LO STATO NELLE TEORIE FISICHE

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 1 LO STATO NELLE TEORIE FISICHE Nell ambito di una data teoria fisica lo stato di un sistema è la rappresentazione matematica più esauriente, ammessa dalla teoria, delle proprietà contingenti (non permanenti) del sistema. In quanto rappresentazione delle proprietà contingenti del sistema, lo stato, in generale, dipende dal tempo; Esistono teorie, ad esempio la meccanica classica, in cui l evoluzione temporale dello stato è deterministica, cioè lo stato a un dato tempo determina lo stato ai tempi successivi (o anche precedenti), e, almeno in linea di principio, l evoluzione dello stato può essere calcolata. In altri casi, ad esempio in meccanica quantistica, l evoluzione dello stato è deterministica solo con l esclusione di certe circostanze, in occasione delle quali essa diventa casuale. Nelle circostanze in cui l evoluzione è casuale è al più possibile indicare quali sono i possibili stati ai tempi successivi e quali sono le rispettive probabilità. LA FORMULAZIONE STANDARD (F S) DELLA MECCANICA QUANTISTICA La formulazione standard delle meccanica quantistica, che è normalmente presentata nei libri testo, può essere basata sull interpretazione cosiddetta di Copenaghen. Preciserò più avanti qual è l assunto fondamentale dell interpretazione di Copenaghen. La formulazione standard è pienamente confermata dalle evidenze sperimentali e sta alla base della maggior parte delle attività di ricerca.

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 2 FS LO STATO Nell ambito della formulazione standard della meccanica quantistica, lo stato di un sistema S di N particelle è la funzione d onda, che intendiamo normalizzata, ψ(x 1, m 1,..., x N, m N ), elemento dello spazio di Hilbert del sistema H S = H 1 H 2 H N, H α = L 2 (x α ; x α R 3, dx α ) l(m α ; m α Z s α ). Prescindendo da una particolare rappresentazione e facendo uso della notazione di Dirac, possiamo indicare lo stato sinteticamente con il simbolo ψ. Nota La modifica da apportare alla definizione dello spazio degli stati del sistema nel caso della presenza di particelle identiche è del tutto irrilevante per le considerazioni che seguono. Nota importante In meccanica quantistica è possibile che il sistema considerato non sia in uno stato definito. Ad esempio, con ovvio significato dei simboli, la funzione d onda di una molecola biatomica ha la forma ψ(x, m 1, m 2 ) Ψ(X) ψ 1 (x 1, m 1 ) ψ 2 (x 2, m 2 ) dove nè l atomo 1, nè l atomo 2 sono in stati definiti. Nell ambito della formulazione standard, a ogni grandezza fisica G del sistema S F S LE GRANDEZZE FISICHE è associato un operatore autoaggiunto nello spazio di Hilbert H S (1) Ĝ = g ip i + dg g P g, i σ c dove P i indica il proiettore sull autospazio di Ĝ corrispondente all autovalore g i e P g indica il proiettore (improprio) sull autospazio (improprio) corrispondente all autovalore (improprio) g. Gli autovalori propri e impropri sono i valori attribuibili alla grandezza G. A ogni stato ψ di S è associata una distribuzione dei valori della grandezza G data da (2) ϱ ψ (g) = i δ(g g i) ψ P i ψ + ψ P g ψ.

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 3 F S L EVOLUZIONE DELLO STATO L evoluzione di Schrödinger Se il sistema considerato S è chiuso (cioè se non interagisce con altri sistemi dotati di gradi di libertà) e se è in uno stato definito il vettore di stato di S evolve secondo l equazione di Schrödinger (3) i ħ d dt ψ t = Ĥ ψ t. L evoluzione di Schrödinger è deterministica e lineare. La situazione misurazione La formulazione standard della meccanica quantistica assume i seguenti principi: M1 esistono situazioni speciali identificabili come misurazioni; M2 esistono sistemi fisici speciali, gli apparati misuratori, la cui presenza in modi opportuni identifica le misurazioni; M3 gli apparati misuratori, pur interagendo con il sistema considerato e per essendo dotati di gradi di libertà, non sono inclusi nella descrizione dinamica del sistema; M4 in occasione delle misurazioni il sistema cessa di essere chiuso, manca il primo presupposto per l applicazione dell equazione di Schrödinger, e si applicano quindi regole speciali. Descriveremo in seguito queste regole speciali, almeno per una classe tipica di misurazioni. Nota La proposizione M2 regge l intera costruzione. Ciò imporrebbe una caratterizzazione precisa degli apparati misuratori al livello dei principi, che invece non viene data.

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 4 F S LA MISURAZIONE I risultati A ogni apparato misuratore A della grandezza G del sistema S è associata una partizione dello spettro dell operatore Ĝ in sottoinsiemi disgiunti e il risultato della misurazione è l appartenenza del valore di G a uno dei sottoinsiemi della partizione associata a A. La distribuzione di probabilità dei risultati della misurazione di G effettuata sul sistema nello stato ψ è data dalla distribuzione ϱ ψ (g) dei valori di G nello stato ψ. Cioè, se η è uno dei sottoinsiemi dello spettro di Ĝ associati a A, (4) Pr(G η ψ) = dg ϱ ψ (g) = ψ P η ψ, dove P η è il proiettore sul sottospazio H η generato dagli autovettori corrispondenti agli autovalori (propri e impropri) appartenenti a η. In particolare la probabilità che il risultato sia il valore g n appartenente allo spettro discreto di Ĝ è η Pr(G = g n ψ) = gn +δ dg g n δ i δ(g g i) ψ P i ψ = ψ P n ψ e la probabilità che il risultato sia l intervallo (g, g ) contenuto nello spettro continuo di Ĝ è g Pr(G (g, g ) ψ) = dg ψ P g ψ = ψ P (g,g ) ψ. g Nota Per la legge di probabilità (4) se il vettore di stato appartiene al codominio H η di P η, cioè se ψ = P η ψ, e solo in questo caso la misurazione dà certamente il risultato G η. In particolare, se il vettore di stato ψ è autovettore corrispondente a un autovalore g i dello spettro discreto, cioè appartiene all autospazio corrispondente, cioè ψ = P i ψ, il risultato dela misurazione è certamente g i (ovviamente purché il singolo g i sia un elemento della partizione dello spettro di Ĝ associata a A).

