Il moto rettilineo uniforme Le forze Un corpo si muove di moto rettilineo ed uniforme se mantiene una velocità costante in modulo, direzione e verso. Più in generale si dice che il corpo si muove di moto rettilineo ed uniforme se nel percorrere una traiettoria rettilinea copre spazi uguali in tempi uguali. Siano: ss lo spazio vs la velocità t il tempo, ed indicando con l incremento, si ha: ss =vs t Esplicitando la velocità, otteniamo l espressione classica: Nel sistema internazionale si misura in [m] [s] vs = ss t Il moto uniformemente accelerato In cinematica il moto uniformemente accelerato è il moto di un punto sottoposto ad un accelerazione costante in modulo, direzione e verso. Ne risulta che la variazione di velocità del punto è direttamente proporzionale al tempo in cui essa avviene. Si ha quindi: as = vs t = costante dove vs è la velocità, as l accelerazione, t il tempo e le variazioni finite di tempo e di velocità. La notazione vettoriale è dovuta al fatto che il moto si può svolgere su un piano o nello spazio e i vettori sono sempre riferiti ad un sistema di riferimento generico. Con un opportuna scelta del sistema di riferimento ci si può sempre ricondurre al moto del punto in un piano e anche al moto unidimensionale quando velocità iniziale ed accelerazione hanno la stessa direzione. In quest ultimo caso la notazione vettoriale è superflua e le equazioni caratteristiche del moto si possono scrivere supponendo che il moto si svolga sull asse x (rettilineo), quindi: a x = dv x = a=const dt v x (t) = v x0 +a t x(t) = x 0 +v x0 t+ 1 2 a t2 1
La dinamica La dinamica studia i moti dei corpi in relazione alle forze che agiscono su di essi. Il problema fondamentale della dinamica può essere così schematizzato: note la massa di un corpo e le forze che agiscono su di esso, determinare l accelerazione del corpo e le caratteristiche del suo moto. Le grandezze coinvolte (massa, forza e accelerazione) sono già note, ma la dinamica evidenzia relazioni profonde tra di esse che consentono di fornirne adeguate definizioni operative. Le forze Il termine forza è legato alle sensazioni muscolari che proviamo quando interagiamo con gli oggetti tirandoli, spingendoli o deformandoli. In fisica l azione di una forza si manifesta negli effetti che produce sui corpi. Esistono due tipi di forze: Le forze di contatto che agiscono su un corpo attraverso un contatto diretto con esso, come nel caso di una giocatrice di pallavolo che colpisce la palla. Le forze a distanza che producono un effetto su un corpo senza essere a diretto contatto con esso, come la forza di gravità. L esperienza mostra che gli effetti di una forza non dipendono solo dalla sua intensità: la forza è una grandezza vettoriale. Figura 1. Forza come grandezza vettoriale Esempio di un vettore. Una forza è nota quando se ne conoscono: l intensità, detta anche modulo, che può essere misurata; la direzione, cioè la retta lungo cui agisce; il verso in cui punta sulla retta di azione. 2
Quando si studia l azione di due o più forze che agiscono contemporaneamente su un corpo, è sempre possibile sostituirle con la loro somma vettoriale, detta anche risultante o forza totale. Infatti la risultante di due o più forze applicate a un corpo è quella forza che provoca sul corpo Io stesso effetto complessivo delle altre. Figura 2. Somme di vettori (forze risultanti) Alcuni esempi di somme vettoriali di forze. In azzurro sono indicate le risultanti delle varie somme. In 1 avete 6 forze. In 2 e 3 avete la risultante dovuta all azione di A e B su un corpo in parallelo e in serie. In 4 avete la risultante dell azione di tutte le 6 forze in serie. In 5 la risultante è 0 in quanto agiscono sul corpo A e A. I tre principi della dinamica La dinamica si fonda su tre principi che furono enunciati da Isaac Newton (1642-1727) nel Philosophiae naturalis principia matematica (noti anche come Principia) nel 