INTRODUZIONE ALLA FISICA PROF. FRANCESCO DE PALMA
Sommario GRANDEZZE FISICHE... 3 UNITÀ DI MISURA... 3 PREFISSI... 5 ANALISI DIMENSIONALE... 5 CONVERSIONI DI UNITÀ... 6 SISTEMI DI COORDINATE... 7 I VETTORI... 8 DEFINIZIONE DELLE QUANTITÀ VETTORIALI... 8 PROPRIETÀ DEI VETTORI... 8 PRODOTTI TRA VETTORI... 10 PRODOTTO TRA UNO SCALARE ED UN VETTORE... 10 PRODOTTO SCALARE... 10 PRODOTTO VETTORIALE... 11 ESEMPIO 1... 12 ESEMPIO 2... 12 BIBLIOGRAFIA... 14 2 di 14
Grandezze Fisiche Unità di misura La misura in fisica e ingegneria è la base di ogni descrizione ed analisi della natura, poiché grazie ad essa è possibile attribuire ad alcune caratteristiche dei corpi, dei valori numerici. In tal modo è possibile applicare le conoscenze matematiche per risolvere problemi complessi o semplicemente trasmettere tali informazioni ad altri. Affinché ciò avvenga è necessario definire delle grandezze di base con delle unità di misura standard. Dagli anni 60 esiste il Sistema Internazionale (SI), nel quale ad alcune grandezze fondamentali sono associate unità di misura di base e simboli, come quelle elencate nella Tabella 1. Tabella 1: Alcune grandezze fondamentali nel SI. Quantità Unità di misura Simbolo Lunghezza Metro m Tempo Secondo s Massa Kilogrammo Kg Molte altre variabili che vedremo in seguito sono quantità derivate da queste o da altre grandezze fondamentali. La scelta di quali siano le grandezze fondamentali e quali siano quelle derivate è arbitraria ed è generalmente motivata da ragioni storiche o di semplicità. Sebbene storicamente i valori delle unità di misura fossero valutati in modo differenti (ad esempio la lunghezza era collegata al diametro terrestre) ad ora i loro valori sono: un kg è pari al peso di un kg campione conservato a Parigi (link del BIPM ufficiale) un metro è lo spazio percorso in 1/299 792 458 di secondo dalla luce, (link del BIPM ufficiale) un secondo è pari a 9 192 631 770 periodi della radiazione corrispondente alla transizione tra due livelli iperfini, dello stato fondamentale dell'atomo di cesio-133 (link del BIPM ufficiale). 3 di 14
(BIPM). Le definizioni ufficiali sono mantenute sul sito dell agenzia internazionale dei pesi e misure 4 di 14
Prefissi Nel caso in cui si vogliano indicare valori molto distanti dall unità nel SI esistono prefissi che consentono di variare notevolmente il valore indicato. Nella Tabella 2 sono indicati i più comuni. Tabella 2:Prefissi. Fattore Prefisso Simbolo Fattore Prefisso Simbolo 10 9 giga- G 10-3 milli- m 10 6 mega- M 10-6 micro- 10 3 kilo- k 10-9 nano- n 10-2 centi- c 10-12 pico- p Esempio: Va fatta particolare attenzione nella conversione se stiamo considerando grandezze derivate, ad esempio per una superfice di area pari a un millimetro quadro, si ha: Analisi dimensionale Le dimensioni delle grandezze sono anche molto importanti per verificare se un equazione è corretta, tramite l analisi dimensionale. Entrambi i termini di un equazione devono avere la stessa unità di misura. Ad esempio, vedremo che la seguente formula esprime uno spostamento ed è dimensionalmente corretta: Poiché vedremo che l accelerazione è una lunghezza divisa un tempo al quadrato 5 di 14
Conversioni di unità Può essere necessario variare le unità di misura date in un determinato problema affinché siano compatibili, ad esempio nel caso si abbiano valori di una stessa quantità (ad esempio un tempo) in unità di misura di diversi sistemi (ad esempio SI e non). Ciò si può fare moltiplicando il valore per un fattore di conversione. Per un intervallo di tempo ad esempio, si ha che il fattore di conversione tra minuti e secondi risulta: Ovviamente tali rapporti differiscono dai semplici rapporti 1/60 o 60/1 poiché hanno associate delle unità di misura. Ad esempio: 6 di 14
Sistemi di coordinate Figura 1: Coordinate cartesiane Per descrivere la posizione di un punto nello spazio è opportuno introdurre il concetto di sistema di coordinate. In 2 dimensioni il sistema di coordinate cartesiane (x,y) associa univocamente ad ogni punto del piano una coppia ordinata (quindi in genere il punto di coordinate ) di numeri che lo individuano su due assi perpendicolari x e y, vedi Figura 1. Le coordinate cartesiane non sono le uniche che è possibile utilizzare per descrivere i punti in un piano, ad esempio, esistono anche le coordinate polari (Figura 2). In tale sistema di riferimento a ciascun punto corrisponde una coppia ordinata di valori ; dove r è la distanza dal polo O e è l angolo formato dalla congiungente del punto con O e l asse x. L angolo è positivo se misurato in verso antiorario dal semi-asse positivo delle x. Le relazioni tra le coordinate cartesiane di un punto e le sue coordinate polari sono espresse nelle equazioni seguenti: Figura 2: Coordinate polari 7 di 14