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 5 Le regole speciali sull evoluzione Il principio di riduzione La formulazione standard assume che in occasione di una misurazione lo stato del sistema misurato subisca in generale una modificazione improvvisa detta riduzione ψ t ψ t+ dipendente dal risultato della misurazione. Se la ripetizione immediata della stessa misurazione dà con certezza lo stesso risultato la misurazione è detta ripetibile. Per la legge di probabilità (4), condizione necessaria e sufficiente per la ripetibilità è che, se il risultato della prima misurazione è G η, il vettore di stato ψ t+ a misurazione avvenuta appartenga a H η, cioè (5) ψ t G η ψ t+ H η. In particolare questo è il caso se vale la regola della proiezione IL PROBLEMA DELLA MISURAZIONE QUANTISTICA Pavia TMQ 102 (6) ψ t G η ψ t+ = P η ψ t la sua norma Nota Se H η è unidimensionale, cioè se η contiene unicamente un autovalore dello spettro discreto e questo è non degenere, la ripetibilità implica la regola (6). Esempio L evoluzione dello stato all atto di una misurazione che accerti se una particella è dentro o fuori un certo volume, può essere rappresentata dalla figura seguente: ψ t (x) se risultato = "dentro" se risultato = "fuori" ψ in (x) ψ out (x)

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 6 Nota La formulazione standard non include nella descrizione dinamica l apparato misuratore A e la sua interazione con il sistema misurato S. Tuttavia non può negare e non nega che l apparato ci sia, sia inizialmente in uno stato A rd (almeno parzialmente noto) e alla fine del processo sia in uno stato che palesa il risultato della misurazione. Se la misurazione è ripetibile la riduzione dello stato di S deve soddisfare la regola (5) e l evoluzione del sistema S + A ha la forma (7) ψ A rd G η ψ η A η, dove ψ η, che dipende dallo stato ψ prima della misurazione, appartiene a H η e i diversi A η sono stati macroscopicamente distinguibili di un sistema macroscopico. Se, in particolare, la riduzione dello stato di S soddisfa la regola (6) l evoluzione del sistema S + A assume la forma (8) ψ A rd G η P η ψ la sua norma A η, dove gli A η sono stati macroscopicamente distinguibili di un sistema macroscopico. Nota L evoluzione all atto della misurazione descritta sopra è stocastica e non lineare. Precisazione Il processo di misurazione come descritto sopra è stato notevolmente idealizzato. Tuttavia è ragionevole supporre che esistano misurazioni (in particolare quelle di posizione) che approssimano bene il comportamento descritto. Inoltre si può dimostrare che descrizioni più realistiche del processo non cambiano significativamente le considerazioni che seguiranno.

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 7 LA TEORIA DELLA MISURAZIONE QUANTISTICA ovvero L INCLUSIONE DELL APPARATO NELLA DESCRIZIONE Critica della formulazione standard Abbiamo già rilevato il carattere ambiguo e impreciso della proposizione M2 esistono sistemi fisici speciali, gli apparati misuratori, la cui presenza in modi opportuni identifica le misurazioni. Ne deriva la difficoltà di accettare la netta differenziazione tra il comportamento ordinario retto dall equazione di Schrödinger e il comportamento in caso di misurazione previsto dalle proposizioni M e specificato dalle regole speciali sull evoluzione. Il rifiuto della proposizione M2, conduce quindi al tentativo di trattare i processi di misurazione secondo i principi ordinari, o eventualmente secondo principi modificati ma comunque validi universalmente, cioè di fare la cosiddetta teoria della misurazione. Il programma Consiste nell includere nella descrizione, oltre al sistema misurato S, l apparato misuratore A e trattare il sistema S + A così ottenuto secondo i principi universali che sono assunti, ordinari o modificati. Se la descrizione della misurazione che se ne ricava è corretta, il concetto di misurazione è eliminato dai principi della teoria e le proposizioni sulle misurazioni non hanno più alcun ruolo a livello dei principi. Cominceremo assumendo come principio universale l evoluzione ordinaria, come è descritta dall equazione di Schrödinger. Nota L inclusione degli apparati misuratori è obbligatoria se si ha l ambizione di dare una descrizione quantistica dell universo. Infatti, per definizione, nell universo c è dentro tutto.

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 8 Una caso particolare di stato prima della misurazione Consideriamo la misurazione di una grandezza G del sistema S, e supponiamo per semplicità che Ĝ abbia spettro puramente discreto, cioè sia Ĝ = g ip i. i Abbiamo visto che se lo stato ψ di S è tale che ψ = P i ψ la misurazione dà con certezza il risultato G = g i. Se vale la regola della proiezione (8) (questo è necessariamente il caso se gli autovalori g i sono non degeneri) l evoluzione di S + A conseguente alla misurazione deve avere la proprietà (9) ψ i A rd ψ i A i, per ogni ψ i = P i ψ i. Poiché il nostro programma (almeno per il momento) è quello di descrivere l evoluzione del sistema S + A all atto di una misurazione per mezzo dell equazione di Schrödinger, ci dobbiamo chiedere se la proprietà obbligatoria (9) sia compatibile con questa equazione. La risposta è affermativa, nel senso che è possibile specificare l operatore hamiltoniano Ĥ per il sistema S + A in modo da ottenere un evoluzione come data dall equazione di Schrödinger che abbia appunto la proprietà richiesta. Ciò è illustrato dal seguente modello dovuto sostanzialmente a von Neumann.

