FISICA GENERALE I - Sede di Spezia Prova A del 11/01/2016 ME 1 Un ragno di massa m R = 5.0 g usa il proprio filo come una liana (lunghezza L =10 cm). Partendo da fermo con il filo inclinato di un angolo θ =60 o rispetto alla verticale, il ragno si lancia e quando il filo transita per la verticale il ragno cattura una (m M = 3.0 g) che stava volando in orizzontale in verso opposto al ragno con velocità v M =90 cm/s. Determinare 2. A quale angolo massimo risalgono il ragno e la dopo l impatto, schematizzando l impatto come un urto totalmente anelastico. ME 2 Un disco di momento di inerzia I=0.40 kg m 2 e massa m=5.0 kg viene messo in rotazione attorno al suo asse orizzontale fino alla velocità angolare 5.0 /. All istante t 0=0 s, il disco viene appoggiato al piano orizzontale (coefficiente di attrito dinamico 0.20) e lasciato andare con velocità lineare nulla. Calcolare: puntiformi uguali 2.0 che distano a loro volta d nel piano xy (vedi figura) e che si trovano nei punti A e B. 2. Calcolare il lavoro (minimo) esterno necessario a spostare la raggio di curvatura della traiettoria della particella vale R = 10 cm. Determinare 2. Successivamente, uscita dalla regione con campo magnetico, la particella attraversa in un tempo t = 1.0 ms una regione con un campo elettrico uniforme di modulo E = 100 V/m, parallelo e concorde alla velocità della particella: determinare la nuova quantità di moto della particella dopo il tempo t.
FISICA GENERALE I - Sede di Spezia Prova B del 11/01/2016 ME 1 Un ragno di massa m R = 5.0 g usa il proprio filo come una liana (lunghezza L =12 cm). Partendo da fermo con il filo inclinato di un angolo θ =50 o rispetto alla verticale, il ragno si lancia e quando il filo transita per la verticale il ragno cattura una (m M = 3.0 g) che stava volando in orizzontale in verso opposto al ragno con velocità v M =100 cm/s. Determinare 2. A quale angolo massimo risalgono il ragno e la dopo l impatto, schematizzando l impatto come un urto totalmente anelastico. ME 2 Una sfera di momento di inerzia I=0.50 kg m 2 e massa m=4.0 kg viene messa in rotazione attorno al suo asse orizzontale fino alla velocità angolare 5 /. All istante t 0=0 s, la sfera viene appoggiata al piano orizzontale (coefficiente di attrito dinamico 0.10) e lasciata andare con velocità lineare nulla. Calcolare puntiformi uguali 2.0 che distano a loro volta d nel piano xy (vedi figura) e che si trovano nei punti A e B. 2 Calcolare il lavoro (minimo) esterno necessario a spostare la raggio di curvatura della traiettoria della particella vale R = 20 cm. Determinare 2. Successivamente, uscita dalla regione con campo magnetico, la particella attraversa in un tempo t = 2.0 ms una regione con un campo elettrico uniforme di modulo E = 150 V/m, parallelo e concorde alla velocità della particella: determinare la nuova quantità di moto della particella dopo il tempo t.
FISICA GENERALE I - Sede di Spezia Prova C del 11/01/2016 ME 1 Un ragno di massa m R = 5.0 g usa il proprio filo come una liana (lunghezza L =15 cm). Partendo da fermo con il filo inclinato di un angolo θ =55 o rispetto alla verticale, il ragno si lancia e quando il filo transita per la verticale il ragno cattura una (m M = 4.0 g) che stava volando in orizzontale in verso opposto al ragno con velocità v M =80 cm/s. Determinare 2. A quale angolo massimo risalgono il ragno e la dopo l impatto, schematizzando l impatto come un urto totalmente anelastico. ME 2 Un anello di momento di inerzia I=0.60 kg m 2 e massa m=6.0 kg viene messo in rotazione attorno al suo asse orizzontale fino alla velocità angolare 5 /. All istante t 0=0 s, l anello viene appoggiato al piano orizzontale (coefficiente di attrito dinamico 0.30) e lasciato andare con velocità lineare nulla. Calcolare puntiformi 2.0 e 2.0 che distano a loro volta d nel piano xy (vedi figura) e che si trovano nei punti A e B. 2. Calcolare il lavoro (minimo) esterno necessario a spostare la raggio di curvatura della traiettoria della particella vale R = 15 cm. Determinare 2. Successivamente, uscita dalla regione con campo magnetico, la particella attraversa in un tempo t = 1.5 ms una regione con un campo elettrico uniforme di modulo E = 200 V/m, parallelo e concorde alla velocità della particella: determinare la nuova quantità di moto della particella dopo il tempo t.