Le coordinate cartesiane possono essere generalizzate al caso in 3 dimensioni, aggiungendo un ulteriore asse perpendicolare al piano su cui giacciono x e y. In tal caso ciascun punto è individuato univocamente da una terna ordinata (x,y,z). Le coordinate polari possono essere generalizzate in 3 dimensioni o aggiungendo la distanza dal polo lungo un asse z perpendicolare al piano su cui giacciono x e y, in tal modo sono dette coordinate cilindriche e ogni punto è univocamente determinato dalla terna. Altrimenti aggiungendo l angolo formato dalla congiungente del punto con O e l asse z, in tal modo sono dette coordinate sferiche e ogni punto è univocamente determinato dalla terna. I vettori Definizione delle quantità vettoriali Le quantità osservabili in fisica possono essere distinte in scalari o vettoriali. Una quantità è scalare se è descritta completamente dalla suo valore e dalla sua unità di misura (esempio ). Una quantità è, invece, vettoriale se è descritta da un modulo, da una direzione e da un verso, vedi Figura 3. Le componenti di un vettore lungo gli assi x e y risultano pari a: dove essere indicato semplicemente con. è il modulo del vettore, pari alla sua lunghezza, ed in alcuni casi può Figura 3: Esempio di vettore in un piano e sue componenti lungo gli assi. Proprietà dei vettori Abbiamo visto che scalari e vettori sono due tipi di quantità differenti, ora vogliamo vedere alcune proprietà dei vettori e delle loro operazioni. 8 di 14
Due vettori si dicono uguali se hanno stessa direzione, verso e modulo. La somma dei vettori è: sia commutativa: che associativa: Il metodo grafico della somma di due vettori consiste nel posizionare il secondo vettore al termine del primo, il vettore somma è pari al vettore congiungente l inizio del primo vettore con la fine del secondo come illustrato in Figura 4. Figura 4: rappresentazione grafica della somma di due vettori Se i vettori sono espressi nelle loro componenti lungo gli assi x e y avremo la seguente relazione tra le componenti dei vettori sommati ed il vettore somma: L opposto di un vettore è un vettore con lo stesso modulo e direzione ma verso opposto, che verifica ovviamente la relazione, come espresso in Figura 5. Figura 5:Vettore opposto I vettori di modulo uguale a uno sono anche detti versori o vettori unitari, e spesso sono indicati con un, pertanto si ha La differenza tra due vettori è pari alla somma tra un vettore e l inverso del secondo, ovvero. Graficamente si può ottenere il vettore differenza ponendo l origine di entrambi i vettori nello stesso punto ed unendo la fine del secondo vettore con il primo, come evidenziato in Figura 6. 9 di 14
Figura 6: rappresentazione grafica della differenza di due vettori Prodotti tra vettori Prodotto tra uno scalare ed un vettore Oltre alle operazioni di somma e sottrazione tra vettori è possibile avere un prodotto misto tra un vettore ed uno scalare. Moltiplicando uno scalare per un vettore, il vettore risultante avrà la direzione del vettore e il modulo dato dal prodotto del modulo del vettore per lo scalare. Il verso sarà concorde al vettore se lo scalare è positivo, altrimenti sarà discorde. Si ha quindi: In Figura 7 ci sono alcuni esempi grafici, per diversi valori dello scalare. Figura 7: Rappresentazione del prodotto tra un vettore e uno scalare Prodotto scalare Esistono due tipi di prodotto tra due vettori: Il prodotto scalare: il cui risultato è uno scalare Il prodotto vettoriale: il cui risultato è un vettore Il prodotto scalare di due vettori risulta pari a dove è l angolo compreso trai i due vettori come indicato in Figura 8. 10 di 14
Il prodotto scalare rappresenta il prodotto del modulo di un vettore per la proiezione dell altro vettore sulla sua direzione; se l angolo è zero la proiezione è massima poiché, altrimenti se l angolo è di 90 la proiezione e zero poiché. In modo analogo varia il prodotto scalare. Chiamando, rispettivamente i versori degli assi x e y, le componenti di un vettore possono essere espresse tramite dei prodotti scalari: Figura 8: rappresentazione grafica di due vettori e dell angolo tra loro compreo Prodotto vettoriale Dati due vettori e il vettore ottenuto dal prodotto vettoriale si indica: Il modulo del vettore risulta pari a: con angolo pari all angolo minore tra i due vettori (a differenza del prodotto scalare in tal caso è importante quale angolo si considera, poiché ). Tale modulo è massimo per =90 e nullo per =0. La direzione del vettore ottenuto dal prodotto vettoriale è perpendicolare al piano che contiene i vettori (pertanto risulterà ortogonale ad entrambi), il verso lo si ottiene con la regola della mano destra. Allineate l indice con il vettore ed il medio con il pollice vi indicherà il verso di. 11 di 14
Va prestata attenzione all ordine dei vettori, nel valutare il verso del vettore finale, poiché, il prodotto vettoriale non è commutativo. Infatti si ha: Esempio 1 Dati i vettori e di moduli e tra cui vi è l angolo valutare i vettori e In entrambi i casi il modulo del vettore risultante sarà: Assumendo che i due vettori e giacciano sul piano x-y possiamo rappresentare i vettori prodotto come rappresentato nella Figura 9. Esempio 2 Figura 9: rappresentazione grafica dei vettori dell esercizio 1 Dati due vettori di modulo 3 e 5 per quali angoli il prodotto scalare risulta 7,5 e 12,99? Per quali angoli tali valori sono pari al modulo del prodotto vettoriale? 12 di 14
Il prodotto scalare risulta pari al valore dato per i seguenti valori di : Il modulo del prodotto vettoriale risulta pari al valore dato per i seguenti valori di : 13 di 14
Bibliografia P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci, Fisica Vol I, Edises D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fondamenti di fisica. Meccanica, termologia, CEA Agenzia internazionale dei pesi e delle misure, http://www.bipm.org/ 14 di 14