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 9 Modello di sistema S + A Sia Ĥ(t) = ĤS + ĤA + ĤS-A(t) l operatore hamiltoniano del sistema S + A. Se la durata del processo di misurazione (9) è sufficientemente breve possiamo trascurare l evoluzione libera del sistema S assumendo ĤS = 0. Schematizziamo A come costituito dal solo indicatore macroscopico dotato di un solo grado di libertà; sia M la sua massa, ˆX la sua posizione, ˆP il momento coniugato e Ĥ A = ˆP 2 2M il suo operatore hamiltoniano in assenza di interazioni. Definiamo, in termini dei proiettori P i della risoluzione di Ĝ, l operatore di S ˆn = i i P i, e assumiamo l operatore di interazione Ĥ S-A (t) = dβ(t) dt F (ˆn) ˆP, dove β(t) è una funzione numerica adimensionale e ha l andamento indicato nella figura e F (ˆn) ha le dimensioni di una lunghezza ed è tale che tutte le distanze F (i) F (j) siano macroscopiche.

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 10 Supponiamo per fissare le idee che i valori medi della posizione e del momento nello stato A rd di "pronto" di A siano nulli, X(0) = A rd ˆX A rd = 0, P (0) = A rd ˆP A rd = 0. Inoltre lo scarto medio della posizione sia molto piccolo rispetto alle distanze macroscopiche, X 2 (0) = A rd ˆX 2 A rd F (i) F (j). Poiché [ Ĥ A,β(t)F (ˆn) ˆP )] = 0, è facile verificare che U(t) = exp ( (i/ħ) ĤA t ) exp ( (i/ħ) β(t)f (ˆn) ˆP ) è l operatore di evoluzione temporale del sistema S + A, e quindi Ψ t = exp ( (i/ħ) ĤA t ) exp ( (i/ħ) β(t)f (ˆn) ˆP ) ψ i A rd = ψ i exp ( (i/ħ) β(t)f (i) ˆP ) }{{} exp ( (i/ħ) ĤA t ) }{{} A rd = ψ i { T }} {{}}{ [β(t)f (i)] U 0 (t) A rd è soluzione dell equazione di Schrödinger soddisfacente la condizione iniziale Ψ 0 = ψ i A rd. Lo stato di A U 0 (t) A rd è l evoluto libero di A rd e, poiché P = 0, esso resta posizionato in X = 0. Per il valore macroscopico della massa M, scelto opportunamente P 2, lo sparpagliamento è trascurabile e U 0 (t) A rd ha una larghezza in posizione X 2 (t) dello stesso ordine di L operatore T [β(t)f (i)] trasla lo stato U 0 (t) A rd della lunghezza β(t)f (i), cioè, per t > t 1, della lunghezza F (i). In conclusione, se Ψ 0 = ψ i A rd, per t > t 1, X 2 (0) F (i) F (j). Ψ t = ψ i A i dove gli stati A i dell indicatore macroscopico A sono macroscopicamente distinguibili.

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 11 Il problema Se ora consideriamo il sistema S in uno stato generale sovrapposizione di stati ψ i = P i ψ i, ψ = c i ψ i, i la proprietà (9) e la linearità dell evoluzione di Schrödinger impongono il risultato (10) c i ψ i A rd c i ψ i A i. i i Lo stato ottenuto nel caso generale è sorprendente e di difficile interpretazione; inoltre non rivela un risultato della misurazione. È comunque diverso dalla previsione della formulazione standard secondo la quale lo stato a misurazione conclusa è (11) uno degli stati ψ i A i, ciascuno con probabilità c i 2. Il gatto di Schrödinger Per evidenziare l inconcepibilità di uno stato del tipo c i ψ i A i i Schrödinger immaginò un esperimento in cui l apparato A è costituito, oltre che da un rivelatore R, da un gatto e da un dispositivo che avvelena oppure no il gatto secondo che il risultato della determinazione della posizione di una particella è "dentro" oppure "fuori". L evoluzione della funzione d onda è allora ( ) c in ψ in + c out ψ out R 0 gatto vivo c in ψ in R 1 gatto morto + c out ψ out R 2 gatto vivo.

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 12 Il caso puro e la miscela Esaminiamo la differenza tra il risultato dell evoluzione di Schrödinger e le previsioni della formulazione standard facendo riferimento a un insieme statistico (ensemble), cioè ripetiamo un (grande) numero N di volte la misurazione, per mezzo dell apparato A, della grandezza G di S sempre con il sistema misurato nello stesso stato generale ψ. Nel caso dell evoluzione di Schrödinger l ensemble di sistemi S + A è costituito (caso puro) da N sistemi tutti nello stato (12) c i ψ i A i. i Nel caso della formulazione standard l ensemble di sistemi S + A è costituito (miscela) da N c 1 2 sistemi nello stato ψ 1 A 1, (13) N c 2 2 sistemi nello stato ψ 2 A 2, Chiediamoci se, eseguendo una successiva misurazione sul sistema S + A per mezzo di un ulteriore apparato, le due situazioni sono distinguibili. Sia ˆF S+A = k f k P S+A k l operatore che rappresenta la grandezza di S + A che viene misurata. Allora nel caso puro otteniamo il risultato f k un numero di volte pari a N per ij c j c i ψ j A j P S+A k ψ i A i = i c i 2 ψ i A i P S+A k ψ i A i + i j c j c i ψ j A j P S+A k ψ i A i. Nel caso della miscela otteniamo f k un numero di volte pari a N per i c i 2 ψ i A i P S+A k ψ i A i. La differenza tra i due casi sta nell interferenza tra i diversi termini nello stato puro (12), tradotta dal contributo (14) alla probabilità del risultato f k. i j c j c i ψ j A j P S+A k ψ i A i Le due situazioni sono dunque distiguibili in linea di principio, anche se, come vedremo, può essere molto difficile distinguerle sperimentalmente.

