Dinamica dei Sistemi Multicorpo

Dinamica dei Sistemi Multicorpo Basilio Bona Dipartimento di Automatica e Informatica Politecnico di Torino versione corrente: 2 novembre 23 1

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 2 Il contenuta di questa dispensa è stato controllato al meglio per evitare la presenza di errori di battitura, tuttavia è possibile che ve ne siano ancora; chi ne trovasse o volesse dare suggerimenti all autore, è pregato di inviare una email a: basilio.bona@polito.it

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 3 1 Introduzione In questa breve dispensa vengono prima ricavate le equazioni dinamiche di un corpo rigido, utilizzando le equazioni di Newton-Eulero e di Lagrange e successivamente si trattano i sistemi multicorpo, ossia quelli costituiti da più corpi rigidi tra loro opportunamente collegati. Prima di descrivere questi due approcci, è opportuno riassumere brevemente alcuni concetti relativi alle matrici di inerzia ed ai momenti angolari; il lettore interessato può consultare il Goldstein [4] per ulteriori approfondimenti. 1.1 Tensori o matrici d inerzia La matrice o tensore d inerzia 1 di un corpo rigido, è quella grandezza che definisce le caratteristiche inerziali del corpo rigido rispetto alla rotazione. Essa viene definita specificando un punto rispetto a cui viene calcolata; di solito questo punto viene fatto coincidere con il centro di massa del corpo stesso, ma ciò non è strettamente necessario. Dato un corpo rigido B, indicato dal generico pedice b, e un sistema di riferimento R l, il centro di massa di B ha posizione data dal vettore r l cb, definito nel modo seguente: dm = r l cb m = r l bdm r l cb B dove r l b = ( x y z ) T rappresenta la posizione della generica massa elementare dm appartenente al corpo b e m = dm è la massa totale del corpo. B La matrice d inerzia Γ l b/c R 3 3 intorno al centro di massa r l cb viene implicitamente definita dalla relazione h l b = Γ l b/cω l b (1) dove h l b è il momento angolare del corpo rigido e ω l b la velocità angolare totale del corpo rigido, entrambi rappresentati nel sistema di riferimento R l. Se ora fissiamo R l al corpo rigido e poniamo la sua origine nel centro di massa C, possiamo definire la matrice d inerzia Γ l b/c nel modo seguente [ r Γ l b/c = S(r l b)s(r l l b)dm = b 2 I r l b (r l b) T] dm B B Γ xx Γ xy Γ xz = Γ yx Γ yy Γ yz Γ zx Γ zy Γ zz dove ricordiamo che r l b (rl b )T è un prodotto diadico che genera una matrice 3 3. 1 Con il termine tensore si indica l ente matematico (una generalizzazione del vettore), mentre con il termine matrice si indica la sua rappresentazione in un qualche dato sistema di riferimento. Preferiamo usare il termine matrice, piuttosto che tensore. B (2)

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 4 Gli elementi sulla diagonale sono detti momenti principali di inerzia e sono dati da: Γ xx = ( y 2 + z 2) dm B Γ yy = ( x 2 + z 2) dm B Γ zz = ( x 2 + y 2) dm B (3) dove x, y e z sono le coordinate in R l del generico elemento di massa dm. Gli elementi fuori dalla diagonale sono detti prodotti d inerzia e sono dati da: Γ xy = Γ yx = xy dm B Γ yz = Γ zy = yz dm B Γ zx = Γ xz = xz dm B (4) Il sistema di riferimento privilegiato R per cui la matrice d inerzia assume la forma diagonale, ossia Γ x Γ b/c = Γ y, Γ z ha i tre assi allineati con i cosiddetti assi principali d inerzia; la matrice stessa si definisce matrice principale d inerzia. Se ora consideriamo un altro sistema di riferimento R k, rispetto a cui R l è rappresentato dalla matrice di rotazione R k l, la matrice d inerzia corrispondente è legata a quella precedente dalla relazione o, analogamente Γ k b/c = R k lγ l b/cr l k = R k lγ l b/c(r k l) T Γ k b/cr k l = R k lγ l b/c. (5) Nell ipotesi che il sistema di riferimento sia fisso al corpo B, la matrice d inerzia è costante nel tempo; in caso contrario la matrice d inerzia è tempo-variante. 1.2 Teorema degli assi paralleli Supponiamo ora di voler calcolare la matrice d inerzia non più rispetto al punto C, ma rispetto ad un diverso punto O (vedi Fig. 1) Risulta r o = r co + r b e questa relazione è valida per qualunque sistema di riferimento in cui rappresentiamo i vettori. Ne segue che l elemento di massa elementare dm che si trovava, rispetto al punto in relazione al quale si calcola la matrice d inerzia, nella posizione di coordinate r b, si trova ora nella posizione di coordinate r o. Precisiamo che definiamo r co = ( x c y c z c ) T.

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 5 r b dm C r o r co O Figura 1: Punti relativi. La nuova matrice d inerzia, che indicheremo con Γ l b/o, sarà definita come Γ l b/o = Γ l b/c ms(r b co)s(r b co) = Γ l b/c + m[ r b co 2 I r b co (r b co) T] (6) ovvero, più semplicemente Γ Γ l xx Γ xy Γ xz b/o = Γ yx Γ yy Γ yz Γ zx Γ zy Γ zz dove: Γ xx = Γ xx + m ( ) yc 2 + zc 2 Γ yy = Γ yy + m ( ) x 2 c + zc 2 Γ zz = Γ zz + m ( (7) ) x 2 c + yc 2. I prodotti di inerzia possono essere riscritti in modo analogo: Γ xy = Γ xy + m x c y c Γ xz = Γ xz + m x c z c Γ yz = Γ yz + m y c z c (8) Queste relazioni permettono quindi di calcolare la matrice d inerzia rispetto ad un qualsiasi altro punto, avendo a disposizione i dati relativi alla matrice d inerzia rispetto al centro di massa. 1.3 Momento angolare ed equazione di Eulero L espressione del momento della quantità di moto angolare è stato brevemente definito in (1); vorremmo ora giustificare questa formula derivando la relazione in modo più rigoroso.

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 6 Un corpo rigido B è composto da un continuo di particelle elementari di massa dm in posizione r k p, con velocità v k p e accelerazione a k p; R k è un generico sistema di riferimento rispetto a cui esprimiamo i vettori. Per semplificare la trattazione della dinamica del corpo rigido, possiamo ricondurre l azione delle forze e delle coppie agenti su di esso ad una forza equivalente f k bc, con linea d azione attraverso il centro di massa di B e modulo pari a quello della somma vettoriale delle forze agenti, e ad una coppia equivalente τ k bc = nk b/c pari al momento totale delle forze agenti sul corpo, relativo al centro di massa. n k b/c L equazione di Eulero afferma che τ k bc = [ ] d h k b/c dt i dove abbiamo indicato che la derivata va fatta relativamente ad un sistema di riferimento inerziale, che indicheremo d ora in avanti con R i. Il vettore h k b/c è detto momento della quantità di moto angolare ed è definito come h k b/c = (r k v k p)dm (9) dove B r k = r k p r k c rappresenta la posizione della massa elementare rispetto al centro di massa; la velocità v k p può venir espressa in relazione alla velocità del centro di massa v k c nel modo seguente v k p = v k c + ω k ib r k (1) È stata introdotta la velocità angolare ωib k, che va intesa come la velocità angolare del corpo b rispetto al sistema di riferimento inerziale R i, ossia quella che solitamente si chiama velocità angolare totale del corpo b. Sostituendo la (1) nella (9), otteniamo ( ) h k b/c = r k dm v k c + r k (ωib k r k )dm = B B Il termine B rk dm vale zero in quanto r k dm = (r k p r k c)dm = B B B r k pdm mr k c = per definizione di centro di massa; quindi resta h k b/c = r k (ωib k r k )dm = r k (r k ωib)dm k B B = S(r l b)s(r l b)ωibdm k = S(r l b)s(r l b)dm ωib k B = Γ k b/cω k ib In un diverso sistema di riferimento R l avremo h l b/c = Γ l b/cω l ib. B (11)

