STATISTICA PSICOMETRICA a.a. 004/005 Corsi di laurea Scienze e tecniche neuropsicologiche Modulo Modulo Distribuzioni semplici di frequenza e loro rappresentazioni Operatori di tendenza centrale Operatori di dispersione Momenti omogenei ed indici di forma (simmetria/curtosi curtosi) Standardizzazione di variabili cardinali
Distribuzioni semplici di frequenza e loro rappresentazioni Dalla distribuzione unitaria alla distribuzione semplice di frequenze ident genere 3 4 5 6 7 8 9 0 3 Matrice CxV: tante righe quanti sono i casi ()! (sconnessa,ordinata,seriazione) genere n 8 5 Distribuzione di frequenza : tante righe quante sono le modalità della variabile ()! 3 Distribuzioni semplici di frequenza e loro rappresentazioni Frequenze: Assolute Relative f n k k nk k k n k f k Percentuali q k f k 00 q k k 00 4
Distribuzioni semplici di frequenza e loro rappresentazioni ident residenza 3 4 5 6 3 7 4 8 9 0 3 4 3 3 residenza n f q 5 0,38 38,5 3 0,3 3, 3 3 0,3 3, 4 0,5 5,4 totale 3 00 5 Distribuzioni semplici di frequenza e loro rappresentazioni Se la variabile è ordinale parliamo di serie ordinata di frequenze posso calcolare le frequenze cumulate titolo di ident studio 3 4 5 3 6 7 8 9 3 0 3 titolo di studio n f q n' f' q' obbligo 4 0,3 30,8 4 0,3 30,8 med. Sup. 6 0,46 46, 0 0,77 76,9 3laurea 3 0,3 3, 3,00 00,0 3 quanti soggetti hanno al massimo? 6
Distribuzioni semplici di frequenza e loro rappresentazioni Rappresentazioni Grafiche n Serie sconnessa sud 5% nord 39% diagramma a torta (o a barre) isole 3% centro 3% Serie ordinata istogramma 50,0 45,0 40,0 35,0 30,0 5,0 0,0 5,0 0,0 30,8 46, 3, 5,0 0,0 obbligo med. Sup. 3laurea 7 Operatori monovariati Un operatore statistico monovariato è: un procedimento di calcolo che produce una statistica con le seguenti caratteristiche. È costituita da un unico scalare. Si riferisce ad una singola variabile 3. È appropriata al livello di scala 4. È insensibile all ordine in cui i dati vengono registrati 8
Operatori monovariati Un operatore statistico monovariato può essere. Un operatore di tendenza centrale (il valore che rappresenta al meglio la distribuzione intera). Un operatore di dispersione (il valore che informa circa la diversità esistente tra le osservazioni) 3. Un operatore di forma (relativi alla simmetria o alla curtosi della distribuzione) 9 Operatori di tendenza centrale Moda Mediana Media 0
Operatori di tendenza centrale: Moda Moda modalità della variabile con frequenza più elevata Idonea per scale nominali, ordinali e cardinali moda residenza n nord 5 centro 3 isole 3 sud La moda è ord, perché è la modalità della variabile RESIDEZA che si presenta con la frequenza più elevata (n5) Operatori di tendenza centrale: Mediana Mediana modalità a cui appartiene il caso (caso mediano) che divide esattamente in due la distribuzione Idonea per scale ordinali e cardinali Se (numero totale dei casi) è dispari il caso mediano sarà uno solo ( +) C Mdn Se (numero totale dei casi) è pari avremo due casi mediani C Mdn C Mdn +
Operatori di tendenza centrale: Mediana I casi sono dispari (3) quindi c è solo un caso mediamo ( +) (3 + ) 4 C C Mdn 7 Mdn titolo di studio n f q n' obbligo 4 0,3 30,8 4 med. Sup. 6 0,46 46, 0 3laurea 3 0,3 3, 3 Calcolando le frequenze cumulate vediamo che il 7 caso cade nella categoria Media superiore. Media superiore rappresenta quindi la mediana della distribuzione 3 Operatori di tendenza centrale: Media Aritmetica Media (aritmetica): la media si ottiene sommando tutti i valori di X (da a ) e dividendo tale somma per il numero dei casi () Idonea per scale cardinali x i x i 4