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 13 Proposte e risposte Ignorare il problema Se avessi il tempo di occuparmene, risolverei io il problema L ortodossia di Copenaghen La teoria quasi ortodossa Una falsa soluzione L interpretazione d ensemble La teoria della funzione d onda universale o più modernamente La formulazione delle storie (decoerenti) La meccanica bohmiana La meccanica quantistica con localizzazione spontanea

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 14 L ORTODOSSIA DI COPENAGHEN L interpretazione ortodossa di Copenaghen è il modo tradizionale di giustificare la formulazione standard, Secondo questa interpretazione i discorsi che abbiamo appena fatto sono insensati. Ciò che è sbagliato fin dall inizio è la pretesa di descrivere l apparato A con la meccanica quantistica. L apparato è un sistema macroscopico, o almeno lo è quella sua parte che funge da indicatore. Come tale a esso si applica la meccanica classica, secondo la quale un sistema è sempre in uno stato ben definito. Perciò le argomentazioni che ci hanno portato ad attribuire al sistema S + A lo stato (12) c i ψ i A i i sono infondate e questo non può nemmeno essere preso in considerazione. Detta la stessa cosa in modo diverso, il carattere macroscopico dell apparato o del suo indicatore comporta l attribuzione a esso di quel carattere speciale che sta a fondamento delle proposizioni della formulazione standard concernenti la misurazione e in particolare permette l assunzione del principio della riduzione che porta alla distruzione dello stato (12). Obiezioni Il carattere macroscopico di un sistema, anche se nella stragrande maggioranza dei casi concreti sappiamo dire se un sistema è macroscopico o no, sfugge a una definizione precisa. Esistono sistemi, usualmente detti mesoscopici, con caratteristiche intermedie tra microscopico e macroscopico. La mancanza di una definizione senza ambiguità dovrebbe impedire l uso del concetto a livello dei principi. Se si accetta l impostazione di Copenaghen la formulazione dei principi della meccanica quantistica viene a dipendere dalle proposizioni di un altra teoria, la meccanica classica. Ciò è accettato da molti, secondo i quali non è possibile enunciare i principi della meccanica quantistica senza invocare la meccanica classica. Ma la meccanica classica, che sarebbe un presupposto dell enunciazione della meccanica quantistica, per altri versi è anche certamente un caso limite di quest ultima.

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 15 LA TEORIA QUASI ORTODOSSA Indico con questo nome una risposta semplice al problema, che accetta l inclusione dell apparato nella descrizione quantistica (diversamente dall interpretazione ortodossa) ma ugualmente fornisce una giustificazione della riduzione della formulazione standard. La catena di von Neumann La risposta in questione si fonda sull osservazione che in realtà il sistema S + A deve essere completato. Per esemplificare, osserviamo che oltre all apparato A, ci sarà un raggio di luce B che va dall apparato all occhio dello sperimentatore, l occhio conterrà una retina C sulla quale si formerà un immagine, alla retina è connesso il nervo ottico D che trasmette un segnale, il segnale arriva al cervello E che lo registra, eccetera. L evoluzione ordinaria del sistema S + A + B + C + D + E + + Z è ( ) ( ) c i ψ i A rd B rd C rd... Z rd c i ψ i A i B rd C rd... Z rd i i ( ) c i ψ i A i B i C rd... Z rd i ( ) c i ψ i A i B i C i... Z rd i....................................... c i ψ i A i B i C i... Z i. i L ultimo anello Z della catena è, secondo von Neumann, la consapevolezza dello sperimentatore. Il taglio della catena Secondo von Neumann, la catena deve essere tagliata in qualche punto, rinunciando ad applicare l evoluzione ordinaria alla parte a destra della catena. Il primo elemento di tale parte destra avrebbe la proprietà di precipitare necessariamente in uno degli stati possibili provocando conseguentemente la riduzione dell intera catena. È confortante che in qualunque punto si metta il taglio, il risultato non cambi. Sempre secondo von Neumann la cosa più ragionevole è attribuire alla consapevolezza dello sperimentatore (l ultimo anello) la proprietà di ribellarsi all evoluzione di Schrödinger e provocare la riduzione.

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 16 Obiezioni L introduzione in discorsi di fisica di un concetto quale quello di consapevolezza può suscitare forti perplessità. Si può inserire nella catena un dispositivo di registrazione e differire nel tempo la lettura della registrazione da parte dello sperimentatore, cioè differire l interazione tra tale dispositivo e la parte destra della catena. È difficile credere che in una siffatta situazione la parte sinistra della catena (che termina con il registratore) resti nel limbo della sovrapposizione e che solo al momento della successiva lettura intervenga la consapevolezza a sistemare le cose. Si può inserire nella catena un "amico" (il cosiddetto "amico di Wigner") il quale riferisce allo sperimentatore il risultato della misurazione. È difficile attribuire all amico un ruolo diverso da quello dello sperimentatore. Si è allora portati ad attribuire il potere di provocare la riduzione al primo "essere consapevole" che compare nella catena. Ma il concetto di essere consapevole non è meno ambiguo di quello di apparato misuratore. A questo proposito si deve anche sottolineare che, secondo le moderne teorie cosmologiche, la funzione d onda dell universo come data dall equazione di Schrödinger può avere presentato nella sua evoluzione situazioni di sovrapposizione di stati macroscopicamente distinti che avrebbero dato luogo per riduzione all universo macroscopicamente unico e definito quale oggi si presenta. Bell espresse la sua perplessità di fronte all ambiguità del concetto di essere consapevole con il seguente interrogativo ironico: Was the world wave function waiting to jump for thousands of millions of years until a single celled living creature appeared? Or did it have to wait a little longer for some more highly qualified measurer... with a Ph.D.?

