdurre una nuova quantità, il momento angolare totale dato dalla somma dei due: J = L + S e le cui componenti soddisfano alle stesse regole di commutazione viste prima: [ J i, J j ] = i ε ijk J k La quantità che si conserva in tal caso non sono i momenti angolare orbitale e di spin separatamente ma la loro somma totale. J sarà dunque il generatore delle rotazioni.
Il gruppo SU(2) Come abbiamo già accennato, una rotazione in uno spazio non continuo ma su coordinate intrinseche può dare luogo a numeri quantici anche semi-interi. L operatore che realizza una rotazione in questo spazio è detto operatore di spin. I generatori della rotazione sono S x, S y e S z che soddisfano le stesse regole di commutazione del momento angolare viste prima: [ S i, S j ] = i ε ijk S k Se il sistema può assumere unicamente due stati, cioè si tratta di un doppietto di spin, poichè la degenerazione dello stato con spin s è: 2s + 1 = 2, ciò vuol dire che s = 1/2 e m s = -1/2, 1/2: 1 0 χ = χ = 0 1 Le matrici di Pauli sono una possibile rappresentazione: 0 1 0 i σ1 = σ 2 = σ 3 1 0 i 0 = 1 0 0 1
e gli operatori S x, S y, S z sono legati alle matrici di Pauli dalle relazioni: Gli operatori S +, S - sono dati da: S i = 1/2 σ i i = 1, 2, 3 S ± = S x ± i S y Pertanto gli elementi di matrice di S z, S +, S - sono dati da: S z = 1/2 0 0 1 S+ = S 0 1/2 0 0 = 0 1 0 0 Gli autostati di S 2 ed S z sono: S 2 s, m s > = 3/4 s, m s > S z s, m s > = ± 1/2 s, m s >
L insieme di tutte le matrici 2x2 unitarie cioè tali che: U = U -1 U U = U U = 1 2x2 è chiamato gruppo U(2). Le trasformazioni unitarie conservano la norma degli stati: ψ' = U ψ ψ' ψ' = ψ U U ψ = ψ ψ Se la matrice U è unitaria essa può essere rappresentata come: U = exp(i X) dove la matrice X è hermitiana (X = X). In tal caso infatti la matrice aggiunta di U e quella inversa di U coincidono: U = exp(-i X ) = exp(-i X ) U -1 = exp(-i X ) U = U -1
Inoltre: det (U U) = det (1 2x2 ) = 1= (det U ) (det U) = (det U)*(det U) = det U 2 det U 2 = 1 det U = e iϕ con ϕ reale La fase ϕ non ha una grande importanza in quanto corrisponde solo ad una rotazione globale dello stato ψ>. Il gruppo particolare avente ϕ=0 (e quindi det U = 1) è detto gruppo speciale delle rotazioni o unimodulare ed è indicato con la notazione SU(2). Visto che: U = exp(i X α) avremo: det U = det [exp(i X )] = exp(i Tr(X)) = 1 Tr(X) = 0 I generatori hermitiani di trasformazioni unimodulari sono a traccia nulla
Pertanto poichè le matrici di Pauli sono hermitiane e a traccia nulla, il set di matrici: 1 i σiα 2 ( α) = e i 1, 2, 3 U = i forma una rappresentazione di SU(2). Il gruppo SU(2) e il gruppo delle trasformazioni di fase citato prima U(1) = e iφ1 componendosi tra loro formano il più generale gruppo delle rotazioni unitarie non unimodulari U(2): U(2) = SU(2) U(1)
Come abbiamo già visto, stati a dimensione maggiore si possono ottenere componendo fra di loro stati a dimensionalità 2: Es: S 1 = ½ S 2 = ½ S = S 1 + S 2 - S 1 - S 2 S S 1 + S 2 1) S = 0 -S M S +S M S = 0 un solo stato possibile: STATO DI SINGOLETTO DI SPIN χ A (s=0 m s =0) = 1/ 2 [χ (1) χ (2) - χ (1) χ (2) ] 2) S = 1 -S M S +S M S = 0, ±1 tre stati possibili: STATO DI TRIPLETTO DI SPIN χ S (s=1 m s =+1) = χ (1) χ (2) χ S (s=1 m s =0) = 1/ 2 [χ (1) χ (2) + χ (1) χ (2) ] χ S (s=1 m s =-1) = χ (1) χ (2) Si tratta in totale di quattro stati ottenuti dalla composizione di due particelle a spin 1/2 (cioè 2 2) che vengono scomposti su una base a 3 stati e a uno stato: 2 2 = 3 1 Tale decomposizione è detta rappresentazione irriducibile.