Operatori di tendenza centrale: Media Aritmetica ident peso 7 58 3 65 4 78 5 49 x i x i x (7 + 58 + 65 + 78 + 49) 5 3 5 64,4 5 Proprietà della media Operatori di tendenza centrale: Media Aritmetica La somma algebrica degli scarti dei valori dalla loro media aritmetica è uguale a zero i ( x i x) 0 ident peso scarto 7 7,6 58-6,4 3 65 0,6 4 78 3,6 5 49-5,4 somma 0,0 6
Proprietà della media Operatori di tendenza centrale: Media Aritmetica La somma algebrica dei quadrati degli scarti dei valori dalla loro media aritmetica è minima i ( x i a) min se a x 7 Operatori di tendenza centrale: Altri indici di posizione Così come la mediana è la modalità nella quale cade il caso che divide in parti uguali la distribuzione possiamo pensare ad indici che dividono in più parti uguali la distribuzione Ad esempio i quartili sono le categorie nelle quali cadono i 3 casi che dividono in 4 parti uguali la distribuzione Idonea per scale ordinali e cardinali Quartili decili centili quantili 8
Operatori di dispersione Mutabilità Categoriale Varibilità non metrica Ordinale Variabilità metrica Cardinale 9 Operatori di dispersione Un operatore di dispersione produce uno scalare con cui si valuta sinteticamente la diversità esistente tra le osservazioni ID età 7 5 3 3 4 7 5 5 6 7 7 3 8 30 9 3 0 7 6 6 3 33 4 30 5 5 6 33 7 7 8 34 9 30 0 6 ID età 45 34 3 67 4 34 5 5 6 8 7 7 8 6 9 0 8 4 39 3 4 4 5 5 6 6 45 7 0 8 4 9 63 0 Campione Campione 0
Operatori di dispersione I due campione hanno media identica ID età 7 5 3 3 4 7 5 5 6 7 7 3 8 30 9 3 0 7 6 6 3 33 4 30 5 5 6 33 7 7 8 34 9 30 0 6 Media Campione 8,65 Media Campione ID età 45 34 3 67 4 34 5 5 6 8 7 7 8 6 9 0 8 4 39 3 4 4 5 5 6 6 45 7 0 8 4 9 63 0 Operatori di dispersione Sono molto diversi invece per quanto riguarda il campo di variazione ID età 7 5 3 3 4 7 5 5 6 7 7 3 8 30 9 3 0 7 6 6 3 33 4 30 5 5 6 33 7 7 8 34 9 30 0 6 5 6 Campione Campione 34 67 ID età 45 34 3 67 4 34 5 5 6 8 7 7 8 6 9 0 8 4 39 3 4 4 5 5 6 6 45 7 0 8 4 9 63 0
Operatori di dispersione: mutabilità Per variabili categoriali Eterogeneità Ciascuna modalità della variabile ha la medesima frequenza (/) Omogeneità Tutte le osservazioni si riferiscono ad una sola modalità Capitale preferita Parigi 0 Londra 0 Berlino 0 Madrid 0 Praga 0 n Capitale preferita Parigi 0 Londra 00 Berlino 0 Madrid 0 Praga 0 n 3 Operatori di dispersione: mutabilità Indice di GII Uno meno la sommatoria per k che va da a del quadrato delle frequenze relative E k f k (-)/ 0 Eterogeneità Omogeneità 4
Indice di GII: esempio Operatori di dispersione: mutabilità Capitale preferita n f f Capitale preferita n f f Parigi 0, 0,044 Parigi 7 0,07 0,005 Londra 8 0,8 0,03 Londra 0, 0,0 Berlino 35 0,35 0,3 Berlino 5 0,5 0,03 Madrid 0, 0,0 Madrid 6 0,6 0,06 Praga 5 0,5 0,03 Praga 5 0,5 0,6 somma E 0,34 somma 0,35 0,766 0,675 E Praga 5% Parigi Parigi % 7% Londra % Madrid % Londra 8% Praga 5% Berlino 5% Berlino 35% Madrid 6% 5 Indici relativi Operatori di dispersione: mutabilità Tramite l operazione di ranging possiamo far variare l indice di GII tra 0 ed Le misure relative (e) si ottengono sottraendo a quelle assolute (E) il valore minimo che possono raggiungere e dividendo il risultato per il suo intervallo di variazione e min E max min 6
Indici relativi el caso dell indice di GII Operatori di dispersione: mutabilità e E 0 ( ) 0 E ( ) E 7 Altri indici ome Gini Operatori di dispersione: mutabilità Formula E k f k min 0 max Leti E 3 f k f k k Entropia E k f k log f a k 0 log a 8