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 17 UNA FALSA SOLUZIONE Prima di proseguire è bene discutere una soluzione del problema cui è facile pensare ma di cui si dimostra subito la falsità. Abbiamo fin qui indicato con A rd lo stato di pronto dell apparato. In realtà l apparato è un oggetto macroscopico e certamente la sua condizione di pronto non corrisponde a un unico, bensì a molti stati A rd k con k ignoto. Sembra abbastanza naturale attribuire ai diversi possibili valori di k i diversi possibili esiti della misurazione. Nella situazione descritta sopra, l ensemble E A di N sistemi apparato che utilizziamo per la misurazione non è l ensemble caso puro corrispondente allo stato A rd dell apparato, ma è l ensemble miscela costituito da Nw k apparati nello stato A rd k, k = 1, 2,..., con w k = 1. k Corrispondentemente l ensemble E S+A di sistemi S + A prima della misurazione è la miscela costituita da Nw k sistemi nello stato ψ A rd k, k = 1, 2,..., dove come al solito ψ = c i ψ i. i Secondo la nostra ipotesi è il valore di k che determina l esito della misurazione, cioè il risultato G = g i si presenta ogni volta che k appartiene al sottoinsieme I i dei suoi valori, vale a dire ψ A rd k ψ i A i k, N (I i) w k volte. k I i k Ma il risulato G = g i si deve presentare N c i 2 volte. Otteniamo quindi la condizione (Ii ) k w k = c i 2, cioè, affinché la distribuzione dei risultati sia quella corretta, la composizione dell ensemble di apparati deve dipendere dal particolare stato di S. Ciò significa che l ipotesi non regge.

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 18 L INCOERENZA EFFICACE Abbiamo visto che la differenza in caso di ulteriore misurazione su S + A tra l ensemble caso puro (12) previsto dall equazione di Schrödinger e l ensemble miscela (13) previsto dalla formulazione standard è costituita dai termini interferenziali (14). In realtà l interferenza tra i diversi termini nello stato puro è praticamente impossibile da rivelare, ovvero essi sono efficacemente incoerenti. Il caso puro e la miscela sono allora praticamente indistinguibili. Origine dell incoerenza efficace L incoerenza efficace si può far discendere da diverse assunzioni. Ad esempio discende dall assunzione che, essendo l apparato macroscopico, su di esso si possano misurare, in pratica, solo grandezze compatibili. Accettazione di argomenti FAPP (For All Practical Purposes) L incoerenza efficace nasce sempre da qualche tipo di limitazione pratica alla possibilità di misurare grandezze che peraltro sarebbero matematicamente perfettamente definite. L idea di utilizzare, in una discussione sui principi della teoria, argomenti validi "praticamente" può apparire inaccettabile. Per non eliminare dalla discussione posizioni fatte proprie da autorevoli sostenitori, decidiamo tuttavia di non respingere alcuna formulazione a causa del carattere FAPP degli argomenti su cui si basa.

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 19 La decoerenza Il modo concettualmente più convincente di ottenere l incoerenza efficace si basa sulla doppia osservazione che l apparato, per il suo carattere macroscopico, inevitabilmente interagisce con l ambiente; che è impossibile eseguire sull ambiente tutte le misurazioni concepibili in linea di principio. Schematizzando l andamento del processo, l interazione tra l apparato A e l ambiente E può essere considerata successiva a quella tra il sistema misurato S e l apparato A. Allora l evoluzione di Schrödinger dell ensemble di sistemi S + A + E può essere descritta come c i ψ i A rd E 0 c i ψ i A i E 0 c i ψ i A i E i. i i i Se la misurazione successiva a quella effettuata da A sul sistema S è una grandezza del solo sistema S + A e se gli stati finali E i dell ambiente E sono mutuamente ortogonali, i termini interferenziali (14) sono (15) i j c j c i ψ j A j E j P S+A k ψ i A i E i = i j c j c i ψ j A j P S+A k ψ i A i E j E i = 0. In queste condizioni l ensemble stato puro e l ensemble miscela sono quindi indistinguibili e l evoluzione di Schrödinger e la formulazione standard possono essere considerate equivalenti. Nota Il concetto di ambiente è estremamente ampio. Ad esempio possono essere considerati ambiente anche tutti quei gradi di libertà interni all apparato che, pur non essendo coinvolti attivamente nel processo di misurazione, sono influenzati dall esito di questo. Se alcuni di questi gradi di libertà finiscono in stati ortogonali e se non possono essere raggiunti da misurazioni che li riguardino, i termini interferenziali relativi alle misurazioni su S + A effettivamente fattibili sono nulli.

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 20 Un modello giocattolo di decoerenza Consideriamo il caso in cui la grandezza G misurata da A sul sistema S abbia solo due valori, cioè sia Ĝ = g 1P 1 + g 2 P 2. Allora l evoluzione del sistema S + A + E successiva all interazione S A si scrive ( c1 ψ 1 A 1 + c 1 ψ 2 A 2 ) E 0 c 1 ψ 1 A 1 E 1 + c 1 ψ 2 A 2 E 2 In un modello in cui l ambiente E sia costituito da molecole di gas residuo l evoluzione dovuta all interazione A E può essere descritta nel modo seguente: c 1 E 1 A 1 ψ 1 E 0 + c 2 ψ 2 8888888888888 A 2 8 E 2 E 0 Nei due termini dello stato, a interazione avvenuta, le funzioni d onda di una singola molecola di gas residuo si trovano in regioni dello spazio diverse, sono ortogonali, e sono quindi ortogonali le funzioni d onda dell intero gas residuo E. Pertanto i due termini nello stato di S + A + E sono efficacemente incoerenti se una qualsiasi ulteriore misurazione coinvolge solo il sistema S + A, cioè è caratterizzata da un sistema di proiettori del tipo P S+A k. L ensemble caso puro e l ensemble miscela sono allora indistinguibili. Nota La decoerenza dovuta all ambiente si realizza in concreto con esattezza praticamente assoluta, ma non esattamente in senso stretto. I due pacchetti E 1 e E 2 della molecola di gas residuo considerata hanno code che causano una, sia pure piccolissima, sovrapposizione.

