COVARIANZA PER TRASFORMAZIONI DI LORENTZ DELLA TEORIA ODG (Ondulatoria Dell'interaione Gravitaionale) Autore : Ciampone Matteo
Simboli e notaioni : a : la lettera col simbolo di freccia indica un vettore ; a =a : il simbolo o più semplicemente la lettera sena freccia indicano il modulo del vettore ; a x b : il simbolo x indica il prodotto vettoriale ; a b : il simbolo indica il prodotto scalare ; : operatore nabla = d dx + d dy + d ; d 2 : operatore laplaciano 2 = d 2 dx 2+ d 2 dy + d 2. 2 d 2
Capitolo 1 : Le equaioni ODG. Le equaioni fondamentali della Teoria ODG sono : 1. g= 4πGρ ; 2. d x v g= 4π G dt. Applicando l'operatore divergena alla 2 si ha : ( x g )= ( d v dt ) d dt ( v )=0 v=0 (3) Dalla definiione di derivata totale si ha che : d v dt = v dt + u v (4) e usando la 3 : d v dt = v t (5) Da cui è possibile riscrivere la 2 come : x g= 4π G v (6) Inoltre, com'è noto, va considerato che : x v=2 ω (7) dove ω=velocità angolare. Per cui le equaioni della Teoria ODG da tenere presente, in realtà, sono quattro : 1 g= 4πGρ ; 2 x g= d v dt 3 v=0 ; 7 x v=2 ω. ;
Le equaioni vettoriali 1, 2, 3 e 7 portano alle seguenti equaioni scalari. Dall'equaione 1 si ha: g x x = ρ x (1.1) g y y = ρ y (1.2) g = 4πG ρ (1.3) Dall'equaione 2 si ha : g y g y = 4 πg g x g x = g y x g x y = v y v t (2.1) (2.2) (2.3) Dall'equaione 3 si ha : =0 (3.1) x v y =0 (3.2) y v =0 (3.3) Dall'equaione 7 si ha : v y v y =2 ω x (7.1) v x =2 ω y (7.2) v y x y =2 ω t (7.3)
Capitolo 2 : Le trasformaioni di Lonrent. Prendiamo un sistema di riferimento S' in moto con velocità u rispetto ad un sistema di riferimento S. I tre assi spaiali dei due sistemi di riferimento sono paralleli tra loro, e la traslaione di S' rispetto ad S avviene lungo l'asse x. Inoltre le origini dei due sistemi di riferimento coincidono per t = t' = 0. Allora le trasformaioni di Lorent sono : x '=γ( x u t) (200) y' = y (201) '= (202) t '=γ (t β c x) (203) con γ= 1 1 β 2, β= u c e c=velocità della luce. Stabiliamo le regole di derivaione : x = x ' x x' = y y = x' = x ' t y' + x ' x x ' + y ' y x' + y' x' + y ' t y' + ' x y ' + ' y y' + ' y ' + ' ' + ' x ' + t ' y ' + ' ' + t ' t ' =γ x ' γ β c ' = y ' t ' = ' ' =γ t ' γu ' x ' (204) (205) (206) (207)
Capitolo 3 : Derivate delle equaioni scalari. Applichiamo le regole di derivaione 204, 205, 206 e 207 alle equaioni scalari ricavate nel capitolo 1. Le equaioni scalari dell'equaione 1 erano : g x x = ρ x (1.1) g y y = ρ y (1.2) g = 4πG ρ (1.3) Da cui si ricava : γ g x x ' γ β g x c = ρ x (300) g y y' = 4 πg ρ y (301) g ' = ρ (302) Le equaioni scalari dell'equaione 2 erano : g y g y = 4πG g x g x = g y x g x y = 4πG v y v t (2.1) (2.2) (2.3)
Da cui si ricava : g y' g y ' = (γ t ' γ u x' ) (303) g x ' (γ g x' γ β g c ' )= 4πG (γ v y t ' γ u v y x' ) (304) (γ g y x ' γ β g y c t ' ) g x y ' = (γ v t ' γ u v x ' ) (305) Le equaioni scalari dell'equaione 3 erano : =0 (3.1) x v y =0 (3.2) y v =0 (3.3) Da cui si ricava : γ x ' γ β c =0 (306) t ' v y =0 (307) y' v =0 (308) ' Le equaioni scalari dell'equaione 7 erano : v y v y =2 ω x (7.1) v x =2 ω y (7.2) v y x y =2 ω t (7.3)
Da cui si ricava : v y' v y ' =2(γ ω x ' γu ω x x ' ) (309) ' (γ v x' γ β v c ' )=2(γ ω y t ' γ u ω y x' ) (310) (γ v y x ' γ β v y c ' ) y ' =2(γ ω ' γ u ω x' ) (311)