1687: primo principio o principio d inerzia; secondo principio o principio fondamentale della dinamica; terzo principio o principio di azione e reazione. Si chiamano principi (o assiomi) in quanto non deducibili da altre leggi, ma frutto di una generalizzazione compiuta a partire da innumerevoli osservazioni sperimentali. Il primo principio della dinamica Se ci muoviamo in bicicletta, per mantenere una velocità costante dobbiamo esercitare una forza. Apparentemente un corpo si muove a velocità costante se una forza agisce su di esso. In realtà noi pedaliamo per vincere le forze che si oppongono al moto, in particolare la resistenza che l aria esercita su di noi e l attrito fra strada e pneumatico. Se potessimo pedalare nel vuoto su una strada perfettamente liscia che non esercita nessun attrito in modo da eliminare le forze che si oppongono al moto, eserciteremmo una forza solo all inizio per acquisire una determinata velocità e poi potremmo smettere di pedalare e ci muoveremmo a velocità costante. Fu Galileo il primo a risolvere questo problema nel Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, tolemaico e copernicana (1632). 3
Figura 3. Piani inclinati Nel piano inclinato il mobile grave spontaneamente discende e va continuamente accelerandosi......sul piano ascendente il moto impressogli va scemando sicché finalmente si annichila... (in questo caso il mobile grave raggiunge l altezza di partenza) Sopra una superficie piana il mobile continuerebbe a muoversi tanto quanto durasse la lunghezza di quella superficie. In definitiva in assenza di attrito un corpo mantiene la sua velocità iniziale, senza l azione di alcuna forza. Questa caratteristica dei corpi e enunciata da Newton come primo principio della dinamica: un corpo rimane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme fino a quando non agisce su di essa una forza totale che modifica tale stato. La forza totale è la risultante, cioè la somma vettoriale, di tutte le forze che agiscono sul corpo. Lo stato di quiete e lo stato di moto rettilineo uniforme sono equivalenti: entrambi sono l effetto di una forza totale nulla sul corpo. DetteF S la forza totale che agisce su un corpo evs la sua velocità, il primo principio stabilisce che: F S =0 vs = costante vs = costante F S =0 Un corpo accelera, cioè cambia la sua velocità, solo quando è soggetto a forze che hanno risultante non nulla. La caratteristica dei corpi di opporsi al cambiamento del loro stato di moto si dice inerzia. Per questo motivo il primo principio della dinamica è anche detto principio di inerzia. In molte situazioni della vita sembra che non valga il principio di inerzia. Per questo motivo si differenziano i sistemi di riferimento inerziali, dove vale il primo principio della dinamica, da quelli non inerziali, dove il primo principio non vale. Prendiamo l esempio classico dell autobus che frena bruscamente. Tutti i passeggeri accelerano verso il conducente. Possiamo definire l autobus un sistema di riferimento non inerziale quando sta frenando. Se l autobus procede a velocità costante, i passeggeri sono in stato di quiete e il sistema è inerziale. In altre parole sono definiti sistemi inerziali quei sistemi di riferimento che sono fermi o che si muovono a velocità costante, mentre sono definiti non inerziali i sistemi che stanno accelerando. La Terra risulta essere, sperimentalmente, un buon sistema inerziale di riferimento per moti di breve durata (inferiore a un giorno) e di lunghezza limitata (di molto inferiore al raggio terrestre). 4