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 21 L incoerenza efficace apre la strada L INTERPRETAZIONE D ENSEMBLE a un altra possibile formulazione della meccanica quantistica che provvisoriamente può essere riassunta nei seguenti principi. E1 Il vettore di stato evolve sempre secondo l equazione di Schrödinger. E2 Esso descrive non un singolo sistema ma un ensemble di sistemi. E3 Il legame tra il vettore di stato e i fatti sperimentali è dato dalla legge di probabilità quantistica. In particolare, dopo la misurazione di G effettuata da A su S, l ensemble è descritto dal vettore di stato ovvero, includendo nella descrizione l ambiente, L equivalenza pratica tra questa formulazione e la formulazione standard è assicurata dall incoerenza efficace. Confronto con la formulazione standard Esiste una profonda differenza concettuale tra questa formulazione e la formulazione standard. i c i ψ i A i i c i ψ i A i E i. Nella formulazione standard il vettore di stato descrive un singolo sistema, cioè un singolo elemento dell ensemble eventualmente considerato. Confrontando l interpretazione d ensemble con la formulazione standard riconosciamo subito che, nell ambito di quest ultima, l elemento del complesso dei principi che permette di associare il vettore di stato a un singolo sistema è precisamente il principio di riduzione.

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 22 Una precisazione importante Prima di procedere alla discussione dell interpretazione d ensemble dobbiamo precisare meglio l enunciato E3. E3 Il legame tra il vettore di stato e i fatti sperimentali è dato dalla legge di probabilità quantistica. Le probabilità specificate dalla legge di probabilità quantistica sono probabilità... di che cosa? Due risposte Sono possibili due risposte, delle quali una conduce all interpretazione d ensemble che discuteremo subito, l altra conduce alla formulazione delle storie di cui ci occuperemo in seguito. Prima risposta interpretazione d ensemble Dato il vettore di stato a un tempo t qualsiasi, le probabilità cui si riferisce l enunciato E3 sono le probabilità dei risultati di una qualsiasi misurazione che venga eseguita a un tempo successivo t + τ. (interponendo l evoluzione di Schrödinger se τ è finito). Seconda risposta formulazione delle storie Dato il vettore di stato a un tempo t qualsiasi, le probabilità cui si riferisce l enunciato E3 sono le probabilità che, fino al tempo t, si siano realizzate le successioni di situazioni descritte ognuna da un termine nel vettore di stato.

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 23 I principi dell interpretazione d ensemble E1 Il vettore di stato evolve sempre secondo l equazione di Schrödinger. E2 Esso descrive non un singolo sistema ma un ensemble di sistemi. In particolare, dopo la misurazione del nostro esempio, l ensemble è descritto dal vettore di stato i c i ψ i A i E3 Dato il vettore di stato a un tempo t qualsiasi, le probabilità dei risultati di una qualsiasi misurazione che venga eseguita a un tempo successivo t + τ sono date dalla legge di probabilità quantistica (applicata al vettore di stato evoluto da t a t + τ secondo l equazione di Schrödinger se τ non è zero). Attenzione! Se vogliamo discutere seriamente l interpretazione d ensemble la proposizione E3 deve essere presa sul serio, cioè deve essere applicabile a ogni tempo e a ogni misurazione sensatamente proponibile. Una prima critica: rimane il concetto di misurazione L inclusione dell apparato nella trattazione, non evita il riferimento a misurazioni ulteriori. Il concetto di misurazione resta un concetto primitivo, incorporato nell interpretazione d ensemble a livello dei principi. Dobbiamo ancora assumere che esistano sistemi apparato esterni al sistema S + A (o S + A + E), che si sottraggono all evoluzione secondo l equazione di Schrödinger nel senso che sono sempre in uno stato macroscopicamente definito. Si può inoltre obiettare che l interpretazione d ensemble non permette di fondare una cosmologia quantistica, poiché non possono esistere apparati misuratori esterni all universo e non ha senso condiderare un ensemble di universi.

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 24 Una critica decisiva: si ottengono inconsistenze Abbiamo già deciso di tralasciare l obiezione che i principi come li abbiamo enunciati hanno un carattere FAPP. Tralasciamo anche l obiezione sulla mancata eliminazione del concetto di misurazione a livello dei principi. Allora, se limitiamo ogni discussione all ensemble di sistemi sul quale eseguiamo la prima misurazione, l interpretazione d ensemble può apparire sostenibile. Essa tuttavia trascura il fatto che è possibile e del tutto legittimo scomporre l ensemble originario in subensemble (tutti numerosi quanto si vuole) sulla base dei risultati della prima misurazione. Se si effettua una tale scomposizione e si applica l interpretazione d ensemble ai subensemble così ottenuti, si ottengono inconsistenze. Precisamente, si possono immaginare diverse misurazioni successive alla prima per le quali, applicando i principi della formulazione, si ottengono due previsioni contrastanti (delle quali una corretta, l altra no). Nota Oltre a quello che esporrò esistono altri argomenti che mostrano le inconsistenze dell interpretazione d ensemble.

IL PROBLEMA DELLA MISURAZIONE QUANTISTICA Pavia 11/4/2012 MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 25 Discussione dell interpretazione d ensemble Consideriamo un ensemble E di sistemi S nello stato ψ. Assumiamo per semplicità che l evoluzione temporale di Schrödinger sia trascurabile, tranne che in occasione delle misurazioni che effettueremo. Al tempo t 1 l apparato A misuri la grandezza G di S rappresentata dall operatore Ĝ = i g i P S i. Al tempo t 2 > t 1 l apparato A misuri di nuovo la medesima grandezza, Al tempo t 3 > t 2 l apparato B esegua una terza misurazione che descriveremo. I tempi che ci interessano sono dunque t 1 t 1 t 1 + t 2 t 2 t 2 + t 3 t 3 Sia ψ = i c i ψ i, dove ψ i = P S i ψ i, lo stato di S al tempo t 1. Allora l evoluzione di Schrödinger fino al tempo t 3 del vettore di stato che descrive l ensemble E di sistemi S + A + A + B + E si può scrivere schematicamente ( ) Ψ t1 = c i ψ i A rd A rd B rd E 0 i S.E. ( ) Ψ t1 + = c i ψ i A i E i A rd B rd = Ψ t2 i S.E. ( ) Ψ t2 + = c i ψ i A i A i E i B rd = Ψ t3. i La decoerenza garantisce che le distribuzioni dei risultati nell ensemble E di qualsiasi misurazione che non coinvolga E (e quindi in particolare della seconda considerata) coincidano con quelle delle corrispondenti miscele e perciò siano in accordo con le previsioni della formulazione standard.

