STATISTICA ESERCITAZIONE 10 Dott. Giuseppe Pandolfo 26 gennaio 2015 Esercizio 1 Presso uno sportello bancomat persone su 5 fanno operazione di versamento. Si supponga di estrarre (con riposizione) in maniera sequenziale le persone che si sono presentate allo sportello. a) Calcolare la probabilità che la seconda persona che ha versato sia estratta alla terza estrazione, b) Qual è il numero medio di persone per ottenere i primi 2 versamenti? La v.c. binomiale negativa Z esprime il numero di prove necessarie per ottenere i primi k successi (con k > 1). Z~BN k, p La funzione di probabilità è definita come segue: P Z = z = z 1 k 1 pk 1 p z k z 1 k 1 esprime la sequenza di k-1 successi nelle prime z-1 prove. In questo caso z = 3, k =2 e p = 0,8. P Z = 3 = 3 1 2 1 0,82 1 0,8 3 2 = 2 1 0,82 0,2 1 = 0,256 b) Il numero medio di persone per ottenere i primi 2 versamenti nelle z=3 prove indipendenti è: E Z = k 1 p = 2 1 0,8 2,5
Esercizio 2 La probabilità che uno studente passi l esame di statistica è ad ogni tentativo pari a 0.75. Quale è la probabilità che uno studente passerà l esame al quarto tentativo? La variabile aleatoria che descrive il fenomeno è una variabile aleatoria X geometrica di parametro p = 0,75 (probabilità di successo) con funzione di probabilità X~Geom p Definendo k il numero di successi e x il numero di prove la distribuzione di probabilità di questa distribuzione è P X = x = p k 1 p x k In questo caso k = 1, per cui P X = x = p 1 p x 1 e allora P X = = 0,75 1 0,75 1 = 0,75 0,25 3 = 0,011 E la probabilità di superare l esame al 6 tentativo, sapendo che almeno tentativi hanno avuto un esito negativo? Per la proprietà dell assenza di memoria della v.c. geometrica: P X = 6 X = P X = 6 = 0,75 1 0,75 6 1 = 0,75 0,25 5 = 0,0007 Qual è il numero medio di tentativi necessari per superare l esame? E X = 1 p = 1 0,75 1,33
Esercizio 3 Un urna contiene 100 palline di cui 1 rosse e 59 verdi. Sia X la variabile casuale che conta il numero di palline rosse estratte senza reinserimento in un campione di ampiezza 12. a) si individui la distribuzione della v.c. di interesse, specificandone i parametri, b) si calcolino valore atteso, c) calcolare la probabilità di estrarre 0 palline rosse nelle 12 estrazioni. Siccome l estrazione è in blocco, viene meno l ipotesi di indipendenza e quindi il modello probabilistico corretto per X è un modello ipergeometrico. La differenza con il modello binomiale è che, in questo caso, la probabilità condizionata del verificarsi di un successo x si modifica in funzione delle precedenti estrazioni. a) La v.c. X ha distribuzione Ipergeometrica di parametri (n = 12, b = 1, H = 100); X~IP(n, b, H) Con n = numero di prove, b = numero casi favorevoli e H = numero di oggetti. La corrispondente funzione di probabilità è: P X = x = b H b x n x H = n b! x! b x! H b! n x! H b n + x! H! n! H n! b) Il valore atteso è E X = n b H = 12 1 100 =,92 c) Se X = 0 P X = 0 b = 1 = 1 100 1 0 12 0 100 = 12 59 12 100 12 = 0,001
Esercizio L ufficio reclami di una società di fornitura gas registra una telefonata ogni minuti. a) Qual è il numero medio di chiamate che l ufficio riceverà in un ora? b) Qual è la probabilità di ricevere 3 chiamate in 8 minuti? c) Qual è la probabilità di non ricevere chiamate nell arco di 8 minuti? Il modello probabilistico appropriato è in tal caso il modello di Poisson, infatti la distribuzione di Poisson descrive il numero di successi/eventi in intervalli spaziali/temporali quando gli eventi si verificano indipendentemente l uno dall altro e con uguale probabilità in ogni punto del tempo o dello spazio. X~Poisson(λ) Con distribuzione di probabilità: P X = x = e λ λ x x! Condizioni: 1. Eventi che si verificano su intervalli disgiunti sono indipendenti; 2. La probabilità che si verifichi un evento in un intervallo piccolo proporzionale alla lunghezza dell intervallo; 3. La probabilità che si verifichi più di un evento in un intervallo piccolo è trascurabile. a) Siccome E X = Var X = λ avremo λ = 1 = 0,25. Dunque in 60 minuti si avranno in media 15 chiamate. b) La probabilità di ricevere 3 chiamate in 8 minuti è data da: λ = 8 è il numero medio di chiamate in 8 minuti (proporzione rispetto all unità temporale iniziale, ovvero minuti) 8 8 3 P X = 3 = e = 0,135 8 = 0,18 3! 6
c) La probabilità di non ricevere nessuna telefonata è 8 8 0 P X = 0 = e = 0,135 1 = 0,135 0! 1