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 7 con Γ l b/c = R l kγ k b/cr k l Per completare l equazione di Eulero si tratta ora di definire la derivata del momento della quantità di moto angolare. [ ] [ ] ḣ k d d b/c = (Γ k dt b/cωib) k = (Γ k i dt b/cωib) k + ω k ib (Γ k b/cωib) k b Essendo Γ k b/c costante in R b, ne segue che ḣ k b/c = Γ k b/cα ib + ω k ib (Γ k b/cω k ib) dove α ib è l accelerazione angolare totale del corpo b rispetto al riferimento inerziale. Un altro modo per giungere alla stessa formula è il seguente: ipotizziamo che il corpo b ruoti con velocità angolare totale ω rispetto ad un riferimento inerziale R, con origine posta nel centro di massa del corpo. L equazione di Eulero (della dinamica del corpo in rotazione) stabilisce che la variazione del momento angolare sia pari alla risultante τ delle coppie applicate al corpo, anch essa espressa in R, ossia: ḣ d dt (Γ ω ) = τ (12) Sia Γ sia ω sono funzioni del tempo, e quindi risulta ḣ = Γ ω + Γ ω (13) Per calcolare più agevolmente Γ è opportuno cambiare sistema di riferimento. Se R l è il riferimento locale solidale al corpo, con origine nel suo centro di massa, se R è la matrice di rotazione che rappresenta R l in R e Γ l è il tensore d inerzia del corpo, espresso in R l, allora abbiamo visto che vale la relazione: Γ = RΓ l R T (14) Chiamando ω l la velocità angolare del corpo espressa in R l, avremo ω = Rω l ovvero ω l = R T ω e quindi: h = Γ ω = RΓ l R T Rω l = RΓ l ω l = Rh l (15) dove abbiamo introdotto il momento angolare h l = Γ l ω l espresso nel riferimento locale R l. Quest ultima relazione mostra che il vettore del momento angolare si trasforma nello stesso modo degli altri vettori, premoltiplicandolo per la matrice di rotazione R. Derivando ora h nella (15), otteniamo: ḣ = d dt (RΓ lω l ) = ṘΓ lω l + R Γ l ω l + RΓ l ω l (16) Ricordando che il tensore d inerzia Γ l è costante nel tempo, in quanto è espresso nel riferimento R l solidale con il corpo rotante, risulta quindi Γ l = O e la (16) si semplifica come segue: ḣ = S(ω )RΓ l ω l + RΓ l ω l = ω (RΓ l ω l ) + RΓ l ω l (17)

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 8 Questo vettore è espresso in R e contiene sia velocità ω l sia ω ; se lo vogliamo esprimere in R l dovremo premoltiplicare per R T. Ricordando le proprietà delle matrice antisimmetriche, otteniamo R T ḣ = R T S(ω )RΓ l ω l + R T RΓ l ω l = S(R T ω )Γ l ω l + Γ l ω l = S(ω l )Γ l ω l + Γ l ω l (18) = ω l Γ l ω l + Γ l ω l Poiché R T ḣ = ḣl e, per l equazione di Eulero ḣl = τ l, segue: τ l = ω l Γ l ω l + Γ l ω l (19) dove τ l = R T τ è la risultante delle coppie applicate, espressa in R l. Se volessimo invece esprimere la coppia in R, dovremmo utilizzare la (17), sostituendo Γ R al posto di RΓ l, ottenuta dalla (14); in questo modo si giunge alla relazione τ = ω Γ ω + Γ ω (2) Come si può osservare, le equazioni (19) e (2) sono identiche, purché tutti i vettori coinvolti siano stati espressi nello stesso sistema di riferimento. 2 Equazioni di Newton-Eulero Le equazioni di Newton-Eulero si possono ricavare come equazioni di equilibrio dinamico delle forze e dei momenti, compresi quelli inerziali, esterni e di vincolo, agenti sul corpo rigido B. Si scrivono quindi due equazioni vettoriali, la prima (equazione di Newton) di equilibrio tra le forze lineari, la seconda (equazione di Eulero) di equilibrio tra i momenti angolari. Per semplicità di notazione supporremo d ora in avanti che i vettori introdotti siano tutti rappresentati nel riferimento R, trascurando di indicare il pedice relativo. Supponendo che il corpo rigido sia collegato ad altri corpi, vanno considerati nelle equazioni anche le forze e i momenti vincolari che vengono trasmessi dai corpi contigui al corpo in questione. Il moto del corpo B, supposto perfettamente rigido, risulta decomposto in due moti distinti: 1. un moto traslatorio del suo centro di massa, descritto dalle equazioni vettoriali di Newton, che impongono l equilibrio, rispetto al centro di massa, di tutte le forze agenti sul corpo, comprese quelle dinamiche: f m + f v + mg ma c = (21) dove a c = v c = r c è l accelerazione del centro di massa, g e l accelerazione di gravità, f m è la risultante delle forze attive applicate al corpo dall esterno e f v è la risultante delle forze vincolari tra i corpi.

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 9 2. un moto rotatorio, intorno al centro di massa, descritto dalle equazioni vettoriali di Eulero, che impongono l equilibrio, rispetto al centro di massa, di tutti i momenti agenti sul corpo, compresi quelli generati dalle forze d inerzia: τ m + τ v + τ f m + τ f v + τ g + τ a Γα ω Γω = (22) dove τ m è la risultante dei momenti attivi applicati al corpo dall esterno, τ v è la risultante dei momenti vincolari, τ f m è la risultante dei momenti dovuti alle forze esterne, τ f v è la risultante dei momenti dovuti alle forze vincolari, τ g è il momento dovuto al campo gravitazionale e τ a è il momento dovuto alla forza d inerzia ma c, mentre α è l accelerazione angolare totale. Questa equazione viene semplificata se i momenti e la matrice d inerzia vengono calcolate rispetto al centro di massa: in questo caso si ha τ g = τ a = e l equazione di Eulero si riduce a τ m + τ v + τ f m + τ f v Γα ω Γω = (23) Come si può notare, le equazioni sono espresse in funzione delle accelerazioni lineari del centro di massa a c, dell accelerazione angolare α e della velocità angolare ω. Le equazioni di Newton-Eulero si possono anche scrivere in una forma matriciale più compatta, ad esempio ( )( ) ( ) mi a b c Γ b + b/c S(ω b ib )Γ b b/c α b ib ( ) f b = bc τ b bc Ricordando che a b c = v b c + ω b ib vb c, avremo anche una seconda forma possibile ( mi Γ b b/c )( v b c α b ib ) ( )( ) ( ) ms(ω b + ib ) v b c f b S(ω b ib )Γ b b/c ω b = bc ib τ b bc Se poi volessimo esprimere le equazioni in relazione ad un generico punto O, ove r oc è il vettore da O al centro di massa C, allora avremo ( mi ms(r b oc ) T )( a b o ms(r b oc) Γ b b/cω b ib α b ib ) + ( ms(ω b ib )S(ω b ) ib )rb oc S(ω b ib )Γ b b/oω b ib ( ) f b = bo τ b bo In conclusione vorremmo aggiungere che una delle maggiori difficoltà che sorgono nell utilizzare le equazioni di Newton-Eulero per scrivere simbolicamente le equazioni dinamiche del sistema multicorpo nasce dalla presenza delle forze generalizzate (forze e momenti) di vincolo; queste infatti non servono a caratterizzare direttamente il moto del corpo, ma hanno l unica funzione di sostituire i vincoli geometrici con quntità vettoriali inseribili nelle equazioni. Tuttavia, se quello che interessa non è scrivere simbolicamente le equazioni dinamiche, ma calcolare numericamente le grandezze cinematiche o dinamiche del corpo, le equazioni di Newton-Eulero, poste in una opportuna forma ricorsiva, sono assai efficienti e possono servire alla soluzione numerica di problemi dinamici.