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 26 Selezione di subensemble Compiuta la prima misurazione, sulla base dei risultati di questa, possiamo selezionare il subensemble E k costituito dagli elementi di E per i quali è stato ottenuto il risultato G = g k. Questa è un operazione del tutto legittima che può essere fatta non solo idealmente ma anche concretamente. La funzione d onda Ψ t1 + = Ψ t2, che descrive l ensemble E prima della seconda misurazione, descrive anche il subensemble E k (l affermazione contraria equivarrebbe ad ammettere che la prima misurazione ha provocato una riduzione). Se ora applichiamo la regola E3 al subensemble E k descritto da Ψ t2 per calcolare la distribuzione dei risultati della seconda misurazione, dalla relazione Pk S ψ i = δ ki ψ i otteniamo Pr(G = g k, 2 a mis.) = Ψ t2 Pk S Ψ t2 = c k 2 anziché 1 come dovremmo. A questo punto potremmo essere tentati di concludere semplicemente che l interpretazione d ensemble dà risultati errati, ma questo non è del tutto corretto. Specifichiamo infatti la terza misurazione in modo che consista nella lettura simultanea degli indicatori di A e A. Per la perfetta correlazione tra le funzioni d onda di A e A in Ψ t2 + = Ψ t3 otteniamo Pr(risultato 1 a mis. = risultato 2 a mis.) = 1, e quindi (correttamente) per il subensemble E k Pr(G = g k, 2 a mis.) = 1. In conclusione, secondo questo argomento, l interpretazione d ensemble ha seri problemi di consistenza.

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 27 L origine del problema Mi sembra evidente che la difficoltà che abbiamo rilevato discende dal fatto che non esiste nell interpretazione d ensemble alcun elemento di descrizione del sistema che sia in corrispondenza con il risultato di una singola misurazione. Cioè si verifica un diverso fatto in ogni singolo sistema in istudio (ogni singolo elemento dell ensemble), il successivo comportamento del sistema dipende da quel particolare fatto, ma non è dato alcuno strumento per descriverlo. Queste considerazioni inducono a enunciare il seguente Requisito di buon senso Ogni formulazione della meccanica quantistica che non vada incontro a problemi di consistenza deve contenere elementi di descrizione del sistema che, a misurazione avvenuta, siano correlati al risultato della misurazione. Nota Il requisito di buon senso è condizione necessaria per la consistenza ma può non essere sufficiente affinché una formulazione sia soddisfacente. La formulazione standard soddisfa il requisito di buon senso. L elemento di descrizione del sistema in corrispondenza con il risultato della misurazione è la funzione d onda ridotta.

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 28 Riprendiamo il Requisito di buon senso Ogni formulazione della meccanica quantistica che non vada incontro a problemi di consistenza deve contenere elementi di descrizione del sistema che, a misurazione avvenuta, siano correlati al risultato della misurazione. Bell ha espresso lo stesso giudizio in modo molto più sintetico e molto più tassativo con la seguente affermazione: La funzione d onda, come data dall equazione di Schrödinger, o non è tutto o è sbagliata Ecco la relazione tra il problema della misurazione e la questione della completezza: discutendo la misurazione siamo giunti alla conclusione che se non ammettiamo modificazioni dell equazione di Schrödinger (la funzione d onda non è sbagliata) dobbiamo aggiungere alla funzione d onda ulteriori elementi di descrizione del sistema.

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 29 LA FORMULAZIONE DELLE STORIE Si applica a un sistema chiuso (tipicamente l universo). Il vettore di stato evolve dal suo valore iniziale secondo l equazione di Schrödinger. In corrispondenza di ogni misurazione o evento tipo misurazione il vettore di stato (o termine nel vettore di stato) si scompone in termini. Perciò il vettore di stato nel corso del tempo si ramifica e al tempo t è costituito da una moltitudine di termini ciascuno dei quali corrisponde a una storia del sistema che è individuata dalla successione dei valori degli indici che descrivono le successive ramificazioni. Una storia viene indicata con il simbolo [P α ] che sta per Pα 1 1 (t 1 ),..., Pα n n (t n ), dove i Pα(t) k sono proiettori in descrizione di Heisenberg (come tali essi contengono la dinamica specificata dal hamiltoniano del sistema). Uno spazio di storie (cioè una scomposizione in termini del vettore di stato) si ottiene scegliendo i tempi ai quali vengono fatte le specificazioni e per ogni tempo scegliendo le specificazioni, cioè un sistema completo di proiettori tra loro ortogonali. Sotto opportune condizioni si introduce una misura di probabilità nello spazio delle storie. Anche se gli autori sono riluttanti ad ammetterlo, le probabilità, a mio parere, sono sempre probabilità del realizzarsi di un evento. Nel nostro caso gli eventi sono le storie dello spazio delle storie, una delle quali, quindi, si è realizzata o si realizzerà. La teoria soddisfa il requisito di buon senso poiché i valori degli indici di ramo corrispondono ai risultati delle misurazioni (o agli esiti delle situazioni tipo misurazione).

