ANALISI MATEMATICA I MODULO, I e II MODULO, II MODULO CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA Prova scritta del 2 luglio 2004: soluzioni Data la funzione f() = 3 2 2 arctan + 0, si chiede di: a) calcolare il dominio di f; ( punto) b) studiare la positività e l intersezione con gli assi; (3 punti) c) stabilire se f ha asintoti orizzontali, verticali, obliqui; (+2+2=5 punti) d) calcolare f ; (3 punti) e) studiare la crescenza e la decrescenza di f. (2 punti) a) Il dominio della nostra funzione è R \ {0} =], 0[ ]0, + [. b) L arcotangente di un qualsiasi numero assume sempre valori strettamente minori di 5 e maggiori di 5, e quindi la somma del secondo e del terzo addendo della nostra funzione è sempre positiva. Inoltre il primo addendo è sempre positivo (infatti 0), e pertanto la funzione data è sempre positiva, e dunque non esistono intersezioni con l asse. Inoltre 0 non appartiene al campo di esistenza di f, e quindi il grafico di f non ammette intersezioni con l asse delle y. c) Per quanto riguarda gli asintoti orizzontali, osserviamo che lim f() = + 0 + 0 = +. ± Quindi non esistono asintoti orizzontali. Vediamo ora quelli obliqui. Si ha: lim ± f() = lim ± = ± + 0 = ±. 3 2 arctan + 0 Dunque non esistono asintoti obliqui. Veniamo a quelli verticali. Si ha: e pertanto f non ammette asintoti verticali. lim f() = π + 0, 0±
d) Ricordiamo che: f() = 3 3 2 arctan + 0, > 0; f() = 3 3 2 arctan + 0, < 0. Si ha, per > 0: mentre per < 0 si ha: f () = 2 + 2 2 + 2 = 2 + 2 2 + = 2 ( 2 + ) + 2 2 + f () = 2 + 2 2 + 2 = 2 + 2 2 + = 2 ( 2 + ) + 2 2 + = 4 + 2 + 2 2, + = 4 2 + 2 2. + e) Dobbiamo studiare il segno della derivata prima. Iniziamo dapprima dal caso > 0. Essa è positiva se e solo se il trinomio 4 + 2 + 2 è positivo. Poniamo 2 = t e studiamo il trinomio t 2 + t + 2. Il suo discriminante è uguale a 8 = 7 < 0, e quindi il trinomio in questione è sempre positivo. Pertanto, per > 0, f è sempre positiva e quindi f è sempre crescente. Vediamo ora il caso < 0. La derivata prima è positiva se e solo se il trinomio 4 + 2 2 è negativo. Poniamo 2 = t e studiamo il trinomio t 2 + t 2. Si ha: t,2 = ± + 8 2 = ± 3, 2 e quindi t =, t 2 = 2. Quindi t 2 + t 2 = (t + 2)(t ), e di conseguenza 4 + 2 2 = ( 2 + 2)( 2 ) = ( 2 + 2)( )( + ). Pertanto il trinomio 4 + 2 2 è negativo se e solo se ], [. Siccome in questo caso < 0, allora f è positiva per < < 0 e negativa per <. Quindi f è decrescente in ], ], crescente in [, 0[, e il punto = è un punto di minimo relativo. Data la funzione f() = 3 2 + 2 arctan + 0, si chiede di: a) calcolare il dominio di f; ( punto)
b) studiare la positività e l intersezione con gli assi; (3 punti) c) stabilire se f ha asintoti orizzontali, verticali, obliqui; (+2+2=5 punti) d) calcolare f ; (3 punti) e) studiare la crescenza e la decrescenza di f. (2 punti) a) Il dominio della nostra funzione è R \ {0} =], 0[ ]0, + [. b) L arcotangente di un qualsiasi numero assume sempre valori strettamente minori di 5 e maggiori di 5, e quindi la somma del secondo e del terzo addendo della nostra funzione è sempre positiva. Inoltre il primo addendo è sempre positivo (infatti 0), e pertanto la funzione data è sempre positiva, e dunque non esistono intersezioni con l asse. Inoltre 0 non appartiene al campo di esistenza di f, e quindi il grafico di f non ammette intersezioni con l asse delle y. c) Per quanto riguarda gli asintoti orizzontali, osserviamo che lim f() = + + 0 + 0 = +. ± Quindi non esistono asintoti orizzontali. Vediamo ora quelli obliqui. Si ha: lim ± f() = lim ± = ± + 0 = ±. 3 + 2 arctan + 0 Dunque non esistono asintoti obliqui. Veniamo a quelli verticali. Si ha: e pertanto f non ammette asintoti verticali. d) Ricordiamo che: lim f() = ±π + 0, 0± f() = 3 3 + 2 arctan + 0, > 0; Si ha, per > 0: f() = 3 3 + 2 arctan + 0, < 0. f () = 2 2 2 + 2 = 2 2 2 + = 2 ( 2 + ) 2 2 + = 4 + 2 2 2, +