Operatori di dispersione: variabilità non metrica Per variabili ordinali In una variabile ordinale è ragionevole considerare come più simili le osservazioni che cadono in modalità contigue, piuttosto che osservazioni che cadono in modalità estreme. L operatore D * gode di queste proprietà D * k [ ( )] ' ' f k f k Valore minimo 0 Valore massimo Se è dispari Se è pari 9 Operatori di dispersione: variabilità non metrica Per variabili ordinali Titolo di studio f f' -f' f' (-f' ) Elementari 0,3 0,3 0,7 0, Media inferiore 0, 0,5 0,5 0,5 Media Superiore 0, 0,7 0,3 0, Laurea 0,3 0 D * k ' ' [ ( )] f k f k D * ( 0,+ 0,5 + 0,) (0,67), 34 30
Operatori di dispersione: variabilità metrica Per variabili cardinali Prendiamo in considerazione due famiglie di operatori intervalli di variazione Scarti da un valore centrale 3 Operatori di dispersione: variabilità metrica Gli intervalli di variazione sono operatori che quantificano la variabilità misurando la diversità tra due particolari termini della distribuzione RAGE W X max X min SEMIDIFFEREZA ITERQUARTILE W Q 3 Q 3
Operatori di dispersione: variabilità metrica Scarti da un valore centrale Devianza Varianza Deviazione Standard Coefficiente di variazione DEV S S i i i ( ) x i x ( x x) i 33 ( x x) i s cv 00 x Operatori di dispersione: variabilità metrica Esempio:range Campione ID età 7 5 3 3 4 7 5 5 6 7 7 3 8 30 9 3 0 7 6 6 3 33 4 30 5 5 6 33 7 7 8 34 9 30 0 6 W34-59 W67-66 ID età 45 34 3 67 4 34 5 5 6 8 7 7 8 6 9 0 8 4 39 3 4 4 5 5 6 6 45 7 0 8 4 9 63 0 Campione 34
Esempio.devianza Campione ID età scarti scarti 7 -,65,73 5-3,65 3,33 3 3 3,35,3 4 7 -,65,73 5 5-3,65 3,33 6 7 -,65,73 7 3,35 5,53 8 30,35,83 9 3 3,35,3 0 7 -,65,73 6 -,65 7,0 6 -,65 7,0 3 33 4,35 8,93 4 30,35,83 5 5-3,65 3,33 6 33 4,35 8,93 7 7 -,65,73 8 34 5,35 8,63 9 30,35,83 0 6 -,65 7,0 Operatori di dispersione: variabilità metrica DEV i ( ) x i x 35 media 8,65 DEV 74,550 Esempio.devianza Campione ID età scarti scarti 45 6,35 67,3 34 5,35 8,6 3 67 38,35 470,7 4 34 5,35 8,6 5 5-3,65 3,3 6 8-0,65 3,4 7 7 -,65 35,7 8 6 -,65 53,0 9-7,65 58,5 0 8-0,65 46,4 4-4,65,6 39 0,35 07, 3 4,35 5,5 4 5-3,65 86,3 5 6 -,65 7,0 6 45 6,35 67,3 7 0-8,65 347,8 8 4-4,65,6 9 63 34,35 79,9 0-7,65 3,5 Operatori di dispersione: variabilità metrica DEV i ( ) x i x media 8,65 DEV 5658,55 36
Operatori di dispersione: variabilità metrica Esempio: varianza, deviazione standard, coefficiente var. Devianza Varianza Deviazione standard Coefficiente di variazione DEV S i i ( ) x i x ( x x) i ( x x) i S s cv 00 x i Campione 74,6 8,73,95 0,3 Campione 5658,6 8,93 6,8 58,7 37 Momenti omogenei ed indici di forma Momento omogeneo media dei valori di una variabile presa con esponente positivo r ordine del momento M i ( x ) i r M i ( x x) i r Momento non centrale non è uno scarto dalla media Momento centrale è uno scarto dalla media 38
Momenti omogenei ed indici di forma Ordine tipo Informazione Esempio 3 non centrale centrale centrale tendenza centrale della distribuzione dispersione della distribuzione Asimmetria x S i β x i i ( ) x i x 4 centrale Curtosi β 39 Momenti omogenei ed indici di forma β Asimmetria negativa - 0 + Asimmetria positiva x mdn mod x < mdn < mod x > mdn > mod 40
Momenti omogenei ed indici di forma Platicurtica Leptocurtica β - 0 + 4 Standardizzazione di una variabile cardianle Dispositivo per rendere confrontabili distribuzioni diverse. Le distribuzioni vengono trasformate in distribuzioni con media 0 e deviazione standard Varaibile X Centratura Scarti dalla media Uniformazione Divisione per s Punti Z 4
Standardizzazione di una variabile cardianle Dispositivo per rendere confrontabili distribuzioni diverse. Le distribuzioni vengono trasformate in distribuzioni con media 0 e deviazione standard z i ( x x) i s 43 Standardizzazione di una variabile cardianle z i ( x x) ident altezza peso alezza z peso z,7 7-0,48-0,07,65 65 -,6-0,7 3,8 93 0,96,83 4,75 6 0,00 -,07 5,8 73, 0,0 media,75 7,8 s 0,06,034 i s 44