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 30 Problemi In una spazio di storie viene definito un funzionale di decoerenza D([P α ], [P α ]), il cui essere diagonale è la condizione affinché si possano consistentemente introdurre le probabilità. La decoerenza non è mai esatta, cioè D([P α ], [P α ]) non è mai esattamente diagonale. Given this discussion, the fundamental formula of quantum mechanics may be reasonably taken to be D([P α ], [P α ]) δ α 1 α 1 δ α n α n p([p α ]) for all [P α ] in a set of alternative histories. Vanishing of the off diagonal elements of D gives the rule for when probabilities may be consistently assigned. The diagonal elements give their values. Dato che il grossamento e l affinamento delle storie rispettivamente aumentano e dimuiscono la decoerenza dello spazio in cui sono poste la strategia proposta è di stabilire uno standard di accettabilità per lo zoppicare delle probabilità, e regolare di conseguenza la finezza delle storie. Resta che il simbolo nella fundamental formula di una teoria lascia perplessi. Ma un secondo problema è a mio avviso ancora più imbarazzante. Imposta la condizione di (approssimata) decoerenza, la scomposizione in termini del vettore di stato non è unica, ovvero esistono diversi spazi di storie decoerenti. Si possono imporre a uno spazio delle storie altre (approssimate) condizioni, che possono essere ritenute più o meno convincenti. Si devono considerare una sola volta spazi di storie tra di loro equivalenti (esistono diverse relazioni di equivalenza tra spazi di storie). Ma con tutto ciò non si arriva a considerare un unico spazio delle storie. Dunque esiste una molteplicità di spazi delle storie in ciascuno dei quali si introduce la probabilità di ciascuna storia e quindi in ciascuno dei quali una storia si realizza (e le altre no). Che senso ha?

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 31 LA MECCANICA BOHMIANA È una formulazione che assume l esistenza di variabili nascoste, cioè opera la scelta "la funzione d onda non è tutto". Lo stato del sistema è composto dal vettore di stato che evolve secondo l equazione di Schrödinger iħ d dt ψ t = Ĥ ψ t e dalla configurazione che ubbidisce all equazione di guida d dt x t = A ψt (x t ). L elemento dello stato che descrive il risultato della misurazione avvenuta è appunto la configurazione. L evoluzione dello stato, cioè della coppia { ψ, x}, è deterministica e la configurazione x t, oltre che descrivere il risultato della misurazione, lo determina, o meglio, costituisce essa stessa il risultato. Dove stanno allora le probabilità quantistiche? Si assume che tutte le volte che l evoluzione del mondo è tale che si forma un ensemble di sistemi della stessa specie tutti descritti dallo stesso ψ la distribuzione ϱ(x) della configurazione nell ensemble ubbidisca alla legge ϱ(x) = x ψ 2. La funzione A ψ (x) che specifica il secondo membro dell equazione di guida è scelta in modo tale che questa legge, se vale al tempo della formazione dell ensemble, si conservi valida a tutti i tempi. In altri termini il carattere statistico della meccanica quantistica è scaricato sulla distribuzione della configurazione nell ensemble. Si può dimostrare che l applicazione di questi principi al sistema S + A si traduce in una descrizione del processo di misurazione del tutto consistente.

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 32 LA MECCANICA QUANTISTICA CON LOCALIZZAZIONE SPONTANEA Introduce una correzione all equazione di Schrödinger, cioè opera la scelta "la funzione d onda,..., è sbagliata". Il principio evolutivo modificato deve avere validità incondizionata. La modifica deve essere stocastica e non lineare, come il processo di riduzione della formulazione standard. La modifica deve agire su quella parte macroscopica dell apparato che è in stati macroscopicamente distinguibili nei diversi termini dello stato. La modifica non deve avere conseguenze quantitativamente rilevanti sulla descrizione quantistica dei sistemi microscopici. Esistono diverse versioni. Tutte sono caratterizzate dal fatto che l evoluzione di Schrödinger è corretta da un processo (stocastico e non lineare) di localizzazione che ha la proprietà di essere praticamente del tutto inefficiente su oggetti microscopici, mentre comporta una sorta di effetto di amplificazione che lo rende estremamente efficace su oggetti macroscopici. L esistenza del processo di localizzazione è assunta e la sua origine fisica non è riconducibile all evoluzione di Schródinger. In questo senso la localizzazione è detta spontanea. Il primo modello proposto comporta salti istantanei del vettore di stato; questo può considerarsi poco elegante, ma non crea problemi di principio. Inoltre non si applica a sistemi di o con particelle identiche; e questa è certamente una grave limitazione. È possibile introdurre sia formulazioni continue nel tempo, sia formulazioni che si applicano a sistemi di o con particelle identiche.

MECCANICA QUANTISTICA: MISURAZIONE E COMPLETEZZA Pavia 18/4/2012 33 Come funziona Illustrerò brevemente il modello più semplice di correzione all equazione di Schrödinger. Il modello si applica solo a sistemi di particelle distinguibili. Ciò che vogliamo ottenere è la riduzione di sovrapposizioni di stati macroscopicamente distinguibili di oggetti macroscopici. Assumiamo che ciascun componente microscopico dell oggetto macroscopico subisca a tempi a caso con frequenza media λ un processo di localizzazione entro un volume di dimensioni lineari a. I valori assunti per i due parametri siano λ 10 7 s 1 e a 10 5 cm. Con questi valori il processo è praticamente inefficace per qualsiasi particella microscopica e non altera in modo apprezzabile la struttura degli oggetti macroscopici. Immaginiamo la situazione illustrata schematicamente dalla figura seguente.. i. i Ψ qui Ψ la È sufficiente che avvenga la localizzazione del componente microscopico indicato con i affinchè avvenga la localizzazione dell intero oggetto macroscopico. Se il numero di componenti microscopici dell oggetto macroscopico è dell ordine di 10 23 la localizzazione dell intero oggetto avviene con frequenza 10 23 10 7 s 1 = 10 16 s 1.