mentre per < 0 si ha: f () = 2 2 2 + 2 = 2 2 2 + = 2 ( 2 + ) 2 2 + = 4 2 2 2. + e) Dobbiamo studiare il segno della derivata prima. Iniziamo dapprima dal caso < 0. Essa è positiva se e solo se il trinomio 4 + 2 +2 è negativo. Poniamo 2 = t e studiamo il trinomio t 2 + t + 2. Il suo discriminante è uguale a 8 = 7 < 0, e quindi il trinomio in questione è sempre positivo. Pertanto, per < 0, f è sempre negativa e quindi f è sempre decrescente. Vediamo ora il caso > 0. La derivata prima è positiva se e solo se il trinomio 4 + 2 2 è positivo. Poniamo 2 = t e studiamo il trinomio t 2 + t 2. Si ha: t,2 = ± + 8 2 = ± 3, 2 e quindi t =, t 2 = 2. Quindi t 2 + t 2 = (t + 2)(t ), e di conseguenza 4 + 2 2 = ( 2 + 2)( 2 ) = ( 2 + 2)( )( + ). Pertanto il trinomio 4 + 2 2 è negativo se e solo se ], [. Siccome in questo caso > 0, allora f è negativa per 0 < < e positiva per >. Quindi f è decrescente in ]0, ], crescente in [, + [, e il punto = è un punto di minimo relativo. Data la funzione f() = 3 2 + 2 arctan + 0, si chiede di: a) calcolare il dominio di f; ( punto) b) studiare la positività e l intersezione con gli assi; (3 punti) c) stabilire se f ha asintoti orizzontali, verticali, obliqui; (+2+2=5 punti) d) calcolare f ; (3 punti) e) studiare la crescenza e la decrescenza di f. (2 punti) Si ha: f() = 3 3 + 2 arctan + 0, > 0;
f() = 3 3 + 2 arctan + 0 = 3 3 2 arctan + 0, < 0, in quanto l arcotangente è una funzione dispari, ossia è: arctan( y) = arctan y y R. Visto il comportamento delle due funzioni precedentemente esaminate, si deduce dunque che: a) Il dominio della nostra funzione è R \ {0} =], 0[ ]0, + [. b) La nostra f è sempre positiva in tutto il suo campo di esistenza; non esistono intersezioni con l asse. Inoltre 0 non appartiene al campo di esistenza di f, e quindi il grafico di f non ammette intersezioni con l asse delle y. c) La nostra f non ha asintoti né orizzontali né verticali né obliqui. d) Ricordiamo che: f() = 3 3 + 2 arctan + 0, > 0; f() = 3 3 2 arctan + 0, < 0. Quindi, il calcolo della derivata è già stato effettuato, di fatto, nei due esercizi precedenti (lo studente è invitato a riprenderli in considerazione). e) Tenendo conto dei risultati ottenuti nei due esercizi precedenti, ha, per > 0: f è negativa per 0 < < ed <, mentre è positiva per > e per < < 0. Quindi f è decrescente in ]0, ] e in ], ], crescente in [, 0[ e in [, + [, e i punti = ed = sono due punti di minimo relativo. Data la funzione si chiede di: a) calcolare il dominio di f; ( punto) f() = 3 2 2 arctan + 0, b) studiare la positività e l intersezione con gli assi; (3 punti) c) stabilire se f ha asintoti orizzontali, verticali, obliqui; (+2+2=5 punti) d) calcolare f ; (3 punti) e) studiare la crescenza e la decrescenza di f. (2 punti)
Si ha: f() = 3 3 2 arctan + 0, > 0; f() = 3 3 2 arctan + 0 = 3 3 + 2 arctan + 0, < 0, in quanto l arcotangente è una funzione dispari, ossia è: che: arctan( y) = arctan y y R. Visto il comportamento delle due funzioni precedentemente esaminate, si deduce dunque a) Il dominio della nostra funzione è R \ {0} =], 0[ ]0, + [. b) La nostra f è sempre positiva in tutto il suo campo di esistenza; non esistono intersezioni con l asse. Inoltre 0 non appartiene al campo di esistenza di f, e quindi il grafico di f non ammette intersezioni con l asse delle y. c) La nostra f non ha asintoti né orizzontali né verticali né obliqui. d) Ricordiamo che: f() = 3 3 2 arctan + 0, > 0; f() = 3 3 + 2 arctan + 0, < 0. Quindi, il calcolo della derivata è già stato effettuato, di fatto, in alcuni esercizi precedenti (lo studente è invitato a riprenderli in considerazione). e) Tenendo conto dei