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 1 3 Coordinate generalizzate e vincoli Un insieme di N masse puntiformi, ciascuna definita univocamente nello spazio dal vettore ξ i,1 (t) r i (t) = ξ i,2 (t), i = 1,...,N ξ i,3 (t) è globalmente descrivibile da 3N grandezze. Possiamo ora pensare di radunare queste componenti in un unico vettore di lunghezza 3N ξ 1,1 r 1 ξ 1,2 x 1 r 2 ξ 1,3 x 2 x =.. =. = x 3 r N ξ N,1. ξ N,2 x 3N ξ N,3 Lo spazio R 3N si dice spazio di configurazione del sistema e ogni movimento dell insieme viene descritto da una traiettoria in questo spazio multidimensionale. Un corpo rigido, composto da un insieme infinito di masse elementari avrà virtualmente uno spazio di configurazione di dimensioni infinite. Nell ipotesi che questi N oggetti puntiformi siano tra loro rigidamente collegati, sappiamo che il multicorpo totale avrà, nello spazio cartesiano, non più di 6 parametri liberi (3 di posizione + 3 di assetto). Possiamo dire che i 3N parametri originari sono stati ridotti per la presenza di un certo numero di vincoli, che rappresentiamo analiticamente con delle equazioni vettoriali del tipo seguente: Facciamo altri esempi: r i r j 2 = d ij, i,j = 1,...,N, i j. (24) Esempio 1. Consideriamo il moto di un corpo rigido vincolato a ruotare intorno ad un asse fisso nello spazio e rigidamente collegato ad un punto su questo asse, in modo che non siano consentiti moti di traslazione. Esempio 2. Consideriamo un corpo rigido il cui unico moto consentito è quello di traslazione lungo un asse particolare. Esempio 3. Consideriamo un disco che ruota in contatto di un piano, aderente ad esso, ma senza moti di strisciamento. In generale un vincolo si rappresenta in forma implicita come φ(x 1,...,x 3N,t) = Se i vincoli sono n v, allora avremo un sistema di uguaglianze φ 1 (x 1,...,x 3N,t) = φ 2 (x 1,...,x 3N,t) =. φ nv (x 1,...,x 3N,t) =

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 11 equivalente all equazione matriciale φ(x(t),t) =. (25) In generale non tutti i vincoli sono indipendenti dagli altri; ad esempio nel caso di N masse puntiformi, l insieme di equazioni di vincolo (24) non sono tutte tra loro indipendenti. Supponiamo per semplicità che, d ora in avanti, quando specifichiamo le equazioni dei vincoli, queste siano tra loro indipendenti e n v sia il numero di vincoli indipendenti. La dipendenza diretta dei vincoli dal tempo si ha quando i vincoli stessi sono funzione di qualche legge temporale esterna. Spesso essi sono indipendenti dal tempo in modo diretto, per cui la (25) si semplifica e diventa: φ(x(t)) =. (26) In questo caso il teorema della funzione implicita ci assicura che è possibile esprimere n v variabili in funzione delle rimanenti n = 3N n v. Abbiamo così generato n = 3N n v variabili indipendenti q 1, q 2,..., q n, che prendono il nome di variabili o coordinate generalizzate q(t) = q 1 (t). q n (t) Esse sono quelle variabili che rappresentano univocamente il moto del multicorpo, tenendo implicitamente conto dei vincoli cinematici presenti. Tutte le altre variabili di configurazione sono ricavabili da queste utilizzando le equazioni di vincolo. Considerando l Esempio 1, l unico moto geometricamente ammissibile è quello di rotazione intorno ad un asse, e quindi l insieme di coordinate generalizzate è composto dal solo angolo di rotazione q = θ rispetto ad una origine specificata. Ogni altra grandezza cinematica sarà esprimibile in funzione di questa. L insieme delle coordinate generalizzate non è unico, nel senso che possono esistere diversi insiemi di coordinate (o anche un numero infinito di insiemi) capaci di esprimere in modo univoco il moto del corpo, ma esso deve essere completo, nel senso che deve poter permette di esprimere completamente il movimento del corpo vincolato, e indipendente, nel senso che non devono esistere q i ricavabili come combinazione lineare di altre coordinate generalizzate. Nell Esempio 1, se fissiamo in modo diverso l origine dell angolo, avremo infinite coordinate generalizzate che differiscono tra loro per una costante. A questo proposito va fatto osservare che se l insieme delle coordinate generalizzate non è unico, il loro numero n invece lo è. In conclusione è ora possibile esprimere ogni vettore di posizione r i in funzione delle coordinate generalizzate, secondo la. r i = r i (q(t);t) (27) dove r i è una generica funzione non lineare, derivabile quanto basta rispetto ai suoi argomenti. La dipendenza diretta dal tempo si ha quando esistono delle specifiche

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 12 esterne di moto tempo-variante oppure vincoli anch essi tempo-varianti. Analogamente, se consideriamo le variabili di configurazione x, possiamo scrivere la dipendenza dalla coordinate generalizzate così: x = x(q(t),t) Una volta definite le coordinate generalizzate, è possibile definire le velocità generalizzate, come le derivate di queste q(t) = dq(t) q 1 (t) = dt.. q n (t) La relazione tra ẋ e q vale ẋ = A q + b (28) dove A R 3 3 e b R 3 1 sono definite dai loro elementi generici [A] ij = x i(t) q j (t) [b] i = x i(t) t La matrice A prende il generico nome di jacobiano della trasformazione; vedremo più oltre come alcune di queste matrici sono particolarmente importanti in problemi di cinematica e dinamica dei sistemi multicorpo. Se esistono dei vincoli è possibile esprimerli in funzione delle coordinate ed eventualmente delle velocità generalizzate; avremo allora h(q(t), q(t), t) = (29) oppure h(q(t), q(t)) = (3) 4 Spostamenti virtuali, vincoli e gradi di libertà Avendo definito le coordinate generalizzate q i, introduciamo il concetto di spostamento virtuale o, come qualche autore preferisce scrivere, variazione ammissibile. Lo spostamento virtuale è un piccolo spostamento consentito dai vincoli cinematici agenti sul corpo rigido o sul sistema di corpi rigidi interconnessi, che può avvenire indipendentemente dal tempo. Esso si indica con il simbolo δr, che ha somiglianza con lo spostamento differenziale dr; ma mentre il secondo è lo spostamento consentito sia dai vincoli sia dalle forze presenti nel sistema multicorpo, il primo è indipendente dalla reale possibilità che tale spostamento si verifichi, in conseguenza della dinamica del sistema multicorpo. Esso è il frutto di un esperimento mentale, e come tale può essere contemporaneo ad altri spostamenti virtuali, con la sola condizione che vengano rispettati i vincoli cinematici; esso, contrariamente all incremento dr che avviene nell intervallo infinitesimo dt, avviene in un tempo istantaneo e per questo motivo si considera sempre δt =.

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 13 I concetti di completezza e indipendenza che si applicano alle coordinate generalizzate si applicano pure agli spostamenti virtuali. Normalmente il numero di coordinate generalizzate (indipendenti e complete) e il numero di spostamenti virtuali (indipendenti e completi) sono uguali e coincidono con i gradi di libertà del sistema. I vincoli per cui questo accade si dicono olonomi e il sistema multicorpo prende il nome di sistema olonomo. In caso contrario si hanno vincoli anolonomi e il sistema si dice anolonomo. Il numero di spostamenti virtuali indipendenti e completi prende il nome di gradi di libertà del sistema multicorpo. Se nel sistema agiscono solo vincoli olonomi, i gradi di libertà del sistema n gdl coincidono con il numero di variabili generalizzate, ossia n = n gdl. In caso di vincoli anche anolonomi, il numero di gradi di libertà è minore del numero di variabili generalizzate n n gdl. 4.1 Vincoli olonomi e anolonomi Dato un corpo rigido o un sistema multicorpo caratterizzato da n coordinate generalizzate q(t) = ( q 1 q n ) T indipendenti e costituenti un insieme completo, dalle relative velocità generalizzate q(t), da n variazioni ammissibili δq = ( δq 1 δq n ) T, anch esse indipendenti e complete, abbiamo visto in (29) che il sistema può venire assoggettato a n v vincoli di uguaglianza h i (q(t), q(t),t) =, Se questi sono funzione delle sole posizioni, come i = 1,...,m h i (q(t),t) = (31) allora risultano essere sempre olonomi; se invece sono funzione sia delle posizioni sia delle velocità, possono essere olonomi oppure anolonomi. Vediamo ora di caratterizzare meglio i vincoli anolonomi. Si dicono anolonomi due classi di vincoli: la prima classe comprende i vincoli di diseguaglianza, descritti da espressioni analitiche del tipo seguente h (q(t), q(t),t) la seconda classe comprende quei vincoli del tipo h (q(t), q(t),t) = che non possiedono un integrale esatto. In particolare, per semplicità, restringiamo la nostra attenzione su vincoli espressi come funzione delle sole velocità: h ( q(t),t) = (32) Quando questi non possiedono un integrale esatto, sono anolonomi.