All interno di un sistema inerziale vigono le leggi della relatività galileiana che dicono che non è possibile determinare il moto di un sistema inerziale tramite esperimenti condotti al suo interno (un esempio è quello della nave da crociera: se vi trovate sotto coperta e non potete osservare l esterno attraverso un oblo, non potete sapere se la nave si sta muovendo o se è ferma). Possiamo anche dire che le leggi del moto sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Il secondo principio della dinamica In base al primo principio possiamo stabilire che la velocità di un corpo cambia solo se esso è soggetto a una forza totale non nulla. Le forze provocano variazioni della velocità, cioè accelerazioni. Semplici esperienze quotidiane suggeriscono l esistenza di un legame tra la forza applicata a un corpo e la sua accelerazione. Figura 4. Applicazione di una forza Se aumento la forza (nel secondo caso spingiamo in due lo stesso carrello), aumenta l accelerazione. In generale, a parità di massa, se aumenta la Forza applicata, aumenta l accelerazione. Figura 5. La massa e le forze Se aumento la massa del carrello e lo spingo con la stessa forza, otterrò un accelerazione minore. In generale, a parità di forza applicata, l accelerazione diminuisce se aumenta la massa e viceversa. Possiamo anche dire che l accelerazione ha la stessa direzione e Io stesso verso della forza applicata. In ogni sistema inerziale, l accelerazione è direttamente proporzionale alla forza applicata, mentre l accelerazione è inversamente proporzionale alla massa del corpo a cui viene applicata la forza. 5
In conclusione: F S = m as Nel Sistema Internazionale la forza si misura in newton (N). Una forza di 1N imprime a un corpo di massa 1 kg un accelerazione di 1 m s 2. Il secondo principio vale solo nei sistemi inerziali. A parità di forza applicata, maggiore è la massa di un corpo, minore è la variazione della sua velocità, cioè la sua accelerazione. Esiste quindi un legame profondo tra massa e inerzia di un corpo. Il terzo principio della dinamica Quando interagiamo con un corpo esercitiamo una forza su di esso. L esperienza dimostra, però, che durante l interazione non agisce soltanto una forza, ma ne agiscono due. Prediamo un calciatore che calcia un pallone in movimento. Quando il piede colpisce il pallone, esercita una forza sul pallone, ma anche il pallone esercita una forza sul piede. Figura 6. contrapposte Se due pattinatori si toccano ognuno di essi esercita una forza sull altro. Figura 7. contrapposte 6
Riflettendo su questi aspetti, Newton comprese che non esiste una forza che agisca da sola, ma che tutte le forze si presentano sempre in coppia. Questa proprietà delle forze è nota come terzo principio della dinamica o principio di azione e reazione. Quando due corpi A e B interagiscono, la forzaf AB che A esercita su B è uguale in intensità e direzione e opposta in verso alla forza F BA che B esercita su A: F AB = F BA A ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria. Una delle due forze è detta azione e l altra reazione. La decisione di definire una delle due forze azione è totalmente arbitraria. Azione e reazione sono applicate a corpi diversi, quindi non ha senso sostituirle con la loro risultante che è sempre nulla. Il terzo principio vale anche per le forze a distanza e non solo per le forze a contatto (calamita, gravità, ecc.) Se i due corpi hanno masse diverse, considerando che le due forze sono uguali, anche le loro accelerazioni saranno diverse. Immaginate di avere un bambino e il suo papà sui pattini. Se i due si spingono e come abbiamo visto l intensità delle due forze è la stessa, il bambino, che ha massa minore, scivolerà sul ghiaccio con un accelerazione maggiore di quella del papà. In altre parole: F bambino F papà F bambino = m bambino a bambino = m papà a papà = F papà quindi: m b a b = m p a p m b = a p m p a b Durante un interazione due corpi A e b non soggetti a forze esterne si muovono con accelerazioni inversamente proporzionali alle loro masse: a A a B = m B m A Esercizio 1. Un giocatore calcia un pallone. Il pallone (m p = 500g) acquista un accelerazione di 500 m s 2. Sapendo che la gamba del calciatore ha massa m g = 15kg calcola la decelerazione della gamba. Il peso Una forza a distanza molto importante è la gravità che si esercita fra due corpi e li attrae uno verso l altro. La gravità è direttamente proporzionale a ciascuna delle masse dei due corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza. F = G m1 m 2 R 2 7