risultati ottenuti precedentemente, si ottiene che f è positiva per > 0 e negativa per < 0, e pertanto f è crescente in ]0, + [ e decrescente in ], 0[. Sia f una qualsiasi delle prime quattro funzioni di questa lista. Studiare il comportamento della seguente serie, al variare di nel campo di esistenza di f (8 punti): n= (f()) n arctan n 3/7. Innanzi tutto, grazie agli esercizi precedenti, sappiamo che la nostra serie è ben definita ed è a termini positivi. Possiamo quindi applicare il criterio del confronto asintotico. Siccome (limite notevole) lim 0 arctan =,
allora il termine si comporta come arctan n 3/7 n 3/7. Quindi studiare la nostra serie equivale a studiare la serie n= (f()) n n 3/7. A quest ultima serie applichiamo il criterio del rapporto. Si ha: a n+ lim = lim (f())n+ (n+) 3/7 n a n n (f()) n n ( 3/7 ) n 3/7 = f() lim = f(). n n + Ora, per ogni appartenente al campo di esistenza di f, si ha: f() >. Infatti, poiché 0 ± arctan y > y R, segue che f() > per ogni 0. Pertanto la serie data diverge per ogni R \ {0}. Sia f una qualsiasi delle prime quattro funzioni di questa lista. Studiare il comportamento della seguente serie, al variare di nel campo di esistenza di f (8 punti): n= (f()) n tan n 4/9. Innanzi tutto, grazie agli esercizi precedenti, sappiamo che la nostra serie è ben definita ed è a termini positivi. Possiamo quindi applicare il criterio del confronto asintotico. Siccome (limite notevole) lim 0 tan =, allora il termine si comporta come tan n 4/9 n 4/9.
Quindi studiare la nostra serie equivale a studiare la serie (f()) n n 4/9. n= A quest ultima serie applichiamo il criterio del rapporto. Si ha: a n+ lim = lim (f())n+ (n+) 4/9 n a n n (f()) n n ( 4/9 ) n 4/9 = f() lim = f(). n n + Ora, per ogni appartenente al campo di esistenza di f, si ha: f() >. Infatti, poiché 0 ± arctan y > y R, segue che f() > per ogni 0. Pertanto la serie data diverge per ogni R \ {0}. Sia f una qualsiasi delle prime quattro funzioni di questa lista. Studiare il comportamento della seguente serie, al variare di nel campo di esistenza di f (8 punti): (f()) n sin n n= 5/. Innanzi tutto, grazie agli esercizi precedenti, sappiamo che la nostra serie è ben definita ed è a termini positivi. Possiamo quindi applicare il criterio del confronto asintotico. Siccome (limite notevole) lim 0 sin =, allora il termine sin n 5/ si comporta come n 5/. Quindi studiare la nostra serie equivale a studiare la serie (f()) n n 5/. n= A quest ultima serie applichiamo il criterio del rapporto. Si ha: a n+ lim = lim (f())n+ (n+) 5/ n a n n (f()) n n ( 5/ ) n 5/ = f() lim = f(). n n +
Ora, per ogni appartenente al campo di esistenza di f, si ha: f() >. Infatti, poiché 0 ± arctan y > y R, segue che f() > per ogni 0. Pertanto la serie data diverge per ogni R \ {0}. Sia f una qualsiasi delle prime quattro funzioni di questa lista. Studiare il comportamento della seguente serie, al variare di nel campo di esistenza di f (8 punti): (f()) n arctan n n= /3. Innanzi tutto, grazie agli esercizi precedenti, sappiamo che la nostra serie è ben definita ed è a termini positivi. Possiamo quindi applicare il criterio del confronto asintotico. Siccome (limite notevole) lim 0 arctan =, allora il termine si comporta come arctan n /3 n /3. Quindi studiare la nostra serie equivale a studiare la serie n= (f()) n n /3. A quest ultima serie applichiamo il criterio del rapporto. Si ha: a n+ lim = lim (f())n+ (n+) /3 n a n n (f()) n n ( /3 ) n /3 = f() lim = f(). n n + Ora, per ogni appartenente al campo di esistenza di f, si ha: f() >. Infatti, poiché 0 ± arctan y > y R, segue che f() > per ogni 0. Pertanto la serie data diverge per ogni R \ {0}. ESERCIZIO (8 punti) - Sia f come nel secondo esercizio di questa lista. a) Calcolare lim 0± f().