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 14 Vediamo di caratterizzare meglio, sia dal punto di vista analitico, sia dal punto di vista fisico, quest ultima classe di vincoli anolonomi. Il vincolo olonomo (31) può essere derivato rispetto al tempo, dando origine ad un generico vincolo sulle velocità che si esprime in modo analogo alla (28), ossia dove h(t) q 1 (t) a(q) =. h(t) q n (t) a(q) T q + b(q) = (33) b i (q) = h(t) t Questo stesso vincolo si può esprimere in forma differenziale, come: a(q) T dq + b(q)dt = (34) che definisce la forma pfaffiana del vincolo. Al posto dei differenziali si possono sostituire gli spostamenti virtuali e, ricordando che δt, ottenere: a(q) T δq =. Ora, se la (34) è integrabile, ovvero essa rappresenta un differenziale esatto, la si può ricondurre alla (31); in questo caso il vincolo corrispondente risulta olonomo. Se invece la forma pfaffiana non è un differenziale esatto, il vincolo corrispondente è anolonomo. Ricordiamo quali sono le condizioni per avere un differenziale esatto: la forma differenziale dh = a(q) T dq è esatta in R n se dh è indipendente dal cammino di integrazione. Ciò è verificato quando dh = ( h) T dq dove ( h) T = (grad h) T = soddisfare la relazione ( h q 1 a i (q) = h q i, h q n ). Quindi i coefficienti a(q) devono i = 1,...,n Inoltre deve valere la seguente relazione tra le derivate parziali seconde 2 h = 2 h, q j q i q i q j i, j = 1,...,n che implica a i (q) q j a j(q) q i =, i, j = 1,...,n (35) Ne consegue che, se i coefficienti a i soddisfano alle relazioni (35), la forma differenziale è integrabile esattamente e il vincolo è olonomo. In caso contrario il vincolo è anolonomo.

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 15 Dal punto di vista fisico le cose si apprezzano meglio considerando un problema in cui appare un vincolo anolonomo. L esempio classico è quello di una ruota che si muove rotolando su un piano, con l asse di rotazione parallelo al piano e in assenza di strisciamento. Figura 2: Esempio di vincolo anolonomo: un disco che ruota a contatto di un piano senza strisciamento.... continuare... aggiungere che cosa è ora il numero di gdl e la caratterizzazione fisica (con esempi) dei vincoli anolonomi 4.2 Principio dei lavori virtuali Una configurazione geometricamente ammissibile di N masse elementari è in equilibrio (statico o dinamico) se il lavoro virtuale è nullo, ossia δw = δw = N f i δr i i=1 N f i δr i = (36) i=1 dove f i sono le forze applicate dall esterno sul sistema e agenti nelle posizioni r i, e δr i sono gli spostamenti virtuali delle medesime posizioni. Se il sistema è un corpo rigido o un multicorpo, sul quale agiscono sia forze sia momenti, occorre caratterizzare in modo diverso i rispettivi contributi al lavoro virtuale; avremo allora: N f N τ δw = f i δr i + τ i δα i = (37) i=1 dove ora vi sono anche i momenti τ i e le rispettive variazioni angolari virtuali α i. i=1

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 16 5 Equazioni cinematiche del corpo rigido Le equazioni dinamiche di un sistema composto da uno o più corpi rigidi sono formulate a partire dalle grandezze cinematiche di posizione, velocità e accelerazione lineare, che chiameremo rispettivamente r, ṙ, r e le grandezze cinematiche di assetto, velocità e accelerazione angolare, che chiameremo rispettivamente α, α, α. Sapendo che l assetto di un corpo rigido si può rappresentare in molti modi, nessuno dei quali è un vettore in senso stretto, ci possiamo chiedere che significato abbia α; si tratta di una rappresentazione convenzionale dei tre parametri angolari associati alla rotazione: essi possono essere i tre angoli di Eulero o gli angoli di roll, pitch e yaw, oppure le componenti indipendenti di un quaternione unitario. Come abbiamo visto al Paragrafo precedente, possono essere presenti vincoli cinematici che limitano il moto dei corpi. Questi vincoli possono essere generati dal progettista del sistema oppure essere imposti dall ambiente in cui il sistema opera. In generale, avendo definito le variabile generalizzate q(t), avremo la possibilità di esprimere il moto del corpo mediante equazioni espresse in forma vettoriale: r(t) = g r (q(t),π,t) α(t) = g α (q(t),π,t) dove π rappresenta un generico vettore di parametri geometrici, che sono propri del sistema. Il vettore r può rappresentare le coordinate di un punto particolare del nostro corpo rigido, di cui ci interessa la posizione; ad esempio potrebbe essere il vettore del centro di massa del corpo, oppure un punto posto alla sua estremità o altro ancora. Analogamente, il vettore α potrebbe rappresentare l assetto di un particolare sistema di riferimento associato al corpo rigido. Questo sistema di equazioni, di solito non lineari, prende il nome di funzione cinematica diretta di posizione; si dice che è diretta in quanto è possibile, dato q calcolare (abbastanza agevolmente) i corrispondenti r e α; si dice che è di posizione, intendendo la posizione generalizzata, che include anche le variabili di assetto. Se costruiamo un vettore 6 1 di coordinate di posizione ( ) r(t) p(t) = α(t) si può scrivere in forma compatta l equazione di vincolo, come segue: p(t) = g(q(t),π,t) (38) ( ) gr ( ) dove g( ) =. g α ( ) È possibile definire ora la funzione cinematica inversa di posizione, data dalla relazione non lineare q(t) = g 1 (r(t),α(t),π,t) = g 1 (p(t),π,t) Questa è di solito assai pù complicata da calcolare in quanto richiede l inversione di funzioni non lineari.

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 17 Analogamente è possibile esprimere le velocità ṙ(t) del corpo rigido in funzione delle velocità q(t), mediante la funzione cinematica diretta delle velocità: ṙ(t) d dt g r(q(t),π,t) = J r (q(t),π) dq(t) dt + g r(q(t),π,t) t dove la matrice J r prende il nome di matrice Jacobiana o jacobiano lineare ed è definita nel modo seguente [ ] gi (q(t),π) J r (q(t),π) = q j (t) Quando i vincoli non dipendono esplicitamente dal tempo, avremo la forma semplificata ṙ(t) = J r (q(t),π) dq(t) = J r (q(t),π) q(t) dt Se la matrice Jacobiana è quadrata e ha rango pieno, possiamo invertire questo sistema di equazioni e ottenere la funzione cinematica inversa delle velocità q(t) = J r (q(t),π) 1 ṙ(t) Osserviamo che queste ultime due funzioni cinematiche sono lineari, nel senso che la relazione tra le velocità generalizzate e le velocità dei punti è ottenuta attraverso il prodotto della matrice Jacobiana o della sua inversa. Va anche osservato che lo jacobiano non è, in generale, una matrice costante, in quanto varia nel tempo al variare delle coordinate generalizzate q i (t). In modo del tutto analogo possiamo procedere considerando le variabili di assetto. La funzione cinematica diretta delle velocità angolari sarà: α(t) d dt g α(q(t),π,t) = J α (q(t),π) dq(t) dt + g α(q(t),π,t) t Di solito, se α ha come componenti degli angoli (Eulero, RPY ecc.), la velocità α la indichiamo con il simbolo ω e l accelerazione α con il simbolo ω. Nel Paragrafo successivo preciseremo meglio alcune questioni che riguardano la rappresentazione di queste velocità angolari. Ora, considerando insieme le velocità lineari e angolari, definiamo il vettore (ṙ(t) ) ( ) v(t) ṗ(t) = (39) α(t) ω(t) che spesso nella letteratura scientifica prende il nome di twist. Possiamo quindi scrivere in forma compatta la cinematica delle velocità generalizzate: ṗ(t) d g(q(t),π,t) = J(q(t),π)dq(t) + g(q(t),π,t) dt dt t (4) dove ora lo jacobiano J è la matrice composta dalle due matrici jacobiane J r e J α ( ) Jr (q(t),π) J(q(t),π) =. (41) J α (q(t),π)

