Università degli Studi di Pavia Facoltà di Ingegneria Corso di Teoria dei Circuiti di analisi dei circuiti
METODO DEI POTENZILI DI NODO Si scelgano come incognite non le l tensioni di lato (legate da [M][]=), ma n- tensioni linearmente indipendenti, definite come MODO (caso di procedura manuale) tensioni di n nodi rispetto al nodo di riferimento Nodo di riferimento:
Matrice di incidenza ridotta E la matrice di incidenza a meno del nodo di riferimento [C] = [ ] = Bisogna trovare il legame tra [] e [ ]: il legame è []=[C] t [ ]
Ovvero la tensione di lato o coincide con un potenziale di nodo o è la differenza di due potenziali di nodo, così come il corrispondente lato o incide tra un nodo e il nodo di riferimento o incide tra due nodi
MODO (caso di procedura automatica) Si scelga un albero e si definiscano come potenziali di nodo le tensioni degli n lati di albero albero [C] = Matrice dei tagli fondamentali il legame è []=[C] t [ ]
Equazioni n KCL [C] [I] = Sostituendo OL: [I] = [] [] ([] [E]) [C] [] [C] [] ([] [E]) = [C] [] [C] [] [] [C] [] [E] = sostituendo []=[C] t [ ] nella precedente si ha [C] [] [C] [] [C] t [ ] [C] [] [E] = [C] [] [C] t [ ] = [C] [] [E] - [C] [] [ ] [ ] = [ I ] di dimensioni n : n equazioni in n incognite
MTRICE DELLE CONDUTTNZE DI LTO [] l l ii conduttanza del lato i-esimo ik conduttanza mutua dei lati (i,k) se nel lato i è presente un generatore di corrente comandato dalla tensione del lato k
MTRICE DELLE CONDUTTNZE DI NODO Se non ci sono generatori dipendenti: la matrice [] delle conduttanze di lato è diagonale, la matrice = [C] [] [C] t delle conduttanze di nodo è simmetrica. Dimostrazione: [ ] t = [C] tt ([C][]) t = [C] [] t [C] t = [C] [] [C] t = [ ]
MTRICE DELLE CONDUTTNZE DI NODO ii riga i di [C] per conduttanza di lato j per colonna i di [C] t ossia lati incidenti al nodo i per conduttanza di lato j per lati incidenti al nodo i somma aritmetica delle conduttanze dei ii lati incidenti al nodo i l l = = ii C ij jc ij C ij j = j = con (C ij ) = se il lato j incide al nodo i = altrimenti j
MTRICE DELLE CONDUTTNZE DI NODO ij riga i di [C] per conduttanza di lato k per colonna j di [C] t ij conduttanza del lato k incidente nei nodi i e j cambiata di segno l l = = ( ) ij C ik k C jk C ik C jk k = k = k con (C ik C jk )=- se il lato k è comune ai nodi i e j = altrimenti
ETTORE DELLE CORRENTI IMPRESSE DI NODO Se non ci sono generatori di tensione I i riga i di [C] per correnti impresse di lato I = = C ij j, C ij l i = ± j I i somma algebrica delle correnti dei lati incidenti al nodo i ( se entranti)
SOLUZIONE Se i resistori sono passivi ( i >), allora [] è diagonale definita positiva: [] t [] [] > [ ] [ ] è definita positiva [ ] esiste ed è unico
ESEMPIO Sia dato il circuito Sono noti: [] = [] = [E] = Nullo perché non ci sono generatori di tensione E diagonale perché non ci sono generatori dipendenti i > se concorde con l i-esimo lato
ESEMPIO E nota la struttura del circuito tramite la matrice di incidenza [C] = Si elimini il nodo di riferimento incognite [ ] =
ESEMPIO llora possiamo scrivere la matrice ispezionando il circuito [ ] =
ESEMPIO oppure costruire la matrice nel seguente modo: = C C t = = = (n-) l l l l (n-)
ESEMPIO = = (n-) l l (n-) (n-) (n-) =
ESEMPIO [ ] = I Ricavato [ ], risolvendo si ha e [I]=[][]([]-[E]) [ ] [ ] = [ ], I [ ] = [ C ] t [ ] -C = - =
Caso particolare Se un lato l tra i nodi i e j ha (generatore ideale di tensione) i j h h k Si deve far scomparire quel lato (i j), aggiungendo il generatore ai lati incidenti in i o in j ( in serie con finite) i j k Il funzionamento non è cambiato (le KL non sono cambiate)