Simulazioe di prova d Esame di Stato Problema Risolvi uo dei due problemi e 5 dei quesiti i cui si articola il questioario I u sistema di riferimeto cartesiao ortogoale è assegata la seguete famiglia di fuzioi reali di variabile reale: = f () = e +e, essedo u geerico umero aturale,. Sia poi C il grafico corrispodete alla fuzioe = f (). a. Posto =, studiare la fuzioe = f (), rappresetare il grafico el riferimeto cartesiao ortogoale e ricavare l equazioe della retta tagete a tale grafico el puto d icotro co l asse delle ordiate. b. Posto quidi =, determiare il umero reale a tale che, R, si abbia f () f ( ) =a. Servedosi della precedete uguagliaza, dedurre ua trasformazioe geometrica mediate la quale la curva C può essere ricavata a partire dalla curva C. Disegare quidi il grafico della fuzioe = f () el medesimo sistema di riferimeto cartesiao ortogoale. c. Si cosideri adesso la successioe reale (u ) N il cui termie geerale è u = f ()d. Verificare che u + u =e calcolare il valore di u. Provare poi che, essedo u geerico umero aturale positivo, si ha u + + u = e. d. Mostrare che, N, si ha u > e che f + () f (), N e [; ]. Spiegare quidi per quale motivo la successioe (u ) N coverge verso u limite umerico L se + e, dopo aver valutato lim + Risoluzioe e, ricavare il valore di L. LESCHER EDITRE 9 - PAGINA LIBERAMENTE FTCPIABILE A US DIDATTIC a. Si ha: f () = +e ; f () = e +e. Il grafico della fuzioe = f () preseta l asitoto orizzotale siistro =e l asitoto orizzotale destro =. L espressioe della derivata prima è = = 4 +. e ( + e. L equazioe della retta tagete richiesta è )
f () = +e f () = e +e f () = = 4 + +e LESCHER EDITRE 9 - PAGINA LIBERAMENTE FTCPIABILE A US DIDATTIC b. Il valore della costate a è, cosicché la curva C può essere ricavata a partire dalla curva C mediate ua riflessioe rispetto all asse. c. Si ha poi: u + u = u + + u = d =; u = e d = e. e ( ) e d =l +l; +e e + d. Ioltre N si ha u >, poiché f () > [; ]; f + () f (), N e [; ], poiché f + () f () = e (e ) +e. La successioe (u ) N è positiva e decrescete, quidi ammette limite u limite umerico L. Dal mometo che u + + u = e che L =. e e che lim + =, si ricava che dev essere L =, ovvero
Problema Si cosideri u tetraedro regolare (ovvero ua piramide regolare le cui quattro facce soo altrettati triagoli equilateri, tutti uguali tra loro) di spigolo L. a. Ricavare, i fuzioe di L, le misure dell altezza H, della superficie totale S t e del volume V del tetraedro assegato. Determiare quidi la misura del raggio R C della sfera circoscritta al tetraedro, dopo aver idividuato la posizioe del cetro di tale sfera lugo il segmeto che rappreseta l altezza del tetraedro. b. A ua distaza dal vertice superiore del tetraedro codurre u piao parallelo al piao di base e collegare i vertici del triagolo equilatero sezioe così otteuto, co il cetro del triagolo equilatero di base del tetraedro, geerado i tal modo ua piramide P. Esprimere allora il volume V P della piramide P i fuzioe dello spigolo L e della distaza variabile. c. Posto L = 6 cm, studiare la fuzioe = V P () co R, rappresetare il grafico i u sistema di riferimeto cartesiao ortogoale ed evideziare la parte di tale grafico che rispetta la limitazioe per imposta dal problema geometrico cosiderato. I particolare, stabilire per quale valore M il volume V P della piramide P è massimo e calcolare il valore di tale volume massimo. Nel caso i cui sia = M, determiare il rapporto tra l area delle figure sezioe che il piao parallelo alla base del tetraedro forma rispettivamete co il tetraedro stesso e co la sfera. d. Determiare ifie il volume del solido otteuto facedo ruotare di 6 itoro all asse delle ascisse la regioe piaa delimitata dal grafico della fuzioe = V P () e dall asse delle ascisse stesso. LESCHER EDITRE 9 - PAGINA LIBERAMENTE FTCPIABILE A US DIDATTIC Risoluzioe I valori richiesti soo: H = L 6; S t = L ; V = L ; R C = 4 L 6. ( L ) 6 V P = 8. Si ottiee: = V P () = 8 (6 ), co = 8 ( ); risulta M =4e il corrispodete volume vale 4. Il rapporto tra le aree delle figure sezioe è pari a. Il volume del solido è 474 (i cm ). 5 Questioario È data la fuzioe = e + arc tg, co R. Studiare i limiti all ifiito, dimostrare che è ivertibile e descrivere l i-