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 18 Il numero di righe è pari al numero di variabili cinematiche, che in generale è uguale a 6, mentre il numero di colonne vale n, ossia il numero di coordinate generalizzate q i. Questa matrice si può dunque invertire solo quando n = 6 e il rango è pieno (jacobiano non singolare). In tale caso, se le equazioni della cinematica non dipendono direttamente anche dal tempo, avremo: q(t) = J(q(t),π) 1 ṗ(t). (42) Da ultimo va fatto notare che, essendo lo jacobiano funzione delle variabili generalizzate, potrebbero esistere dei casi in cui la matrice Jacobiana inversa diventa singolare al variare delle q i (t); si dice allora che si ha una singolarità cinematica. Esula dagli obbiettivi di questi appunti la trattazione dei casi di singolarità cinematica. 5.1 Trasformazioni tra velocità angolari Supponiamo ora che p (t) indichi la posizione e l assetto di un particolare riferimento sul corpo rigido, identificato dal sistema R P rispetto al riferimento fisso R e che l assetto sia dato dagli angoli di Eulero α E = ( φ θ ψ ) T : x 1 (t) p(t) = ( ) x(t) = α E (t) x 2 (t) x 3 (t) φ(t) θ(t) ψ(t) (43) Derivando rispetto al tempo, otteniamo: ṗ(t) = ( ) v(t) = ω E (t) ẋ 1 (t) ẋ 2 (t) ẋ 3 (t) φ(t) θ(t) ψ(t) (44) Occorre osservare che la velocità angolare euleriana ω E (t), pur definendo una velocità angolare tra R P e R, ha le sue componenti descritte nella base ( b φ b θ b ψ ) T, dove b φ, b θ e b ψ sono i versori che individuano gli assi intorno ai quali avvengono le rotazioni di Eulero, espressi nel sistema di riferimento R. Se rappresentiamo b φ, b θ e b ψ rispetto ad R, poiché le velocità angolari sono vettori, potremo sommarne i contributi e trasformare la velocità angolare euleriana ω E (t) nella velocità angolare cartesiana nel modo seguente ω(t) = b φ φ + bθ θ + bψ ψ, (45) rappresentandola nello stesso riferimento in cui è rappresentata la velocità lineare v e quindi potremo usarla senza ambiguità in formule quali, ad esempio, ṗ (t) = v(t) + ω(t) r, mentre questo non sarebbe possibile usando la velocità euleriana, a causa dei sistemi di riferimento non congruenti.

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 19 Esprimendo b φ, b θ, b ψ nel riferimento R avremo: b φ =, cos φ(t) b θ = sin φ(t), sinφ(t)sin θ(t) b ψ = cos φ(t)sin θ(t) (46) 1 cos θ(t) Possiamo ora definire la trasformazione lineare da ω E (t) a ω(t), φ ω(t) = M E (t) θ = M E (t)ω E (t) (47) ψ rappresentata dalla matrice cos φ(t) sin φ(t) sin θ(t) M E (t) = sin φ(t) cos φ(t)sin θ(t). (48) 1 cos θ(t) Va notato che M E non è una matrice ortogonale, dipende da due soli angoli φ(t) e θ(t) varianti nel tempo, che può cadere di rango per particolari valori di questi ultimi, ad esempio, φ = 9, θ =. Un discorso analogo si può fare quando si usano gli angoli RPY per definire l assetto in p(t): x 1 (t) p(t) = Derivando rispetto al tempo, otteniamo: ṗ(t) = ( ) x(t) = α RPY (t) ( ) v(t) = ω RPY (t) x 2 (t) x 3 (t) θ x (t) θ y (t) θ z (t) ẋ 1 (t) ẋ 2 (t) ẋ 3 (t) θ x (t) θ y (t) θ z (t) La velocità angolare ω RPY (t), ha le sue componenti descritte nella base ( b x b y ) T, b z dove b x, b y e b z sono i versori che individuano gli assi intorno ai quali avvengono le rotazioni di RPY, espressi nel sistema di riferimento R. Avremo: cos θ z (t)cos θ y (t) b x = sin θ z (t)cos θ y (t), sin θ z (t) b y = cos θ z (t), b z = (51) sin θ y 1 Possiamo ora definire la trasformazione lineare da ω RPY (t) a ω (t): (49) (5) ω (t) = M RPY (t)ω RPY (t) (52)

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 2 rappresentata dalla matrice cos θ z (t)cos θ y (t) sin θ z (t) M RPY (t) = sinθ z (t)cos θ y (t) cos θ z (t). (53) s y 1 Osserviamo che, per angoli piccoli, vale c i 1, s i e quindi M RPY I; in questo caso risulta ω(t) ω RPY (t). 6 Equazioni di Lagrange per sistemi meccanici Il procedimento per scrivere le equazioni dinamiche, secondo l approccio di Lagrange, si basa sulla definizione delle energie cinetica e potenziale totali del corpo rigido o del multicorpo. Il metodo delle equazioni di Lagrange presenta alcuni vantaggi rispetto al metodo di Newton-Eulero permette di scrivere n equazioni differenziali scalari del second ordine direttamente nelle variabili generalizzate q i e q i, da cui è più agevole risalire alla formulazione in variabili di stato, che non usando le equazioni di Newton-Eulero; se sono presenti vincoli solo olonomi, nelle equazioni non appaiono le forze vincolari; se da una parte questo è assai utile quando si voglia calcolare la dinamica, in problemi di simulazione o di controllo, può essere utile, in altri contesti, poter risalire al valore delle forze vincolari. Vedremo in un Paragrafo successivo che ciò è possibile e come ottenerlo; le energie cinetiche e/o potenziali sono indipendenti dal sistema di riferimento usato per rappresentare la cinematica del multicorpo; le energie cinetiche e/o potenziali sono additive: in un multicorpo, l energia totale è la somma delle energie dei singoli corpi rigidi che lo compongono. Definiremo ora in modo formale l energia cinetica e l energia potenziale. 6.1 Energia cinetica 6.1.1 Particella elementare L energia cinetica di una particella è il lavoro necessario a incrementare il momento della quantità di moto da a h, ossia C(h) = Il lavoro infinitesimo sulla particella vale h dw dw = f dr

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 21 dove f è la risultante delle forze applicate alla particella e dr l incremento infinitesimo di posizione. Considerando l espressione che lega forza a derivata della quantità di moto si ricava il valore dell energia cinetica come segue: e quindi dw = f dr = dh dt C(h) = dr = dh dt h vdt = v dh v dh (54) L energia cinetica è una funzione (scalare) di stato della particella, nel senso che essa dipende solo dalle variabili di stato associate alla particella (v e h). È possibile definire un altra funzione di stato della particella, che chiameremo coenergia cinetica, data dalla relazione Tra le due energie esiste la relazione C (v) = v C (v) = h v C(h) h dv (55) che è un esempio di trasformazione di Legendre. In particolare, se la particella è newtoniana, ovvero h = mv avremo C(h) = C (v) = h v 1 m h dh = 1 2m h h = 1 2m h 2 mv dv = 1 2 mv v = 1 2 m v 2 (56) da cui si deduce che per questo tipo di particelle l energia e la coenergia cinetica sono uguali. Ciò non accade per particelle di tipo relativistico. Concludiamo questo Paragrafo facendo osservare che nella maggioranza dei libri di testo relativi alla meccanica analitica, l energia cinetica viene indicata con il simbolo T; osserviamo pure che in generale, essendo l energia cinetica funzione delle coordinate e delle velocità generalizzate, si scriverà C(q, q) oppure T(q, q). 6.1.2 Corpo rigido esteso La coenergia cinetica di un corpo rigido esteso vale C (v) = 1 v v dm 2 dove v è la velocità assoluta di ogni punto del corpo e l integrale avviene sull intero corpo. Se facciamo riferimento ad assi corpo fissati in una qualche origine O, quando il punto O è fisso, avremo B C (v) = 1 2 ωt Γ o ω

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 22 dove Γ o è il momento d inerzia del corpo rispetto al punto O. Quando come O scegliamo il centro di massa del corpo, avremo C (v) = 1 2 mv c v c + 1 2 ωt Γ c ω = 1 2 [ v T c (mi)v c + ω T Γ c ω ] dove Γ c è il momento d inerzia del corpo rispetto al centro di massa C e v c è la velocità del centro di massa. 6.1.3 Sistemi naturali Un sistema composto da N particelle elementari, ciascuna definita dalla posizione r i (q(t)) e dalla velocità i=1 v i (q(t)) ṙ i (q(t)) = i=1 r=i s=1 n k=1 r i q k q k + r i t, possiede un energia cinetica definita dalla seguente relazione [ C = 1 N m i ṙ i ṙ i = 1 N n n r i r i q r q s + 2 r n i 2 2 q r q s t Introducendo i coefficienti α rs = β r = γ = 1 2 N i=1 N i=1 m i r i q r r i q s m i r i t r i q r N i=1 possiamo scrivere l energia cinetica nella forma dove r i m i t r i t r=i r i q r + r i q r t r i t C = C 2 + C 1 + C (57) C 2 = 1 2 C 1 = C = γ n r=i s=1 n β r q r r=i n α rs q r q s Un sistema per il quale le coordinate r i non sono funzioni esplicite del tempo, il campo delle forze è conservativo e non vi sono vincoli, ha l energia cinetica che può essere espressa semplicemente come una forma quadratica, ossia C = C 2 = 1 n n α rs q r q s 2 r=i s=1 ]