SOLUZIONI con spiegazione dettagliata ME 1 ME 2 1. Conservazione energia meccanica totale tra momento del lancio e istante in cui il filo è verticale, subito prima dell impatto con la : (1cos%) ' ( '. Si trova ( )2 (1cos%) 0.99 +,. Scegliamo un sistema di riferimento con una direzione radiale (verso il basso), applicando la seconda legge di Newton in questo istante: -. / 0 1 (ricordarsi che l accelerazione è centripeta quindi diretta in alto) da cui T = 9.8 x 10-2 N. (Fila B T = 8.4 x 10-2 N ; Fila C T = 9.1 x 10-2 N) 2. Con la velocità determinata in precedenza, il ragno colpisce la ; applicando la conservazione della quantità di moto (asse orizzontale con verso concorde con quella del ragno) otteniamo: ( 2 ( 2 ( 2 )3 da cui troviamo la velocità dell insieme + ragno dopo l urto: V = 0.28 m/s. Riapplichiamo la conservazione dell energia meccanica: : ( 2 ) (1cos% 4 ) ' ( 2 )3 ' da cui otteniamo cos% 4 0.96 ovvero % 4 16.34 16 (Fila B 10.48 10 Fila C 12.63 13 ) Qui è importante definire la terna di assi di riferimento e ricordarsi che quando c è strisciamento velocità lineare e velocità angolare sono indipendenti, non esiste relazione fra loro. 1. Tra disco e piano vi è attrito che tende a rallentare la rotazione del disco e, poiché il punto di contatto ha velocità verso sinistra, la forza di attrito 9 : è diretta verso destra. Inoltre 9 : determina l accelerazione lineare del disco. Assumendo un asse x orizzontale a destra e y verticale verso l alto, la I eq. Cardinale si scrive come ;: 9 : ; =: > 0 9 : >, costante. Integrando per trovare la velocità del CM v=at (1) (la velocità iniziale è nulla) e per ( 0.20 /(fila B 0.098 m/s fila C 0.29 m/s) 2. Per avere una terna destrorsa asse z uscente. Il disco ha momento di inerzia? ' @' (sfera? ' A @', anello? @ ' ) e sta girando in senso negativo (cioè < 0). Nel tempo la velocità angolare diminuisce, dalla II eq. Cardinale lungo z: @9 :?C C @ /? e C (2). La condizione di puro rotolamento sul punto di contatto è (R=0 che non c è all inizio ma utilizzando le equazioni (1) e (2) si trova il tempo per cui la condizione viene verificata (infatti la velocità lineare aumenta e quella angolare diminuisce) ( C )@ @C =@ E F G /0 H I JK MN L I OP 0.33979 (fila B 0.81406 fila C 0.26863 ) da cui R C -1.7 rad/s (fila B -1.4 rad/s fila C -2.5 rad/s)e a partire da tale istante il moto è di puro rotolamento con R e ( Rt (t ) costanti. x
EM 1 EM 2 1. Assumendo la lunghezza della bacchetta infinita, per il calcolo della forza risultante sulla bacchetta (che non è una carica puntiforme!) occorre suddividere in tratti infinitesimi la bacchetta, si somma con un integrale vettoriale la forza esercitata da una carica (p. es. A) su W ciascun tratto T di bacchetta e si trova la risultante parziale 9U V X Y Z[ F ]U^] U 0( T)UU `, X si sommano le forze parziali dovute alle 2 cariche 9U 9U 9U. D altra parte il procedimento è complesso, sfruttiamo invece il terzo principio della dinamica ovvero la forza che agisce sulla carica in A vale 9U a_u con a_u il campo elettrico generato dalla bacchetta in A, lo stesso per B 9U a_u e per la simmetria cilindrica a_u a_u, la somma delle forze cambiata di segno sarà il risultato richiesto. Assumendo la bacchetta infinita il teorema di Gauss ci fornisce per la simmetria cilindrica del problema a_u 2b h h/d con campo in direzione radiale uscente (lungo i lati del triangolo equilatero tratteggiati ) a ea_u e /(2b d ) da cui 9U (a sin30, a cos30 ) e 9U (a sin30, a cos30 ) e quindi 9U 9U 9U (0,3.7 10^j )>(fila B (0,3.7 10^j )>, fila C (2.2 10^j,0)>) 2. Il lavoro esterno (minimo perché l energia cinetica è sempre considerata zero, il lavoro è solo contro il campo elettrico) è pari alla variazione del potenziale elettrico complessivo (dovuto alla carica in B e alla bacchetta che agiscono sulla carica in A) per il valore della carica in A (il lavoro delle forze elettriche sarebbe k m 3 esterno) potenziale nel W punto n per la carica B: 3 o^ p con riferimento all infinito ricordando che O YZ[ F ]U q^]u p dista da B /2 e dalla bacchetta s ' ottenere il potenziale 3 t^u:vv 3 ^u:vv V integrando il campo elettrico della bacchetta per t w 'Z[ F ] w 'Z[ F xln( t^u:vv ) ln( ^u:vv )z w ln{ X}~ w ln{ ' (non si può usare il riferimento all infinito 'Z[ F }~ 'Z[ F s essendo la distribuzione non limitata nello spazio, occorre integrare fra i due punti) lavoro esterno (3 t^ 3 ^ ) (3 t^u:vv 3 ^u:vv ) 3.9 10^ƒ J (fila B 3.3 10^ƒ J, fila C 3.3 10^ƒ J) 1. Sulla particella agisce la forza di Lorentz che fornisce la forza centripeta: in modulo (.0 da cui ( @ 1.6 ; 10^' / (fila B 3.2 ; 10^' +,, fila C 2.4 ; 10^' /) 2. Usando il teorema dell impulso e della quantità di moto abbiamo a 4 da cui 4 a 3.2 ; 10^' / (fila B 8.0 ; 10^' /, fila C 7.2 ; 10^' /)