b) Calcolare lim 0± f (). c) Utilizzando i risultati trovati nei punti a) e b), verificare se f può essere prolungata con continuità a tutto l insieme dei numeri reali, in modo da soddisfare le ipotesi del teorema di Rolle e quelle del teorema di Lagrange in [, ], oppure no. a) Si ha: lim f() = lim 0± 0± Quindi il limite globale non esiste. b) Sappiamo che 3 2 + 2 arctan + 0 = ±π + 0. f() = 3 3 + 2 arctan + 0, > 0; e quindi (v. esercizi precedenti) Pertanto f() = 3 3 + 2 arctan + 0, < 0; f () = 4 + 2 2 2, > 0, + f () = 4 2 2 2, < 0. + lim f () = 2. 0 c) Poiché il limite globale di cui al punto a) non esiste, ed i limiti destro e sinistro sono diversi, si ha che f non può essere prolungata a tutto R con continuità in modo da soddisfare le ipotesi del teorema di Rolle o di quello di Lagrange in [, ]. Pertanto la risposta al quesito di cui al punto c) è negativa. ESERCIZIO (8 punti) - Sia f come nel primo esercizio di questa lista. a) Calcolare lim 0± f(). b) Calcolare lim 0± f (). c) Utilizzando i risultati trovati nei punti a) e b), verificare se f può essere prolungata con continuità a tutto l insieme dei numeri reali, in modo da soddisfare le ipotesi del teorema di Rolle e quelle del teorema di Lagrange in [, ], oppure no. a) Si ha: lim f() = lim 0 0 3 2 2 arctan + 0 = π + 0.
Quindi il limite globale non esiste, dato che i limiti destro e sinistro sono diversi. b) Sappiamo che f() = 3 3 2 arctan + 0, > 0; e quindi (v. esercizi precedenti) Pertanto f() = 3 3 2 arctan + 0, < 0; f () = 4 + 2 + 2 2, > 0, + f () = 4 2 + 2 2, < 0. + lim f () = 2. 0 c) Poiché il limite globale di cui al punto a) non esiste, ed i limiti destro e sinistro sono diversi, si ha che f non può essere prolungata a tutto R con continuità in modo da soddisfare le ipotesi del teorema di Rolle o di quello di Lagrange in [, ]. Pertanto la risposta al quesito di cui al punto c) è negativa. ESERCIZIO (8 punti) - Calcolare il seguente integrale indefinito: I = Applicando la formula di Hermite, si ha: 3 2 + 4 + 27 ( 2 + 27)( + 2) d. 3 2 + 4 + 27 ( 2 + 27)( + 2) = A + B 2 + 27 + C + 2 = A2 + B + 2A + 2B + C 2 + 27C ( 2 + 27)( + 2) = (A + C)2 + (2A + B) + 2B + 27C ( 2. + 27)( + 2) Per il principio di identità dei polinomi, si deve avere: A + C = 3, C = 3 A; 2A + B = 4, B = 4 2A; 2B + 27C = 27; 8 4A + 8 27A = 27;
3A = 62; A = 2; B = 0; C =. Pertanto si ottiene: 3 2 + 4 + 27 I = ( 2 + 27)( + 2) d 2 = 2 + 27 d + + 2 d = log( 2 + 27) + log + 2 + c. ESERCIZIO (8 punti) - Calcolare il seguente integrale indefinito: I = Applicando la formula di Hermite, si ha: 5 2 + 24 + 30 ( 2 + 0)( + 2) d. 5 2 + 24 + 30 ( 2 + 0)( + 2) = A + B 2 + 0 + C + 2 = A2 + B + 2A + 2B + C 2 + 0C ( 2 + 0)( + 2) = (A + C)2 + (2A + B) + 2B + 0C ( 2. + 0)( + 2) Per il principio di identità dei polinomi, si deve avere: A + C = 5, C = 5 A; 2A + B = 24, B = 24 2A; 2B + 0C = 30; 288 44A + 50 0A = 30; 54A = 308; A = 2; B = 0; C = 3. Pertanto si ottiene: 2 I = 2 + 0 d + 3 + 2 d = log( 2 + 0) + 3 log + 2 + c. ESERCIZIO (8 punti) - Calcolare il seguente integrale indefinito: I = 6 2 + 8 + 52 ( 2 + 3)( + 4) d.