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 23 Tale sistema prende il nome di sistema naturale; al contrario, sistemi per i quali l energia cinetica assume la forma generale (57) prende il nome di sistema non naturale. In questi ultimi si osserva che il termine C si comporta come una specie di energia potenziale, che dà origine alle cosiddette forze centrifughe, proporzionali al quadrato delle velocità angolari, mentre il termine C 1 produce forze dette di Coriolis, proporzionali al prodotto tra due velocità. 6.2 Energia potenziale Una forza f è definita conservativa o potenziale, se essa è derivabile da una funzione (di posizione e scalare) potenziale P(x,y,z), ovvero ( P f = P = x P y ) T P (58) z Se tale funzione esiste, essa viene definita energia potenziale del sistema. Va osservato che, se tale funzione esiste, essa è unica a meno di una costante additiva. Questo implica che la dinamica dipende solo dalle variazioni di energia potenziale e non dal valore assoluto di questa. Quei sistemi dinamici per cui tutte le forze che compiono lavoro sono derivabili da una funzione potenziale si dicono sistemi conservativi. In un campo di forze conservativo l energia potenziale P si ricava integrando la (58), ossia r P(r) = f(r) dr (59) r dove il segno negativo stabilisce che l energia potenziale del corpo diminuisce se il campo di forze effettua lavoro sul corpo. Tipico esempio di campo di forze conservativo è il campo gravitazionale, che induce sul corpo le forze peso. L energia potenziale di un corpo di massa m dovuta al campo gravitazionale vale mg r c (6) dove g è il vettore di accelerazione gravitazionale e r c è il vettore che fornisce la posizione del centro di massa rispetto ad un piano ortogonale a g a cui convenzionalmente si assegna un livello nullo di energia potenziale e rispetto al quale si misura l incremento o il decremento di energia potenziale. Esiste un altro tipo di campo che produce energia potenziale; si tratta di quello prodotto da elementi elastici riconducibili a molle ideali. Questi elementi realizzano una relazione di proporzionalità tra elongazione e forza alle estremità; se si tratta di molle traslazionali avremo f = k m e mentre se si tratta di molle rotazionali avremo τ = k m α dove e e α sono, rispettivamente, l elongazione traslazionale e angolare dalle posizioni di riposo; k m e k m prendono il nome di costanti elastiche.

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 24 Possono esistere anche relazioni non lineari tra elongazione e forza, del tipo f = k m (e) e τ = k m(α) α In questi casi si parla di molle non lineari. In questo caso l energia potenziale vale oppure P(e) = P(α) = e α f de τ dα Si possono definire anche in questo caso le coenergie, rispettivamente come oppure P (f) = P (τ) = f τ e df α dτ Nel caso di molle lineari con costante elastica k, le energie e le coenergie potenziali coincidono e sono pari a P(e) = 1 2 et (ki)e = 1 2 k e 2 e P(τ) = 1 2 αt (ki)α = 1 2 k α 2 Concludiamo questo Paragrafo facendo osservare che nella maggioranza dei libri di testo relativi alla meccanica analitica, l energia potenziale viene indicata con il simbolo V ; osserviamo pure che in generale, essendo l energia potenziale funzione delle coordinate generalizzate, si scriverà P(q) oppure V (q). 6.3 Forze generalizzate nei sistemi olonomi Supponiamo di avere un sistema composto da N masse elementari soggetto a soli vincoli olonomi. Le forze f i agenti sulla i-esima particella possono essere suddivise in tre categorie Forze f nc i non conservative. Forze f c i dovute a un campo conservativo. Forze f v i dovute alle reazioni vincolari. Ipotizzando vincoli olonomi, ideali e privi di attrito, gli spostamenti virtuali ammissibili sono sempre tangenti a questi, mentre le forze vincolari sono sempre perpendicolari a questi: in tal modo risulta sempre f v i dr i = : le forze vincolari non compiono lavoro.

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 25 Le forze conservative invece sviluppano un lavoro che, considerando la (58), risulta essere δw c = f c i δr i = P i δr i = N i=1 N i=1 N n P i r i δq j = q j i=1 j=1 n N P i r i δq j (61) q i=1 j }{{} forza generalizzata Da ultime, le forze non conservative f nc i sviluppano un lavoro sul sistema pari a N N n δw nc = f nc i δr i = f nc i r i n N δq j = f nc i r i δq j (62) q i=1 i=1 j=1 j q j=1 i=1 j }{{} forza generalizzata I termini evidenziati nelle due precedenti equazioni prendono il nome di forze generalizzata F j. In particolare j-esima forza generalizzate conservativa: N i=1 j=1 Fj c = P i r i q j j-esima forza generalizzate non conservativa: N Fj nc = i=1 f nc i r i q j dove N è il numero di forze di tipo conservativo e N è il numero di forze di tipo non conservativo. La forza generalizzata, essendo il risultato di un prodotto scalare, è essa stessa uno scalare. Nel caso di corpo rigido o sistema multicorpo, dove siano presenti anche momenti torcenti, le forze generalizzate dovute a questi saranno pari a F c j = n i=1 P i α i q j ; F nc j = n i=1 τ nc i α i q j 6.4 Equazioni di Lagrange con vincoli olonomi In sistemi multicorpo con vincoli solo olonomi, la formulazione di Lagrange assume molte forme, dalla più generale a quelle che descrivono casi particolari. Le vedremo brevemente una dopo l altra.

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 26 Avendo definito con C(q, q) l energia cinetica del corpo, funzione delle coordinate e velocità generalizzate, si scrivono tante equazioni differenziale scalari quante sono le coordinate generalizzate: d dt ( C q i ) C q i = F i i = 1,...,n (63) dove il termine F i rappresenta il modulo della i-esima forza generalizzata, con segno positivo se applicata dall ambiente esterno al corpo, con segno negativo se applicata dal corpo all ambiente esterno. Ricordiamo infatti che le forze generalizzate nascono utilizzando il principio dei lavori virtuali; il lavoro può essere compiuto dall ambiente esterno sul corpo o dal corpo sull ambiente esterno. Nei due casi il segno sarà opposto. È convenzione assumere con segno positivo il lavoro fatto sul corpo. Le forze generalizzate che consideriamo nell espressione (63) sono sia quelle non conservative sia quelle conservative. Possiamo ricordare l espressione (61) e scrivere una seconda forma delle equazioni di Lagrange: d dt ( L q i ) L q i = F nc i (64) dove è stata introdotta la funzione di Lagrange che rappresenta la differenza tra l energia cinetica C e l energia potenziale P: L(q, q) = C (q, q) P(q) (65) Il termine L prende il nome di momento generalizzato e si indica con il simbolo q i µ i (q(t)); il vettore dei momenti generalizzati viene indicato con µ(q(t)). Se si volesse considerare separatamente le forze generalizzate dovute a fenomeni di attrito fi attr, considerando che l attrito rappresenta un energia dissipata dal corpo, l equazione di Lagrange diventerebbe: d dt ( L q i ) L q i = F i f attr i (66) Spesso l attrito è dovuto a semplici fenomeni di dissipazione e la forza fi attr risulta essere la derivata di una funzione di dissipazione, detta funzione di Rayleigh che vale: D i ( q) = 1 2 qt (β i I) q = 1 2 β i q 2 (67) dove il coefficiente β i prende il nome di coefficiente di attrito viscoso. In tali casi potremmo scrivere la (66) come ( ) d L L + D i = F i (68) dt q i q i q i 6.5 Equazioni di Lagrange e vincoli anolonomi L approccio lagrangiano presenta il vantaggio di permettere la scrittura delle equazioni dinamiche del moto a partire dalle coordinate generalizzate.