Capitolo 4 : Covariana per trasformaioni di Lorent. Dalla 304 e 305 si ricava : g x ' x ' [ γ( g u v )]= y t ' [γ( v β y c g )] (400) x ' [ γ( g + y 4π G u v )] g x y' = ' [ γ( 4 πg v +β c g y )] (401) La 400 e 401 si riconducono al sistema in quiete e quindi alla 2.2 e 2.3 se : g ' x = g x (402) g ' y =γ( g y + u v ) (403) g ' =γ( g 4 πg u v y) (404) v' y=γ( v y β c g ) (405) v ' =γ( 4 πg v + β c g ) (406) y Dalla 403 si ricava : g ' y =γ g y + γ 4πG uv γ g y = g' y γ uv g y = 1 γ g ' y u v (403.1) Mentre dalla 406 si ricava : 4πG v' = γ 4πG v +β γ c g y γ 4πG v = 4π G v ' β γ c g y 4πG v = γ4π G v ' β c g y (406.1)
Inserendo la 403.1 nella 406.1 si ha : g y = 1 γ g ' y γ 4π G uv ' + β c u g y g y u β c g y= γ 1 g ' y γ4 πg u v' γ 2 ( g y u β c g y )=γ( g ' y u v ' ) (407) Dato che β= u c la 407 diventa : γ 2 ( g y u2 c g y)=γ( g' 2 y 4πG uv ' ) γ 2 ( g y β 2 g y )=γ (g ' y 4 πg u v' ) γ 2 g y (1 β 2 )=γ (g ' y u v ' ) 1 1 β g y(1 β 2 )=γ( g' 2 y 4πG uv ' ) g y =γ(g ' y u v' ) (408) Allo stesso modo, dalla 404 e 405, si arriva a : g =γ(g ' + 4 πg u v' y) (409) g Sostituendo la 408 e 409 nella 2.1 : y g y = 4πG derivaione ricavate nel capitolo 2, si ottiene :, e utiliando le regole di y' [ γ(g ' + 4πG uv ' )] y ' [γ(g ' y 4πG uv' )]= 4π G (γ t ' γ u x ' ) (410) Da cui segue : g ' y' + u v ' y y ' g ' y ' + u v ' ' = ' u x ' g ' y' g ' y ' g ' y' g ' y ' ' = u ' = u 4 πg x ' u 4 πg v ' y y ' u 4 πg v ' ' 4 πg ( x ' + v ' y y ' + v ' ' ) (411)
Le equaioni scalari dell'equaione 3 erano : =0 (3.1) x v y =0 (3.2) y v =0 (3.3) che si possono riassumere come : x + v y y + v =0 (3.4) Dalla 406.1 4πG v = γ v ' β c g y, si ha : v = 1 γ v ' β c g y (406.2) Inserendo la 408 g y =γ (g ' y u v' ) nella 406.2 : v = 1 γ v ' β 4πG γ g ' c y +γ β c uv ' v =v' ( 1 γ + β β 4π G u γ) γ g ' c c y v =γ v' γ β 4π G c g' y (412) Allo stesso modo ricavando v y dalla 405 la 409 g =γ(g ' + 4 πg u v' y) si trova : 4πG v' y=γ ( 4π G v y β c g ) e inserendo v y =γ v' y +γ β 4πG c g' (413)
Inserendo la 412 e la 413 nella 3.4, e utiliando le regole di derivaione ricavate nel capitolo 2, si ottiene : γ x ' γ β c Da cui : t ' + y ' (γ v ' β 4 πg y +γ g ' c )+ ' (γ v ' γ β g' c y )=0 (414) x ' + v ' y y' + v' ' =β c 4π G β ' c g ' 4πG +β y' c g ' y ' (415) e moltiplicando ambo i membri della 415 per ( ), si ottiene : 4π G ( )( x ' + v ' y y ' + v ' ' )= β c ( ( ) t ' + g ' y ' g ' y ' ) c ( β 4πG )( x ' + v' y y' + v' ' )= ( 4πG ) t ' + g ' y' g ' y ' (416) Notiamo che il membro a sinistra dell'uguale della 411 è uguale al membro di destra della 416. Quindi inserendo la 411 e la 416 otteniamo : c ( β 4πG )( x ' + v' y y' + v' ' )= u ( x ' + v ' y y' + v' ' ) c ( β 4πG )( x ' + v' y y' + v' ' )+u 4π G ( x' + v' y y ' + v ' ' )=0 (u 4 πg c β 4πG )( x' + v' y y' + v' ' )=0 x ' + v ' y y' + v' =0 (417) ' La 417 si riconduce al sistema in quiete, quindi la 3.4, solo se : v x =v ' x (418) condiione che soddisfa contemporaneamente anche i membri uguali della 411 e 416.
In questo modo ci si riconduce a : ' x g '= d v ' dt ' (419) e ' v' =0 (420) Condiioni, queste ultime, sufficienti e necessarie per rispettare il principio di relatività generaliato di Einstein, secondo il quale tutte le leggi della fisica devono essere le stesse in tutti i sistemi di riferimento ineriali. Infine possiamo concludere affermando che : le equaioni della Teoria ODG sono covarianti per trasformaioni di Lorent.