sieme dei valori che essa assume. Calcolare quidi (), essedo = () la fuzioe iversa della fuzioe assegata. Risoluzioe La fuzioe = e + arc tg, co R, tede a se, tede a + se +, è ivertibile i quato sempre crescete e assume i valori compresi ella semiretta aperta ( ;+ ). Ioltre () =. A =corrispode =, pertato () = f () = e + = + = Calcolare l area della regioe di piao del primo quadrate delimitata dal grafico di = arc tg, dall asse e dalla retta di equazioe =, idicado, i percetuale, quale parte è dell area del rettagolo i cui lati misurao e. E se si cosidera la retta = k al posto di = e il rettagolo di dimesioi k e, a quato tede il rapporto tra tali aree quado k +? Risoluzioe = = LESCHER EDITRE 9 - PAGINA LIBERAMENTE FTCPIABILE A US DIDATTIC =arctg = arc tg d = arc tg [ arc tg d = arc tg l( + ) Area del rettagolo = + d = arc tg l( + )+c ] = l 4 = l Rapporto tra le due aree = l =,,7 = 4% k [ arc tg d = arc tg ] k l( + ) = k arc tg k l( + k ) 4
Rapporto tra le due aree, i fuzioe di k: ϕ(k) = k arc tg k l( + k ) k = lim k + ϕ(k) = =. arc tg k l( + k ) k I u riferimeto cartesiao ortogoale si cosiderao l iperbole equilatera di equazioe = a e la retta di equazioe = a + h, co a > e h >. La regioe piaa compresa tra il ramo dell iperbole coteuto el primo e el quarto quadrate e la retta assegata ruota di 8 attoro all asse, geerado u solido, detto iperboloide di rotazioe. Ricavare il volume di tale solido i fuzioe dei parametri a e h. Risoluzioe Il volume richiesto è pari a h (h +a). 4 Determiare domiio, grafico e codomiio delle segueti fuzioi: = se(arc se ); = arc cos(cos ); = arc se + arc cos. Risoluzioe Domiio e codomiio delle fuzioi proposte: = se D = R; C =[ ; ] = arc se D =[ ; ]; C = [ ; ] = cos D = R; C =[ ; ] = arc cos D =[ ; ]; C =[;] = se(arc se ) arc se se(arc se ) = = se(arc se ) = D =[ ; ]; C =[ ; ] LESCHER EDITRE 9 - PAGINA LIBERAMENTE FTCPIABILE A US DIDATTIC = 5
= arc cos(cos ) { se cos arc cos(cos ) = se se se se = arc cos(cos ) = co k Z + se k se + k +k +k se k k D = R; C =[;] = arc se + arc cos D =[ ; ] arc se = α se α = arc cos = β cos β = =arc cos(cos ) LESCHER EDITRE 9 - PAGINA LIBERAMENTE FTCPIABILE A US DIDATTIC se α = cos β α + β = = arc se + arc cos = α + β = D =[ ; ] = 5 Data l equazioe goiometrica 7 se se cos 5 se =, stabilire quate soo le sue soluzioi comprese ell itervallo chiuso [; ]. Risoluzioe Riportado l equazioe goiometrica data alla forma se 5 se +6se =, si verifica che le sue soluzioi comprese ell itervallo chiuso [;] soo. 6
6 Calcolare il valore del seguete limite: lim l+, dopo aver stabilito a quale tipo di forma idetermiata corrispode. + Risoluzioe Si ha: lim + l+ =, essedo la corrispodete forma idetermiata. 7 È dato u triagolo equilatero ABC di lato L. Scegliere u puto P su AC e siao M il puto d icotro tra la parallela ad AB passate per P e il lato BC, H il piede della perpedicolare codotta da P ad AB e K il piede della perpedicolare codotta da M ad AB. Determiare allora la posizioe di P affiché l area del rettagolo PHKM sia la massima possibile. Quale frazioe dell area del triagolo ABC rappreseta l area del rettagolo PHKM così idividuato? Risoluzioe Dev essere AP = L affiché l area del rettagolo PHKM sia la massima possibile. L area del rettagolo PHKM così idividuato rappreseta dell area del triagolo ABC. 8 È possibile che ua fuzioe defiita i u itervallo chiuso [a; b] e o cotiua i tutti i puti di tale itervallo sia comuque itegrabile i [a; b]? Se la risposta è egativa spiegare il perché; se la risposta è affermativa, fare u esempio. Risoluzioe La risposta è affermativa: basta portare u esempio di fuzioe discotiua i u puto itero all itervallo di defiizioe co discotiuità di prima specie (salto). LESCHER EDITRE 9 - PAGINA LIBERAMENTE FTCPIABILE A US DIDATTIC 9 Descrivere che tipo di figure geometriche poligoali si possoo otteere sezioado u cubo co u piao. (Per rispodere ci si può aiutare co opportue rappresetazioi grafiche.) Risoluzioe Sezioado u cubo co u piao si possoo otteere triagoli, quadrilateri, petagoi, esagoi. Nell itervallo chiuso [; ] soo assegate le segueti fuzioi: = cos, = cos, = se, =tg. Stabilire, motivado la risposta, se a ciascua di esse è applicabile il Teorema di Rolle ell itervallo assegato. Se la risposta è affermativa, determiare le ascisse dei puti la cui esisteza è garatita dal suddetto teorema. Risoluzioe Nell itervallo chiuso [; ] soo assegate fuzioi: = cos, = cos, = se, = tg. L uica fuzioe cui è applicabile il Teorema di Rolle ell itervallo dato è la fuzioe = se, per la quale il puto che verifica il teorema ha ascissa. 7