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 27 È quindi necessario solo un insieme minimo di n equazioni dinamiche, e questo deriva dal fatto che le forze vincolari non producono lavoro in corrispondenza degli spostamenti virtuali compatibili con i vincoli geometrici. Le forze di vincolo non compaiono mai nelle equazioni. I sistemi olonomi appaiono essere descritti da un insieme di coordinate generalizzate indipendenti, senza vincoli. Di converso, i sistemi con vincoli anolonomi non possono essere ridotti a essere descritti da coordinate generalizzate indipendenti. Le equazioni debbono essere aumentate dalla descrizione dei vincoli; nel fare ciò si ha la comparsa delle forze di vincolo. È possibile, se il problema lo richiede, fa apparire le forze di vincolo anche nei sistemi con vincoli olonomi; per fare questo, basta considerare che i vincoli geometrici sono iper-superfici nello spazio delle configurazioni; i vincoli geometrici vengono fatti rispettare da opportune forze/coppie, dette, come già più volte sottolineato, forze vincolari; in ogni istante le forze vincolari sono ortogonali alle iper-superfici descritte dai vincoli. Quindi i vincoli olonomi sono tradotti in forze vincolari generalizzate che vengono aggiunte a quelle non vincolari presenti. Sfortunatamente le prime non possono essere calcolate a priori perché dipendono dal moto e quindi bisogna aver prima risolto le equazioni differenziali. Tuttavia si può ricorrere ad un artificio, creando delle ulteriori coordinate, che hanno lo scopo di rappresentare la violazione dei vincoli: esse sono nulle quando i vincoli sono rispettati, altrimenti sono positive o negative, secondo una certa convenzione. Queste coordinate vengono chiamate coordinate superflue e le forze generalizzate ad esse associate sono proprio le forze vincolari. Se l insieme delle coordinate generalizzate originarie e delle coordinate superflue è considerato indipendente, allora le equazioni dinamiche risultanti conterranno le forze vincolari; queste appariranno soltanto nelle equazioni relative alle coordinate superflue. Risolvendo le equazioni del moto e ponendo ad un valore costante le coordinate superflue, si potranno calcolare le forze vincolari. Per quanto riguarda invece i vincoli anolonomi, si procede introducendo i cosiddetti moltiplicatori di Lagrange (o moltiplicatori lagrangiani). Supponiamo che un sistema con n coordinate generalizzate q i sia vincolato da un vincolo anolonomo del tipo a 1 dq 1 + a 2 dq 2 + + a n dq n + a dt = Poiché risulta sempre δt =, l equazione di vincolo espressa in spostamenti virtuali diventa a 1 δq 1 + a 2 δq 2 + + a n δq n = (69) che si scrive in forma vettoriale come a T δq =

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 28 Questa relazione stabilisce che gli spostamenti virtuali sono ortogonali al vettore a, che quindi è allineato con le forze vincolari. Quindi, avendo stabilito che le forze vincolari e il vettore a sono proporzionali, chiamiamo questa costante di proporzionalità λ(t). La forza generalizzata totale relativa alla coordinata q i sarà la somma delle forze generalizzate esterne e di quelle vincolari, ossia F i + λa i L equazione di Lagrange relativa alla k-esima coordinata generalizzata diventerà ora: ( ) d L L = F i + λa i (7) dt q i q i L equazione (69) insieme con la (7), dà luogo a n + 1 equazioni in n + 1 incognite, tra cui vi è il moltiplicatore lagrangiano λ(t). Quando queste equazioni sono risolte, si ottiene pure la forza di reazione al vincolo λ(t)a i. Supponiamo ora che il sistema sia sottoposto a m a vincoli anolonomi, il k-esimo dei quali valga: a k1 q 1 + a k2 q 2 + + a kn q n + a k = ; k = 1,...,m a ossia a k1 dq 1 + a k2 dq 2 + + a kn dq n + a k dt = con k = 1,...,m a Ogni a ki può essere a sua volta funzione delle coordinate generalizzate e del tempo; introduciamo per ciascuno di questi vincoli un moltiplicatore di Lagrange λ k (t). Sarà necessaria una forza vincolare per far rispettare ciascun vincolo e, come detto sopra, questa avrà una forma del tipo m a λ k (t)a ki per cui la forza generalizzata totale relativa alla i-esima coordinata sarà F tot k=1 m a i = F i + λ k (t)a ki L equazione di Lagrange relativa alla i-esima coordinata diventa quindi d dt che in forma vettoriale diventa k=1 ( ) L L m a = F i + λ k (t)a ki q i q i d dt k=1 ( ) L L q q = F + AT λ (71) dove A = a 11... a 1n. a ij... a ma1... a man R ma n ; λ = λ 1.. λ ma R ma 1

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 29 Questa equazione insieme alle equazioni di vincolo anolonomo A q + a = costituiscono un sistema di n+m a equazioni in n+m a incognite, che deve essere risolto simultaneamente per ricavare le n coordinate generalizzate q e gli m a lagrangiani λ. Successivamente sarà possibile ricavarsi le m a forze di vincolo come F v = A T λ. Si può notare che questo metodo può essere usato anche per trovare le forze dei m o vincoli olonomi, che si esprimono come f k (q) =, k = 1,...,m o ponendo f 1... q 1 A =. f mo... q 1 f 1 q n f i q j... f mo q n ; e a = f 1 t.. f mo t 6.6 Equazioni differenziali risultanti Avendo definito l insieme delle coordinate generalizzate q(t) R n e delle rispettive velocità generalizzate q(t) R n, nell ipotesi che i vincoli siano tutti olonomi, abbiamo visto che il metodo di Lagrange porta a scrivere n equazioni differenziali del tipo ( C ) d C = F i i = 1,...,n dt q i q i Sappiamo che d ( ) C farà apparire nelle equazioni termini proporzionali al- dt q i le derivate seconde q(t) e analogamente saranno presenti termini proporzionali alle derivate prime q(t) e alle coordinate q(t). In conclusione, raccogliendo le n equazioni in un unica equazione vettoriale, potremo avere equazioni lineari o non lineari, come nel caso dei manipolatori robotici. Nel caso di equazioni lineari o per piccole perturbazioni delle coordinate generalizzate intorno a posizioni di equilibrio, avremo una formulazione lineare, che nel caso più generale assume la forma seguente A 1 q(t) + A 2 q(t) + A 3 q(t) = F (72) dove F è il vettore delle forze generalizzate. Le tre matrici A i R n n avranno significati diversi in relazione ai diversi problemi affrontati; alcuni problemi saranno modellabili con matrici i cui elementi sono funzione delle coordinate o delle velocità generalizzate; in altri casi queste matrici potrebbero essere costanti. Gli eventuali termini dovuti al campo gravitazionale possono

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 3 apparire nel lato sinistro dell equazione, ed allora si dovrà aggiungere un vettore colonna g(q(t)) al termine A 3 q(t). Possiamo anche supporre che i termini gravitazionali siano inclusi tra le F al secondo termine dell equazione. Considerando che una delle proprietà basilari delle matrici quadrate consente di decomporre la generica A R n n nel modo seguente A = A s + A as dove A s è una matrice simmetrica A s = A T s e A as è una matrice antisimmetrica A as = A T as. Possiamo dunque riscrivere la (72) nel modo seguente dove M = M T D = D T G = G T K = K T H = H T M q(t) + (D + G) q(t) + (K + H)q(t) = F (73) matrice di massa o inerzia, sempre simmetrica matrice di smorzamento viscoso matrice giroscopica matrice di rigidezza o di elasticità matrice circolatoria (smorzamento vincolato) Alcune di queste matrici possono a loro volta essere funzione delle coordinate o delle velocità generalizzate, come per le catene cinematiche dei robot, in cui M = M(q(t)) Non tutti questi termini sono sempre presenti nelle equazioni di sistemi multicorpo. I casi più comuni sono: 1. I cosiddetti sistemi conservativi per i quali si ha l equazione dinamica seguente M q(t) + Kq(t) = F dove M e K sono, oltre che simmetriche, anche definite positive. 2. I sistemi per cui si ha M q(t) + G q(t) + Kq(t) = F (74) Essi sono sempre conservativi, nel senso che l energia viene conservata, ma vengono chiamati sistemi conservativi giroscopici oppure sistemi giroscopici non smorzati. Questi comportamenti nascono nei casi in cui si abbiano moti di rotazione, come nei giroscopi o nei satelliti. 3. Sistemi della forma M q(t) + D q(t) + Kq(t) = F dove M, D e K sono, oltre che simmetriche, anche definite positive, vengono definiti sistemi non giroscopici smorzati e talvolta sistemi conservativi smorzati, anche se non conservano l energia che viene dissipata nell attrito viscoso. Sistemi con matrici simmetriche definite positive vengono talora chiamati sistemi passivi; vedremo più avanti una definizione più precisa di tali sistemi.