G è la costante gravitazionale universale e vale: [ ] N m G = 6.67 10 11 2 kg 2 Se uno dei due corpi ha una massa nettamente maggiore dell altro (la Terra in rapporto a un essere umano) e la distanza relativamente piccola in rapporto al diametro del corpo più grande, allora possiamo inserire il termine di accelerazione di gravità che ha un valore medio sulla terra di 9.81 m s 2. La forza di gravità o peso diventa: P = m g Non bisogna confondere il Peso (che è una forza) con la massa (che è la quantità di materia). La massa non varia ovunque noi siamo, il Peso dipende dal luogo in cui ci troviamo. All equatore g=9.78 m s 2, mentre ai Poli g=9.83m s2. Un uomo di massa 100kg peserà 978N all equatore e 983N ai poli anche se la sua massa non è cambiata. Esercizi Esercizio 2. Calcolate l accelerazione impressa dalle gambe di un atleta (m=70kg) se la forza risulta essere di 2000N Esercizio 3. corpo. Su un corpo di massa 2.3kg si applica una forza di 4.6N. Determina l accelerazione del Esercizio 4. Un veicolo (m=2500kg) si muove a velocità costante senza attrito e resistenza dell aria. Determina l intensità della forza totale che agisce sul veicolo. Ad un certo punto il veicolo frena con una decelerazione di 3 m s 2. Quanto vale l intensità della forza applicata? Esercizio 5. Un corpo accelera di 0.5 m s 2 dopo essere stato sottoposto a una forza di 320N. Calcola la massa del corpo. Esercizio 6. Un corpo 1 di massa m 1 =5kg, fermo su una superficie senza attrito, viene urtato da un corpo 2 di massa m 2 che possiede un accelerazione di 5 m s 2. Dopo l urto il corpo 1 si sposta con un accelerazione di 2 m s 2. Determina il valore della massa m 2. Esercizio 7. Un oggetto pesa 1200N. Calcola la massa. Esercizio 8. Calcola il peso medio di un corpo che ha massa 8kg. Esercizio 9. Calcolate la velocità media di un veicolo che si muove di moto rettilineo uniforme e che alle ore 13h42 34 si trova al km1 della strada cantonale e alle ore 13h42 49 si trova al km 1.300. Esercizio 10. Un corpo percorre un tragitto di lunghezza 0.95km alla velocità costante di 4 m s 2. Calcola il tempo impiegato per percorrere il tragitto. Esercizio 11. Calcola lo spazio percorso in 35 secondi da un corpo che si muove con velocità costante di 2.2 m s. Esercizio 12. Un corpo si muove con accelerazione costante pari a 2 m. Calcola la velocità raggiunta s 2 dopo 6 secondi se la velocità iniziale è di 3 m. Calcola anche lo spazio percorso in totale se prima di s accelerare si è mosso con la velocità iniziale per 5s. 8
Esercizi sui moti Esercizio 13. Un corpo viaggia a velocità costante. Dopo 12 secondi ha percorso 240 metri. Calcola la velocità in m s e in Km h. Esercizio 14. Un corpo che viaggia a una velocità costante di 18 Km h tempo impiegato in secondi e in minuti. percorre 620 metri. Calcola il Esercizio 15. Un corpo che viaggia a una velocità costante di 7 m s una distanza. Calcola quanti metri ha percorso. impiega 35 secondi per percorrere Esercizio 16. Un corpo parte da fermo con un accelerazione di 1.5 m s 2. Calcola la distanza percorsa in8secondi e la velocità massima raggiunta in m s e in Km h. Calcola anche la velocità media in m s e in Km h. Esercizio 17. Un corpo con una velocità iniziale di 3 m s accelera [a=1.5 m s 2 ] per 6 secondi. Calcola la velocità massima raggiunta in m s e in Km h, lo spazio percorso nei 6 secondi e la velocità media in m s e in Km h. Esercizio 18. Un corpo percorre, a velocità costante, 30 metri in 10 secondi, quindi accelera (a=0.8 m ) s 2 per 5 secondi. Calcola la velocità massima raggiunta in m e in Km, lo spazio percorso totale e la velocità s h media in m e in Km. s h 9