Applicando la formula di Hermite, si ha: 6 2 + 8 + 52 ( 2 + 3)( + 4) = A + B 2 + 3 + C + 4 = A2 + B + 4A + 4B + C 2 + 3C ( 2 + 3)( + 4) = (A + C)2 + (4A + B) + 4B + 3C ( 2. + 3)( + 4) Per il principio di identità dei polinomi, si deve avere: A + C = 6, C = 6 A; 4A + B = 8, B = 8 4A; 4B + 3C = 52; 32 6A + 78 3A = 52; 29A = 58; A = 2; B = 0; C = 4. Pertanto si ottiene: 2 I = 2 + 3 d + 4 + 4 d = log( 2 + 3) + 4 log + 4 + c. Data la funzione si chiede di: g(, y) = 3 3 + y2 9 4y 2, (, y) R 2, a) calcolare le derivate parziali prime e seconde di g; (2 punti) b) determinare i punti stazionari (o critici) di g; (6 punti) c) determinare, con il test dell hessiano, gli (eventuali) punti di massimo relativo, di minimo relativo e di sella per g. (6 punti) a) Si ha: g = 2 + y 2 9; g y = 2y 4 2; g = g yy = 2; g y = 2y = g y.
b) Imponiamo la condizione dell annullamento del gradiente g = g y = 0. Si deve avere: 2 + y 2 9 = 0; y = 2 2 = 8. Notiamo che possiamo dividere per in quanto non è possibile che = 0. quindi: y 2 = 8 2 ; 2 + 8 2 9 = 0; 4 9 2 + 8 = 0. Si ottiene Poniamo 2 = t. Si ha: t,2 = 9 ± 8 32 2 = 9 ± 7 2, da cui t =, t 2 = 8, e quindi =, 2 = 8 = 2 2, 3 =, 4 = 8 = 2 2, in corrispondenza dei quali si determinano y = 8 = 2 2, y 2 =, y 3 = 8 = 2 2, y 4 =. I punti stazionari sono dunque P = (, 8), P 2 = ( 8, ), P 3 = (, 8), P 4 = ( 8, ). c) Si ha: H(, y) = 2 2y 2y 2, e quindi deth(, y) = 4 2 4y 2 = 4( 2 y 2 ). Questo determinante, nei punti P e P 3, è uguale a 4( 8) = 28 < 0, e quindi P e P 3 sono punti sella; nei punti P 2 e P 4, è uguale a 4(8 ) = 28 > 0, mentre, in P 2, g = 2 8 > 0 e, in P 4, g = 2 8 < 0. Quindi P 2 e P 4 sono punti rispettivamente di minimo e di massimo relativo. ESERCIZIO (8 punti) Risolvere, con il metodo della variazione delle costanti arbitrarie, la seguente equazione differenziale: (supponendo y > 0) y = 2y 2 + + (2 + ) log( 2 + ) Si tratta di un equazione differenziale lineare del primo ordine. Studiamo dapprima l equazione omogenea associata: y = 2y 2 +. Quest ultima equazione risulta essere a variabili separabili: risulta pertanto dy d = 2y 2 + dy y = 2 2 + d
e si ha dy y = 2 2 + d log y = log(2 + ) + log C y = C( 2 + ). L integrale generale dell equazione omogenea associata è pertanto y = C( 2 + ). Ora, applicando il metodo della variazione delle costanti arbitrarie, cerchiamo un integrale particolare del tipo y() = C() ( 2 + ). Si ha: y () = C ()( 2 + ) + 2C(). Si deve avere, affinché y sia una soluzione dell equazione differenziale di partenza: y () = 2y() 2 + + (2 + ) log( 2 + ), cioè ossia C ()( 2 + ) + 2C() = 2C()(2 + ) 2 + + ( 2 + ) log( 2 + ), C ()( 2 + ) = ( 2 + ) log( 2 + ), C () = log( 2 + ), e quindi C() = log( 2 + ) d = = log( 2 + ) 2 () log( 2 + ) d = log( 2 + ) ] [ 2 + 2 + d = log( 2 + ) 2 + 2 arctan 2 + d 2 2 2 + d (non serve qui la costante additiva +c, in quanto stiamo prendendo una particolare funzione). Pertanto y() = C() ( 2 +) = [ log( 2 +) 2+2 arctan ] ( 2 +) è un integrale particolare dell equazione differenziale data, e quindi l integrale generale dell equazione differenziale di partenza è: y = C( 2 + ) + [ log( 2 + ) 2 + 2 arctan ]( 2 + ).