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 31 4. Sistemi della forma sono detti sistemi circolatori. 5. I sistemi di forma più generale M q(t) + (K + H)q(t) = F M q(t) + D q(t) + (K + H)q(t) = F si ottengono spesso nel modellare alberi rotanti dove esiste una funzione di dissipazione detta constraint damping, oltre che la consueta dissipazione dovuta a fenomeni esterni. Nel caso di catene cinematiche composte da n bracci rigidi, come sono i robot industriali, si ha un equazione matriciale non lineare del tipo M(q(t)) q(t) + C(q(t), q(t)) q(t) + g(q(t)) = F (75) dove M(q(t)) è la matrice di massa o di inerzia della catena cinematica, funzione della configurazione istantanea della stessa, C(q(t), q(t)) q(t) rappresenta le coppie di Coriolis e g(q(t)) rappresenta le coppie gravitazionali. 7 Equazioni di Lagrange per sistemi elettromagnetici Le equazioni di Lagrange possono essere applicate anche ai sistemi elettromagnetici, a condizione di individuare correttamente le coordinate e le velocità generalizzate, come pure le energie cinetica e potenziale dei vari elementi che compongono questi sistemi. Va subito detto che nei sistemi elettromagnetici tutti i vincoli sono di tipo olonomo e quindi non è necessario introdurre i moltiplicatori di Lagrange descritti al Paragrafo 6.5. L analogo di un sistema multicorpo è una struttura circuitale che connette tra loro diverse componenti elementari di tipo elettrico o magnetico, passive o attive. Le leggi fondamentali che permettono di descrivere la dinamica di un sistema elettromagnetico sono essenzialmente le equazioni di Kirchhoff ai nodi o alle maglie, che possono essere viste come l analogo delle equazioni di Newton e di Eulero per il corpo rigido. 7.1 Componenti elementari di un sistema elettromagnetico Distingueremo tra elementi passivi (che non generano energia) ed elementi attivi (che, utilizzando sorgenti esterne o altre forme di energia, possono produrre energia elettrica). 7.1.1 Elementi passivi nei circuiti elettrici Gli elementi passivi di un circuito elettrico sono l induttore, il condensatore e il resistore.

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 32 Induttore L induttore è uno speciale circuito magnetico, che sfrutta la legge di Lenz dell auto-induzione. Allo scopo di definire meglio il concetto, introduciamo il caso generale, schematizzato in Fig. 3. L intensità del campo magnetico H e la densità di flusso magnetico B soddisfano le due equazioni seguenti roth = H = J (76) e divb = B = (77) dove J è la densità di corrente negli avvolgimenti. La relazione tra i due campi vettoriali è data da B = µh dove µ è la permeabilità magnetica, una costante che dipende dal materiale del circuito magnetico, secondo la seguente relazione µ = (1 + χ m )µ in cui µ è la permeabilità magnetica dell aria. Il circuito magnetico ha una lunghezza pari a l + h e una sezione costante pari a S. Esso presenta un piccolo traferro in aria di lunghezza h; gli avvolgimenti sono in numero di N e in essi scorre la corrente i. Integrando la (76) otteniamo H dσ = Ni = F (78) dove abbiamo introdotto la forza magnetomotrice F = Ni; dσ è la lunghezza differenziale tangente al cammino di integrazione, che è indicato con la linea tratteggiata nella Fig. 3. Il flusso magnetico Φ vale Φ = BS. avendo indicato B = B. Il materiale magnetico ha una permeabilità µ molto maggiore di quella dell aria e il flusso Φ segue il cammino chiuso indicato dalla linea tratteggiata, la cui lunghezza vale l + h, essendo l la lunghezza del percorso nel materiale magnetico. L equazione (77) significa che il flusso Φ è lo stesso per ogni sezione del circuito magnetico e del traferro in aria. Quindi siamo in presenza di un circuito magnetico in cui una forza magnetomotrice Ni genera nel circuito un flusso magnetico Φ. Il campo H ha un intensità diversa nel materiale magnetico e nel traferro: nel primo caso vale H m = B, nel secondo µ H a = B µ. Utilizzando la (78), avremo ( l Ni = H m l + H a h = µ + h ) ( l B = µ µ + h ) Φ µ S

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 33 Il circuito magnetico possiede una riluttanza magnetica R definita dal rapporto tra forza magnetomotrice e flusso, ossia dove possiamo calcolare la riluttanza come ( 1 l S µ + h ) h µ µ S essendo µ µ. Definiamo ora il flusso concatenato come e, dalla (79) avremo Ni = RΦ (79) λ = NΦ λ = N2 i R = λ(i) Nei casi lineari, il circuito è schematizzabile come in Fig. 4 e il flusso concatenato è proporzionale alla corrente λ(t) = Li(t) e la costante L = µ N 2 S h prende il nome di (auto-)induttanza del bipolo. Ai capi del bipolo si instaura una differenza di potenziale e che vale e(t) = dλ(i) dt e, nei casi lineari e(t) = L di(t) dt Figura 3: circuito magnetico ideale.

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 34 i(t) e(t) + L i(t) (8,i) W * m W m 8(t) a) b) Figura 4: a) induttore ideale; b) relazione tra corrente i(t) e flusso concatenato λ(t) nel capacitore. Capacitore Il condensatore, illustrato in Fig. 5, è un bipolo passivo in cui la differenza di potenziale e(t) è funzione della carica elettrica accumulata q(t), secondo la relazione e = e(q(t)); o viceversa Nei casi lineari si ha oppure q = q(e(t)). q(t) = Ce(t) e(t) = 1 C q(t) e la costante C prende il nome di capacità del bipolo. Attraverso il bipolo passa una corrente i che vale i(t) = dq(e) dt e, nei casi lineari i(t) = C de(t) dt Resistore Il resistore, illustrato in Fig. 6, è un bipolo passivo di tipo puramente dissipativo in cui la legge che lega la tensione ai capi con la corrente che lo percorre è data dalla relazione e(t) = R(i(t)) Se il resistore è lineare, tale legge diventa la legge di Ohm e il parametro R viene detto resistenza. e(t) = Ri(t)

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 35 i(t) + e(t) W * e (q,e) e(t) C W e a) b) q(t) Figura 5: a) capacitore ideale; b) relazione tra tensione e(t) e carica q(t) nel capacitore. i(t) + i(t) e(t) R a) b) e(t) Figura 6: a) resistore ideale; b) relazione tra corrente i(t) e tensione e(t) nel resistore. 7.1.2 Elementi attivi nei circuiti elettrici Gli elementi attivi sono il generatore ideale di tensione, il generatore ideale di corrente e l amplificatore operazionale. Questi elementi sono in grado di creare potenza elettrica P(t) = e(t)i(t) ed erogarla agli elementi passivi. Convenzionalmente si assume positiva la potenza uscente dai generatori ideali e entrante negli elementi passivi Generatore ideale di corrente (illustrato in Fig. 7) è un elemento attivo che fornisce una corrente I(t) indipendentemente dalla tensione ai suoi capi. La potenza erogata vale P(t) = I(t)e(t). Generatore ideale di tensione (illustrato in Fig. 8) è un elemento attivo che fornisce una differenza di potenziale E(t) ai suoi capi indipendentemente dalla corrente erogata.

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 36 + I(t) e(t) Figura 7: generatore ideale di corrente. La potenza erogata vale P(t) = i(t)e(t). + i(t) E(t) Figura 8: generatore ideale di tensione. Amplificatore operazionale (illustrato in Fig. 9) è un elemento attivo che fornisce in uscita una tensione e (t) proporzionale alla differenza delle tensioni in ingresso e (t) = A(e + e ) dove A è detta costante di amplificazione. La potenza erogata vale P(t) = i (t)e (t).

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 37 i (t) e (t) i (t) i + (t) e (t)=a(e + - e ) e + (t) Figura 9: amplificatore ideale. 7.2 Coordinate generalizzate Per definire le coordinate e le velocità generalizzate nei circuiti elettromagnetici sono possibili due scelte: esse sono chiamate, rispettivamente, formulazione nelle variabili di carica, o formulazione in serie, e formulazione nelle variabili di flusso concatenato, o formulazione in parallelo; nel primo caso avremo variabili generalizzate di carica, nel secondo variabili generalizzate di flusso concatenato. Coordinate generalizzate di carica (vedi Fig. 1). Le coordinate generalizzate sono individuate dalle cariche q(t) sui condensatori, mentre le velocità generalizzate sono le correnti nei condensatori i(t) = dq(t). dt La tensione ai capi del condensatore (lineare) vale e(t) = 1 C q(t) Figura 1: coordinata generalizzata = carica sul condensatore (formulazione serie).